О непрерывных, двоичных мультивсплесковых преобразованиях и мультивсплесках Алперта

Актуальность темы

.

Теория всплесков — интенсивно развивающееся направление, которое возникло в 80-х и лежит на стыке теоретической математики, прикладной математики и информатики. У истоков этой теории стоят Grossmann A., Morlet J., Meyer Y., Daubechies I., Chui C., Mallat S. и т. д. В России данной тематикой занимаются Новиков И. Я., Осколков К. И., Петухов А. П., Протасов В. Ю., Скопина М. А., Фарков Ю. А. Существуют несколько сотен тысяч англоязычных публикаций по теории всплесков. Среди этих работ большинство носит прикладной характер. Количество русскоязычных статей слишком мало. В то же время существует ряд переводных монографий [47, 48, 53, 62, 63]. Первой монографией, написанной российскими авторами, является [54]. Имеются также работы обзорного характера: статьи [43, 44, 49, 55] и работы предназначенные для специалистов в области прикладной математики и обработки функций, сигналов и изображений. Например в книгах [50, 61] уделено внимание применению всплесков в системах компьютерной математики (Matlab, Mathcad, Mathematica).

В рамках развития теории всплесков в 90-х годах зародилась теория мультивсплесков. Для классического (скалярного) случая используется одна функция ф, которая порождает ортонормированный базис пространства Ь2(Ж) своими сжатиями и сдвигами {2^2ф{2^и> — к): j, к G Z}. Для мультислучая ортонормированный базис пространства L2(M) образуют функции {2:'/" 2ф{(2^со — к): 0 < г < г — l, j, к € Z}, получающиеся сжатиями и сдвигами конечного набора функций {V>?K=o, где г называют размерностью мультивсплеска. Когда размерность мудьти-всплеска равна единице, мультивсплеск становится обычным всплеском, имеющим одну масштабирующую функцию и одну всплеск функцию. Мультивслеск имеет две или более масштабирующих функции и всплеск функций. Мультивсплески являются естественным обобщением скалярного случая. Однако, если для скалярного случая построение всплеска для соответствующей масштабирующей функции осуществляется с точностью до фазового множителя, то для мультислучая задача построения мультивсплеска по соответствующей мультимасштабирующей функции, задача не тривиальная, более того и неоднозначная. Общие рекомендации по построению мультивсплесков можно найти в [26]. Изучение муль-тивсплесков было инициированно Goodman, Lee и Tang. Затем Goodman и Lee исследовали характеризацию масштабирующих функций всплесков. Ими было введено понятие кратномасштабного анализа размерности г [19]. Jia сконструировал класс непрерывных ортогональных мультивсплесков размерности 2, имеющих симметрию, короткий носитель и ортогональность. Специальный случай мультивсплесков размерности 2 и носителем (0, 2) был изучен Chui и Lian. Большой вклад в развитие мультивсплесков сделали Alpert В., Geronimo J., Hardin D., Keinert F., Massopust P., Plonka G., Strela V. Одно из преимуществ мультивсплесков состоит в возможности построения порождающих функций, которые обладают более хорошими свойствами, а именно мультивсплески могут комбинировать в себе ортогональность, симметрию, высокий порядок аппроксимации, большое количество нулевых моментов, в то время как для скалярного случая это невозможно. Эти свойства желательны в приложениях, поэтому мультивсплески используются для решения многих прикладных задач [21, 23, 30].

Несмотря на активное развитие теории мультивсплесков, в России работ по данной тематике нет, за исключением нескольких источников в которых дана справочная информация, либо основные положения. Например в [46, глава 8] даны основы данной теории с позиции обработки сигналов. Несмотря на наличие большого числа зарубежных публикаций, в данной теории не рассматривались непрерывное и двоичное муль-тивсплесковые преобразования. Актуальным является определение и исследование непрерывного и двоичного мультивсплесковых преобразований. Также представляет интерес с точки зрения анализа особенностей функций построение быстрого алгоритма двоичного мультивсплескового преобразования. Для мультислучая появляется возможность построения из кусочно-полиномиальных функций мультивсплесков с компактным носителем, что для скалярного случая невыполнимо. Примерами таких мультивсплесков являются, мультивсплески, которые рассмартивались Алпертом и рядом других авторов [1, 2, 3, 7]. Мультивсплески Алпер-та являются обобщением всплеска Хаара [33, 51] заменой единственной масштабирующей функции г масштабирующими функциями. Каждая из этих функций получается из соответствующих полиномов Лежандра, путем их перенормировки, масштабирования и сдвига. Соответствующие мультивсплески Алперта строятся путем применения несколько раз процедуры ортогонализации Грамма-Шмидта. Данный способ построения характерен только для конструкции Алперта и может быть найден в работах [1, 3]. Представляет интерес исследование временной локализо-ванности этих мультивсплесков, а также их аппроксимационных характеристик.

Цели работы.

• определить непрерывное и двоичное мультивсплесковые преобразования. Исследовать представления функций при помощи этих преобразований. Построить «алгоритм с дырами» двоичного мультивсплескового преобразования;

• найти радиусы мультимасштабирующих функций и мультивсплесков Алперта и изучить их аппроксимационные характеристики.

Методика исследования. В диссертации использовались методы теории функций и функционального анализа.

Научная новизна.

• Определены понятия непрерывного и двоичного мультивсплесковых преобразований.

• Доказаны теоремы о представлении функций при помощи непрерывного и двоичного мультивсплесковых преобразований.

• Доказано, что ортогональный мультивсплеск порождает разбиение единицы.

• Разработан «алгоритм с дырами» двоичного мультивсплескового преобразования.

• Найдены радиусы мультимасштабирующих функций и мульти-всплесков Алперта.

• Изучены аппроксимационные характеристики мультивсплесков Алперта любой размерности.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования мультивсплесков, в частности для изучения аппроксимациоиных свойств и свойств локализованное&trade-.

Аппробация работы. Результаты данной работы докладывались на конференциях: International Conference «Wavelets and Applications», St. Peterburg, Russia (2009) — Саратовская зимняя математическая школа «Современные проблемы теории функций и их приложения», посвященной 125-летию со дня рождения В. В. Голубева и 100-летию СГУ, Саратов (2010) — International Conference «Banach Spaces Geometry», St. Peterburg,.

Russia (2010) — Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж (2011) — Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань (2011).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [36, 37, 56, 57, 58, 59, 60]. Из совместной работы [57] в диссертацию включены только результаты автора. Работа [58] соответствует списку ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 101 страница состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, и списка литературы, содержащего 63 источника.

1. Alport B. K. A class of bases in L2 for the sparse representation of integral operators / B. K. Alpert // S1. M Journal on Mathematical Analysis. — 1993. — № 24. — P. 246−262.

2. Alpert B. K. Adaptive Solution of Partial Differential Equations in Multiwavelet Bases / B. K. Alpert, G. Beylkin, D. Gines, L. Vozovoi // Journal of Computational Physics. — 2002. — Vol. 182. — Issue 1. — P. 149−190.

3. Alpert B. K. Wavelets and Other Bases for Fast Numerical Linear Algebra / B. K. Alpert // Wavelets: A Tutorial in Theory and Applications. — C. K. Chui, editor. — Academic Press, New York. — 1992. P. 181−216.

4. Alpert B. K. A Fast Algorithm for the Evaluation of Legendre Expansions / B. K. Alpert, V. Rokhlin // SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. — Jan. 1991. — Vol. 12. — Issue 1. — P. 158−179.

5. Antonini M. Image coding using the wavelet transform / M. Antonini, M. Barlaud, P. Mathieu, I. Daubechies // Image Processing, IEEE Transactions on. — Apr 1992. Vol. 1 — Issue 2. — P. 205−220.

6. Beylkin G. Fast wavelet transforms and numerical algorithms / G. Beylkin, R. Coifman, V. Rokhlin // Comm. in Pure and Applied Math. 1991. — Vol 44. — P. 141−183. — doi: 10.1002/cpa.3 160 440 202.

7. Blyth W. F., Stacey A. J. A variational method using Alpert multiwavelets / W. F. Blyth, A. J. Stacey // CTAC2006, ANZIAM J. 2008. — Vol. 48 P. C820−836. — URL: http://anziamj .austms.org.au/ojs/index.php / ANZIAM J / article/ view/73.

8. Cheng L. Riesz Multiwavelet of Multiplicity r and Multiresolution Analysis / L. Cheng, F. Sun, S. Dang // International Journal of Nonlinear Science. — 2008. — Vol. 6. — No.2. — P. 118−123.

9. Chui C. K. A Study of Orthonormal Multiwavelets / C. K. Chui, J. A. // Lian J. Appl. Numer. Math. 1996. — Vol. 20. — P. 272−298.

10. Chui C. K. Construction of orthonormal multi-wavelets with additional vanishing moments / C. K. Chui, Jian-ao Lian // Advances in Computational Mathematics. — 2006. — Vol. 24. — No 1−4. — P. 239−262.

11. Cotronei M. Multiwavelet Analysis and Signal Processing / Mariantonia Cotronei, Laura B. Montefusco, Luigia Puccio // IEEE Trans, on Circuits and Systems II. — Aug 1998. — Vol. 45. — P. 970−987.

12. Donovan G. Construction of orthogonal wavelets using fractal interpolation functions / G. Donovan, J. Geronimo, D. Hardin, P. Massopust // SIAM J. of Math. Anal. — 1996. Vol. 27. — Issue 4. — P. 1158−1192.

13. Donovan G. Intertwining multiresolution analyses and the construction of piecewise polynomial wavelets / G. Donovan, J. Geronimo, D. Hardin // SIAM J. Math. Anal. 1996. — Vol. 27. — Issue 6. — P. 1791−1815.

14. Fleet P.J. Multiwavelets and Integer Transforms / Patrick Van Fleet // Journal of Computational Analysis and Applications. — January 2003. Vol. 5. No 1. — P. 161−178. — doi: 10.1023/A:1 021 438 424 658.

15. Geronimo J. Fractal functions and wavelet expansions based on several functions / J. Geronimo, D. Hardin, and P. R. Massopust // J. Approx. Theory. 1994, — Vol. 78. — Issue 3. — P. 373−401. — doi: 10.1006/jath. 1994.1085.

16. Geronimo J. S. Design of prefilters for discrete multiwavelet transforms / J. S. Geronimo, X.-G. Xia, D. P. Hardin, B. W. .Suter // Signal Processing, IEEE Transactions on. — Jan. 1996. — Vol. 44. — Issue 1. P. 25−35.

17. Geronimo J. Computations of multiwavelet transforms / J. Geronimo, D. Hardin, B. Suter, X. G. Xia // Proc. SPIE 2569. July 1995. — Vol. 27. — doi:10.1117/12.217 578.

18. Goodman T.N.T. Wavelets of multiplicity r / T.N.T. Goodman, S. L. Lee // Trans. Amer. Math. Soc. March 1994. — Vol. 342. — No. 1. P. 307−324.

19. Heil C. Approximation By Translates Of Refinable Functions / C. Heil, G. Strang, V. Strela // Numerische Mathematik. — 1996. — Vol. 73. — No. 1. P. 075−094.

20. Heil C. The application of multiwavelet filterbanks to image processing / C. Heil, V. Strela, P.N. Heller, G. Strang, P. Topiwala // Image Processing, IEEE Transactions on. — Apr. 1999. — Vol. 8. — Issue 4. P. 548−563. dot: 10.1109/83.753 742.

21. Hong D. Orthogonal Multiwavelcts of Multiplicity Four / D. Hong, A. D. Wu // Computers & Mathematics with Applications. — 2000. — Vol. 40 No. 10−11. P. 1153−1169.

22. Sudhakar R. Fingerprint Compression Using Multiwavelets / R. Sudhakar, S. Jayaraman // International Journal of Signal processing, A Publication of World academy of science Engineering and Technology.- Spring 2006. Vol.2. — No. 2. — P. 78−87.

23. Jiang Q. Orthogonal Multiwavelets with Optimum Time-Frequency Resolution / Qingtang Jiang // Signal Processing, IEEE Transactions on. April 1998. — Vol. 46. — No. 4. — P. 830−844.

24. Keinert F. Raising Multiwavelet Approximation Order Through Lifting / F. Keinert // Society for Industrial and Applied Mathematics J. MATH. ANAL. 2001. — Vol. 32. — Issue 5. — P. 1032−1049.

25. Keinert F. Wavelet and Multiwavelet / F. Keinert. — Boca Raton, London, New York, Washington D.C.: Chapman & Hall/CRC, 2004. 288 c.

26. Lawton W. An algorithm for matrix extension and wavelet construction / W. Lawton, S. L. Lee, Z. Shen // Math. Comp. — Apr. 1996. — Vol. 65. No. 214. — P. 723−737.

27. Lee S. L. A General Approach for Analysis and Application of Discrete Multiwavelet Transforms / S. L. Lee, L. Shen, H. H. Tan, J. Y. Tham // Signal Processing, IEEE Transactions on. — Feb. 2000. — Vol. 48. — No. 2. — P. 457−464.

28. Lebrun J. Balanced multiwavelets: Theory and design / J. Lebrun, M. Vetterli // Signal Processing, IEEE Transactions on. — Apr. 1998. Vol. 46. P. 1119−1125.

29. Mallat S. A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation / S. Mallat // Pattern Analysis and Machine Intelligence, IEEE Transactions on. 1989. — Vol. 11. — Issue 7. — P. 674−693.

30. Mallat S. Multiresolution Approximations and Wavelet Orthonormal Bases of / S. Mallat // Transactions of the American Mathematical Society. — 1989. — Vol. 315. — No. 1. — P. 69−87.

31. Mohlenkamp Martin J. Wavelets, their friends, and what they can do for you / Martin J. Mohlenkamp, Mari’a Cristina Pereyra. — European Mathematical Society, 2008. — 119 p.

32. Novikov I. Haar Series and Linear Operators / I. Novikov, E. Semenov. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997. — 218 p.

33. Plonka G. Construction of multiscaling functions with approximation and symmetry / G. Plonka, V. Strela // SIAM J. Math. Anal. — 1998. Vol. 29. Issue 2. — P. 481−510.

34. Plonka G. From wavelets to multiwavelets, in Mathematical methods for curves and surfaces / G. Plonka, V. Strela // Proceedings of the international conference on Mathematical methods for curves and surfaces II Lillehammer, 1997. — pp. 375−399.

35. Severov P. G. Calderon Condition for Multiwavelets / P. G. Severov // International Conference Banach Spaces Geometry: September 5−11. 2010, St. Petersburg, Russia, abstr. — СПб., 2010. — P. 39−40.

36. Severov P. G. Dyadic Multiwavelet Transforms / P. G. Severov // Wavelets and Applications: abstr., International Conference, June 1420. 2009, St. Peterburg, Russia. СПб., 2009. — С. 55.

37. Strang G. Orthogonal multiwavelets with vanishing moments / G. Strang, V. Strela // Proc. SPIE Conference on Mathematics of Imaging, J. Optical Eng. 1994. — Vol. 33. — P. 2104−2107.

38. Multiwavelets: Regularity, Orthogonality, and Symmetry via Two-Scale Similarity Transform / V. Strela // Studies in Applied Mathematics. — 1997. Vol. 98. — P. 335−354. — doi: 10.1111/1467−9590.52.

39. Strela V. Multiwavelets: theory and applications / V. Strela // Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology. — 1996.

40. Xia X. G. A newprefilter design for discrete multiwavelet transforms / X. G. Xia // IEEE Trans. Signal Processing. — 1998. Vol. 46. — P. 1558−1570.

41. Арбузов С. M. Цифровая обработка сигналов. Моделирование в MATLAB: учеб. пособие / С. М. Арбузов, А. И. Солонина. — СПб.: БХВ-Петербург, 2008. — 816 с.

42. Астафьева Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения / Н. М. Астафьева // Успехи физических наук. 1998. — Т.166. — N. 11. — С. 1145−1170. — doi: 10.3367/UFNr.0166.199 611а. 1145.

43. Астафьева Н. М. Вейвлет-преобразование: основные свойства и примеры применения / Н. М. Астафьева // ИКИ РАН. — 1994. — No. 1891. С. 56.

44. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории / К. Блаттер. — пер. с нем. Т. Э. Кренкеля. — М.: Техносфера, 2006. — 272 с.

45. Воробьев В. И. Теория и практика вейвлет-преобразования / В. И. Воробьев, Грибунин В. Г. СПб.: ВУС, 1999. — 204 с.

46. ДеРоуз Т. Вейвлеты в компьютерной графике / Т. ДеРоуз, Д. Са-лезин, Э. Столниц. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 272 с.

47. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. — перевод с англ. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 464 с.

48. Дремин И. М. Вейвлеты и их применение / И. М. Дремин, О. В. Иванов, В. А. Нечитайло // Успехи физических наук. — 2001. — № 5, С. 465−501.

49. Дьяконов В. П. Вейвлеты. От теории к практике / В. П. Дьяконов.- М.: СОЛОН-Р, 2002. 448 с.

50. Кашин Б. С. Ортогональные ряды / Б. С. Кашин, А. А. Саакян. — 2-е изд., доп. — М.: АФЦ, 1999. — 560 с.

51. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1968. — 496 с.

52. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов / С. Малла. — М.: Мир, 2005. 671 с.

53. Новиков И. Я. Теория всплесков / И. Я. Новиков,'В. Ю. Протасов, М. А. Скопина. — М.: Физматлит, 2005. — 616 с.

54. Новиков И. Я. Основы теории всплесков / И. Я. Новиков, С. Б. Стечкин // УМН. 1998. — Вып. 53. — № 6(324). — С. 53−128.

55. Северов П. Г. О мультивсплесковых преобразованиях / И. Я. Новиков, П. Г. Северов // Вестник Воронежского государственного университета. Сер.: Физика. Математика. — Воронеж, 2009 № 2. -С. 96−100.

56. Северов П. Г. О двоичном мультивсплесковом преобразовании / П. Г. Северов // Вестник Самарского государственного университета. — Самара, 2010. — (Естественнонаучная серия). — № 2 (76). — С. 57−71.

57. Северов П. Г. Быстрый алгоритм для мультивсплесков / П. Г. Северов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зим. мат. шк. — Воронеж, 2011. — С. 305−306.

58. Смоленцев Н. К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в МАТЬАВ / Н. К. Смоленцев. — М.: ДМК Пресс, 2005. 304 с.

59. Фрейзер М.

Введение

в вэйвлеты в свете линейной алгебры / М. Фрейзер. — М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, — 2008. — 487 с.

60. Чуй Ч.

Введение

в вэйвлеты / Ч. Чуй. — перевод с англ. — М.: Мир, 2001. 412 с. ~.