Описание некоторых классов тождеств алгебры M3 (F)

История проблем, связанных с тождествами.

Теория тождеств в алгебраических структурах является очень своеобразной и интересной областью современной алгебры, тесно связанной с другими ее разделами: теорией групп, колец, тел, алгебраической геометрией, теорией инвариантов, и пр. Тождества были введены как обобщения известных математикам с древних времен свойств обычных чисел для того, чтобы иметь возможность переносить известные факты на новые алгебраические объекты.

С возникновением формальных алгебраических систем в начале двадцатого века математики смогли сформулировать понятие «тождества» на подходящем алгебраическом языке, и проследить, как тождества связаны с алгебраической структурой объектов. Например, бинарная операция коммутативна, если выполнено тождество ху ¦ ух. Также легко проверить, что любая группа, удовлетворяющая юждеству х2 = 1, является коммутативно]'!.

Тождества в ассоциативных алгебрах имеют вид /(.гь я-2. • • •, хп) = g (xi, x2,. хп), где f (xi, x2,., хп) и g{xi, x-2, ¦ ¦. ,.rn) — некоммутативные полиномы, или, эквивалентно, вид /(.х'1, х'2, ¦ • ., хп) = 0.

Тождеством в алгебре, А называется нетривиальное соотношение f (xi, X2, — • - хп) = 0, выполняющееся при любых подстановках х н-> аэлементов из А. Тождество / называют PIтождеством или полиномиальным тождеством. PIстепенью, А называется наименьшая степень полиномиального тождества, выполненного в А.

Например, алгебра, А коммутативна, если ab = ba Va, Ь? А, или если xix<2~x?xi = 0 является полиномиальным тождеством в А. Т.о. полиномиальные тождества обобщают коммутативность.

Изучение PI-теории было начато Деиом [5], который стремился описать теоремы Дезарга с помощью полиномиальных тожесгв соответствующего тела D. Заметив, что теорема Паппа верна в точности тогда, когда D комм) гггативно, он хотел найти полиномиальные ограничения на D, необходимые и достаточные для выполнения соответствующей теоремы.

Несмотря на то, что эта цель была достигнута лишь много позднее Амицуром, благодаря этому было заложено понятие полиномиального тождества.

Следующий важный шаг в изучении PIалгебр был сделан В. Вагнером [17] - он доказал коммутативность упорядоченного РI-тела и нашел некоторые важные тождествва алгебры матриц порядка 2. Позднее М. Холл изучал тела, удовлетворяющие тождеств}' [[а-, г/]2, z] — 0.

Большую роль в теории PIалгебр сыграла проблема Куроша, поставленная им в 1941 г. [40] Курош сформулировал аналог проблемы Бернсайда для алгебр: является ли любая конечно-порожденная алгебраическая алгебра над полем F конечномерной над F? Джекобсон [7] заметил, что любая алгебраическая алгебра ограниченной степени является PIалгеброй. Используя недавно разработанную структурную теорию и результаты Левицкого [18], Капланский установил, что любая алгебраическая конечно-порожденная PIалгебра является конечномерной [9].

В общем виде проблема Куроша была решена отрицательно в 1964 г. Голодом и Шафаревичем [32], [33].

Положительное решение проблемы Куроша для PI-алгебр немедленно следует из знаменитой теоремы Ширшова о высоте [51], доказанной им в 1957 г.

Другая очень важная проблема PI-теории была поставлена Шпехтом [25| в 1950 г.: «Имеет ли любая ассоциативная PI-алгебра над полем нулевой характеристики конечный базис тождеств?» .

Эта проблема имеет смысл для алгебр над любым полем, а также для колец, групп, и многих других алгебраческих структур. Для групп проблема конечного базирования была отрицательно решена Ольшанским [47]. В 1973 г. Крузе и Львов |46] доказали, что любое конечное кольцо имеет конечный базис тождеств. Проблеме конечной базируемое&tradeнад полями нулевой характеристики было посвящено множество работ. У В. Н. Латышева имеется большой цикл работ па эту тему [41]-[45]. Многие русские и болгарские математики работали в этом направлении. Отметим наиболее важные результаты. В 1978 г. Латышев [45] доказал, что любая ассоциативная алгебра над полем нулевой характеристики, удовлетворяющая тождеству вида ал,., ?"]. = 0, имеет конечный базис тождеств. В 1982 г. А. В. Яковлев анонсировал следующий результат: алгебра матриц любого порядка над полем нулевой характеристики имеет конечный базис тождеств. Полностью проблема Шпехта для полей нулевой характеристики была решена А. Р. Кемером [36] в 1986 г. В 2000 г. Белов [3] построил контрпример к гипотезе Шпехта для алгебры над полем характеристики р и показан справедливость гипотезы Шпехта для конечномерных PI-алгебр (хотя результат не опубликован даже в России).

Актуальность исследований.

Несмотря на положительное решение проблемы Шпехта в случае поля нулевой характеристики, возникают проблемы нахождения базисов тождеств конкретных алгебр, в частности, алгебр матриц — важнейшего класса алгебр в PI-теории. Эти проблемы оказываются неожиданно сложными. Основным результатом в этом направлении является описание тождеств алгебры матриц второго порядка над полем нулевой характеристики [48]. Однако базисы тождеств для алгебр матриц более высокого порядка до сих пор неизвестны. Тем не менее, Размыслов [50] нашел базисы тождеств со следом для алгебр матриц Mn{F) произвольного порядка п. Также описаны басисы тождеств алгебры матриц второго, третьего и четвертого порядка в случае конечного основного поля.

Большое число работ посвящено градуированным тождествам матричных алгебр. Различные^{-градуировки} алгебры Мч (К) и базисы соответстугощнх идеалов градуированных тождеств в случае конечного поля К были описаны в [16]. Также в работах [26] и [1] описаны базисы градуированных тождеств алгебры Мп[К), наделенной Zn-градуировкой, в случае произвольного бесконечного поля К. В статье В. Дренского и Ю. Бахтурина исследуются градуированные тождества G-градуированной алгебры Мп (К) в случае произвольной группы G и char К = 0, также в ней найдены базисы соответствующих иделов градуированных тождеств в случае простейшей градуировки[2].

Диссертация продолжает дальнейшее исследование различных классов градуированных тождеств и тождеств со следом:

1. находится базис градуированных тождеств супералгебры Mi, 2(F);

2. находятся алгебры порождающие многообразие трейскиллеров для Л/3(F);

3. решается классическая проблема К. Прочези для алгебры общих матриц порядка 3 .

Цели и задачи исследования. Целью исследований является по пучение новой информации о тождествах алгебры матриц третьего порядка, позволяющей более глубокого исследовать многообразие алгебр Var (Mz (F)). Полезные эффекты.

Информация об исследуемых тождествах позволяет более глубоко изучить юждества матриц третьего порядка:

1. Один из путей к получению ассимптотического базиса (обычных) тождеств алгебры Мз (Г) лежит через нахождение градуированных тождеств алгебры Mit2(F) [10].

2. Описание идеала трейскиллеров для алгебры матриц Mn (F) необходимо для изучения подмногообразий многообразия Var (Mn (F)) в случае положительной характеристики поля р.

3. Описание трейскиллеров является также описанием центральных полиномов соответствующей алгебры матриц.

Объект исследования.

Объектом исследования является алгебра матриц третьего порядка M2{F) над бесконечным полем F и ее тождества различных типов. Методологическая и теоретическая основы.

Исследования, проводимые в диссертации, основываются на следующих результатах:

1. Базис градуированных тождеств супералгебры M’z{F) получен с использованием общей теории представлений симметрической группы и результов о тождествах со следом и обычных тождествах алгебры M2(F).

2. Алгебры порождающие многообразие трейскиллеров для Мз (F) найдены с использованием структурной теории FI-алгебр, разработанной А. Р. Кемером.

3. Проблема К. Прочези для алгебры общих матриц порядка 3 решается с помощью результатов о тождествах со следом и обычных тождествах алгебры M%{F).

Научная значимость и новизна.

Работа носит теоретический характер. Представленные в диссертации теоретические результаты являются новыми, не полученными ранее:

1. Найден базис градуированных тождеств супералгебры M1)2(F).

2. Найдены алгебры порождающие многообразие трейскиллеров для M^(F).

3. Решена проблема К. Прочези для алгебры общих матриц порядка 3.

Два последних результата получены в соавторстве с научным руководителем А. Р. Кемером.

Структура работы.

1. Первая глава посвящена нахождению базиса градуированных тождеств супералгебры Mti{F). В печати данные результаты представлены в [30] и [31].

2. Вторая глава посвящена описанию алгебр, порождающих многообразие трейскиллеров для M3(F). Результаты представлены в [14], [38], [15] и [39].

3. Третья глава посвящена решению проблемы Прочези для алгебры общих матриц порядка 3. Результаты представлены в [13], [37] и [15].

Автор очень признателен А. Р. Кемеру за сотрудничество и множество интересных обсуждений.

Заключение

.

В заключении представленной диссертационной работы можно отметить, что поставленная задача исследований решена в полном объеме. Основные результаты работы:

1. Найден базис градуированных тождеств супералгебры Mi${F).

2. Найдены алгебры порождающие многообразие трейскиллеров для M3(F).

3. Решена проблема К. Прочези для алгебры общих матриц порядка 3.

К полезным эффектам работы можно отнести:

1. Возможность получения ассимптотического базиса (обычных) тождеств алгебры Mz (F) через нахождение градуированных тождеств алгебры i/i)2(F).

2. Описание идеала трейскиллеров для алгебры матриц Mn (F), необходимое для изучения подмногообразий многообразия Var (Mn (F)) в случае положительной характеристики поля р.

3. Описание центральных полиномов соответсвующей алгебры матриц M${F).