О проекторах на пространства типа конечных элементов и их приложениях

В основе решения многих классов задач теории' операторов, прикладного функционального анализа, теории аппроксимаций лежат свойства операторов проектирования (проекторов), рассматриваемых в качестве операторов, действующих в банаховых пространствах.

В теории приближений — это исследование норм операторов ортогонального проектирования на различные пространства приближающих функций (пространства алгебраических и тригонометрических полиномов). К этому сводятся в частности вопросы поточечной сходимости рядов Фурье, сходимости интерполяционных процессов, наилучших средних квадратичных приближений, метод наименьших квадратов, сходимость и устойчивость метода Галеркина, построение безусловных базисов в различных функциональных пространствах (банаховых пространствах) и т. п.

В частности, расходимость рядов Фурье и интерполяционных процессов по различным системам функций обусловлена неограниченностью совокупности норм проекторов на линейные оболочки базисных функций в соответствующих нормированных пространствах.

Из курса функционального анализа хорошо известно следующее утверждение.

Теорема (Банаха-Штейнгауза).

Пусть F — произвольное банахово пространство. Рп: F —> F — последовательность непрерывных операторов (не обязательно проекторов). Для того, чтюбы последовательность функции Pnf была сходящейся для всех f 6 F, необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1) supn ||РП|| < оо;

2) Рп f сходится при п —> оо на некотором подмножестве F, всюду плотном в F.

Эта теорема, фактически, сводит изучение процессов аппроксимаций к доказательству ограниченности норм семейства интерполяциоиных и ортогональных проекторов на соответствующие пространства приближающих функций. Таким образом, рассмотрение операторов проектирования и применение теоремы Банаха-Штейнгауза лежат в основс математической теории обоснования сходимости интерполяционных процессов.

Можно сказать, что вопрос о сходимости интерполяционных сплайнов к непрерывной функции эквивалентен вопросу об ограниченности последовательности операторов проектирования.

Итак, получение оценок норм проекторов имеет огромное значение при обосновании численных методов, при решении задач теории приближений и ряда прикладных задач В ряде случаев эти оценки были установлены.

Например, для проекторов на пространства тригонометрических и алгебраических полиномов доказано, что нормы проекторов растут как логарифм с ростом степени полинома п [51].

Рп\с-с >спп.

В приложениях наибольший интерес имеет вопрос поточечной сходимости рядов Фурье, а из последней оценки вытекает, например, тот факт, что для любой точки существует непрерывная периодическая функция, ряд Фурье которой расходится в этой точке.

Широкое распространение в последнее время приобрели сплайн-функции. По сравнению с классическим аппаратом приближения многочленами сплайн-функции обладают по крайней мере двумя важными преимуществами, во-первых, бесспорно, лучшими аппроксимативными свойствами на классах функций, имеющих зоны быстрого и медленного изменений, или функций с особенностями, во-вторых, удобством реализации построенных на их основе алгоритмов для ЭВМ. В связи с чем представляет интерес изучение и получение оценок норм операторов ортогонального и интерполяционного проектирования на пространства сплайнов.

Один из наиболее ярких и известных примеров, иллюстрирующий описанный подход — это проблема де Бора. Так при изучении процессов интерполирования сплайн-функциями К. де Бор [56] рассматривал операторы ортогонального в L2[a, Ь] проектирования пространства непрерывных функций на пространство сплайнов:

Ps: / € C[a, b] —>¦ Psf 6 S (A, m, k).

В 1975 г. им было сделано предположение, что нормы операторов ||Psj|c->c ограничены при любом расположении узлов сетки. Проблема доказательства этой гипотезы получила название проблемы де Бора, еще известная как проблема об ограниченности констант Лебега.

В 2001 г. это предположение было доказано А. Ю. Шадриным [54]. H.JI. Зматраковым [40, 42, 43] и А. Ю. Шадриным [53, 54] были получены оценки норм семейств интерполяционных и ортогональных проекторов на пространства сплайнов в операторной норме пространства непрерывных функций.

Для интерполяционных проекторов на пространства сплайнов этими вопросами занимался С. Б. Стечкин с учениками [39]. В частности, Н. Л. Зматраковым [42, 43] были получены условия, близкие к необходимым и достаточным, для ограниченности интерполяционных проекторов и, соответственно, сходимости процессов интерполирования. Им было установлено, что нормы интерполяционных проекторов ограничены далеко не всегда, а лишь при некотором условии на разбиение области, а именно, был введен показатель локальной равномерности сетки и установлена точная оценка этого показателя рА = max ^ < (3 + V5)/2, |г'-7'|<1 tlj l! Qn||c-c < const.

На основе результатов А. Ю. Шадрина Ю.С. Волковым были получены оценки погрешности интерполяции сплайнами высоких степеней и доказана сходимость соответствующих интерполяционных процессов.

Оценки погрешности приближенных решений интерполяционных методов также сводятся к оценкам норм проекторов. Этим вопросам посвящены, например, работы А. Ю. Шадрина [53], Ю. С. Волкова.

57, 58, 59], Н. Л. Зматракова [40, 42, 43], Ю. Н. Субботина [44], В. Л. Мирошниченко [38, 41]. Получение оценок норм семейства проекторов проводится посредством изучения свойств матриц Грама и коллокаци-. онных матриц в некоторых базисах пространства сплайнов (линейных В-сплайнов), а также оценок норм обратных к ним матриц [59].

Ограниченность в совокупности норм ортопроекторов на линейную оболочку вейвлет-функций в различных операторных нормах была положена в основу обоснования сходимости процессов аппроксимаций и построения безусловных базисов в различных функциональных пространствах [47], [48]. Условия существование безусловных базисов в некоторых гильбертовых пространствах формулируются в терминах интерполяции линейных операторов и сводятся к рассмотрению свойств семейства интерполяционных проекторов между двумя гильбертовыми пространствами (см., например, [49]). Ограниченность норм семейства проекторов обеспечивает существование безусловного базиса в образе оператора проектирования.

И наконец, перейдем к рассмотрению галёркииских проекторов. В 70-е годы прошлого века Ф. Наттерером, Дж. Нитше и Р. Скоттом [45], [46] был предложен аппарат доказательства сходимости метода Галёрки-на, основанный на построении и изучении свойств операторов проектирования. Эти операторы решение рассматриваемой задачи проектируют на пространство решений, построенных методом Галёркина. В связи с чем Ф. Наттерером был введен термин галеркинский проектор.

В дальнейшем оказалось, что предложенный ими подход является мощным аппаратом при теоретическом исследовании задач вычислительной математики. Ограниченность норм семейств галёркинских проекторов является базой для обоснования сходимости и устойчивости метода Галёркина, Галёркина-Петрова, Ритца, метода коллокациисхемы получения апостериорных оценок погрешностей приближенных решений и т. д.

Метод галёркинских проекций в России разрабатывался В.В. Стры-гиным [32, 33, 34, 35, 36, 37] и И. А. Блатовым [24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31]. Отметим также, что теория проекционных методов решения операторных уравнений активно развивалась в трудах воронежской математической школы, здесь в первую очередь нужно обратить внимание на работы М. А. Красносельского, Г. М. Вайникко и их учеников [60, 61).

Вместе с тем остается много нерешенных, важных в теоретическом и прикладном смысле, классов задач. Во-первых, это обоснование сходимости и устойчивости метода Галёркина для класса сингулярно возмущенных краевых задач, т. е. получение оценок норм соответствующих галёркинских проекторов. Во-вторых, это вопросы строгого математического обоснования сходимости подвижных адаптивных сеток при решения указанного класса краевых задач.

Состояние вопроса в рассматриваемой области характеризуется следующими основными достижениями.

Дж. Нитше, Ф. Наттерером рассматривались нежесткие задачи и доказательства ограниченности норм операторов проектирования сводились к изучению свойств проекторов для «главной части» дифференциального оператора, которая, фактически, представляет собой старшую производную с соответствующими краевыми условиями, либо эллиптический оператор в случае уравнений в частных производных. В этом случае соответствующий галёркинский проектор, как правило, оказывался просто ортогональным или интерполяционным проектором на пространства сплайнов.

Для сингулярно возмущенных задач эти результаты и методы не применимы по ряду причин. Во-первых, ввиду сильной неравномерности расчетной сетки. И, во-вторых, ввиду невозможности выделить простую главную часть оператора задачи, поскольку старшая производная «давится» малым параметром е.

Рассматриваемые для этого класса задач проекторы не являются ортогональными в Ь2[а, Ь] или интерполяционными, что усложняет их изучение. В связи с этим Блатовым И. А., Стрыгиным В. В. [24] был предложен метод оценки норм галёркинских проекторов, основанный на построении двойственного (биортогонального) базиса в тестовом пространстве. Представление галёркинского проектора через базис В—сплайнов и биортогональный к нему базис тестового пространства позволяет доказать равномерную по малому параметру и шагу сетки ограниченность норм проекторов.

В основе данной диссертационной работы лежат идеи и результаты описанные в монографии [24]. Авторы распространяют метод галёркин-ских проекций Ф. Наттерера, Дж. Нитше на случай краевых задачи с по-гранслоями. В [24] рассматривается метод Галёркина решения жестких краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, а также двумерных эллиптических и параболических задач на сильно неравномерных сетках Н. С. Бахвалова. Доказывается, что при достаточно малых е и 1 /т галёркинские приближения существуют и сходятся к точному решению задачи. Вопросы адаптации сетки к особенности в данной работе не затрагиваются.

Что касается второго из указанных классов нерешенных задач, то нужно отметить, что использование подвижных сеток, адаптирующихся (подстраивающихся) к особенностям решения задачи, является эффективным приемом повышения точности расчетов. Применение методов адаптации позволяет значительно повысить точность численного решения, эффективность вычислительных алгоритмов и значительно сократить компьютерные затраты времени и используемой памяти. Данный подход является универсальным при решении сингулярно возмущенных краевых задач.

Процесс адаптации сетки к особенностям состоит в определении подобласти, на которой для уточнения решения требуется переизмельчение сетки. В зонах значительных изменений градиентов решений проводится сгущение разбиения (за счет уменьшения шага сетки /?,), в других зонах — разрежение. Известны два типа адаптации — априорная и апостериорная. В первом случае параметры сетки выбираются до начала вычислений вне зависимости от получающихся результатов, во втором случаев процессе решения задачи после анализа вычисленных промежуточных приближенных решений.

Вычислительные алгоритмы на основе адаптивного перестроения сетки имеют большую практическую значимость. Исследования в этом направлении восходят еще к работам С. К. Годунова [63], им посвящено огромное количество работ, в первую очередь это монография В.Д. Ли-сейкина [1], [2], А. Н. Гильманова [89], а также, например, [65, 66], [67{ - [75]. Однако эти результаты относятся в основном к алгоритмическим аспектам построения сеток и не затрагивают вопросы сходимости.

Несмотря па то, что подвижные адаптивные сетки активно и успешно используются при решении прикладных задач, например, при моделировании процессов гидрои газодинамики, химической кинетики, аэроупругости, в задачах горения [89], методам их построения посвящена обширная литература (см., например, [1] и библиографию там же), как уже было отмечено, вопросы строгого обоснования сходимости адаптационных алгоритмов к некоторому предельном}' разбиению и получения оценок погрешности приближенного решения на этом предельном разбиении существенно менее изучены. Отсутствует математическое обоснование сходимости последовательностей адаптивных сеток в апостерпорпо ориентированных алгоритмах адаптации в рамках метода конечных элементов для сингулярно возмущенных краевых задач.

Ряд результатов по сходимости адаптивных сеток получены Г. И. Шишкиным и его исследовательской группой [3] - [13]. Автором рассматриваются разностные схемы решения краевых задач для уравнений в частных производных, старшие производные которых (либо некоторые из них) содержат малый параметр. Предложены разностные схемы на последовательно как априорно [3, 4, 5], так и апостериорпо [5, б, 7], адаптирующихся сетках. Для определения границы подобластей, на которых требуется уточнение решения, используются вспомогательные функционалы-индикаторы. В качестве индикатора может быть выбран градиент решения (например, [6,.7]) или мажоранта сингулярной составляющей решения [7], или мажоранта сеточной границы пограничного слоя [4]. Г. И. Шишкиным отмечено, что в апостериорных процедурах более выигрышной является адаптация на основе градиента решения [7]. В работах исследуется вопрос сходимости разностных схем и повышения точности разностной аппроксимации.

При априорном задании сетки предполагается, что известна первичная информация об особенности решения, например, о структуре пограничного слоя или оценках производных решения. В случае, когда эта информация недоступна, или ее получение связано с большими трудностями предпочтительны апостериорные процедуры,.

В связи с вышесказанным, в настоящее время актуальными являются задача оценки норм галёркинских проекторов на пространства типа конечных элементов в случае сильно неравномерных сеток, а также построение основ математической теории сходимости алгоритмов адаптации для указанных задач. Решению этих вопросов и посвящена данная диссертационная работа.

Цель работы — получение оценок норм галёркинских проекторов, распространение метода биортогональных базисов для сингулярно возмущенных краевых задач в случае использования кусочно-равномерных сеток Г. И. Шишкинаразработка и исследование вычислительных алгоритмов апостериорной адаптации на основе метода конечных элементов Галёркина.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе выполнена следующая программа исследований.

1. Доказательство равномерной ограниченности норм галёркинских проекторов для некоторых классов сингулярно возмущенных краевых задач на сетках Шишкина.

2. Доказательство сходимости метода конечных элементов Галёркина для рассматриваемых классов задач.

3. Разработка и обоснование апостериорно ориентированных вычислительных алгоритмов адаптации для решения сингулярно возмущенных краевых задач в случае неизвестной границы пограничного слоя.

4. Получение оценок погрешности приближенных решений предложенного метода.

Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Во введении дана краткая историческая.

Заключение

.

Методы исследования. При получении основных результатов используются методы теории функционального и математического анализа, теории операторов, теории аппроксимаций, обыкновенных дифференциальных уравнений, вычислительной математики.

Итак, в ходе диссертационного исследования получены следующие новые результаты в области теории операторов и вычислительной математики.

I. Впервые получены равномерные по совокупности значений малого параметра и шага сетки оценки норм галёркинских проекторов на пространства сплайнов для семейства кусочно-равномерных сеток Г. И. Шишкина.

II. Метод оценки норм галёркинских проекторов, основанный на изучении двойственных базисов, распространен на класс сингулярно возмущенных задач на кусочно-равномерных сетках Г. И. Шишкина. Доказаны теоремы сходимости метода Галёркина.

III. Сформулирован абстрактный алгоритм адаптации для решения операторных уравнений в банаховых пространствах. Доказана теорема, обосновывающая эффективную работу данного алгоритма.

IV. Для двух классов сингулярно возмущенных краевых задач сформулированы алгоритмы адаптации расчетной сетки к пограничному слою. Доказаны теоремы о сходимости адаптационного процесса и получены оценки погрешности приближенного решения на предельном разбиении.