Функции

Точки, в которых f (x) или не существует, называют точками перегиба графика функции y = f (x).Пример5.

3 Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции.Решение.. — точка перегиба. Пользуясь предыдущей теоремой, получаем, что на промежутке график функции выпуклый вверх, а на промежутке график функции выпуклый вниз.

6 Поиск наибольшего и наименьшего значения функции на интервале, теорема Вейштрасса.

Теорема 1(первая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке[a, b] функция у = f (х)ограничена на этом отрезке. Теорема 2(вторая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке[a, b] функция у = f (х) достигает на нем своих точных верхней и нижней граней. Пусть функция у = f (х) непрерывна на отрезке [a, b]. Как известно, такая функция на этом отрезке достигает наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка [a, b], либо на границе отрезка. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a, b] необходимо: 1) найти критические точки функции в интервале (a, b);2)вычислить значения функции в найденных критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка, то есть при x= а и х = b;4)из всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее. Пример 6.

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 3]. Находим критические точки:

Эти точки лежат внутри отрезка [0; 3]; y (1) = - 3; y (2) = - 4; y (0) = - 8; y (3) = 1;в точке x = 3 и в точке x = 0.7 Примеры исследования функции с использованием производной функции.

Схема исследования функции:

1. Исследуем функцию y=f (x).

1.1) D (y), I (y); Область определения и область значений.

1.2) четность;

1.3) периодичность;

1.4) точки пересечения с осями;

1.5) точки разрыва, поведение на бесконечности;

1.6) асимптоты.

2. Исследуем функцию .

2.1) промежутки монотонности;

2.2) экстремумы.

3. Исследуем функцию .

3.1) выпуклость, вогнутость графика;

3.2) точки перегиба.

4. График. Пример 7.1 Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график. Решение: Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х=1, т. е. область определения функции D (y) = (-∞;1)U (1;+∞).Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств для любых х и -х из области определения функции, следовательно, данная функция является ни четной, ни нечетной, ни периодической. Для нахождения точек пересечения графика функции с осью.

Ох полагаем у=0; с осью Оу —х=0.х=0; у=-1.у=0,, ,, Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения D (у).Найдем односторонние пределы функции в указанных точках:.Т.о., в точкех=1 функция имеет разрыв второго рода и прямаях = 1- вертикальная асимптота графика функции. Найдем наклонные асимптоты у=kx+b, где.

Т.о., наклонная асимптота имеет уравнение у = -х-2. Найдем производную данной функции, х1=0; х2=2.Разобьем числовую ось на 5 интервалов, составим таблицу и определим знак первой производной в каждом интервале.

х-∞; 000; 111;222;+∞у'(x)-0±+0-у (x)убывает-1возрастаетвозрастает-5убываетminmaxНайдем вторую производную:

Точек перегиба нет. Составим таблицу, разбив числовую ось на интервалы и определим знак второй производной в каждом из них:

х-∞; 112;+∞y''(х)+0-у (х)U∩Рисунок 7.1Пример 7.2Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график. Решение: 1. Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х=2, т. е. область определения функции D (y) = (-∞;2))U (2;+∞).

2., следовательно, данная функция является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

3. Для нахождения точек пересечения графика функции с осью.

Ох полагаем у=0; с осью Оух=0.х=0; у=0.у=0, Т. е., график функции пересекает систему координат в т. О (0;0).

4. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения D (у).Найдем односторонние пределы функции .Т.о., в точкех=2 функция имеет разрыв второго рода и прямаях = 2 — вертикальная асимптота графика функции. Найдем наклонные асимптоты у=kx+b, где.

Т.о., наклонная асимптота имеет уравнение у = х+4.

5. Найдем производную данной функции.

Найдем критические точки:

х1=0; х2=6Разобьем числовую ось на 5 интервалов, составим таблицу и определим знак первой производной в каждом интервале.

х-∞; 000; 222; 666;+∞у'(x)+0+—0+у (x)возрастает0возрастает_убывает13,5возрастаетminПри переходе через точку х = -6 первая производная меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция имеет минимум: уmin= у (6)=13,5.Найдем вторую производную: y''=0 при х=0 и y'' - не существует при х=2.Составим таблицу, разбив числовую ось на интервалы и определим знак второй производной в каждом из них:

х-∞; 000; 22;+∞y''(х)-0++у (х)∩UUПри переходе через точку х=0 y'' меняет свой знак, поэтому х=0 — абсцисса точки перегиба. Следовательно, С (0;0) — точка перегиба графика функции. График исследуемой функции показан на рис.

7.2. Рисунок 7.2Список использованной литературы.

Баврин, И. И. Высшая математика: учебник по естественно-научным направлениям и специальностям / И. И. Баврин. — Москва: Академия, 2010.

— 611 с. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. — Москва: АСТ: Астрель, 2010.

— 703 с. Высшая математика / А. И. Астровский, Е. В.

Воронкова, О. П. Степанович: учебно-методический комплекс. — Минск: Издательство МИУ, 2009. -.

383 с. Высшая математика: учебник / К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, А. В.

Рукосуев. — Москва: Флинта: МПСИ, 2010. — 359 с. Высшая математика для экономистов: курс лекций / П. С. Геворкян [и др.]. — Москва: Эконом, 2009.

— 351 с. Высшая математика: учебник для студентов высших технических учебных заведений / Г. Л. Луканкин [и др.]. — Москва: Высшая школа, 2009. — 583 с. Краткий курс высшей математики: учебник / К.

В. Балдин [и др.]. — Москва: Дашков и Кº, 2012. — 510 с. Кундышева, Е. С. Математика: учебник / Е. С.

Кундышева. — Москва: Дашков и Кº, 2011. — 561 с. Малыхин, В. И. Высшая математика: учебное пособие / В. И.

Малыхин. — Москва: Инфра-М, 2010. — 363 с.