Настоящая диссертационная работа посвящена изучению случайных процессов, параметризуемых полем р-адических чисел.
Qр
Начало неархимедовой физики было положено в 1984 году в статье B.C. Владимирова и В. И. Воловича [1] В последнее время, получила развитие р-адическая математическая физика [2]-[6]. Основные результаты этого направления изложены в монографиях [5], [7].
В рамках этой деятельности была поставлена задача построения аналога одного из фундаментальных объектов теории случайных процессов — броуновского движения. Случайные процессы принимающие р-адические значения исследовались А. Ю. Хренниковым [8]. Широкий класс случайных процессов с вещественным временем и р-адической координатой рассматривались А. Н. Кочубеем [9] р-Адическое броуновское движение в данной работе получается как решение стохастического уравнения с оператором Владимирова [6]. Такой подход к решению задачи естественным образом ставит вопрос о введение р-адического аналога «белого шума» .
Теория броуновского движения всегда была тесно связана с приложениями. В настоящей диссертации предложена теория релаксации в спин-стекольных средах, в основе которой лежит р-адическая теория случайных процессов.
Результаты полученные в диссертации, можно разбить на две основных части:
Математическая, в которой получен новый случайный процесс «р-адическое броуновское движение». Исследованы его свойства, и также получены его обобщения на двумерный случай «р-адический броуновский лист» и «р-адическое броуновское движение Леви». Использованные методы являются распространением на р-адический случай подходов разработанных в работах О. Г. Смолянова [10] и Т. Хиды [11].
Физическая, в которой развитый стохастический анализ над полем р-адических чисел используется для построения процесса старения", то есть релаксации, в таких системах как спиновые стекла.
Актуальность темы
Начало неархимедовой математической физики было положено в статье В. С. Владимирова и И. В. Воловича [1]. Наиболее полное изложение физических мотивировок неархимедовости пространства-времени в микромире (на малых планковских растояниях порядка 10~33сж) содержится в работе И. В. Воловича [2]. В этой же работе выдвинут прицип инвариантности фундаментальных физических теорий относительно замены числового поля. Гипотеза о р-адической структуре пространства-времени и теория р-адических струн предложены Воловичем в [12].
Применение ультрометричности в физике твердого тела обсуждалось Мезардом, Паризи, Раммалем, Сурласом, Тулузом и Вирасоро [13], [14]. р-Адическому анализу посвящены работы [15]—[21]. Обсуждение возможной роли теории чисел в физике можно найти в работах Ю. М. Манина [22],[23].
Теория обобщенных функций над произвольной локально компактной группой была развита в работе Брюа [35] и над локально компактным несвязным полем И. М. Гельфандом, М. И. Граевым и И.И. Пятецким-Шапиро [18]. Теория свертки и произведения обобщенных функций, использующая преобразование Фурье, была впервые развита B.C. Владимировым [6], многомерный случай расмотрен B.C. Владимировым и И. В. Воловичем [25].
Понятие псевдодифференциального оператора на пространстве Q™ было введено в работе B.C. Владимирова [37].
Нелокальный оператор дробного дифференцирования и интегрирования Da был определен и изучен B.C. Владимировым [6]. Этот оператор играет важную роль в данной работе.
Спектральная теория оператора Da, а > 0, действующего на Qp, была построена B.C. Владимировым [38], при этом был найден явный вид собственных функций [39].
Формализм р-адической квантовой механики, был предложен B.C. Владимировым и И. В. Воловичем [40],[3]. Этот формализм возник как квантование р-адической классической механики. Немного отличающейся от этого подход рассматривался Фройндом и Олсоном [41]. Вместо динамического оператора в этом подходе используется унитарное представление коммутативной группы, что дает возможность его применения только для квадратичных гамильтонианов. Различные возможности построения р-адической квантовой механики рассматривал Па-ризи [42]. Представление коммутационных соотношений и другие аспекты р-адической квантовой теории исследовались Е. И. Зеленовым [46], [47]. Лагранжев формализм и фейнмановские интегралы по траекториям коротко обсуждались [3], впоследствии этот подход развивался в [49] [24]. Адельная квантовая механика разрабатывается Б. Драговичем, Г. Джорджевичем [33],[34]. Другая возможность построения р-адической квантовой механики, основанная на р-адичнозначных амплитудах, также отмечалась в [3]. В работах А. Ю. Хренникова [4],[43],[44], [7] был развит общий подход к квантовой механике с р-адичнозначными функциями, основанный на теории гауссовых распределений. Применения р-адического анализа к вопросам квантовой теории поля рассматривались в работах М. Д. Миссарова [27],[28],[29],[30], Э. Ю. Лернера, М. Д. Миссарова [26], а также в работах В. А. Смирнова [36],[31],[32] и других авторов. Различные подходы к квантовой механике эквивалентны в случае поля вещественных чисел, в случае поля р-адических чисел в настоящий момент связь между различными подходами требует дополнительных исследований.
Значительные усилия были направлены на изучения спектральной теории в р-адической квантовой механике. Оказалось, что для весьма простых систем (р-адический квантовый осци-лятор), имеются в наличие достаточно богатые спектры. Спектральная теория для р-адической квантовой механики была построена B.C. Владимировым, И. В. Воловичем и Е. И. Зеленовым [39].
Иследование р-адических систем Вейля в конечномерном и бесконечномерном случаях, изучение когерентных состояний и собственных функций в случае р = 3(mod4) были проведены Е. И. Зеленовым [45],[46].
Формулировка р-адической теории струн с р-адичнозначными и комплекснозначными амплитудами как свертки характеров была предложена И. В. Воловичем [2], [12],[48]. Фройнд и Ол-сон [50] внесли существенный вклад в эту теорию, рассмотрев р-адические-функции в качестве струнных амплитуд. Связь р-адической теории струн с гипотезой Вейля в теории чисел обсуждалась Гроссманом [51]. Идея адельного подхода выдвинута Ю. М. Маниным [23]. Важная адельная формула была отмечена Фройндом и Виттеном [52] и И. В. Воловичем [53]. Проблема регуляризации этой формулы была решена в работах B.C. Владимирова [55],[56]. Альтернативная адельная формула была рассмотрена И. Я. Арефьевой, Б. Драговичем и И. В. Воловичем [54]. Обоснование адельных формул и адельные формулы для струнных амплитуд над полями алгебраических чисел построены в работах B.C. Владимирова [56],[55],[57]. Многопетлевые вычесления в теории р-адических струн рассмотрены в [58].
В многочисленных современных работах идет попытка построения совершенно новой физики, возникающей в системах, известных под названием спиновых стекол.
Одним из общих свойств спин-стекольных систем является исключительно медленная релаксация. Среди различных феноменологических описаний эффектов старения выделяется описание основанное на концепции «иерархической диффузии» [89].
Цель работы. Получение и изучение свойств Гауссовских случайных процессов, параметризуемых полем р-адических чисел построенных как обобщенные решения стохастических псевдодифференциальных уравнений с оператором Владимирова и его двумерными обобщениями.
Построение феноменологического описания аномально медленной релаксации в спин-стекольных системах, при помощи модели иерархического случайного блуждания.
Методика исследований. Используются методы функционального анализа, теории случйных процессов и р-адического анализа.
Научная новизна. 1. Построен случайный процесс «р-адическое броуновское движение» и изучены его свойства.
2. Иследованы свойства обобщенных решений стохастических псевдодифференциальных уравнений с оператором Владимирова и его обобщениями. Изучены р-адические аналоги уравнений математической физики, таких как волновое уравнение и уравнение Лапласа. Построены случайные поля, аналоги броуновского листа и броуновского движения Леви, как соответствующие решения этих стохастических уравнений.
3. Исследованы свойства двумерного ковариационного оператора свободного скалярного поля. Доказан р-адический аналог теоремы Шенберга-Шварца.
4. Построена новая теория аномально медленной логарифмической релаксации спин-стекольной системы, основанной на концепции р-адического случайного блуждания.
Теоретическая и практическая ценность. Настоящая диссертационная работа носит теоретический характер. Возможно использование изложенных результатов в теории случайных процессов и в теории стохастических псевдодифференциальных уравнений над полем р-адических чисел, а также в моделировании случайных процессов в средах с иерархической структурой.
Содержание работы. В настоящей диссертационной работе исследуются вопросы теории случайных процессов и стохастических псевдодифференциальных уравнений над полем р-адических чисел. Полученные результаты применяются для построения теории релаксации спин-стекольной системы.
В первой главе проводится построение и исследование р-адического аналога броуновского движения. Рассматривается случайный процесс, который принимает вещественные (или комплексные) значения и зависит от р-адического аргумента, в рамках стандартной аксиоматики теории вероятностей Колмогорова [60], [61].
Символически р-адический Винеровский процесс с показателем, а может быть определен как решение Ф следующего стохастического дифференциального уравнения.
ВаФ = Ф, где О" оператор Владимирова [6]. Здесь Ф — р-адический белый шум.
Во втором разделе первой главы аксиоматически определяется р-адическое броуновское движение на и доказывается его существование (теорема 6), показывается, что построенное р-адическое броуновское движение удовлетворяет этому стохастическому уравнению (теорема 4). В конце этого раздела изучаются свойства траекторий р-адического Винеровского процесса, и устанавливается аналог их непрерывности по Гельдеру (теорема 7).
В третьем разделе доказывается аналог теоремы Шенберга-Шварца (теорема 1).
В четвертом разделе этой главы будет получен р-адический случайный процесс на 0) р, как решение псевдодифференциального стохастического уравнения с оператором Владимирова для, а > ½. В частности для, а = 1 получается р-адическое броуновское движение на.
В конце этой главы, в пятом разделе, рассматривается дробное р-адическое броуновское движение на Ър, как решение псевдодифференциального стохастического уравнения с оператором Владимирова для ½ < а < 1 и затем доказывается существование р-адического обобщенного случайного процесса для, а = ½ (теорема 3). Этот обобщенный процесс будет играть основную роль в построение феноменологической динамики спин-стекольного состояния в третьей главе.
Во второй главе исследуются случайные поля как решения стохастических обобщенных псевдодифференциальных уравнений, являющихся р-адическими аналогами уравнений математической физики, таких как волновое уравнение и уравнение Лапласа. Роль оператора дифференцирования играют соответствующие двумерные обобщения псевдодифференциального оператора Владимирова [6].
Во втором разделе этой главы для псевдодифференциального оператора, р-адического аналога оператора гиперболического типа, рассмотрена задача Гурса и показано, что ее решением будет р-адический аналог броуновского листа. В третем разделе для аналога оператора Лапласа с нулевым граничным условием в точке (0, 0) найдено решение, которое мы назовем р-адическим броуновским движением Леви. Отметим, что случаи р = 1(плос14) и р = 3(тос14) требуют различного рассмотрения. Только при р = 3(тос14) мы получим естественный аналог оператора Лапласа.
Основное содержание главы можно охарактеризовать как исследование граничных задач для обобщенных стохастических псевдодифференциальных уравнений вида.
АФ = Ф где Ф — р-адический белый шум.
Четвертый раздел посвящен изучению свойств двумерного ковариационного оператора свободного скалярного поля р-адического аргумента, который был предложен в работе B.C. Владимирова и И. В. Воловича [40]. В частности в этом разделе вычислены оценки снизу и сверху, получены асимптотики при стремлении аргумента ковариационной функции к нулю и к бесконечности и доказана ее положительная определенность.
И наконец в третьей главе развитая в предыдущих главах р-адическая теория случайных процессов применяется к описанию динамики в системах известных под названием спиновые стекла. Одним из универсальных свойств стекольных систем является наличие аномально медленной логарифмической по времени релаксации [80],[81],[82],[84]. Логарифмическая релаксация связана с неэкспоненциальной кинетикой, наблюдающейся для реакций распада в полимерных средах, молекулярных стеклах и биополимерных системах. А именно, концентрация реагента п в некоторых случаях зависит от времени в форме закона Кольрауша n (t) = ще~(т) } о < а < 1.
Отметим, что в работах, посвященных этому вопросу, исследуются, как правило «иерархические диффузионные модели» [89]. Грубо модель состоит в следующем. Во-первых, считается, что ландшафт свободной энергии состоит из иерархически гнездящихся долин, которые обычно описываются в терминах определенной древообразной структуры. Затем вводится релаксационная динамика, которая описывает диффузионный перенос между различными долинами, возникающий из-за тепловых перескоков через барьеры.
В этой главе рассматривается другая концепция, а именно: в спин-стекольных системах переходы из одного состояния другое затруднены по той причине, что каждая частица взаимодействует со многими другими. Переход например одного спина в низкоэнергетическое состояние затрагивает много спинов системы и оказывается возможным лишь при соответствующих переходах многих других спинов. Таким образом, если следить за случайным движением одного спина, то он почти всегда находится в состоянии покоя. Такое случайное движение моделируется суммой бесконечного числа независимых р-адических случайных процессов. Особую важную роль предложенной теории играет построенный в пятом разделе первой главы обобщенный дробный р-адический случайный процесс с, а =.
Основные результаты диссертации опубликованы в [66], [67], [68], [69]. Работы докладывались на семинарах отдела математической физики МИ АН, в отделе строения вещества ИХФРАН, на международной конференции по р-адическому функциональному анализу в Неймегене (Голандия) в 1997 году. Благодарности.
Автор выражает глубокую благодарность академику B.C. Владимирову заведующему отделом математической физики МИ-АН, где была выполнена работа за неоднократные обсуждения и поддержку. Автор благодарит Ю. Н. Дрожжинова, Б. И. Завьялова, В. В. Жаринова, A.B. Воронина за многочисленные консультации, Е. И. Зеленова за конструктивные обсуждения и за ряд ценных предложений и всех сотрудников отдела математической физики за внимание и поддержку. Также автор весьма признателен В. А. Аветисову и C.B. Козыреву за плодотворное сотрудничество.
Автор особо благодарен научному руководителю И.В. Воло-вичу за руководство работой.
Необходимые сведения из р-адического анализа.
В этом разделе вводятся обозначения и приводятся некоторые используемые в даьнейшем сведения из р-адического анализа см. [5].
Поле р-адических чисел. Пусть Qполе рациональных чисел. Абсолютное значение любого х (Е Q удовлетворяет следующим свойствам:
1) х > 0, причем х = О <Ф4> х — О,.
2) ху = х\у, ye Q,.
3) х + у < х + у, yeQ.
Любая вещественнозначная функция со свойствами (1)-(3) называется нормой на Qp.
Пусть теперь р-простое число, р = 2,3, 5,. В поле Q введем норму хр по правилу.
ЩР = 0, хР=р1, где целое число 7 определяется из представления.
X = р1— 771, n, j Е? п и целые числа т, п не делятся на р. Норма хр называется радической нормой.
Норма хр обладает характерными свойствами (1)-(3) нормы даже в более сильной форме, а именно,.
1') хр > 0 причем хр = О х = О,.
2) l^ylp —.
3') х + ур < тах (|ж|р|у|р). Эта норма определяет ультраметрику на Q (из-за неравенства (3')). Норма хр — неархимедова. Действительно, пхр < хр для любого n ?
Имеет место следующая теорема.
Теорема Островского. Нормы и хр, р = 2,3,., исчерпывают все нетривиальные неэквивалентные нормы поля рациональных чисел Q.
Пополнение поля рациональных чисел Q по р-адической норме образует поле Qp р-адических чисел.
Любое р-адическое число х ф 0 однозначно представляется в каноническом виде х — р1(х0 + xip + х2р2 + .), где 7 = 7(ж) Е Z и Xj — целые числа такие, что 0 < Xj < р — 1, xq > 0 (j = 0,1,.). Этот ряд сходится по р-адической норме, поскольку общий член его имеет оценку.
Ip^Xjtflp < р" 1'3. р-Адическая норма индуцирует метрику в Qp р (х, у) = хур.
При этом Qp становится полным метрическим пространством.
Обозначим.
В у (а) — [х G Qp: х — ар < р7] -диск с центром в точке, а Е Qp радиуса р7;
57(а) = [х е Qp: х — ар = р7].
— окружность с центром в точке a? Qp радиуса р1.
Геометрия пространства Qp весьма необычна: все треугольники в нем равнобедренныевсякая точка диска является его центром, диск не имеет границ, диск есть объеденение конечного числа непересекающихся дисков меньшего радиусаесли два диска пересекаются, то один из них содержится в другомдиск есть открытый компакт.
В основном рассматриваются два типа анализа: один — в котором изучаются функции типа /: Qp —> Qp, и другой — в котором изучаются комплекснозначные функции /: Qp —> С, который и используется в данной работе.
Для функций вида /: Qp —> С имеется естественный аналог интеграла Лебега, поскольку на Qp, как и на любой локально компактной группе, есть мера Хаара.
Аналитические функции. Пусть б — открытое множество в Qp. Функция /: бл Qp называется аналитической в если для любой точки, а Е б существует 7 G Z, такое что в диске В1{а) она представляется сходящимся степенным рядом оо f{x) = J2ck{x~a)k. к=о.
Ряд сходится тогда, и только тогда, когда сходится ряд Ы р*> к=О и его можно почленно дифференцировать в В^(а) бесконечное число раз п) X.
У] к (к — 1).(к — п + 1) ск (х — а) к=п к—п п = 1,2,., причем.
Ск fW к '.
А: = 0,1,.,.
Мера Хаара. Поскольку поле (}р образует локально компактную коммутативную группу по сложению, то в (Ц)р существует мера Хаара — положительная мера с/ж, инвариантная относительно сдвигов, ¿-{х + а) = ¿-х. Условимся нормировать меру с1х так, чтобы.
I с1х = 1. Ир<1.
При таком соглашении мера <1х единственна.
Пусть 1 < д < оо. Множество функций /: М С Ор —> С, для которых.
11/11, = fi (x)4x Ш ОО, обозначим через ЬЧ (М). Если б — открытое множество в (Ц)р, то множество функций /: б —С, для которых для любого компакта К С б / Е ЬЧ (К) обозначим через Ьд1ос (&) — локально интегрируемые функции в б.
Формула замены переменных вводится следующим образом. Если х = х{у) — аналитический диффеоморфизм открыто-замкнутого множества М' С на М С <0>р, причем х'(у) ^ 0,1/ е М', то для любой / Е Ьг (М) справедлива формула.
I ?(х)(1х= I ?{х (у))ху)р (1у. м м'.
Пространство = (])р х х. х Ор (и раз) состоит из точек х = {х, ж2, •••, хп), хз? (])р, ] = 1, 2,., п, снабженных нормой х тах х.
1 <�э<�п з р
Эта норма обладает свойствами (1') —(3'), так, что пространство ультраметрическое (неархимедово). Скалярное произведение.
Гр х, у) = Х1У1 +Х2У2 + ••• + хпуп, х, у? удовлетворяет неравенству х, у) р<�хрур, х, у?®%.
Меру Хаара на (Ц)" обозначаем с1пх = йхйх2.-^хп = с/ж,.
Г (х + а) = с/пх, а е <0?, (Г{Ах) = | det Ар<�Гх, где х —> Ах — линейный изоморфизм (Ц)" на О&trade-, с1е1 А ф 0. Пространства функций Ьд (М) и Ь1ОС (0), С определяются аналогично случаю п — 1.
Теорема Фубини. Если функция /: 0) р+т —У С такова, что повторный интеграл у)<�Гу сГх существует, то / € Ь1^&trade-*&trade-) и справедливы равенства.
1(х, у) с1ту.
Гх = / Нх, у)<�Гх (Гу х, у)(Рх ту.
Если х = х{у) — аналитический диффеоморфизм открыто-замкнутого множества М' С О&trade-, причем дхк’фй, уем1, ду V дУз то для любой /? ЬМ) справедливо равенство.
Г !{х)<�Гх= [ Нх (у))йеьЩ&р (Гу. м м' ду обозначает:
I) носитель Бирр (/?п С К С б, причем компакт К не зависит от п;
II) существует т? не зависящее ни от п ни от х, такое, что рп (х + х') = <�рп (х), х' е в* х е К (ш).
Обобщенной функцией в б называется всякий линейный непрерывный функционал /: (р —> (Л V9) на 9{б). Множество всех обобщенных функций в б обозначим Я1'(б) — пространство всех обобщенных функций в (Ц^ обозначается = ^'(О^). Сходимость в О)' определяется следующим образом: fk —> 0 к оо е & определяется как слабая сходимость функционалов из то-есть о, к —>¦ сю, ре®-.
Всякий линейный на @ функционал / непрерывен на то-есть / е.
Обобщенная функция / из & обращается в нуль в открытом множестве б С <0?™, если (/, ф) = 0, 6 при этом пишем ж) = 0, ж? б. Обобщенные функции / и д из О)' совпадают (равны) в б б / = д в б, если /(ж) — д (х) = 0, х е б.
Множество обобщенных функций с компактным носителем обозначим через ?" - сопряженное пространство к <�§. Если / е Цос (б), то / € причем.
Обобщенные функции такого типа называются регулярными в бостальные обобщенные функции называются сингулярными.
Прямое произведение / X д обобщенных функций /? 01 € Ор и д Е е определяется формулой X д (у),<�р) = (/(х)Ш), Ф, у))) Ч> е х.
Прямое произведение коммутативно.
Свертка f * д обобщенных функций /? supp/? В% и д? определяется равенством f*g,.
Преобразование Фурье / —v / есть линейный изоморфизм & на & и справедлива формула обращения f = F~1[f] = F[h где f (x) = f (-x). Если /? L1, то = I f (x)X ((k, x))dnx, 16 причем / непрерывна в и /(к) -> 0, кр —>¦ оо (аналог теоремы Римана-Лебега).
Пусть /, д? О)'. Свертка / * д существует тогда и только тогда, когда существует произведение / • д и справедливы равенства.
1*9 = 1−9, I ¦9 = 1*9-Оператор Владимирова Обобщенная функция fa (х) X la—1.
Гр (а) '.
Гр (а).
1 — р а~1.
1 +Р~ голоморфна по, а всюду за исключением простых полюсов 1 Л-сик-, аь — г2&7г/1пр, к Е Ъ с вычетом (1 — р)/(рпр), причем /ак = 6 и, а * //? = /а+р, а Ф 1 + <Хк, Р Ф 1 + а + Р Ф 1 + оц, к, з, г е Ъ.
Пусть, а Е К, а у^ — 1 и /? таковы, что свертка /а * / существует в Оператор = /а * / называется оператором Владимирова. При, а > 0 он является оператором дробного дифференцирования порядка а, а при, а < 0 — оператором дробного интегрирования порядка —апри, а — О И0/ = 6 * / = / -тождественный оператор.
Например, если ск = 1и (/?&euro-^, то ад M р (х) р +1 к — 2/1 dy= kp.
Таким образом, оператор И — гиперсингулярный псевдодифференциальный оператор с символом кр.
Пусть, а = 1. Рассмотрим локально-интегрируемую в (0>р функцию.
1 -.р" 1 iW.
1 In i p. mp.
Она обладает следующими свойствами: fa (x)ip (x)dx—у / fi (x)(p (x)dx, о- —)• 1, если Lp G @ удовлетворяет условию.
J (p{x)dx — 0- а также fl*fa = fl—ai а>1.
Введем оператор интегрирования порядка 1, соответствующий значению а. — — 1,.
D~xf = Л * /, /е^', если свертка /i * / существует. Тогда.
D~af ZT1/, в если / G <�§' и lim [ f (x)nndx = 0. (3) п—>-оо J.
Резюмируя, получим следующие свойства оператора Владимирова Da, aGl:
DaD?f = Da+?f = D? Daf, f (4) если (а, а + /?) ф (-1,-1,-1), или, а < 0,? = —1, или, а = — l,? < 0- если / удовлетворяет условию (3), то равенства (4) справедливы при всех вещественных, а и /3, и Da/ непрерывно зависит от, а в Например, а G Е, а G Qp, а ^ 0.
Заключение
.
В заключении перечислим еще раз основные результаты, полученные в диссертации.
1. Построен случайный процесс «р-адическое броуновское движение» и изучены его свойства.
2. Иследованы свойства обобщенных решений стохастических псевдодифференциальных уравнений с оператором Владимирова и его обобщениями. Изучены р-адические аналоги уравнений математической физики, таких как волновое уравнение и уравнение Лапласа. Построены случайные поля, аналоги броуновского листа и броуновского движения Леей, как соответствующие решения этих стохастических уравнений.
3. Исследованы свойства двумерного ковариационного оператора свободного скалярного поля. Доказан р-адический аналог теоремы Шенберга-Шварца.
4. Построена новая теория аномально медленной логарифмической релаксации спин-стекольной системы, основанной на концепции р-адического случайного блуждания.