Осреднение и локализация решений некоторых краевых задач для полулинейных эллиптических уравнений в перфорированных областях

0.1. Общая характеристика работы. Диссертация посвящена изучению свойств решений квазилинейных уравнений второго порядка с равномерно эллиптической главной частью в перфорированных областях.

Примером такого уравнения является следующий аналог стационарного уравнения Фуджиты (х? Мп):

Агь — |гг|ст signw = 0, 0 < <т ^ 1, s > 0. (0.1).

Для уравнений данного вида рассматриваются краевые задачи Дирихле и Зарембы в ограниченных липшицевых областях ГI, содержащих конечное число одинаковых полостей шаровой или цилиндрической формы. Решения указанных задач в классе W^fi) П L^Ct) понимаются в обобщенном смысле. Известно [61], что для функций из И^О) в липшицевой области О, определены их следы на dQ, принадлежащие пространству W^idSI). Исходя из этого, краевые условия типа Дирихле, отвечающие функциям класса W²(dCi) ПЬоо^дй), задаются в виде следов функций класса W^Q) HL^Q), определенных во всей области.

Поведение решений краевых задач такого вида имеет ряд особенностей, не возникающих в линейном случаев частности:

1) при a G (0,1) и выполнении однородного условия Дирихле или Неймана на «внешней» границе области носитель ограниченного решения локализован в окрестности полостей, размер которой зависит от входных данных (эффект локализации носителя);

2) при достаточно больших, а > 1 и достаточно быстром стремлении размеров полостей к нулю одновременно с ростом их количества при фиксированном условии Дирихле на внешней границе наблюдается сходимость решений к решению предельной задачи в неперфорированной областипри этом предельная задача не зависит от краевых условий на границах полостей.

Актуальность темы

Полулинейные уравнения в частных производных эллиптического типа с измеримыми коэффициентами активно изучались многими авторами. В. А. Кондратьев и Е. М. Ландис [23, 22] установили ряд качественных свойств решений таких уравнений. В работах O.A. Олейник и В. А. Кондратьева [73, 74, 18, 17, 19, 20] изучено поведение решений полулинейных уравнений в (полу)бесконечном цилиндре с условием Неймана на боковой поверхности цилиндра. Вопросы существования решений и их асимптотического поведения в цилиндрических областях изучались в работах Ю. В. Егорова, В. А. Кондратьева, О. А. Олейник [И, 12] и др. В статье Ю. В. Егорова, В. А. Кондратьева [71] рассмотрена задача с нелинейным граничным условием. Свойства решений квазилинейных эллиптических уравнений и неравенств в неограниченных областях изучались в работах А. А. Конькова [24, 25, 26, 27]. В связи с эффектом локализации носителя следует отметить теоремы о компактности носителя решения некоторых нелинейных неравенств в неограниченной области [26].

Исследованию разрешимости уравнений со степенной нелинейностью и изучению свойств их решений в случае оператора Лапласа в главной части посвящена обширная литература: [72, 87, 97, 65, 99, 98, 75]- уравнения более общего вида изучались в работах [79, 63, 47, 86, 78, 77].

Теории осреднения линейных уравнений посвящено большое количество статей и монографий, в частности: [32, 62, 2, 49, 68, 39, 13, 86]. Осреднением квазилинейных эллиптических уравнений в перфорированных областях и областях с каналами занимался И. В. Скрыпник [50, 51, 52, 53]. Задачи осреднения для эллиптических и параболических операторов в различных постановках изучались также работах Г. А. Чечкина [56], Т. А. Шапошниковой [60], А. С. Шамаева [59] и других авторов. Как правило, в задачах осреднения накладываются определенные ограничения на входные данные, например: близость полостей к некоторому многообразию [31, 81], периодичность коэффициентов [62], периодичность расположения полостей [2, 40] или другие условия [91]. Также обычно задачи осреднения включают в себя те или иные краевые условия на границах полостей, такие как условие Неймана [15], Дирихле [86], или условия различных типов на разных участках границы [3, 67]. Использование в диссертации методов теории устранения особенностей [94, 95, 96, 54, 55], а также качественной теории линейных [29, 4, 30] и полулинейных [22, 23, 21] эллиптических уравнений, позволяет не делать в задачах осреднения дополнительных предположений о поведении решений на границах полостей, о периодичности коэффициентов, либо об упорядоченности расположения полостей внутри области.

В работах Е. П. Долженко [7, 8, 9], Л. Карлесона [66], А. В. Покровского [43, 44, 45, 46] и других авторов доказан ряд критериев устранимости замкнутого множества для эллиптических уравнений в терминах хаусдорфовой меры этого множества. Теоремы об осреднении настоящей работы являются некоторыми аналогами таких критериев. При этом условиям типа равенства нулю хаусдорфовой меры в теории устранения особенностей соответствуют условия на скорость убывания размеров полостей. Некоторые результаты диссертации имеют аналоги в теории полулинейных параболических уравнений [58, 36, 37].

Теоремы о существовании «мёртвой зоны», то есть такого подмножества (положительной меры), на котором решение уравнения обращается в нуль, известны для квазилинейных эллиптических [70, 76, 89, 1, 90] и параболических [57, 6] уравнений. Для нелинейных параболических задач известен также эффект пространственной локализации возмущения [48].

Целью диссертационной работы является:

1) изучение свойств решений квазилинейных уравнений второго порядка с равномерно эллиптической главной частью и нелинейным членом, зависящим от неизвестной функции степенным образом, в областях со сферической и цилиндрической перфорацией методами теории устранения особенностей и качественной теории квазилинейных уравнений;

2) исследование задачи осреднения для полулинейных эллиптических уравнений в областях, содержащих полости шаровой или цилиндрической формы;

3) изучение эффекта локализации носителя решения краевых задач Зарембы и Дирихле для полулинейных эллиптических уравнений.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) для п > 3 и достаточно больших значений показателя нелинейности и > 1 найдены условия, при которых решения задачи Дирихле в последовательности перфорированных областей сходятся (в подходящем смысле) к решению предельной задачи в неперфорированной областиполучена оценка скорости сходимости, полиномиальная по малому параметрудоказано, что при значениях показателя нелинейности, превышающих определенную критическую величину, и при достаточно быстром убывании размеров полостей одновременно с увеличением их количества достигается сходимость к предельному решению почти всюду в области;

2) при п > 3, а > 1 установлены условия сходимости к нулю интегрального выражения, включающего разность предельного решения и решений в перфорированных областях, а также градиент этой разности;

3) в случае п > 2 и, а € (0,1) установлен эффект локализации носителя: ограниченное решение задачи Зарембы обращается в нуль на достаточном удалении от той части границы области, где краевое условие неоднороднополучена оценка на размер зоны локализации;

4) для случая задачи в перфорированной области с однородным условием Дирихле на внешней границе при п > 3 и (7 6 (0,1) получена уточненная оценка на размер зоны локализации.

Личный вклад автора. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Публикации. Опубликовано 7 работ [88, 35, 33, 34, 82, 41, 42] по теме диссертации, из которых 3 — в источниках, рекомендованных ВАК.

Апробация. Результаты работы докладывались на заседаниях семинара «Качественная теория уравнений в частных производных» кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством проф. В. А. Кондратьева и проф. Е. В. Радкевича, а также под руководством проф. В. В. Жикова, проф. Е. В. Радкевича, проф. А. С. Шамаевана семинаре «Методы решения задач математической физики» Федерального государственного бюджетного учреждения науки Вычислительного центра им. А. А. Дородницына Российской академии наук под руководством проф. А. А. Абрамова, проф. В. И. Власова, проф. Б. В. Пальцевана семинаре отдела математической физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН под руководством проф. А. К. Гущина и проф. В. П. Михайлована Международной конференции «Fourth Arbeitstagung of the Second Series» (Bonn, 1999) — на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» им. И. Г. Петровского (Москва, 2011 г.) — на Международной молодёжной конференции — школе «Современные проблемы прикладной математики и информатики» (Дубна, 2012 г.) — на Третьей международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Самара, 2012 г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Каждая глава разбита на параграфы и пункты.

1. Антонцев С. Н., Шмарев С. И. О локализации решений эллиптических уравнений с неоднородным анизотропным вырождением // Сиб. матем. журн. 2005. Т. 46, № 5. С. 963−984.

2. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. Москва: Наука, 1984.

3. Гадылынин Р. Р., Чечкин Г. А. Краевая задача для лапласиана с быстро меняющимся типом граничных условий в многомерной области // Сиб. матем. журн. 1999. Т. 40, № 2. С. 271−287.

4. Гервер М. Л., Ландис Е. М. Одно обобщение теоремы о среднем для функций многих переменных // ДАН СССР. 1962. Т. 146, № 4. С. 761 764.

5. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические уравнения с частными производными второго порядка. Москва: Наука, 1989.

6. Глаголева Р. Я. Достаточное условие существования «мертвой зоны» у решений вырождающихся полулинейных параболических уравнений и неравенств // Матем. заметки. 1996. Т. 60, № 6. С. 824−831.

7. Долженко Е. П. О «стирании» особенностей аналитических функций // УМН. 1963. Т. 18, № 4(112). С. 135−142.

8. Долженко Е. П. О представлении непрерывных гармонических функций в виде потенциалов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1964. Т. 28, № 5. С. 1113−1130.

9. Долженко Е. П. Об особых точках непрерывных гармонических функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1964. Т. 28, № 6. С. 12 511 270.

10. Дубинский Ю. А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. ВИНИТИ. 1976. Т. 9. С. 5−130.

11. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А. Об одной проблеме О. А. Олейник // УМН. 1997. Т. 52, № 318. С. 159−160.

12. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А., Олейник О. А. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях // Матем. сб. 1998. Т. 189, № 3. С. 45−68.

13. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. Москва: Физматлит, 1993.

14. Заремба С. Об одной смешанной задаче, относящейся к уравнению Лапласа // Успехи мат. наук. 1946. Т. 1, № 3−4(13−14). С. 125−146.

15. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: Наука, 1981.

16. Кондратьев В. А. О некоторых нелинейных краевых задач в цилиндрических областях // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1996. Т. 19. С. 235−261.

17. Кондратьев В. А. О решениях нелинейных эллиптических уравнений в цилиндрических областях / / Фундаментальная и прикладная математика. 1996. Т. 2, № 3. С. 863−874.

18. Кондратьев В. А. О положительных решениях слабо нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях // Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей / Тр. МИАН, 250. Москва: Наука, 2005. С. 183−191.

19. Кондратьев В. А. Об асимптотичесикх свойствах решений полулинейных эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 2006. Т. 25. С. 98−111.

20. Кондратьев В. А., Ландис Е. М. О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка // Матем. сборник. 1988. Т. 135(177), № 3. С. 346−360.

21. Кондратьев В. А., Ландис Е. М. Полулинейные уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Матем. заметки. 1988. Т. 44, № 4. С. 457−468.

22. Коньков А. А. О поведении на бесконечности решений одного класса нелинейных уравнений второго порядка // Матем. заметки. 1996. Т. 60, № 1. С. 30−39.

23. Коньков A. A. Positive Solutions of Nonlinear Second-Order Elliptic Inequalities in Unbounded Domains // Russian J. Math. Phys. 1997. Vol. 5, no. 1. P. 119−122.

24. Коньков А. А. О решениях квазилинейных эллиптических неравенств, обращающихся в нуль в окрестности бесконечности // Матем. заметки. 2000. Т. 67, № 1. С. 153−156.

25. Коньков А. А. Поведение решений квазилинейных эллиптических неравенств // Уравнения в частных производных, СМФН, Москва: МАИ. 2004. Т. 7. С. 3−158.

26. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Москва: Наука, 1973.

27. Ландис Е. М. Некоторые вопросы качественной теории эллиптических уравнений второго порядка (случай многих независимых переменных) // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18, № 1(109). С. 3−62.

28. Ландис Е. М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типа. Москва: Наука, 1971.

29. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Краевые задачи с мелкозернистой границей // Матем. сб. 1964. Т. 65 (107), № 3. С. 458−472.

30. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наукова думка, 1974.

31. Матевосян О. А., Пикулин С. В. Об усреднении слабонелинейных дивергентных эллиптических операторов в перфорированном кубе // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 3. С. 390−398.

32. Матевосян О. А., Пикулин С. В. Усреднение решений эллиптических операторов с нелинейным поглощением в перфорированнх областях. Препринт МГУ им. М. В. Ломоносова, 27 страниц. Москва: МАКС Пресс, 2000.

33. Матевосян О. А., Пикулин С. В. Об усреднении полулинейных эллиптических операторов в перфорированных областях // Матем. сборник. 2002. Т. 193, № 3. С. 101−114.

34. Матевосян О. А., Филимонова И. В. Об усреднении полулинейных параболических операторов в перфорированном цилиндре // Матем. заметки. 2005. Т. 78, № 3. С. 396−408.

35. Матевосян О. А., Филимонова И. В. Об усреднении слабо-нелинейных параболических операторов в перфорированном цилиндре // Изв. вузов. Матем. 2005. Т. 193, № 9. С. 29−37.

36. Натанзон И. П. Теория функций вещественного переменного. Москва: Наука, 1974.

37. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. Москва: Издательство МГУ, 1990.

38. Олейник О. А., Шамаев А. С. Некоторые задачи усреднения в механике композиционных материалов и пористых сред. Киев: Наукова думка, 1986. С. 185−190.

39. Покровский А. В. Устранимые особенности решений дивергентных эллиптических уравнений второго порядка // Матем. заметки. 2005. Т. 77, № 3. С. 424−433.

40. Покровский А. В. Устранимые особенности решений уравнения минимальных поверхностей // Функц. анализ и его прил. 2005. Т. 39, № 4. С. 62−68.

41. Покровский А. В. Устранимые особенности решений нелинейных эллиптических уравнений // УМН. 2007. Т. 62, № 3(375). С. 215−216.

42. Покровский А. В. Устранимые особенности решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка // Функц. анализ и его прил. 2008. Т. 42, № 2. С. 44−55.

43. Похожаев С. И. Об эллиптических задачах с суперкритическим показателем нелинейности // Матем. сб. 1991. Т. 182, № 4. С. 467−489.

44. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. Москва: Наука, 1987.

45. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. Москва: Мир, 1984.

46. Скрыпник И. В. Разрешимость и свойства решений нелинейных эллиптических уравнении // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. 1976. Т. 9. С. 131−254.

47. Скрыпник И. В. Усреденение квазилинейных эллиптических задач в перфорированных областях // Успехи мат. наук. 1985. Т. 244, № 40:4. С. 197−198.

48. Скрыпник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. Москва: Наука, 1990.

49. Скрыпник И. В. Асимптотика решений нелинейных эллиптических задач в перфорированных областях // Мат. сборник. 1993. Т. 184, № 10. С. 6790.

50. Туваев М. В. Устранимые особые множества для уравнений видаМатем. заметки. 1992. Т. 52, № 3. С. 146 153.

51. Туваев М. В. Усреднение решений эллиптического уравнения с нелинейным поглощением в перфорированной области // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 6. С. 846−847.

52. Чечкин Г. А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий // Мат. сборник. 1993. Т. 184, № 6. С. 99−150.

53. Чистяков В. В. О некоторых качественных свойствах решений недивергентного полулинейного параболического уравнения второго порядка // УМН. 1986. Т. 41, № 5(251). С. 199−200.

54. Чистяков В. В. О свойствах решений полулинейных параболических уравнений второго порядка // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1991. Т. 15. С. 70−107.

55. Шамаев А. С. Осреднение решений и собственных значений краевых задач для эллиптических уравнений в перфорированных областях // УМН. 1982. Т. 37, № 2(224). С. 243−244.

56. Шапошникова Т. А. Об усреднении некторых краевых задач в областях, содержащих тонкие каналы // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 2004. Т. 24. С. 324−340.

57. Adams R. Sobolev Spaces. New York: Academic Press, 1975.

58. Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structures. Amsterdam: North-Holland, 1978.

59. Brezis H. Semilinear equation in M. N without condition at infinity // Appl. Math. Optim. 1984. Vol. 12. P. 271−282.

60. Brezis H., Browder F. Strongly nonlinear elliptic boundary-value problems // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sc. 1978. Vol. 5. P. 587−603.

61. Brezis H., Veron L. Removable singularities for some nonlinear elliptic equations // Arch. Rat. Mech. and Anal. 1980. Vol. 75, no. 1. P. 1−6.

62. Carleson L. Removable singularities for continuous harmonic functions in Rn // Math. Scand. 1963. Vol. 12. P. 15−18.

63. Chechkin G. A., Gadyl’shin R. R. On boundary-value problems for the laplacian in bounded and in unbounded domains with perforated boundaries // Journal of Differential Equations. 2005. Vol. 216, no. 2. P. 502 522.

64. Damlamian A., Li Ta-Tsien. Boundary homogenization for elliptic problems // J. Math. Pures Appl. 1987. Vol. 66, no. 9. P. 351−361.

65. De Giorgi E. Sulla differentiabilita e l’analiticita delle estremali degli integrali multipli regolari // Mem. Acad. Sci. Torino. 1957. Vol. III, no. 1−2. P. 25−43.

66. Diaz J.I. Nonlinear partial differential equations and free boundaries. Vol. 1: Elliptic equations. Research Notes in Mathematics, Vol 106. Boston: Pitman, 1985.

67. Keller J. В. On solutions of Au = f (u) // Comm. Pure Appl. Math. 1957. Vol. 10, no. 4. P. 503−510.

68. Kondratiev V. A., Oleinik O. A. Some results for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains // Operator Theory: Advances and Applications. 1992. Vol. 57. P. 185−194.

69. Kondratiev V. A., Oleinik O. A. Boundary value problems for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains // J. Partial Diff. Equ. 1993. no. 1. P. 10−16.

70. Kuzin I., Pohozaev S. Entire Solutions of Semilinear Elliptic Equations. Birkhauser, 1997.

71. Landis E. M. Some properties of the solution of degenerating semilinear elliptic inequalities // Russian J. Math. Phys. 1993. Vol. 1, no. 4. P. 483−494.

72. Laptev G. I. Solvability of quasilinear elliptic second order differential equations in Rn without condition at infinity // Adv. Math. Research. 2003. Vol. 4. P. 1−18.

73. Leoni F. Nonlinear elliptic equations in Rn with «absorbing» zero order terms // Adv. Differential Equations. 2000. Vol. 5, no. 4−5. P. 681−722.

74. Levine H. A., Paine L. E. On the nonexistence of entire solutions to nonlinear second order elliptic equations // SIAM. J. Math. Anal. 1956. Vol. 7, no. 3. P. 337.

75. Littmann W., Stampacchia G., Weinberger H. F. Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3). 1963. Vol. 17, no. 1−2. P. 43−77.

76. Lobo M., Oleinik O. A., Perez M. E., Shaposhnikova T. A. On Homogenization of Solutions of Boundary Value Problems in Domains, Perforated along Manifolds // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa CI. Sei. (4). 1997. Vol. 25, no. 3−4. P. 611−629.

77. Morse A. P. The Behavior of a Function on Its Critical Set // Annals of Mathematics Second Series. 1939. Vol. 40, no. 1. P. 62−70.

78. Moser J. A new proof of De Giorgi’s theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1960. Vol. 13. P. 457−468.

79. Nash J. Continuity of the solutions of parabbolic and elliptic equations // Amer. J. Math. 1958. Vol. 80. P. 931−954.

80. Oleinik O. A. Some Asymptotic Problems in the Theory of Partial Differential Equations. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1996.

81. Osserman R. On the inequality An > f (u) // Pacific J. Math. 1957. Vol. 7, no. 4. P. 1641−1647.

82. Pikulin S. V. Behavior of solutions of semilinear elliptic equations in domains with complicated boundary // Russian J. Math. Physics. 2012. Vol. 19, no. 3. P. 401−404.

83. Pucci P., Serrin J. The strong maximum principle revisited //J. Differential Equations. 2004. Vol. 196. P. 1−66.

84. Pucci P., Serrin J. Dead cores and bursts for quasilinear singular elliptic equations // SIAM J. Math. Anal. 2006. Vol. 38. P. 259−278.

85. Sard A. The measure of the critical values of differentiable maps // Bull. Amer. Math. Soc. 1942. Vol. 48. P. 883−890.

86. Stampacchia G. Le probleme de Dirichlet pour les equations elliptique second ordre a coefficients discontinus // Ann. Inst. Fourier. 1965. Vol. 15, no. 1. P. 189−257.

87. Vasquez J. L., Veron L. Removabale Singularities of Strongly Nonlinear Elliptic Equations // Manuscripta Math. 1980/81. Vol. 33. P. 129−144.

88. Vasquez J. L., Veron L. Singularities of elliptic equations with an exponential nonlinearity // Math. Anal. 1984. Vol. 269. P. 119−135.

89. Vasquez J. L., Veron L. Isolated singularities of some semilinear elliptic equations // Journal of Diff. Equations. 1985. Vol. 60. P. 301−322.

90. Veron L. Solutions singuliere d’equations elliptiques semilineaires // C. R. Acad. Sci. 1979. Vol. 288, Ser. A. P. 867−869.

91. Veron L. Comportement asymptotique des solutions d’equations elliptique semi-lineaires dans R^ // Ann. Mat. Pura Appl. 1981. Vol. 127. P. 25−50.

92. Veron L. Singular solutions of some nonlinear elliptic equations // Nonlinear Analysis Theory, Methods and Appl. 1981. Vol. 5, no. 3. P. 225−242.