Оптимальная стабилизация линейных автономных систем с последействием

Интерес к дифференциальным уравнениям с последействием стимулируется иробле-мами математического моделирования в различных областях естествознания. Основные положения теории этих уравнений изложены в монографиях Н. В. Азбелева, В.II. Максимова и Л. Ф. Рахматуллиной [2], Р. Беллмана и К. Л. Кука [14j, В. Б. Колмановского и В. Р. Носова [52], H.H. Красовского [61], А. Д. Мышкиса [81], Дж. Хейла [98]. Л.Э. Эль-сгольца и С. Б. Норкина [102]. В теории устойчивости дифференциальных уравнений с последействием имеются различные направления. Соответствующая библиография весьма обширна. Первый метод Ляпунова развивался в работах Р. Беллмана, К. Л. Кука, А. Ха-ланая, Дж. Хейла, С. Н. Шиманова. Второй метод Ляпунова получил развитие в работах H.H. Красовского, В. Б. Колмановского, В. Р. Носова, Ю. С. Осипова, Б. С. Разумихипа, Д. Я. Хусаипова, С. Н. Шиманова. Устойчивость по отношению к постоянно действующим возмущениям изучалась в работах Н. В. Азбелева, Л. М. Березапского, А.И. Домошпицко-го, В. В. Малыгиной, П. М. Симонова.

Теория стабилизации дифференциальных уравнений с последействием имеет важное прикладное значение. В рамках этой теории развивались различные направления. Соответствующая библиография весьма обширна. Возможность стабилизации динамической системы тесно связана с ее управляемостью [40]. Условия управляемости систем дифференциальных уравнений с последействием изучалась в работах [10,33,69,73−75,90,97]. Для систем дифференциальных уравнений с последействием предлагались различные методы стабилизации [4, б, 8, И, 30,47,48,66,67,75,76,78,83,84,90−93,103,106,108,114,116,120,127, 129,132,138].

Работы H.H. Красовского, посвященные проблеме аналитического конструирования оптимальных регуляторов для систем дифференциальных уравнений с запаздыванием, показали, что при ее решении удобно использовать функциональное пространство состояний [56−59,63]. H.H. Красовскии определил достаточные условия существования оптимального стабилизирующего управления. Ю. С. Осипов установил их связь с вполне управляемостью специальной конечномерной системы [62,82]. Постановка задачи оптимальной стабилизации в функциональном пространстве состояний, предложенная H.H. Красовским, позволила решать задачи оптимальной стабилизации для дифференциальных уравнений в частных производных [125,133], стохастических дифференциальных уравнений [5,49,51,68,117] и дифференциальных уравнений в банаховом пространстве [54,109,110,118,119], а также задачи оптимального управления системой с последействием на конечном отрезке времени [12,50,123,124,120,135]. Линейпо-квадратичная задача оптимальной стабилизации системы с последействием сводится к нахождению решения алгебраического уравнения Риккати в функциональном пространстве состояний [13,104,118].

Теоретические и вычислительные трудности проблемы построения решения алгебраического уравнения Риккати в функциональном пространстве состояний пытались преодолеть, переходя к конечномерным аппроксимациям задачи оптимальной стабилизации [109−111,113,118,119]. В основе которых лежит замена дифференциального уравнения с неограниченным инфинитезимальным оператором дифференциальными уравнениями с конечномерными инфинитезимальными операторами в функциональном пространстве состояний. В настоящей работе рассматриваются каноническая и усредняющая схемы аппроксимации.

Каноническая схема аппроксимации изучалась Дж. Хейлом, С.II. Шимановым [98, 100, 101]. Приложению ее к задаче оптимальной стабилизации систем с последействием посвящены работы H.H. Красовского. Е. М. Маркуигина, Ю. С. Осииова, С.Н. Шпмано-ва, L. Pandolfi [62,70−72,82,100,101,130,131]. Построение канонической аппроксимации для системы дифференциальных уравнений с последействием требует нахождения корней характеристического уравнения. Последняя задача недостаточно изучена и является предметом исследования в первой главе. В диссертации дается аппроксимационпое решение последней проблемы, использующее теорию характеристических определителей и определителей возмущения, изложенную в монографии И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн [35]. Предложены методы нахождения аппроксимирующих характеристических уравнений и получены асимптотические оценки их точности. На их основе разработаны процедуры вычисления корней характеристического уравнения, построения канонических аппроксимаций и процедуры нахождения аппроксимаций оптимального стабилизирующего управления для системы дифференциальных уравнений с последействием.

Усредняющая схема аппроксимации предложена H.H. Красовским [57] и изучалась Ю. М. Репиным, A.B. Куржапским, Ю. Ф. Долгим, Г. В. Демиденко, Л.A. Burns, М.С. Delfour, J.S. Gibson, F. Kappel [38,39,79,89,107,113,119]. Приложению ее к задаче оптимальной стабилизации систем с запаздыванием посвящены работы H.H. Красовского, J.A. Burns, М.С. Delfour, J.S. Gibson, F. Kappel [57,107, 111,112,119,1'24]. В работе J.S. Gibson [119] доказана равномерная сходимость аппроксимирующих управлений к оптимальному стабилизирующему управлению системы дифференциальных уравнений с запаздыванием. В диссертации решена сложная задача нахождения асимптотики сходимости аппроксимирующих управлений к оптимальному стабилизирующему управлению системы с запаздыванием. Аналогичная задача решалась в работеМ. Kroller, К. Klinisch [125| для дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Применение методики этой работы в задаче оптимальной стабилизации системы с запаздыванием осложняется отсутствием равномерной сходимости эволюционных операторов для малых положительных значений времени. Преодоление этой трудности потребовало существенно изменить методику доказательства работы М. Кго11ег, К. КлишсИ и сильно усложнило обоснование результата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Система нумерации формул содержит три индекса, первый индекс — номер главы, второй индекс — номер параграфа, третий индекс — номер формулы в параграфе. Остальные объекты нумеруются двумя индексами, первый индекс — помер главы, второй индекс — номер объекта в главе. Общий объем работы составляет 134 страницы машинописного текста.

1. Авдонин С. А., Иванов С. А. Базисы Рисса из экспонент и разделенные разности // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13. Вып. 3. С. 1−17.

2. Азбелев Н. И., Максимов В. П., Рахматулаина Л. Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения М.: Ин-т компьютерных исслед., 2002.

3. Азизов Т. А., Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространстве с индефинитной метрикой. М.: Наука. 1986. 352 с.

4. Александров А. Р. Синтез регуляторов многомерных систем. М.: Наука. 1986. 272 с.

5. Андреева Е. А., Колмауювский В. Б. Управление эридитарными системами. М.: Наука 1992. 336 с.

6. Андреева И. Ю., Сесекин А. Н. Вырожденная линейно-квадратичная задача оптимизации с запаздыванием по времени // Автомат, и телемех. 1997. N° 7. С. 43 54.

7. Андрейчиков И. П., Юдович В. И. Об устойчивости вязкоупругих стержней // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1974. № 2. С. 78−87.

8. Асмылович И. И., Марченко В. М. Управление спектром систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1976. Л" 87. С. 5−15.

9. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1966. 544 с.

10. Быкова Т. С., Тонкое E.JI. Приводимость линейной системы с последействием // Тр. ИММ УрО РАН. 2005. Т. 11. № 1. С. 53 64.

11. Баландин Д. В., Коган H.H. Метод функций Ляпунова в синтезе законов управления при интегральном и фазовых ограничениях // Дифферент-, уравнения. 2009. Т. 15. № 5. С. 655−664.

12. Барабанов А. Т. Оптимальное по квадратичному критерию управление линейным обь-ектом с постоянным запаздыванием // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1985. N" 6. С. 180−192.

13. Барабанов А. Т. Стабилизирующее решение алгебраического уравнения Риккати. Метод резольвенты. // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2008. № 3. С. 40−51.

14. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

15. Бердышев В. И., Петрак JI.В. Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения. Екатеринбург: УрО РАН. 1999. 295 с.

16. Быков Д. С. Аппроксимация характеристического уравнения в задаче устойчивости вязкоупругого стержня // Тр. 38-й Региональной молодежной конф. «Проблемы теоретической и прикладной математики». Екатеринбург. 2008. С. 102−106.

17. Быков Д. С. Аппроксимирующие характеристические уравнения для систем дифференциальных уравнений с последействием // Международная науч. конф. «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики». Москва.2009. С. 153−154.

18. Быков Д. С. Конечномерные аппроксимации дифференциальных) равнений с запаздыванием в гильбертовом пространстве состояний // Сб. XXV ВВМШ «Современные методы теории краевых задач». Воронеж. 2010. С. 48−49.

19. Быков Д. С. Оптимальная стабилизация автономных систем с последействием // Тез. докл. XI Международной конф. «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». Москва. 2010. С. 74−76.

20. Быков Д. С., Долгий Ю. Ф. Аппроксимирующие характеристические уравнения для динамической модели вязкоупругого стержня // Май ем. и прикл. анализ. Тюмень.2010. Вып. 4. С. 62−76.

21. Быков Д. С. Оптимальная стабилизация автономных систем с последействием, использующая метод Понтрягина // Тр. 41-й Региональной молодежной конф. «Проблемы теоретической и прикладной математики». Екатеринбург. 2010. С. 325−331.

22. Быков Д. С. Оценка точности усредняющих аппроксимаций в задаче оптимальной стабилизации систем с запаздыванием // Тез. докл. Международ, конф. по математической теории управления и механике. Суздаль. 2011. С. 53 -54.

23. Быков Д. С. Приближенный метод нахождения оптимальных стабилизирующих управлений для автономных систем с последействием // Вест. Тамбовского университета. 2011. Т. 16. Вып. 4. С. 1045−1047.

24. Быков Д. С., Долгий Ю. Ф. Аппроксимирующие характеристические уравнения для автономных систем дифференциальных уравнений с последействием // Изв. вузов. Матем. 2011. № 1. С. 18−23.

25. Быков Д. С., Долгий Ю. Ф. Канонические аппроксимации в задаче оптимальной стабилизации автономных систем с последействием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17. № 2. С. 20−34.

26. Быков Д. С., Долгий Ю. Ф. Оценка точности аппроксимаций оптимального стабилизирующего управления системы с запаздыванием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18. № 2. С. 38−47.

27. Быков Д. С. Канонические аппроксимации в дифференциальных уравнениях с запаздыванием // Тр. X Междунар. Четаевской конф. 2012. Т. 2. С. 144−153.

28. Быков Д. С. Асимптотическая оценка точности аппроксимаций оптимального стабилизирующего управления системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Деп. в ВИНИТИ 03.05.12. X* 206-В1012. 50 с.

29. Власов В. В. О базисности экспоненциальных решений функционально-дифференциальных уравнений в пространстве Соболева // ДАН РАН. 2001. Т. 381. № 3. С. 302−304.

30. Габелая А. Г., Иваненко В. И., Одарич О. Н. Стабилизпруемость линейных автономных систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1976. № 8. С. 12−16.

31. Гинзбург Ю. П., Иохвидов И. С. Исследования по геометрии бесконечномерных пространств с билинейной метрикой // Успехи математических наук. 1962. Т. 17. Вып. 4. С. 3−56.

32. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г.

Введение

в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1965. 448 с.

33. Гребенщиков Б. Г., Ложников А. Б. О стабилизации некоторых систем, содержащих два линейных запаздывания // Дифференц. уравн. 2009. Т. 45. № 9. С. 1309−1319.

34. Даифорд Ы., Шварц Дж. Линейные операторы. М.: ИЛ. 1962. 895 с.

35. Демиденко Г. В., Лихохивай В. А. Котова Т.В., Хропова Ю. Е. Об одном классе систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргумешов // Сиб. мат. журнал. 2006. Т. 47. Ш. С. 58−68.

36. Демидеико Г. В., Лихошвай В. А., Мудрое A.B. О связи между решениями дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и бесконечномерных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. .NM. С. 34 4G.

37. Долгий Ю. Ф. Асимптотика характеристических показателей функционально-дифференциальных уравнений // Изв. Урал. гос. ун-та. 2006. Т. 46. ЛгН0. С. 50−59.

38. Долгий Ю. Ф. К стабилизации линейных автономных систем дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием // Автомат, и телемех. 2007. Вып. 10. С. 92−105.

39. Долгий Ю. Ф. Устойчивость периодических дифференциально-разностных уравнении: Учеб. пособие. Екатеринбург: УрГУ. 1996. 84 с.

40. Долгий Ю. Ф., Быков Д. С. Линейные функционально-дифференциальные уравнения в пространстве с неиндефинитной метрикой // Изв. инс. матем. и информат. УдГУ. Ижевск, 2012. С. 48−50.

41. Икрамов ХД. Численное решение матричных уравнений. .М.: Наука. 1984. 192 с.

42. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука. 1984. 752 с.

43. Калман Р., Арбиб М., Фалб П. Очерки по мачематической теории систем. М.: Едито-риал УРСС. 2004. 400 с.

44. Ким A.B., Лолсииков А. Б. Линейно-квадратичные задачи управления для систем с последействием. Точные решения // Автомат, и телемехан. 2000. JVa7. С. 15−31.

45. Княжище А. Б. Функционалы со знакопостоянной производной для стабилизации систем с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 689−697.

46. Колмаиовский В. Б. О равенствах, определяющих вторые моменты решений стохастических дифференциальных уравнений с последействием // Упр. мат. журнал. 1975. Т. 27. т. С. 94−97.

47. Колмаиовский В. Б. Точные формулы в задаче управления некоторыми системами с последействием // Прикл. матем. и мех. 1973. Т. 37. Вып. 2. С. 228−235.

48. Колмаиовский В. Б., Майзенберг Т. Л. Оптимальное управление стохастическими системами с последействием // Автоматика и телемеханика. 1973. .№ 1. С. 47−61.

49. Колмаиовский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

50. Колмогоров А. Н. Основные понятия теория вероятности. М.: Наука. 1974. 115 с.

51. Кордупеану К. Линейно-квадратичные задачи оптимального управления для систем с абстрактными вольтерроваыми операторами // Техн. кибернетика. 1993. JY8. 1. С. 132 136.

52. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука. 1966. 499 с.

53. Красовский Н. Н. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздываниями времени // Прикл. матем. и механ. 1962. Т. 26. С. 39−51.

54. Красовский H.H. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в системе с запаздыванием // Прикл. матем. и механ. 1964. Т. 28. С. 716 724.

55. Красовский H.H. Об оптимальном регулировании в линейных системах с запаздываниями времени // Сибирск. математ. журнал. 1963. Т. 4. № 2. С. 295−302.

56. Красовский H.H. Оптимальные процессы в системах с запаздыванием / / Труды 2-го конгресса ИФАК. М.: Наука. 1965. Т. 2. С. 201−210.

57. Красовский H.H. Проблемы стабилизации управляемых движений // Дополнение к книге И. Г. Малкина: Теория устойчивости движения. М.: Наука. 1966. 530 с.

58. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Фпзматгиз. 1959. 212 с.

59. Красовский H.H., Осипов Ю. С. О стабилизации движений управляемого объекта с запаздыванием в системе регулирования // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1963. № 6. С. 3 15.

60. Красовский H.H. Теория оптимальных управляемых систем // Сб. Механика в СССР за 50 лет. Т. 1. М.: Наука. 1968. С. 179−244.

61. Крейн С. Г., Петунии Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука. 1978. 400 с.

62. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексною переменного. М.: Наука. 1965. 736 с.

63. Лигпвак М. А. Решение одного класса задач оптимально управления системами с распределенными параметрами // Сб. Системы многосвязного упр. 1977. С. 100 105.

64. Лямпе Б. П., Розеитвассер E.H. Я2-оптимизация импульсных систем с запаздыванием на основе метода параметрической передаточной функции // Автом. и телемех. 2010. № 1. С. 57−79.

65. Майзенберг Т. Л. Об оптимальном управлении некоторыми линейными системами с последействием при наличии случайных возмущений // Дифференц. уравп. 1974. Т. 10. № 9. С. 1616 1629.

66. Макаров Е. К., Попова C.II. О глобальной управляемости центральных показателей линейных систем // Изв. вузов. Матем. 1999. № 2. С. GO G7.

67. Маркушин Е. М. Оптимальные системы автоматического регулирования с запаздыванием по времени. Саратов: Изд. Саратов, ун-та. 1971. 92 с.

68. Маркушин Е. М. Приближенное решение задачи аналитического конструирования регулятора для систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1968. 3. С. 13−30.

69. Маркушин Е. М., Шиманов С. П. Приближенное решение задачи аналитического конструирования регулятора для систем с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2. № 8. С. 1018−1026.

70. Марченко В. М. Математические задачи управления и наблюдения для линейных систем с последействием. Минск. 1983. Дис. д.ф.-м. н. 297 с.

71. Марченко В. М. Complete Controllability of Delay Systems // Problem Control Inform. Theory. 1979. V. 8. № 5−6. P. 421−439.

72. Марченко B.M., Аемыкович И. К. Управление спектром систем с запаздыванием // Автом. и телемех. 1976. № 7. С. 5−14.

73. Марченко В. М., Якименко A.A. О построении конструктивных стабилизирующих регуляторов для систем с запаздывающим аргументом нейтрального типа // Диф. уравнения. 2007. Т. 43. № 11. С. 1480−1486.

74. Мейман H.H., Чеботарев Н. Г. Проблема Рауса-Гурвица для полиномов и целых функций // Тр. Математического ин-та им. Стеклова. 1949. Т. 26. С. 3 331.

75. Миркии E.JI. Параметрическая оптимизация систем управления объектами с запаздыванием // Автом. системы управления. Фрунзе. 1984. С. 3−9.

76. Мудрое A.B. О связи систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с запаздывающим аргументом // Вестник НГУ. Сер. матем., механ., информ. 2007. Т. 7. № 2. С. 52−64.

77. Мынбаев К. Т., Отелбаев М. О. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов. М.: Наука. 1988. 288 с.

78. Мышкие А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. 352 с.

79. Осипов Ю. С. О стабилизации управляемых систем с запаздыванием //' Дифференц. уравнения. 1965. Т. 1. № 5. С. 605−618.

80. Павликов C.B. О стабилизации движений управляемых механических систем с запаздывающим регулятором // ДАН. 2007. Т. 412. Вып. 2. С. 176−178.

81. Пименов В. Г. К задаче о регулировании системой с запаздыванием в управлении // Сб. Некоторые методы позиц. и програм. упр. 1987. С. 107−121.

82. Полна Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч. 1. М.: Наука. 1978. 391 с.

83. Понтрягин Л. С. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций // Известия АН СССР. Сер. математическая. 1942. Т. 6. № 3. С. 115−134.

84. Приближенное решение операторных уравнений // М. А. Красносельский и др. М.: Наука. 1969. 456 с.

85. Привалов И. И.

Введение

в теорию функций комплексного переменного. М.: Паука. 1960. 444 с.

86. Репин Ю. М., Третьяков В. Е. Решение задачи об аналитическом конструировании регуляторов на электронных моделирующих установках // Автомат, и телемех. 1963. Т. 24. № 6.

87. Родионов А. М. О линейной задаче оптимального управления с запаздыванием и квадратичным функционалом // Дифференц. уравп. 1977. Т. 13. JV’a 10. С. 1988;1890.

88. Скубачевский А. Л. К задаче об успокоении системы управления с последействием // Докл. РАН. 1995. Т. 255. № 2. С. 157−160.

89. Солодушкин С. И. Стабилизация линейных систем с запаздыванием по времени в координатах и управлении // Тр. ИММ УрО РАН. 2008. Т. 14. № 4. С. 143−158.

90. Солодушкин С. И. Стабилизация систем с запаздыванием по времени в координатах и управлении // Инф. технолог, моделир. и упр. 2009. № 2. С. 226−230.

91. Фихтенгольц P.M. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. М.: Наука. 1969. 656 с.

92. Функциональный анализ под ред. С. Г. Крейна. М.: Наука. 1972. 544 с.

93. Хартовекий В. Е. К задаче управляемости и индентифицируемости динамических систем со многими параметрами // Автомат, и телемех. 2005. № 9. С. 40 53.

94. Хартовекий В. Е. Об управлении не полностью управляемыми дифференциально-разностными системами с запаздыванием // Автомат, и телемех. 2008. N°7. С. 47−58.

95. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1984. 421 с.

96. Хилле Э., Филлипе Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ. 1962. 830 с.

97. Шиманов С. Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с последействием // Дифференц. уравнения. 1965. Т. 1. .V* 1. С. 102−116.

98. Шиманов С. Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // Прикл. матем. и механ. 1963. 'Г. 27. Вып. 3. С. 450−458.

99. Элъсгольц Л. Э., Норкин С. Б.

Введение

в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 295 с.

100. Якубович В. А. Линейно-квадратичная задача оптимизации и часюгная теорема для периодических систем // Сибир. матем. журнал. 1986. Т. 27. № 4. С. 191−260.

101. Янушевский Р. Т. Управление объектами с запаздыванием. Н.: Наука. 1978. 416 с.

102. Banks Н.Т., Burns J.A. Hereditary control problems: numerical methods based on averaging approximations // SIAM J. Control and Optim. 1978. V. 16. № 2. P. 169−208.

103. Bin Z., Zongli L., Guang-Ren D. Global and Semi-Global Stabilization of Linear Systems With Multiple Delays and Saturations in the Input // SIAM J. Control Optim. 2010. V. 48. № 8. P. 5294−5332.

104. Burns J.A., Cliff E. Methods for approximating solutions to linear hereditary quadratic optimal control problems // IEEE Trans, on Automatic Control. 1978. V. 23. № 1. P. 2126.

105. Chen J.D. Delay-dependent nonfragile H^ observer-based control for neutral systems with time delays in the state and control input // J. Optimiz. Theory and Appl. 2009. V. 141. № 2. P. 445−460.

106. Datko R. A Linear Control Problem in Abstract Hilbert Space II J. Differential Equations. 1971. V. 9. P. 346−359.

107. Datko R. Unconstrained control problems with quadratic cost // SIAM .1. Control Optim. 1973. V. 11. № 1. P. 32−52.

108. Delfour M.C., McCalla C., Mitter S.K. Stability and the infinite-time quadratic cost problem for linear hereditary differential systems // SIAM J. Control. 1975. V. 13. № 1. P. 48−88.

109. Delfour M.C., Mitter S.R. Contrallability, observability and optimal feedback control of hereditary differential systems // SIAM J. Control. Optim. 1972. V. 10. № 2. P. 298−328.

110. Delfour M.C. The linear quadratic optimal control problem for hereditary differential systems: Theory and numerical solution // SIAM J. Appl. Mathematics and Optim. 1977. V. 3. № 2. P. 101−162.

111. Emilia F., Serge N., Julie V. Stabilization of Second Order Evolution Equations with Unbounded Feedback with Time-Dependent Delay // SI AM Л. Control Optim. 2010. V. 48. № 6. P. 5028 5052.

112. Fabiano R.H. Stability and approximation for a linear viscoelastic model // Л. .Math. Analys. and Appl. 1996. V. 204. № 1. P. 206−220.

113. Frederic M., Silviu-Iulian N., Mounir B. Backstepping for Nonlinear Systems with Delay in the Input Revisited // SIAM J. Control Optim. 2011. V. 49. № 6. P. 2263−2278.

114. Germani A., Manes C., Pepe P. A Twofold Spline Approximation for Finite Horizon LQG Control of Hereditary Systems // SIAM J. Control Optim. 2000. V. 39. № 4. P. 1233−1295.

115. Gibson J.S. Linear-quadratic optimal control of hereditary differential systems: infinite dimensional Riccati equations and numerical approximations // SIAM J. Control and Optim. 1983. V. 21. 1. P. 95−139.

116. Gibson J.S. The Riccati Integral Equations for Optimal Control Problems on Hilbert Spaces ,// SLAM J. Control and Optim. 1979. V. 17. №. 4. P. 537−565.

117. Grytsay I.N. Stabilization of pure delay system in linear part // Сборн. матер. Международной научной школы-конференции «Тараповские чтения». Харьков. 2008. С. 187−188.

118. Но К., Kappel F. A uniformly differentiable approximation scheme for delay systems using splines // Appl. Math. Optim. 1991. V. 23. P. 217−262.

119. Ito K., Teglas 11. Legendre-tau approximations for functional differentional equations // SIAM J. Control and Optim. 1986. V. 28. № 4. P. 737 759.

120. Ito K., Teglas II. Legendre-tau approximation for functional differential equations Part II: The linear quadratic optimal control problem // SIAM J. Control and Optim. 1987. V. 25. № 6. P. 1379−1408.

121. Kappel F., Salamon D. Spline approximation for retarded systems and the Riccati equation // SIAM J. Control and Optim. 1987. V. 25. Л* 4. P. 1082−1117.

122. Kroller M., Kunisch K. Convergence rates for the feedback operators arising in the linear quadratic regulator problem governed by parabolic equations // SIAM J. Numerical Anal. 1991. V. 28. № 5. P. 1350−1385.

123. Kushner H.J., Barnea D.I. On the control of a linear functional-differential equation with quadratic cost // SIAM J. Control. 1970. V. 8. JY" 2. P. 257−272.

124. Kwon O.H., Park J. H. Delay-range dependent stabilization of uncertain dynamic systems with interval time-varying delays // Appl. Math, and Coinput. 2009. V. 208. P. 58−68.

125. Lasiecka /., Manitius A. Differentiability and convergence rates of approximating semigroups for retarded functional differential equations // SIAM J. Numerical Anal. 1988. V. 25. № 4. P. 883−907.

126. Michiels W., Sepulchre R., Roose D. Stability of Perturbed Delay Differential Equations and Stabilization of Nonlinear Cascade Systems // SIAM J. Control Optim. 2002. V. 40. № 3. P. 661−680.

127. Pandolfi L. Stabilization of neutral functional differential equations //, J. Optim. Theory and Applications. 1976. V. 20. № 2. P. 191−204.

128. Pandolfi L. Canonical realizations of systems with delays // SIAM J. Control and Optim. 1983. V. 21. 4. P. 598−613.

129. Park J. H. LMI optimization approach to asymptotic stability of certain neutral delay differential equation with time-varying coefficients // Appl. Math, and Comput. 2005. V. 160. № 2. P. 355−361.

130. Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. New-York: Springer-Verlag. 1983. 285 p.

131. Phillips R.S. Perturbation theory for semi-groups of linear operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1953. V. 74. P. 199−221.

132. Propst G. Piecewise linear approximation for hereditary control problems // SIAM J. Control and Optim. 1990. V. 28. № 1. P. 70−96.

133. Salamon D. Structure and stability of finite dimensional approximations for functional differential equations /,/ SIAM J. Control and Optim. 1984. V. 23, 6. P. 928−951.

134. Sridhar R., Ilohn R., Long G. A General Formulation of the Milling Process Equation — Contribution to Machine Tool Chatter Research // Journal of Engineering for Industry. 1968. V. 90. № 2. P. 317−324.

135. Weihai Z., Bor-Sen C. State Feedback H^ Control for a Class of Nonlinear Stochastic Systems // SIAM J. Control Optim. 2006. V. 44. № 6. P. 1973;1991.