Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Динамика квантовых систем с вырожденным гамильтонианом

Диссертация: Динамика квантовых систем с вырожденным гамильтонианом
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В четвертой главе расходящаяся последовательность регуляризованных операторов плотности {ре (£),? > 0, е € В, е —" 0,} рассматривается как? Г (7/)-значный случайный процесс на измеримом пространстве (Е, 2е) с неотрицательной нормированной чисто конечно аддитивной мерой, заданной на алгебре всех подмножеств 2е множества параметров регуляризации Е и сосредоточенной в произвольной окрестности… Читать ещё >

Динамика квантовых систем с вырожденным гамильтонианом (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. Корректность задачи Коши для уравнения с вырожденным оператором
    • 1. 1. Уравнение Шредингера
      • 1. 1. 1. Постановка задачи Коши
      • 1. 1. 2. Определения сильного и обобщенного решений задачи Коши
      • 1. 1. 3. Разрешимость задачи Коши в спектральных терминах
    • 1. 2. Постановка задачи Коши для уравнения Шредингера с одномерным координатным пространством
      • 1. 2. 1. Модельная задача Коши
      • 1. 2. 2. Обобщения на коэфициенты уравнения
    • 1. 3. О граничных условиях в точках разрыва коэффициентов дифференциального выражения оператора
    • 1. 4. Регуляризация вырожденного оператора Шредингера
    • 1. 5. О задаче Коши для уравнения Фоккера-Планка, вырождающегося на полупрямой
      • 1. 5. 1. Постановка задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка и ее корректность
      • 1. 5. 2. Задачи, порожденные оператором L на полупрямых
      • 1. 5. 3. Регуляризация уравнения Фоккера-Планка
      • 1. 5. 4. Обобщения на поведение коэффициентов уравнения Фоккера-Планка
  • 2. Спектральный подход к регуляризации
    • 2. 1. Аппроксимация некорректной задачи последовательностью корректных задач
    • 2. 2. О регуляризации задачи Коши в банаховом пространстве
    • 2. 3. О регуляризации задачи Коши в гильбертовом пространстве
    • 2. 4. Примеры вырожденных операторов
      • 2. 4. 1. Операторы в одномерном пространстве
      • 2. 4. 2. О влиянии геометрии области вырождения оператора на его индексы
      • 2. 4. 3. Пример задачи Коши с вырожденным вне области оператором
      • 2. 4. 4. Классификация в терминах индексов дефекта оператора Шредингера
    • 2. 5. Слабый предел последовательности решений регуляризованных задач и интегральное тождество
  • 3. Последовательности регуляризованных операторов плотности
    • 3. 1. Динамика операторов плотности, порожденная задачей
  • Коши для уравнения Шредингера
    • 3. 1. 1. О сходимости последовательности квантовых состояний в топологии *-слабой сходимости
    • 3. 2. О сходимости спектральных мер

В настоящее время интерес к вырождающимся дифференциальным уравнениям возникает в теоретических работах по корректности краевых задач для дифференциальных уравнений, теории полугрупп и теории марковских процессов (см. [44], [70], [40], [36], [16]), и поддерживается необходимостью описания течений жидкости в пористых средах, распространении колебаний в кристаллических твердых телах и движения носителей заряда в полупроводниках ([116]). Современный анализ указанного класса задач используют вариационные и спектральные методы исследования (см. [36], [63], [73], [74], [75]).

В диссертации изучается влияние вырождения производящего оператора в эволюционном уравнении (уравнении Шредингера, уравнении Фоккера-Планка) на корректную разрешимость задачи Коши и на свойства динамических преобразований пространства начальных данных. Работа состоит из введения и пяти глав.

Заключение

В первой главе определен класс рассматриваемых задач Коши для эволюционных уравнений второго порядка с вырожденными негладкими коэффициентами. Исследованы индексы дефекта дифференциальных операторов из рассматриваемого класса и получены необходимые и достаточные условия корректной разрешимости задачи Коши. Рассмотрена равномерно эллиптическая регуляризация вырожденного оператора, исследованы сильная и слабая сходимости последовательности регуляризованных решений, а также сходимости последовательности регуляризованных полугрупп в сильной и в слабой операторной топологиях.

Во второй главе определяется регуляризация вырожденного симметрического оператора задачи Коши. Показано, что если задача Коши с вырожденным оператором корректна, то любая последовательность регуляризованных полугрупп сходится к полугруппе, порожденной производящим оператором, в сильной операторной топологии равномерно на любом отрезке. Установлено, что если производящий оператор является максимальным симметричным, но не максимальным диссипативным, то любая последовательность регуляризованных полугрупп сходится в слабой операторной топологии равномерно на любом отрезке, однако не является сходящейся в сильной операторной топологии. Установлено, что для сходимости некоторой подпоследовательности последовательности регуляризованных полугрупп в сильной операторной топологии необходимо, чтобы производящий оператор исходной задачи Коши имел максимальные диссипативные расширения, совокупность которых определяет множество частичных пределов всевозможных последовательностей регуляризованных полугрупп в сильной операторной топологии. В случае нарушения необходимого условия компактности в сильной операторной топологии дано описание множества сжимающих полугрупп, являющихся пределами последовательностей регуляризованных полугрупп в слабой операторной топологии. Определены классы пробных функций, для которых предел (сильный или слабый) последовательности регуляризованных решений удовлетворяет уравнению (1) и начальному условию (2) в смысле интегрального тождества.

В главе 3 исследована сходимость последовательности операторов плотности, задаваемых решениями регуляризованных задач, в слабых топологиях пространства В*(Н). Из сходимости последовательности решений по норме следует *-слабая сходимость последовательности регуляризованных операторов плотности в пространстве В* (Н). Если же последовательность регуляризованных решений сходится лишь слабо в пространстве Н, то последовательность регуляризованных операторов плотности расходится в *-слабой топологии пространства В*(Н). Определено многозначное отображение .Р, сопоставляющее каждому оператору, А € В (Н) множество частичных пределов Р (Ь, ио, А) последовательности значений регуляризованных операторов плотности в точке А. Установлена непрерывность многозначного отображения Р в метрике Хаусдорфа и указаны условия, обеспечивающие связность множества его значений.

Исследована сходимость последовательности операторов плотности в более слабых топологиях пространства В*(Н), порожденных алгебрами ограниченных операторов, унитарно эквивалентными коммутативной алгебре операторов умножения на ограниченную непрерывную функцию. Получены необходимые и достаточные условия существования подпоследовательности последовательности операторов плотности, сходящейся в указанных слабых топологиях.

В четвертой главе расходящаяся последовательность регуляризованных операторов плотности {ре (£),? > 0, е € В, е —" 0,} рассматривается как? Г (7/)-значный случайный процесс на измеримом пространстве (Е, 2е) с неотрицательной нормированной чисто конечно аддитивной мерой, заданной на алгебре всех подмножеств 2е множества параметров регуляризации Е и сосредоточенной в произвольной окрестности предельной точки множества параметров регуляризации. Через У/(Е) обозначено множества всех мер, обладающих указанными свойствами. Средние значения такого процесса определяются слабым интегралом Петтиса от векторной функции по конечно аддитивной мере. Чтобы рассмотреть случайные процессы как векторы в банаховом пространстве интегрируемых функций, определены пространства СР (Е, 2е, Н, р) Н-значных функций на множестве Е, интегрируемых по конечно аддитивной мере ?1, которые являются пополнениями пространства ограниченных (а не простых) //-значных функций по норме, определяемой интегралом. Исследованы отличия свойств пространств СР{Е, 2е, Н, рь) от классических пространств Ьр (Е, 2е, Н^).

Регуляризация некорректной задачи Коши для уравнения Шредингера (1), (2) {иье (£),? > 0, е € Е, е —> 0}, представлена как полугруппа унитарных преобразований несепарабельного гильбертова пространства С2(Е, 2е, ц, Л"), которая является примером реализации теоремы М. А. Наймарка о расширении симметрического оператора до самосопряженного с выходом в расширенное гильбертово пространство. Установлено, что математическое ожидание случайного процесса на вероятностном пространстве (Е, 2е, рь) совпадает с частичным следом оператора плотности чистого состояния из расширенного гильбертова пространства, и является непрерывной ветвью многозначного отображения F, определенного в третьей главе. Многозначное отображение Р представлено как объединение своих однозначных непрерывных ветвей, параметризованных мерами ?1 € ¥-(Е).

В пятой главе исследована задача определения случайных процессов ро) по наблюдениям за их средними значениями.

1. Установлены условия на начальное состояние процесса и момент времени > 0, при которых по математическому ожиданию /^(?1) можно определить начальное состояние процесса рщ.

2. В случае произвольного чистого начального состояния процесса для его определения недостаточно информации об усредненных состояниях р^Ь^щ) в некоторый момент времени ^ > 0 при всех рь € У/(Е). Но если р, — мера из леммы 5.2.4, то измерения состояний в два различных момента времени ?1, позволяют одноначно определить начальное состояние процесса рщ и, следовательно, всю усредненную траекторию рщ) процесса.

3. Установлено, что при любом выборе меры р, из класса ¥-(Е) семейство усредненных динамических преобразований? > О, утрачивает полугрупповое свойство. Для найденных в теореме 5.1.1 мер усреднения в пространстве квантовых состояний) определены области, на которых усредненное динамическое преобразование проявляет свойства инъективности и сюрьективности. Для класса мер, удовлетворяющих условиям леммы 5.2.4 в пространстве квантовых состояний ?(//) определены области, на которых однопараметрическое семейство динамических преобразований? > 0, обладает полугрупповым свойством.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Н.И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М.: Наука, 1966.
  2. Ю.А., Жиков В. В. О гельдеровости решений вырождающихся эллиптических уравнений// Доклады РАН. 2001. Т. 378, № 5. С. 583−588.
  3. Г. Г., Сакбаев В. Ж. О задаче Коши для уравнения Шредингера с вырождением на двух полупрямых// Мат. Заметки. 2004. Т. 76, № 3. С. 335−343.
  4. С.Н., Шмарев С. И. Существование и единственность решений вырождающихся параболических уравнений с переменным показателем нелинейности// ФПМ. 2006. Т. 12, № 4. С. 3−19.
  5. А.И., Рыков Ю. Г., О вариационном представлении решений некоторой гиперболической системы с помощью логарифмического потенциала во внешнем поле// Доклады РАН. 2006. Т. 409, № 1. С. 12−14.
  6. A.A. Построение турбулентной меры для системы уравнений Навье-Стокса// Мат. Сборник. 1976. Т. 101, № 2. С. 204 211.
  7. А.Б., Кокурин М. Ю. Итерационные методы решения некорректных операторных уравнений с гладкими операторами. М.: УРСС, 2002.
  8. A.B. Прикладной функциональный анализ. М.: Мир, 1980.
  9. М.В., Половинкин Е. С. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: Физматлит, 2004.
  10. С. Курс функционального анализа. Киев, Радянська школа, 1948.
  11. Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве// Ученые записки МГУ. 1951. Т. 148. С. 69−107.
  12. Ю.М. Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наукова думка, 1965.
  13. Ф.А., Шубин М. И. Уравнение Шредингера, М.: Наука, 1983.
  14. О.В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996.
  15. П. Сходимость вероятностных мер. М. Наука, 1977.
  16. В.И. Основы теории меры. Т. 1. М.: УРСС, 2003.
  17. В.И. Основы теории меры. Т. 2. М.: УРСС, 2006.
  18. У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М.: Мир. 1982.
  19. Н. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах, меры на отделимых пространствах. М.: Наука, 1977.
  20. Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.
  21. В. С. Меры на топологических пространствах// Матем. Сборник. 1961. Т. 55(97), N 1. С. 35−100.
  22. А.Д., Фрейдлин М. И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.
  23. A.M., Ладыженская O.A. ДАН СССР. 1976. Т. 226, № 1. С. 26−29.
  24. B.C. Уравнения математической физики, М.: Наука, 1971.
  25. By лих Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М.: Наука, 1965.
  26. Гельфанд И.М. Abstrakte funktionen und lineare Operatoren// Мат. сб. 1938. Т. 46. С. 235−286.
  27. Д.М., Тютин И. Д. Каноническое квантование полей со связями. М.: Наука, 1986.
  28. В.П., Вырождающиеся линейные дифференциальные уравнения. Части 1−4// Дифф. уравнения. 1968. Т. 4, № 9. С. 15 841 597- Т. 4, № 11. С. 1956−1966- 1969. Т. 5, № 3. С. 443−445- Т. 5, № 4. С. 599−611.
  29. С.А. Определяющие граничные условия и вырожденная задача для эллиптических краевых задач с малым параметром при старших производных// Матем. Сб. 2003. Т. 194, № 5. С. 3−30.
  30. В.И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. Киев: Наукова думка, 1984.
  31. И.Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных песамосопряженных операторов, М.: Наука, 1965.
  32. Н., Шварц Д. Теория операторов. Т. 1. М.: УРСС, 2004.
  33. В. П. Вариационная задача для уравнения смешанного типа// Дифф. уравнения. 1977. Т. 13, № 1. С. 44−49.
  34. Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969.
  35. Л. К. Методы слабой сходимости для нелинейных уравнений с частными производными. Новосибирск, 2006.
  36. В. В. К проблеме предельного перехода в дивергентныхнеравномерно эллиптических уравнениях// Функ. ан. и его прил. 2001. Т. 35, № 1. С. 23−39.
  37. В.В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Физматлит, 1993.
  38. В.К., Мельникова И. В. Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Наука, Физматлит, 1995.
  39. В.К., Васин В. В. Танана В.П. Теория нелинейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.
  40. A.M. Вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения// Мат. Сборник. 1960. Т. 50, № 4. С. 443−498.
  41. К. Функциональный анализ. М.: Наука, 1967.
  42. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966.
  43. Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
  44. М.В. О некоторых случаях вырождения уравнения эллиптического типа на границе области// ДАН СССР. 1951. Т. 77, № 2, С. 181−183.
  45. Ф., Хейманс X., Ангенет С., ван Дуйн К., де Пахтер Б. Однонараметрические полугруппы. М.: Мир, 1992.
  46. В. В. Устойчивость периодических траекторий и многочлены Чебышева// Вестн. МГУ Сер. 1. Математика. Механика. 1991, № 5. С. 7−14.
  47. Колмогоров А.Н.О возможности общего определения производной, интеграла и суммирования расходящихся рядов. Избранные труды А. Н. Колмогорова. Т. 1. С. 44−46. М.: Наука, 2004.
  48. А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.
  49. В.Н. Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами и магнитными полями// Матем. Сб. 2003. Т. 194, № 6. С. 87−102.
  50. В.А. Краевые задачи для параболических уравнений в замкнутых областях// Труды Моск. Матем. Об-ва. 1966. Т. 15. С. 400−451.
  51. Л.В., Сакбаев В. Ж. О постановке и корректности задачи Коши для уравнения диффузии с вырожденными разрывными коэффициентами// Журнал Выч. Мат. и Матем. Физ. 2009. Т. 49, № 6. С. 1085−1102.
  52. С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1967.
  53. С.Н. Кружкова. Сб. статей./ Под ред. С. Н. Бахвалова. М.: Физматлит, 2000. С. 14−38- 39−45- 287−316.
  54. С.Н. Лекции по уравнениям с частными производными. М.: МГУ, 1970.
  55. Л.Д. О вариационном методе отыскания обобщенных решений дифференциальных уравнений в функциональных пространствах со степенным весом// Дифф. уравнения. 1983. Т. 19. С. 1723−1740.
  56. С. Топология. Т. 1. М.: Мир, 1966.
  57. O.A. Об уравнениях с малым параметром при старших производных в линейных дифференциальных уравнениях с частными производными// Вестник ЛГУ. 1957. Т. 7, С. 104−120.
  58. O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Физматлит, 1973.
  59. Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970.
  60. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.
  61. Л.А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. М.: Высш. школа, 1982.
  62. В.В., Манъко В. И., Скаржинский В. Д. Неоднозначности вариационного описания классических систем и проблема квантования// Труды ФИАН. 1983. Т. 152. С. 37−89.
  63. И. В. Доклады РАН. 2003.
  64. В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.
  65. В. П. Теорема существования и единственности решения одной граничной задачи для параболического уравнения с особыми точками на границе// Труды МИАН. 1967. Т. 91. С. 47−58.
  66. С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1965.
  67. И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.
  68. С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.
  69. O.A., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Итоги науки. Серия: математика. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1969.
  70. O.A. О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характеристической формой.// Матем. Сб. 1966. Т. 69(111), № 1. С. 111−140.
  71. Ю.Б. Условие непроницаемости точки вырождения одночленного симметрического оператора четного порядка// Матем. Сб. 2003. Т. 194, № 5. С. 109−138.
  72. Ю.Н. Основы квантования вырожденных динамических систем. М: МФТИ, 2004.
  73. Е.Ю. О последовательности мерозначных решений квазилинейного уравнения первого порядка.// Матем. Сб. 1994. Т. 195, № 2. С. 87−106.
  74. С.Е. О вырожденных уравнениях монотонного типа: эффект Лаврентьева и вопросы достижимости// Матем. Сб. 2007. Т. 198, № 10. С. 89−118.
  75. П.И., Саженков С. А. Задача Коши для ультрапараболического уравнения Гратца-Нуссельта// Доклады РАН. 2005. Т. 401, № 4. С. 455−458.
  76. Дж.М. Процесс квантового измерения и наблюдения непрерывных траекторий// Математика. Новое в зарубежной науке. Вып. 42. Квантовые случайные процессы и открытые системы. Сб. статей. М.: Мир. 1988. С. 197−222.
  77. Pud М., Саймон Б. Современные методы математической физики. Т. 1. М.: Мир, 1977.
  78. A.M., Шкаликов A.A. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами// Матем. заметки. 1999. Т. 66, JV2 6. С. 897−912.
  79. В.Ж. О постановке задачи Коши для вырождающегося уравнения Шредингера// Межд. Сборник. Некоторые проблемы современной и прикладной математики. М.: МФТИ, 1999. С. 161— 178.
  80. В. Ж. О свойствах решений задачи Коши для вырождающегося вне отрезка уравнения Шредингера и спектральных аспектах регуляризации// Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. Т. 21. С. 87−113.
  81. В. Ж. О функционалах на решениях задачи Коши для уравнения Шредингера с вырождением на полупрямой// Журнал Выч. Мат. и Матем. Физ. 2004. Т. 44, № 9. С. 1654−1673.
  82. В. Ж. О задаче Коши для уравнения Шредингера с генератором переменного типа// Дифф. Уравнения. 2004. Т. 40, № 2. С. 229−241.
  83. В. Ж. О задаче Коши для уравнения Шредингера с генератором переменного типа// Дифф. Уравнения. 2007. Т. 43, № 8. С. 1127−1143.
  84. В. Ж. О постановке задачи Коши для уравнения Шредингера, вырождающегося на полупространстве// Журнал Выч. Мат. и Матем. Физ. 2002. Т. 42, № 11. С. 1700−1711.
  85. В.Ж. Аппроксимационные и вариационные методырегуляризации некорректных задач// Доклады РАН. 2008. Т. 419, № 2. С. 174−178.
  86. В. Ж. О многозначных отображениях, задаваемых регуляризацией уравнения Шредингера с вырождением// Журнал Выч. Мат. и Матем. Физ. 2006. Т. 46, № 4. С. 682−698.
  87. В. Ж. Спектральные аспекты регуляризации задачи Коши для вырожденного уравнения// Труды Математического института им. В. А. Стеклова. 2008. Т. 261. С. 258−267.
  88. В. Ж. О динамике квантовых состояний, порожденной задачей Коши для уравнения Шредингера с вырождением на полупрямой// Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, № 6. С. 157−174.
  89. Секефалъви-Надъ Б., Фояш С., Гармонический анализ операторов. М.: Мир, 1970.
  90. Л.Н. Обобщенные пространства С.Л. Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных. Ленинградский Гос. Пед. Ин-т им. А. И. Герцена. Ученые Записки. 1958. Т. 197. С. 54−112.
  91. М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966.
  92. О.Г., Хренников А. Ю. Вероятностные модели измерений некоммутирующих и коммутирующих наблюдаемых// Доклады РАН. 2005. Т. 402, № 6. С. 748−753.
  93. М.Ф. Избранные главы нелинейного анализа. М.: Изд. РУДН, 1992.
  94. А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.
  95. Ф., Флаксмайер Ю. О некоторых приложениях теории расширений топологических пространств и теории меры// УМН. 1977. Т. 32, № 5. С. 125−162.
  96. Fichera G. On a unified theory of boundary value problems for elliptic-parabolic equations of second order// Boundary problems in differential equations, The University of Wisconsin Press, Madison, 1960, P. 97−120. Имеется также перевод
  97. Г. К единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений второго порядка // Математика 1963. Т. 164 С. 99−121.
  98. В.М., Савчин В. М., Шорохов С. А. Вариационные принципы для непотенциальных операторов. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. 1992. Т. 40. С. 3−176.
  99. Р. С. Диссипативные операторы и гиперболические системы дифференциальных уравнений в частных производных. Сб. переводов «Математика». Т. 6, № 4. 1962.
  100. М.И. О стохастических уравнениях Ито ивырождающихся эллиптических уравнениях// Изв. АН СССР, сер. Мат. 1962. Т. 26. С. 653−676.
  101. М.И. Марковские процессы и дифференциальные уравнения. Теория вероятности и математическая статистика. Теоретическая кибернетика. Итоги науки. М.: ВИНИТИ. 1967. С. 7−58.
  102. М.И. Диффузионные процессы и малый параметр в эллиптических уравнениях с разрывными коэффициентами// Изв. АН СССР, сер. Мат. 1965. Т. 29. С. 1005−1036.
  103. Г. Расходящиеся ряды. М.: ИИЛ, 1951.
  104. A.C. Вероятностные и статистические аспекты квантовой механики. Москва-Ижевск, 2003.
  105. Г. Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний струны// Дифф. уравнения. 2001. Т. 37, № 12. С. 16 551 663.
  106. Р. В. Пространства начальных данных для параболических функционально-дифференциальных уравнений// Матем. заметки. 2002. Т. 71, № 4. С. 636−640.
  107. Эванс J1.К. Методы слабой сходимости для нелинейных уравнений с частными производными. Новосибирск. 2006.
  108. Г. Н. Об одной вариационной задаче// Дифф. уравнения. 1969. Т. 5, № 7. С. 1303−1312.
  109. Г. Н. Дифференциальные свойства экстремалей квадратичных функционалов с разрывными коэффициентами// Дифф. уравнения. 1971. Т. 7, № 7. С. 1741−1749.
  110. Accardi L., Lu Y.G., Volovich I. V. Quantum theory and its stochastic limit. Springer, Texts and monographs in physics, 2001.
  111. Alicki R. Quantum dynamical semigroups and applications. Springer Lect. Notes Phys. Vol. 286 (Springer, 1987).
  112. Brooks J.K., Dinculeanu N. Lebesgue type spaces for vector integre-tion, linear operators, weak completeness and weak compactness// J. Math. Anal. Appl. 1976. V. 54, N 2. P. 348−389.
  113. Dautray R.- Lions J.-L. Mathematical analysis and numerical methods for science and technology. M. 5. Evolution problems 1. SpringerVerlag, 1992.
  114. Dell Antonio G.F. On the limits of sequences of normal states// Comm. Pure Appl. Math., 1967, v. 20, p. 413−429.
  115. Dinculeanu N. Vector integration and stochastic integration in Banach spaces. Pure and Appl. Math., New-York, 2000.
  116. Gadella M., Kuru S., Negro J. Self-adjoint Hamiltonians with a mass jump: General matching conditions// Phys. Letters A. 2007. V. 362. P. 265−268.
  117. Gerard P. Microlocal defect measures// Comm. Part. Diff. Eq., 1991. V. 16, N 11. P. 1761−1794.
  118. Hewitt E., Iosida K. Finitely additive measures// Trans. Amer. Math. Soc. 1952. V. 72. P. 46−66.
  119. Foias C. Statistical study of Navier-Stokes equations// Part I, II, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1972. V. 48. P. 219−348- V. 49. P. 9−123.
  120. Karasev M. V. Magneto-metric Hamiltonians on quantum surface in the configuration space// Russ. J. Math. Phys. V. 14, N 1. P. 57−65.
  121. Pavlotsky I.P., Strianese M. Irreversibility in classical mechanics as a consequence of Poincare group// International J. of Mod. Phys. B. 1996. V. 10, N. 21 P. 2675−2685.
  122. Safonov M. V. Nonuniqueness for second-order elliptic equations with measurable coefficients// SIAM J. Math. Anal. 1967. V. 30, N 4. P. 879−895.
  123. Srinivas M.D. Collapse postulate for observables with continuous spectra// Comm. Math. Phys. 1980. V. 71, N 2. P. 131−158.
  124. Tartar L. H-measures, a new approach for studying homogenization, ascillation and concentration effects in partial differential equations// The Roy. Soc. of Edinburgh. Proceedings, Sect. A (Math.) 1990. V. 115. N ¾. P. 193−230.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!