В процессе своей деятельности исследователю приходится заниматься изучением сложных систем, к которым можно отнести системы из самых разных областей естествознания и техники. Изучение подобных систем требует привлечения больших материальных ресурсов, которые не всегда оказываются доступными. Стремление решить исходную задачу требует ее упрощения. Такое упрощение может быть достигнуто в том случае, когда удается пренебречь отдельными свойствами системы, несущественными на том или ином этапе изучения этой системы. Свойства упрощенной системы полностью не воспроизводят свойства исходной системы. Однако достойных альтернатив методам изучения сложных систем, связанных с упрощением исходной постановки задачи, нет, и поэтому такие методы широко применяются в практической деятельности.
Технология изучения сложной системы, связанная с ее упрощением и изменением части свойств называется моделированием, упрощенная система называется моделью [6,58,61,71,97]. Качество принимаемых при упрощении сложной системы допущений и их количество может быть самым разнообразным, а потому и количество моделей системы, вообще говоря, может быть каким угодно. Модели, применяемые в технике, могут быть аналогового типа (основаны на физическом подобии), либо абстрактные. Абстрактные модели — это модели, которые построены средствами мышления, сознания. Из всей совокупности абстрактных моделей наиболее формализованными являются математические модели, в которых объект или его функционирование представляются, как правило, с использованием математических соотношений.
Математическое моделирование сложных систем может осуществляться с различной степенью детализации и точности. Это может быть обусловлено совокупностью требований, предъявляемых к разрабатываемым моделям, а также способам получения этих моделей. На практике находят применение табличные, аналитические, феноменологические и фундаментальные модели.
Табличные модели — это наиболее простые в построении модели, которые могут характеризоваться конечной совокупностью элементов системы и которые можно разместить по какой-либо иерархической схеме (структуре). Табличные модели можно относить к математическим моделям по той причине, что эффективная работа с таблицами может осуществляться при использовании математического аппарата (например, применением алгоритмов интерполяции, численного дифференцирования и интегрирования и пр.). Произвольный элемент таблицы может характеризоваться совокупностью количественных и (или) логических (качественных) параметров. Причем размерность таблицы определяется не обязательно количеством параметров, характеризующих каждый элемент системы.
Аналитические модели — это модели поведения сложной системы (или технического объекта), записанные в виде алгебраических уравнений либо совокупности алгебраических и логических уравнений. Такие модели не требуют применения сложной вычислительной техники, но в то же время, не обладают универсальностью и могут быть применены лишь в жестко ограниченных диапазонах изменения значимых параметров.
Феноменологические модели — это более сложные модели, решение которых может оказаться затруднительным без применения вычислительной техники. Феноменологические модели — это приближенные модели, в которых отдельные микроскопические или мелкомасштабные процессы и объекты представляются совокупностью макроскопических процессов.
Фундаментальные модели — это модели, в которых изучаемая система (объект, явление) рассматриваются в максимально возможной по учету деталей постановке. Изучение свойств подобных моделей представляется наиболее трудоемким, а потому в настоящее время можно привести лишь незначительное количество задач, решаемых в такой постановке.
Применяемые в настоящее время комплексные математические модели, описывающие сложные технические объекты или (и) процессы их функционирования, содержат в той или иной степени все группы математических моделей — табличные, аналитические, феноменологические и фундаментальные. Основной критерий использования того или иного варианта модели обусловлен материальными средствами, необходимыми для изучения технического объекта методами математического моделирования. Тенденции развития математического моделирования состоят в постепенном переходе от относительно простых моделей к все более сложным. Стимулирующим воздействием при этом является стремительное развитие вычислительной техники.
Современная вычислительная техника и перспективы ее дальнейшего развития позволяют уже сейчас вести разработку математических моделей на уровне, именуемом численным или вычислительным экспериментом [11,12,79,82,111,113]. Основными чертами, соответствующими технологии вычислительного эксперимента, являются, в частности, системный подход (предполагает взаимосвязанность всех этапов решения задач, включая моделирование, алгоритмизацию, программирование и проведение расчетов на ЭВМ), возможность гибкого изменения физической постановки отдельных блоков решаемой задачи с целью выяснения характера протекающих физических процессов и др.
По мере развития мощности электронно-вычислительных машин роль вычислительного эксперимента постоянно возрастает, и это обусловлено следующими факторами:
— снижающаяся коммерческая стоимость эксплуатации ЭВМ позволяет существенно сократить объемы дорогостоящего натурного моделирования за счет увеличения объемов численного моделирования;
— с использованием вычислительного эксперимента удается получить результаты, получение которых трудоемко либо вообще невозможно при натурном моделировании;
— вычислительный эксперимент предоставляет возможность установления физических закономерностей в исследуемых сложных явлениях.
В дальнейшем изложении ограничимся рассмотрением подходов, используемых, в основном, при разработке математических моделей для твердотопливных ракетных двигательных установок (ТРДУ).
В создании современной теории и математических моделей для ТРДУ существен вклад таких ученых (а также их научных школ) как Лагутин Б. Н. [74], Федосов Е. А., Лавров Л. Н. [49], Соколовский М. И. [49,102], Петренко В. И. [77,102], Феофилактов В. И., Бобылев В. М. [1,15], Присняков В. Ф. [72] и др.
Отдельные из перечисленных выше технических и научных проблем изложены в научно-технических статьях, научных монографиях и в учебниках. В частности, вопросы, связанные с разработкой схем регулирования и конструкций ТРДУ, имеются в работах [1,21,22,28,33,38,40,46,6467,77,102,104,105,115]. Вопросы, связанные с рабочими процессами в ТРДУ и их математическими моделями излагаются, например, в работах [3,4,18,19,24,39−47,53,56,75,92,93,103,113,116−118]. Вопросы, связанные с моделированием и исследованием процессов в ТРДУ являются темами традиционных международных и Российских конференций, происходящих на отраслевых предприятиях, в академических институтах и в учебных заведениях (в частности, [20,60,62,73,85−90,96,98−101,107,123]).
При разработке методов идентификации математических моделей по результатам экспериментальных исследований используются современные подходы и методы, развитые в работах [10,27,31,343 7,48,52,70,106,108,112,114,119,120].
Актуальность темы
диссертационной работы. Современные регулируемые двигательные установки (ДУ), используемые в составе летательных аппаратов, — это сложные технические устройства, экспериментальная отработка которых требует значительных материальных затрат. Актуальным является в максимальной степени замена части экспериментальной отработки ДУ на проведение проектных исследований с использованием технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента. Достоинством технологии математического моделирования является возможность проведения анализа функционирования проектируемого объекта в широком спектре варьируемых конструктивных параметров, что позволяет уже на первых этапах проектирования установить их оптимальный набор.
Моделирование работы регулируемой двигательной установки на твердом ракетном топливе (в дальнейшем — ТРДУ) предполагает описание нескольких одновременно протекающих процессов. Это процессы, сопровождающие работу воспламенительного устройства, зажигание твердого топлива, разгар топливного заряда, термогазодинамические и тепловые процессы, обусловленные горением твердого топлива и истечением продуктов его сгорания из камеры двигателя, процессы регулирования параметров ТРДУ. Математические модели перечисленных процессов могут быть построены с использованием фундаментальных законов механики и представлены в виде систем уравнений в частных производных. Однако применение подобных моделей на практике оказывается неприемлемым, что обусловлено их повышенными требованиями к ресурсам (память, быстродействие), используемой вычислительной техники в том числе, и бортовых ЭВМ. В связи с этим представляется актуальным представление отдельных элементов математической модели работы ТРДУ в виде относительно простых зависимостей, записываемых как системы линейных или нелинейных алгебраических уравнений, как системы обыкновенных дифференциальных уравнений и т. п. Для получения подобных представлений элементов математических моделей корректным представляется применение методов идентификации, опирающихся на надежные экспериментальные результаты.
Актуальным также представляется анализ возможности применения разработанных математических моделей для исследования влияния различных конструктивных факторов на качество работы ТРДУ.
Цель работы состоит в создании эффективных методов и алгоритмов формализации процессов функционирования ТРДУ и его элементов на основе данных натурного эксперимента, а также обоснование применения полученных математических зависимостей в комплексной математической модели функционирования ТРДУ, что позволяет повысить качество проектирования ТРДУ при значительном сокращении материальных затрат, связанных с экспериментальной отработкой подобных двигателей.
Для достижения цели требуется решить следующие задачи:
— установить состав математических моделей, запись которых целесообразно выполнять с использованием натурного эксперимента;
— сформулировать математические методы, обеспечивающие идентификацию моделей с использованием результатов натурного эксперимента, и обосновать их выбор;
— разработать алгоритмы и программные продукты, реализующие методику идентификации математических моделей;
— апробировать разработанные подходы и методики для анализа качества функционирования ТРДУ.
Объектом исследования являются динамические процессы, сопровождающие работу ТРДУ от момента ее включения до завершения работы.
Предметом исследования являются математические методы идентификации моделей функционирования ТРДУ и ее элементов с использованием результатов натурных экспериментов, а также апробация созданных математических моделей при анализе качества функционирования ТРДУ.
Методы исследования. При решении задач идентификации используются апробированные математические методы. Методы восстановления функций, заданных таблично (численное интерполирование и численное дифференцирование), используются при формализации связи рулевой машины ТРДУ с расходными характеристиками сопловых блоков, а также при формализации законов изменения поверхности горения твердого топлива как функции сгоревшего свода. При установлении законов регулирования и законов нестационарного горения топлива используются основные положения теории математического программирования и методы оптимизации. При формализации влияния воздействия случайных факторов на параметры функционирования ТРДУ используются элементы теории вероятности и математической статистики.
Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается сравнением расчетов с результатами натурных исследований. Для решения сформулированных задач используются надежные, апробированные вычислительные методы.
На защиту выносятся:
— методики аппроксимации экспериментальных табличных зависимостей, связывающие расходные характеристики ТРДУ с площадью минимального сечения соплового блока, а также табличных зависимостей, описывающих изменение поверхности горения топливного заряда как функции сгоревшего свода;
— основанная на применении методов математического программирования методика определения коэффициентов, входящих в закон регулирования параметров ТРДУ, а также методика формализации законов нестационарного горения твердого топлива;
— методика моделирования воздействия случайных факторов на качество регулирования ТРДУрезультаты численных расчетов, полученные с использованием разработанных моделей, построенных по материалам натурных экспериментов.
Научная новизна диссертационного исследования и резуя полученных лично автором, заключается в следующем: — методики аппроксимации экспериментальных табличных завись базируются на применении кубических сплайн-функций и обесп высокую точность при проведении расчетов, связанных с интерполиров с численным дифференцированием восстановленных функциок зависимостейметодика, основанная на применении методов математи татов, оптимальные значения коэффициентов, входящих в закон регулии давления в камере сгорания ТРДУ, при использовании которых зависимости давления в камере сгорания от его программного := несущественно. Показана возможность применения методик= формализации закона нестационарного горения твердого топлива- - созданная методика моделирования стохастических процессов обеспечивает анализ воздействия случайных факторов на качестве— ТРДУ на первом нерегулируемом этапе ее работы (ncnczz воспроизводимый алгоритмически метод статистических испытан! регулируемом этапе (моделируются возмущения уровня давления сгорания ТРДУ, снимаемые датчиками давления);
— созданная математическая модель функционирования ТРДУ обес проведение качественного анализа рабочих процессов в камере двигателя в течение всего рабочего периода, в том числе, и при воз случайных факторов, подчиняющихся нормальному закону распредели.
— расчетами установлено, что система регулирования обеспечивает качество работы ТРДУ при наличии возмущающих факторов, воздейс на уровень давления в камере сгорания, значения которых могут сост 5% от номинального уровня давленияческого программирования и использующая экспериментальные результаты на=г моделирования, обеспечивает качественную формализацию законов, в>г-в математическую модель работы ТРДУ. В частности, уста—.
Турного «Ходящих говлены.
-^^рования отличие шчения при.
ТРДУ работы.
->~пьзуется — й) и на ^ камере.
Иечивает сгорания s.Действии.
Пиязаданное твующих — Являть до.
— показано, что воздействие возмущающих факторов периодического характера в камере сгорания могут индуцироваться биения давления (в расчетах установлено, что при возмущающей частоте колебаний 10 Гц в камере возникают биения с частотой 2 Гц);
— установлено, что по мере увеличения внутреннего объема камеры сгорания (в связи с выгоранием твердого топлива) влияние возмущающих факторов на термогазодинамические параметры в ТРДУ ослабевает.
Полученные результаты являются новыми.
Практическая значимость. Разработанные математические методы идентификации моделей по результатам натурных экспериментов, алгоритмы и методики используются в составе комплексной математической модели функционирования ТРДУ и позволяют исследовать динамику развития процессов при различных конструктивных особенностях двигателя и в широком спектре исходных данных по геометрии, по параметрам воспламенительного устройства, по геометрии топливного заряда и т. п. Созданные методики позволяют вести с достаточной для практики точностью прогноз развития внутрикамерных процессов, прогнозировать возможность срыва закона регулирования. Применение перечисленных методик, в целом, позволяет повысить качество проектирования ТРДУ при значительном сокращении материальных затрат, связанных с экспериментальной отработкой подобных двигателей.
Реализация работы состоит в выполнении НИОКР, связанных с проектированием и отработкой ТРДУ и отдельных его элементов в отраслевых предприятиях. Кроме того, материалы, связанные с расчетом ТРДУ, предложены для включения в курсы лекций по дисциплинам «Математическое моделирование», и «Специальные двигатели» (направление 160 100 «Авиаи ракетостроение»), читаемых на машиностроительном факультете Ижевского государственного технического университета.
Апробация работы. Основные положения и результаты исследований, содержащиеся в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:
— Международные конференции по внутрикамерным процессам и горению в установках на твердом топливе и ствольных системах (ICOC-2005, г. Москва, 11−13 июля 2005 г., ICOC-2008, г. Санкт-Петербург, 8−10 сентября 2008 г.);
— XVI Международная научно-техническая конференция СО-МАТ-ТЕСН 2006, г. Трнава (Словакия), 19−20 октября 2006 г.;
— Всероссийская научно-техническая конференция «Фундаментальные основы баллистического проектирования», г. Санкт-Петербург, 23−26 июня 2008 г.;
— периодических конференциях и семинарах в ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет».
В полном объеме работа докладывалась на семинарах в ГОУ ВПО Ижевском государственном техническом университете.
Публикации. Основные научные результаты по теме диссертационной работы опубликованы в 4 научных статьях, в 5 отчетах по НИОКР. В изданиях, рекомендуемых ВАК для публикации основных результатов работы, опубликовано 2 статьи.
Личное участие автора состоит в постановке задач исследования, в разработке математических моделей функционирования ТРДУ, в выборе и модификации используемых вычислительных алгоритмов. При личном участии автора выполнялся постановка, анализ и обработка результатов экспериментальных исследований.
Структура диссертационной работы. Диссертация состоит из Введения, четырех глав и Заключения, изложенных на 157 страницах, содержит 45 рисунков и библиографический список, включающий 130 наименований.
Выводы по главе 4.
1. Выполнен анализ факторов, воздействующих на рабочие процессЕ"з:э протекающие в камере сгорания ТРДУ на различных этапах его работы^. Рассматриваются математические способы, позволяющие выполнить оценк^у воздействия возмущающих факторов на качество работы ТРДУ. Отмечается:^ что применение математического аппарата теории автоматического регулирования оказывается неудобным при решении внутрибаллистическгг>с задач в камере сгорания ТРДУ.
2. На начальном этапе работы ТРДУ развитие возмущающих факторов устанавливается с использованием метода статистических испытаний. Сут: Е> метода состоит в статистической обработке серии расчетов рабочих процессор в ТРДУ. В каждом расчете все исходные данные, оказывающие влияние на рабочие процессы, устанавливаются с учетом их стохастического характера (по заданному математическому ожиданию и дисперсий по каждому параметру} При определении новых значений исходных данных, имеющих стохастический характер, предполагается, что все они подчиняются нормальному закона-распределения. На начальном этапе работы ТРДУ система регулирования не функционирует. Показано, что разбросы давления продуктов сгорания на этозуг этапе могут оказаться существенными даже на квазистационарном участке работы нерегулируемого двигателя. Это обусловлено высокими значениями показателя v в законе для скорости горения (у > 0,85).
3. На основном участке работы ТРДУ его внутрибаллистические параметры регулируются в соответствии с заданной программой, что позволяет снизить воздействие возмущающих факторов. Воздействие возмущающих факторов при работе узла регулирования учитывается заданием отклонений давления в камере сгорания. Отклонения давления подчиняются нормальному закону распределения, если они носят случайный характер, либо выбираются в соответствии с периодическим законом.
4. Показано, что при выбранных значениях коэффициентов, входящих в закон регулирования (установлены решением задачи оптимизации), воздействие возмущающих факторов не оказывается катастрофическим, и работа ТРДУ происходит в штатном режиме. Наиболее напряженным является выход ТРДУ на режим. Показано, что воздействие возмущающих факторов на начальном этапе работы ТРДУ снижается при увеличении свободного объема камеры.
5. Установлено, что при воздействии возмущающих факторов, имеющих периодический характер (~10 Гц), в камере сгорания могут инициироваться низкочастотные колебания (биения) с частотой 2 Гц.
Заключение
.
1. Рассмотрены математические методы, позволяющие вести обработку экспериментальных результатов, а результаты математической обработки использовать при создании комплексной математической модели функционирования ТРДУ. Из всех математических методов выделяются методы аппроксимации табличных функций с использованием вычислительных методов, методы математического программирования и методы оптимизации, стохастические методы, позволяющие учесть вероятностный характер внутрикамерных процессов.
2. При обработке экспериментальных результатов, представленных таблицами, используются методы аппроксимации, основанные на применении кубических сплайн-функций. К достоинствам этих методов следует отнести возможность выполнения численного дифференцирования с высокой точностью. Показана высокая эффективность методов на примере обработки результатов экспериментов для зависимости расходного комплекса (jnF)c от угла поворота вала регулятора расхода и на примере обработки зависимости S (e) — площади поверхности горения топливного заряда как функции сгоревшего свода.
3. Показана возможность формулировки задач о выборе конструктивных параметров ТРДУ как задач математического программирования и задач безусловной оптимизации. Одна задача — задача о выборе коэффициентов, входящих в закон регулирования параметров ТРДУ. Вторая задача — определение зависимости температуры на поверхности горящего топлива как функции давления продуктов сгорания Ts (p) по результатам экспериментальных исследований о нестационарной скорости горения твердого топлива.
4. Применение методов математического программирования позволило установить значения коэффициентов, входящих в закон регулирования давления в камере сгорания ТРДУ. Значения коэффициентов установлены по.
143 результатам изменения давления в камере сгорания на начальном этапе работы двигателя (7 < 4 с), — наиболее напряженном периоде работы. Расчетами показано, что рассчитанные таким образом значения коэффициентов обеспечивают высокое качество' регулирования ТРДУ в течение всего периода его работы. Приводятся примеры расчетов, в которых показано, что отказ от оптимальных значений коэффициентов приводит к снижению качества регулирования в отдельные периоды работы двигателя.
5. Сформулирована задача оптимизации, позволяющая установить законы нестационарного горения твердого топлива. В одном из вариантов задачи целевая функция строится с использованием решения нестационарного одномерного уравнения теплопроводности, записанного для прогретого слоя твердого топлива. Разработанные алгоритмы решения сформулированной задачи апробированы на решении тестовой задачи — установление зависимости Ts (р) по результатам известных экспериментальных зависимостей для нестационарной скорости горения твердого топлива;
6. Предложена методика учета стохастического характера рабочих процессов в ТРДУ. На нерегулируемом участке работы ТРДУ стохастические характеристики устанавливаются методом статистических испытаний. Показано, что для топлив, используемых в ТРДУ, рост дисперсий происходит и в квазистационарные режимы работы двигателя, что обусловлено высокими значениями коэффициента v, входящего в закон горения топлива (у > 0,85).
Методика расчета возмущений на регулируемом участке работы ТРДУ основана на учете поправки к значению расчетного давления в камере сгорания (математическому ожиданию) стохастической составляющей заданной амплитуды, математическое ожидание которой равно нулю. Показано, что при оптимально выбранных коэффициентах в законе регулирования, качество работы ТРДУ остается высоким и при воздействии стохастических и периодических возмущений. Кроме того, установлено, что увеличение уровня программного давления приводит к росту отклонений давления от его математического ожидания. Установлено, что с ростом свободного объема камеры сгорания влияние стохастических возмущений уменьшается.
7. Численными расчетами показано, что при воздействии возмущающих факторов периодического характера в камере двигателя могут индуцироваться колебания давления продуктов сгорания меньшей частоты (возникают «биения»). В расчетах получены «биения» с частотой 2 Гц при частоте возмущающих воздействий 10 Гц.
