Обобщение теоремы Ильяшенко о нулях абелевых интегралов

Тема данной диссертации относится к кругу вопросов, тесно связанных с 16-й проблемой Гильберта:

Сколько предельных циклов может иметь полиномиальное векторное поле степени п на плоскости?

16-я проблема Гильберта — одна из до сих пор нерешенных проблем, поставленных Гильбертом. Ей и вопросам, связанным с ней, посвящено очень много работ. Мы упомянем только некоторые из них.

В начале века Дюлак доказал, что для одного полиномиального векторного поля на плоскости число предельных циклов конечно. В 80-х годах Ю. С. Ильяшенко нашел в доказательстве Дюлака существенный пробел, связанный с существованием плоских возмущений. Этот пробел был устранен Ильяшенко и, независимо, Экалем.

С проблемой Гильберта связана еще одна ошибочная, но содержательная работа И. Г. Петровского и Е. М. Ландиса [6], которая была опровергнута Ю. С. Ильяшенко и С. П. Новиковым, но на этот раз пробел оказался неустранимым: Ю. С. Ильяшенко [3] привел контрпример к теореме Петровского и Ландиса. Тем не менее, эта работа оказала огромное влияние на развитие этой области математики: идея выхода в комплексную область и сегодня играет ключевую роль в работах, связанных с оценкой числа предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости.

Замечательным упрощением вопроса Гильберта является так называемая инфинитезимальная проблема Гильберта, сформулированная В. И. Арнольдом (см. также работу Ю. С. Ильяшенко [4]). Сколько предельных циклов может иметь полиномиальное векторное поле, близкое к гамильтонову? Инфинитезимальная проблема Гильберта — это линеаризация этого вопроса в окрестности гамильтоновых векторных полей. Опишем эту линеаризацию более подробно. Пусть и = Pdx 4- Qdy — 1-форма на плоскости. Рассмотрим интеграл J этой формы по компактной компоненте линии уровня Н = с функции Н. На интервале изменения параметра с, при котором не меняется контур интегрирования, функция J является функцией параметра с. Согласно классическому результату Пуанкаре и Понтрягина [7], линеаризацией условия рождения предельного цикла из линии уровня Н = с при возмущении гамильтоновой системы с гамильтонианом Н векторным полем ej (w) (г —- это малый параметр, a j — изоморфизм касательного и кокасательного расслоения, заданный стандартной симплектической структурой) является уравнение J (c) — 0. Ин-финитезимальная проблема Гильберта состоит в нахождении оценки числа нулей этого уравнения по степеням полиномов P, Q и Н.

А.Н. Варченко [2] и А. Г. Хованский [10] доказали существование равномерной оценки числа нулей интеграла. Ими доказано существование константы с (п) такой, что для полиномов Р, Q и Н степеней не выпге п число изолированных нулей интеграла ограничено сверху этой константой. Доказательство А. Н. Варченко и А. Г. Хованского существенно использует теорию малочленов.

О функции с (п) пока мало что известно. Некоторые результаты в этом направлении получены Г. С. Петровым [5]. В этой области активно работают Ю. С. Ильяшенко [14], С. Яковенко [17], Д. Новиков [16]. В совместной неопубликованной работе А. Г. Хованского и Г. С. Петрова доказано, что если Н — полином степени не выше гг, а полиномы Р, Q имеют степень не выше к, то существуют константы а (п) и Ъ (п) такие, что число изолированных нулей интеграла J не превосходит а{п)к + Ь{п).

В работе Ю. С. Ильяшенко [4] исследовался вопрос о рождении предельных циклов из линий уровня общего положения, лежащих в гнезде исчезающих циклов вещественного гамильтониана Н. Пусть Н (х, у) — вещественный полином от двух переменных степени п > 2, у которого все комплексные критические точки морсовские, а все критические значения различны. Пусть старшая однородная часть многочлена Н невырождена. Фиксируем l" «1)» — 1 связных компонент линий уровня общего положения полинома Н, лежащих в гнезде одного исчезающего цикла. В работе доказано, что можно пошевелить гамильтоново векторное поле с гамильтонианом Н полиномиальным векторным полем степени (п — 1) таким образом, что из каждой фиксированной компоненты родится исчезающий цикл.

Это утверждение является следствием следующего результата Ю. С. Ильяшенко об абелевых интегралах. Рассмотрим полиномиальную 1-форму, а = Adx + Bdy (А (х, у) и В (х, у) — многочлены степени не выше (n — 1)) и некритическую линию уровня Н = 0 многочлена Н, обладающего всеми свойствами, описанными выше. Рассмотрим вещественный исчезающий цикл 7(0), лежащий на комплексной кривой Н = 0, и пусть 7© С {Н = с} — непрерывная деформация этого цикла. Теорема Ю. С. Ильяшенко утверждает, что если при всех достаточно малых значениях параметра с справедливо равенство J, а = 0,.

7© то форма, а точна.

Мы развиваем результат Ю. С. Ильяшенко в следующих направлениях. Во-первых, снимаются ограничения на расположение компонент общих линий уровня гамильтониана. У нас они не обязательно принадлежат одному гнезду линий уровня гамильтониана. Во-вторых, снимается ограничение на степень возмущения. У нас она произвольная и не обязательно равна (п — 1), где п — степень гамильтониана. В-третьих, теорема Ю. С. Ильяшенко об абелевых интегралах переносится на случай многих переменных. У нас размерность пространства, на котором задан полином Н, произвольна и не обязательно равна двум.

Диссертация состоит из трех глав. В первой главе описана общая конструкция работы, приведены определения и формулировки основных и результатов. Вторая глава почти полностью совпадает с содержанием статьи [8]. Исторически сложилось, что случай т < (п — 1) был разобран раньше. Он представляет самостоятельный интерес. В третьей главе результаты доказываются в общем случае, однако при этом существенно используются почти все теоремы из главы 2.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю проф. Ю. С. Ильяшенко, а также проф. А. Г. Хованскому за помощь и поддержку, док. Д. И. Новикову и проф. М. М. Капранову за полезные обсуждения.

1. В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде, Особенности дифференцируемых отображений. 2, М.: Наука (1984).

2. А. Н. Варченко, Оценка числа нулей абелева интеграла, зависящего от параметра и предельные циклы, Функцион. анализ и его прил. 18 (1984), по. 2, 14−25.

3. Ю. С. Ильяшенко, Пример уравнений dwjdz = Pn (zJw)/Qn (z, w), имеющих счетное число предельных циклов и сколь угодно большой жанр по Петровскому-Ландису, Мат. сб. 80 (1969), по. 3, 388−404.

4. Ю. С. Ильяшенко, Возникновение предельных циклов при возмущении уравнения dw/dz = —Rs/Rw, где R (z1w) — многочлен, Мат. сб. 78 (1969), по. 3, 360−373.

5. Г. С. Петров, О числе нулей полных эллиптических интегралов, Функцион. анализ и его прил. 18 (1984) по. 2, 73−74.

6. И. Г. Петровский, Е. М. Ландис, О числе предельных циклов уравнения dy/dx = P (x, y)/Q (x, y), где Р и Q — многочлены 2-й степени., Мат. сб. 37 (1955) по. 2, 209−250.

7. Л. С. Понтрягин, О динамических системах, близких к гамиль-тоновым, ЖЭТФ 4 (1934), по. 8, 234−238.

8. И. А. Пушкарь, Многомерное обобщение теоремы Ильяшенко об абелевых интегралах, Функц. анализ и прилож. bf 31 (1997), по. 2, 34−44.

9. И. А. Пушкарь, О предельных циклах, рождающихся при возмущении гамильтоновых систем, УМН 57 (2002), по. 5, 161−162.

10. А. Г. Хованский, Вещественные аналитические многообразия со свойством конечности и комплексные абелевы интегралы, Функцион. анализ и его прил. 18 (1984), по. 2, 40−50.

11. И. Р. Шафаревич, Основы алгебраической геометрии, М.: Наука, 1972.

12. А. П. Южаков, Методы вычисления многомерных вычетов, Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления. Итоги науки и техники. Т. 8, ВИНИТИ, М. 1985, 7−10.

13. L. Gavrilov, Petrov modules and zeros of Abelian integrals, Bulletin des Sciences Mathematiques, 122 no. 8, 571−584.

14. Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko, Concerning the Hilbert 16th problem, editors, AMS, Providence, 1995.

15. Jesus Mucino-Raymundo, Deformations of holomorphic foliaations having a meromorphic first integral, Journal fur die reine und ange-wandte Mathematik. Berlin. New York. Walter de Gruyter. 461, no. 95, 189−219.

16. D. Novikov, S. Yakovenko, Tangential Hilbert problem for perturbations of hyperelliptic Hamiltonian systems, Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc. (1999), no. 5, 55−65.