Основные методы решения неравенств

Государственное учреждение образования

«Октябрьская районная гимназия»

«Основные методы решения неравенств»

Учащейся 9 класса Государственного учреждения образования

«Октябрьская районная гимназия»

Истратовой Анны Александровны Научный руководитель — учитель математики Государственного учреждения образования

«Октябрьская районная гимназия»

Одинец Алла Викторовна г. п. Октябрьский, 2010

1 Теоретические сведения о числовых неравенствах и их свойствах

2 Линейные неравенства с одной переменной

3 Квадратные неравенства

4 Рациональные неравенства

5 Неравенства, содержащие знак модуля

5.1 Решение неравенств вида

5.2 Неравенство вида

5.3 Неравенство вида

5.4 Неравенство вида

5.5 Решение неравенств с модулями методом введения новой переменной

5.6 Решение неравенств с модулями методом разложения левой части на множители

5.7 Неравенство вида

5.8 Нестандартные методы решения неравенств Заключение

Приложение

Если учащийся не переживает радости поиска и находок, не ощущает живого процесса становления идей, то ему редко удается достичь ясного понимания всех обстоятельств, которые позволили избрать именно этот, а не какой-нибудь другой путь.

А. Эйнштейн Даже самый превосходный торт вряд ли доставит вам удовольствие, если кто-то его предварительно пожует. Так же и самое интересное математическое задание можно испортить, преждевременно показав его решение. Правда, и в том, что «видит око, да зуб неймёт», мало радости: от задания, решение которого вы никогда не узнаете, немного проку.

В своей учебно-практической работе я самостоятельно исследовала основные методы решения линейных, квадратных, рациональных и нестандартных неравенств с модулем. Материал, связанный с неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Одним из сложных разделов алгебры, изучаемых в школьной программе, являются неравенства с модулем, так как на уроках им уделяют достаточно мало внимания. Выше изложенное обусловило проблему исследования: научиться решению неравенств, используя при этом основные методы решения неравенств различных видов.

Объектом исследования является процесс решения неравенств, встречающихся в 8−9 классах в учебнике алгебры и в материалах централизованного тестирования.

Предмет исследования: различные виды неравенств и методы их решения.

Целью работы является разработка методов решения линейных, квадратных, рациональных и неравенств с модулем.

Гипотеза исследования: освоение умений различать основные виды неравенств, применять необходимые приемы и методы их решения, выбирать наиболее рациональный способ решения, применять разные способы решения, в том числе те, которые не рассмотрены в школьных учебниках.

1 Теоретические сведения о числовых неравенствах

Неравенства вида, где и — числа (числовые выражения), называются числовыми.

Неравенства вида, где — линейные функции, называются неравенствами с одной переменной.

Неравенства, содержащие знаки или называют строгими, а содержащие знаки или — нестрогими.

Решением неравенства с одной переменной называется такое значение переменной, при подстановке которого неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадает. В частности, равносильны все неравенства, не имеющие решений.

Свойства числовых неравенств:

1. .

2.

3. — к обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.

4. — можно переносить слагаемые из одной части в другую, меняя их знак на противоположный.

5. и — два неравенства с одинаковым знаком можно почленно складывать.

6. Умножая (деля) обе части неравенства на положительное число, знак неравенства сохраняют.

7. Умножая (деля) обе части неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняют на противоположный.

8. и — два неравенства с одинаковым знаком, образованные неотрицательными числами, можно почленно умножать.

9. .

10. и .

Теоремы о равносильности неравенств с переменными

1.

2. если имеет смысл в области определения неравенства

3. еслидля всех значенийиз области определения

4. еслидля всех значенийиз области определения .

5. .

5*. где принимает только положительные значения (следствие).

6. где

6*. (следствие).

2 Линейные неравенства с одной переменной

Линейным неравенством называется неравенство вида или.

Решая линейное неравенство вида, получим:. Возможны три случая: 1) тогда;

2) тогдаи если при этомто решений нет, а если, то.

Пример. Найти наибольшее целое, удовлетворяющее неравенству

.

Решение. Множив обе части неравенства на 6, получим равносильное исходному неравенство Решим его:

;

Наибольшим целым, удовлетворяющим неравенству, является

Ответ: -1.

3 Квадратные неравенства

Квадратными неравенствами называются неравенства вида; гдепеременная; действительные числа, причем Существуют два метода решения квадратных неравенств: графический и аналитический.

1. При графическом методе решения определяется одно из шести возможных расположений графика — в зависимости от знаков старшего коэффициента и дискриминанта D.

Например, если рассматривать неравенство то его решением будут следующие значения :

1) если;

2), если ;

3) нет решений, если ;

4) если ;

5), если ;

6), если.

2. При аналитическом методе решения находятся корни квадратного трехчлена и он раскладывается на множители: Далее, если то неравенство равносильноесли то неравенство равносильно. Затем полученные неравенства можно решить методом интервалов.

Пример 1. Решить неравенство: .

Решение: В зависимости от значений трехчлен имеет знаки:

Таким образом, трехчлен положителен при .

Ответ: .

Пример 2. Решить неравенство:

Решение: Трехчлен в левой части неравенства представляет собой полный квадрат, следовательно, он положителен при всех кроме.

Ответ: .

Пример 3. Решить неравенство: .

Решение: Так как дискриминант, то трехчлен не имеет действительных корней, следовательно, парабола, являющаяся графиком этого трехчлена, не пересекает ось Ох, а так как коэффициент при положителен, то ветви параболы направлены вверх и трехчлен положителен при всех

Ответ: R.

4 Рациональные неравенства

Рациональным неравенством называется неравенство, которое содержит только рациональные функции. Например: _ рациональные неравенства (линейные и квадратные неравенства также являются рациональными).

Рациональные неравенства бывают целыми (в них нет операции деления на выражение, содержащее переменную), например и дробно-рациональными (в них есть операция деления на выражение, содержащее переменную), например

Основным методом решения рациональных неравенств является метод интервалов, который базируется на следующей теореме: пусть функция непрерывна на всей числовой оси и обращается в нуль в точках (имеет только корней), причемТогда на каждом из интервалов функция сохраняет знак.

При решении рациональных неравенств методом интервалов нужно:

1) все члены неравенства перенести в левую часть; если неравенство дробно-рациональное, то привести левую часть к общему знаменателю;

2) найти все значения переменной, при которых числитель и знаменатель обращаются в 0;

3) нанести найденные точки на числовую прямую, разбивая ее при этом на интервалы, в каждом из которых рациональная функция сохраняет знак;

4) определить знак функции на любом из интервалов (лучше крайнем);

5) определить знаки на остальных интервалах: при переходе через точку знак меняется на противоположный, если точка является корнем нечетной степени крайности (т.е. встречается нечетное количество раз среди корней числителя и знаменателя); при переходе через точку четной кратности знак сохраняется;

6) множеством решения неравенства являются объединение интервалов с соответствующим знаком функции. В случае нестрогого неравенства к этому множеству добавляются корни числителя.

Пример. Решить неравенство

Решение. Функция является дробно — рациональной и представлена в виде произведения линейных множителей, причем множитель повторяется трижды, — дважды. Отметим нули числителя и знаменателя на координатной прямой. Неравенство является нестрогим, значит, нули числителя изображаются закрашенными точками, а нули знаменателя — выколотыми. Числа разбивают координатную прямую на интервалы, в каждом из которых сохраняет знак.

на интервале Кореньчетной кратности, значит, проходя через эту точку, знак свой не изменит. Поэтомуесли.

Ответ:

5 Неравенства, содержащие знак модуля

Перечислим частные случаи неравенств, содержащих знак модуля, и рассмотрим методы их решения.

5.1 Решение неравенств вида

Вместо знака < может стоять любой другой знак: ?, >, ?.

Напомним, что:

1. Если, то

Примечание. Если, то неравенство решений не имеет.

2. Если, то

Примечание. Если, то неравенство решений не имеет; неравенство равносильно уравнению .

3. Если, то .

Примечание. Если, то множество решений неравенства совпадает с областью определения функции, исключая такие при которых, т. е. исключая нули функции .

Если, то множество решений неравенства совпадает с областью определения функции .

4. Если, то .

Примечание. Если или, то множество решений неравенства совпадает с областью определения функции .

Пример 1. Решим неравенство

Решение. Имеем:

Ответ: (2;4).

Пример 2. Решим неравенство

Решение. Имеем:

.

Ответ:.

5.2 Неравенство вида

где и — некоторые функции, равносильно системе Пример. Решить неравенство Решение. Исходное неравенство равносильно системе Найдем корни квадратного уравнения :

.

Последняя система будет иметь вид:

Решая эту систему методом интервалов, получим .

Ответ: .

5.3 Неравенство вида

где и — некоторые функции, равносильно совокупности Пример. Решить неравенство

Решение. Из свойства модуля следует, что неравенство равносильно неравенству. Поэтому исходное неравенство равносильно, откуда .

Ответ: .

5.4 Неравенство вида

Оно равносильно неравенству. Преобразуем неравенство, получим неравенство, которое решается методом интервалов.

Пример 1. Решить неравенство .

Решение. Исходное неравенство равносильно неравенству

которое, в свою очередь, равносильно Решим последнее неравенство методом интервалов:

Ответ: .

Пример 2. Решить неравенство .

Решение. Неравенство равносильно исходному. В полученном неравенстве перенесем все члены в одну сторону и применим формулу разности квадратов.

.

Так как для всех, то полученное неравенство равносильно

. Решим неравенство методом интервалов.

Ответ: .

5.5 Решение неравенств с модулями методом введения новой переменной

Суть решения неравенств с модулями методом введения новой переменной поясним на примерах.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Введем подстановку и запишем неравенство относительно переменной:. Решив его, получим: или. Возвращаясь к переменной, имеем: .

Ответ: .

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Введем подстановку, тогда, т. е. и получим систему относительно переменной :

Поскольку, то имеем:

.

Ответ: .

5.6 Решение неравенств с модулями методом разложения левой части на множители

Напомним суть решения неравенств методом разложения левой части на множители с помощью примеров.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Разложив левую часть неравенства на множители, получим:

Ответ: .

Пример 2. Решить неравенство .

Решение: Имеем:

Ответ:

5.7 Неравенство вида

— некоторые действительные числа, можно решать методом интервалов:

1) находятся точки, в которых функции равны 0 или не существуют;

2) найденные точки размещаются на числовой прямой, которая тем самым разбивается на интервалы знакопостоянства функций ;

3) на каждом интервале неравенство решается с учетом знака функций (соответственно раскрываются знаки модуля);

4) объединяются решения, найденные на каждом интервале.

Пример. Решить неравенство

Решение. Выражения, стоящие под знаком модуля обращаются в 0 при и, значит, сохраняют постоянный знак в каждом из промежутков. На этих промежутках выражения и имеют следующие знаки:

Рассмотрим неравенство в каждом из трех промежутков.

1)

<0; ;

Таким образом, откуда, т. е. .

2)

3)

Тогда откуда т. е.

4) .

Тогда откуда т. е. .

Так как, то окончательно получим, что .

Ответ: .

5.8 Нестандартные методы решения неравенств с модулями

При решении некоторых неравенств с модулями целесообразно использовать свойства функций, входящих в них.

Рассмотрим один из эффективных методов нестандартного решения неравенств — метод замены множителей. Он позволяет быстро и эффективно решать целый класс неравенств повышенной сложности, приводя их тем самым к рациональным неравенствам. Оказывается, достаточно широкий класс неравенств допускает подобную попытку. Удивительно, что этот метод оказался вне поля зрения многих авторов учебников по математике.

Основная идея метода:

Методом замены множителей решаются неравенства, приводимые к виду

(1)

где символ «V» обозначает один из четырех возможных знаков неравенства:<, ?, >, ?.

При решении неравенства (1) нас интересует только знак любого множителя в числителе или знаменателе, а не абсолютная его величина. Поэтому, если нам неудобно работать с данным множителем, мы можем заменить его на другой знакосовпадающий с ним в области определения неравенства и имеющий в этой области те же корни. Это и определяет основную идею метода замены множителей. Важно зафиксировать тот факт, что замена множителей осуществляется только при условии приведения неравенства к виду (1), то есть, когда требуется сравнить произведение с нулем.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся замены.

Из определения строго монотонной функции непосредственно вытекает следующие утверждения:

Утверждение 1. Функция — строго возрастающая тогда и только тогда, когда для любых значений и из области определения функции разность совпадает по знаку с разностью, то есть

— строго возрастающая? ,

(символ «-» означает знакосовпадение);

Утверждение 2. Функция — строго убывающая тогда и только тогда, когда для любых значений и из области определения функции разность совпадает по знаку с разностью, то есть

— строго убывающая? .

Отсюда получаем две основные замены: -,

если — строго возрастающая функция; -,

если — строго убывающая функция.

Рассмотрим функцию вида Функция привозрастает на множестве неотрицательных чисел, а при нечётном натуральном — на всей числовой оси. Поэтому справедливы следующие замены:

(2)

(3)

при натуральном .

Рассмотрим на множестве неотрицательных чисел функции и, являющиеся взаимно обратными и строго возрастающими. Имеем:

поэтому

(4)

где (5)

Учитывая, что и для любых, получаем, что; (6)

. (7)

Удобны следующие две замены:

(8)

Популярный знакопостоянный множитель — квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом можно заменить на старший коэффициент (или на свободный член), то есть

(при D<0). (9)

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Воспользуемся утверждением (7) и заменим разность модулей соответствующими разностями квадратов. Получим равносильное неравенствоОтвет: .

Пример 2. Решить неравенство

Решение: В силу сформулированного утверждения (7)

Поэтому сразу перейдем к следующему неравенству, равносильному данному:

Вновь воспользовавшись тем же преобразованием, а также заменой (6), получим неравенство .

Последнее неравенство решим методом интервалов.

Ответ:

Заключение

При выполнении данной работы я изучила свойства числовых неравенств, методы решения линейных, квадратных, рациональных и нестандартных неравенств с модулем, что позволило мне расширить свой математический кругозор и заглянуть за рамки школьной программы. Работа над данной темой доставила мне не только трудности, но и удовольствие.

Я восстановила в памяти весь теоретический материал, углубила и расширила свои знания по методам решения неравенств. С этой работой я выступила на ученическом научном обществе «Шаг к успеху» перед своими одноклассниками, которым работа очень понравилась.

Материалы моей работы можно использовать для самостоятельной подготовки к тестовому контролю знаний, используемому на централизованном тестировании, вступительных и выпускных экзаменах.

1. Ананченко, К. О. Алгебра: учебник для 9 класса с углубленным изучением математики/ Н. Т. Воробьев, Г. Н. Петровский. — Минск: Народная Асвета.- 1999.

2. Мамонтова, Г. Г. Математика. Подготовка к тестированию/Г.Г. Мамонтова. — Минск, ООО «Новое Знание». — 2005.

3. Мерзляк, А. Г. Алгебраический тренажер/ А. Г. Мерзляк. — Киев, «А.С.К.». — 1997.

Приложение

1. Примеры решения линейных неравенств с одной переменной Пример 1. Решить неравенство .

Решение. Соберем слагаемые, содержащие переменную слева, остальные перенесем в правую часть:

Возможны три случая:

1), т. е.тогда ;

2) т. е. тогда

3) т. е., тогда, нет решений.

Ответ: при

при нет решений при

Пример 2. Решить неравенство .

Решение. При неравенство не имеет смысла. Оно является линейным, поэтому соберем все члены, содержащие переменную, в его левой части, а остальные — в правой:

.

Преобразуем левую часть неравенства:

.

Разделим почленно слагаемые, стоящие в числителе левой части неравенства, на знаменатель:

.

Перенесем слагаемое, не содержащее переменную, вправо:

.

Запишем правую часть неравенства в виде дроби:

.

Преобразуем неравенство: Исходное неравенство равносильно следующему: Решение данного неравенства зависит от выражения если илиесли

.

Тогда, если или, то если то если или, то решений нет.

Ответ: при;

;

нет решений при .

2. Квадратные неравенства Пример. Найти целочисленные решения неравенства

Решение: Рассмотрим два способа решения.

1 способ (графический). Рассмотрим функцию Найдем корни квадратного трехчлена, для этого решим уравнение

Из графика функции следует, что если. Целые числа интервала: 1,2,3.

2 способ (аналитический). Корни квадратного трехчлена равны:. Разложим его на множители и запишем неравенство:

или .

Отметим точки на координатной прямой и определим знаки трехчлена на соответствующих интервалах:

Итак,. Целые решения: 1, 2, 3.

Ответ: 1, 2, 3.

3. Примеры решения рациональных неравенств Пример 1. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство содержит два нелинейных множителя: и .

Поскольку дискриминант квадратного трехчлена отрицательный, то для всех Квадратный трехчлен разложим на множители: Тогда исходное неравенство равносильно неравенству Решим его методом интервалов:

Ответ:.

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Приведем исходное неравенство к виду. Имеем:

.

Поскольку при всех, то данное неравенство равносильно такому:. Решим его методом интервалов:

Ответ: .

4. Неравенства, содержащие знак модуля Пример 1. Решить неравенство

Решение. Приведем исходное неравенство к виду :

.

Перейдем к равносильной системе:

Имеем:

Решением первого неравенства системы является любое, а решением второго является или .

Ответ: .

Пример 2. Решить неравенство .

Решение: Запишем совокупность, равносильную исходному неравенству:

Найдем корни квадратного трехчлена :

Решая неравенства методом интервалов, получим или .

Ответ: .

Пример 3. Решить неравенство .

Решение. Исходное неравенство перепишем в виде .

Оно равносильно совокупности неравенств

Множество решений совокупности, а следовательно, и исходного неравенства состоит из объединения двух промежутков:

Ответ:

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Решим это неравенство двумя способами.

1 способ. Корни подмодульных выражений разбивают числовую прямую на интервалы, в каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют свой знак.

Полученное неравенство равносильно совокупности трех систем:

2 способ. На плоскости построим графики функций Для построения графика функции найдем значения Графиком функции является ломаная линия. Графиком функции — прямая.

График функции расположен выше графика функции для. Таким образом, решениями исходного равенства являются все .

Ответ: .

5. Нестандартные методы решения неравенств с модулями При решении некоторых неравенств с модулями целесообразно использовать свойства функций, входящих в них.

Область определения. Понятие «область определения функции» полезно «увязывать» с понятием «область определения неравенства». Как известно, что неравенство с одной переменной можно записать в виде где и — некоторые функции.

Область определения неравенства представляет собой пересечение областей определения функций и, т. е. Д ()Д ().

Иногда нахождение области определения неравенства позволяет доказать, что неравенство не имеет решений, либо найти их.

Пример 1. Решить неравенство .

Решение. Найдем область определения неравенства:

Подставляя в данное неравенство, получаем, что его левая часть равна нулю, правая равна 1, т. е. есть решение исходного неравенства. Рассуждая аналогично, легко показать, что также является решением.

Ответ: .

Промежутки знакопостоянства. При решении некоторых неравенств полезно рассматривать промежутки, на которых значения функции и сохраняют свой знак.

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Найдем область определения неравенства:

.

Поскольку функция, стоящая в левой части неравенства, принимает только неположительные значения при, а функция, стоящая в правой части неравенства, — только положительные значения то множество решений неравенства совпадает с областью его определения.

Ответ: [-1;1].

Четность функций. Заметим, что если функция четная, то при решении неравенства, достаточно найти только множество неотрицательных решений, а затем к полученному множеству решения присоединить числовое множество, симметричное найденному относительно нуля на координатной прямой.

Пример 3. Решить неравенство .

Решение. Функция четная. Найдем множество решений данного неравенства при условии, что, т. е. решим систему неравенств:

Воспользуемся свойством четности функции, входящей в неравенство, и запишем ответ.

Ответ: .

Пример 4. Решить неравенство .

Решение. Данное неравенство равносильно неравенству .

Рассмотрим функцию, Д (. Легко показать, что она является четной. Найдем множество решений данного неравенства при :

В силу четности функции любое число, удовлетворяющее неравенству, также является решением исходного неравенства.

Ответ: .

Графики функций. Иногда при решении неравенств полезно рассмотреть схематическое изображение графиков их правой и левой частей. Это изображение может помочь выяснить, на какие числовые промежутки надо разбить координатную прямую, чтобы на каждом из них определить решение неравенства. Заметим, что схематическое изображение графиков лишь помогает найти решение, но его надо еще обосновать.

Пример 5. Решить неравенство и дать геометрическую интерпретацию.

Решение. Имеем:

Решив совокупность, получим ответ:. Дадим геометрическую интерпретацию полученного решения. Построим графики функций и .

Легко найти координаты точки их пересечения: (1;1). Очевидно, что при любом .

Ответ: .

Решение неравенств с использованием свойств модуля. При решении неравенств с модулем иногда можно достичь цели быстрее, применяя свойства модуля действительного числа, чем остальные методы решения. Укажем на некоторые свойства модуля.

Пусть a и b — действительные числа, и — некоторые функции.

1. а)

б)

2. а) Для любого положительного действительного числа имеет смысл неравенство .

б), где при любом из области определения этой функции.

Решениями неравенства вида являются все действительные числа из области определения неравенства, за исключением тех значений переменной, которые являются решениями системы уравнений:

Пример 6. Решить неравенство .

Решение. Область определения неравенства. Для нахождения множества решений данного неравенства надо из области его определения исключить все решения системы Эта система имеет единственное решение .

Ответ: .