Структурные и линейно-метрические свойства максимальных F — алгебр голоморфных функций в полуплоскости

Исторически первыми из максимальных классов голоморфных функций изучались классы, определенные в круге [28]. Интерес к пространствам в случае бесконечной меры впервые возник в начале 30-ых годов прошлого века в связи с исследованиями Р.Е.А. Ч. Пэли и Н. Винера свойств преобразования Фурье. В работах Э. Хилле и Я. Д. Тамаркина [22], [23] были рассмотрены классы Hp (D), p ^ 1, таких голоморфных функций / в полуплоскости D = {z = х + iy | у > 0}, для которых.

00 sup / f (x + iy) pdx < +оо, р > 1,.

2/>0 J -00 аналоги классов Харди в случае круга), а в основе изучения лежало установленное ими наблюдение о представимости функций классов Hp (D), p ^ 1, абсолютно сходящимся интегралом Коши. Случай О < р < 1 рассмотрен в статье Т. Кавата [24].

Немногими годами позже советский математик В. И. Крылов [10] провел системное исследование более широких, чем классы HP (D), классов голоморфных функций в полуплоскости (и в частности, введенного им аналога класса Неванлинны в круге). Определенная часть достигнутых в рассматриваемой области результатов, включающая полученные с применением методов функционального анализа, отражена в монографиях [И], [6].

Дальнейший интерес к тематике возник в самом конце XX века, когда японские математики Я. Иида [32] и Н. Мочизуки [27] продолжили исследования В. И. Крылова. Однако изучавшиеся ими классы, как и классы В. И. Крылова, не образуют линейных пространств, что осложняет их изучение методами функционального анализа. В это же время Л. М. Ганжула [4] (ученица В.И.Гаврилова) рассмотрела новый вид максимальных классов, а именно, пространство M1(D) таких голоморфных в полуплоскости D функций /, для которых справедливо.

00 +00 ln (l + Mf (x)) dx = / ln (l + sup f (x + iy)) dx < +oo,.

J J 2/>0.

2/>0 00 —00 и доказала, что класс Ml (D) образует F—алгебру относительно определенной в нем естественной инвариантной метрики.

В работе изучаются общие классы Mq (D), q > 0, голоморфных функций / в полуплоскости, для которых.

00 +00 ln9(l + Mf (x))dx = / ln9(l + sup f (x + iy)) dx < +oo, # > 0,.

J y>0 y> 0.

— oooo.

0.1) отмечая, что каждый Mq (D)1q > 0, содержит классы Харди HP (D) для всех 0 < р ^ q. Аналоги классов Mq (D) в круге и шаре рассматривались в статье [3].

Параллельно в диссертации изучаются классы Ng (D), q > 0, всех голоморфных в D функций /, у которых.

00 sup / ln9(l + f (x + iy) I) dx < +00, q > 0, (0.2) y>0 J.

— 00 аналоги классов И. И. Привалова для круга [14]).

В диссертации строится теория относительно этих классов, доказывается, что они обладают хорошими линейно-метрическими свойствами, описывается структура их подпространств и линейных изо-метрий, формулируется и доказывается целый ряд структурных свойств.

Целью работы является изучение пространств Mq (D) и Nq (D), q > 0, голоморфных функций / в полуплоскости D. Перед автором стояли следующие задачи:

• исследовать граничные свойства и оценить рост функций из указанных классов;

• найти связи между ранее известными классами и вновь введенными;

• доказать линейные свойства пространств, описать их ограниченные и вполне ограниченные подмножества;

• найти общий вид линейных изометрий пространств Nq (D).

Результаты диссертации получены с использованием методов теории функций комплексного переменного, математического анализа и функционального анализа.

Все основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Установлены связи изучаемых классов с известными максимальными классами в полуплоскости: в частности, доказано, что Mq (D) и Nq (D) совпадают как множества в случае q > 1;

2. Исследовано граничное поведение и получены оценки роста для функций из классов Mq (D) и Nq (D), q > 0;

3. Предложено новое факторизационное представление функций из Mq (D), q > 1, с помощью произведения Бляшке, построенного по нулям этих функций;

4. Доказано, что классы Mq{D) и Nq (D), q > 0, образуют F—алгебры относительно естественных метрик;

5. Доказаны критерии свойств ограниченности и полной ограниченности подмножеств в пространствах Mq (D), q > 0;

6. Установлен общий вид линейных изометрий в Nq (D), q > 0.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории функций комплексного переменного, функционального анализа, а также, в теории аппроксимаций аналитических функций. В дальнейшем они могут быть использованы специалистами, работающими в МГУ им. М. В. Ломопосова, Московском педагогическом государственном университете, Университете Черногории и других научных учреждениях страны.

Результаты диссертации докладывались:

• на семинаре кафедры математического анализа в МГУ им. М. В. Ломоносова иод руководством проф. В. И. Гаврилова (по мере их получения);

• на 24-й конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (2002 г.);

• в Саратовской зимней математической школе «Современные проблемы теории функций и их приближения» (Саратов, 2006.

• на научном семинаре природно-математического факультета Университета Черногории (2006 г.);

• на конференции «Ломоносовские чтения» в МГУ (2007 г.).

В первой главе приводятся определения основных классов функций, голоморфных в полуплоскости D = {z = x—iyy> 0}, рассматриваемых в диссертации, а именно:

1) пространства Харди HP (D) голоморфных функций / в полуплоскости D, для которых.

2) класс Крылова (D) голоморфных в D функций /, удовлетворяющих условию.

00 sup / f (x + iy) pdx < +ооу>о J.

— 00.

00 sup / ln+ f (x + iy) dx < +oo, y>о J.

— 00 где ln+ a = max (lna, 0), a > 0 и ln+ 0 = 0;

3) классы yiq (D), q > 0, рассмотренные в [32] и определяемые как множества голоморфных в D функций /, для которых 00 sup / (ln+ If (x + iy))q dx < +ооv>о J.

— 00.

4) классы Mq (D), q > 0, определяемые с помощью (0.1);

5) классы Nq (D), q > 0, определяемые с помощью (0.2).

В пространствах Mq{D) и Nq (D) рассматриваются характеристики ||/||м" и ||/||лг" как Qfg-ые степени левых частей в (0.1) и (0.2) с aq = min (l, 1 /q), q > 0.

Во втором параграфе первой главы изучаются структурные свойства классов Mq (D) и Nq (D), q > 0. Сформулируем основные из них.

Теорема (аналог теоремы Ф. и М. Риссов). Пусть f EMq{D), q> 0. Тогда,.

1) f имеет граничные пределы f+(x) = lim f (x+iy) почти всюду у-> о на R;

2) граничная функция /+ обладает свойством.

J nq (l + f+{x)) dx<+ оо- — 00.

3) для fh (z) = f (z + ih), h > 0, выполняется равенство 00 lim f nq (l + M (fh-f){x))dx = 0. h-> 0+ Joo.

Теорема (о связи между пространствами).

1) Для каждого q > 1 множество Mq (D) совпадает с множеством Nq (D).

2) U HP (D) С Mq (D).

0< p^q.

Отмечается также, что в отличие от классов Харди в круге, пространства Mq (D) не связаны между собой никакими включениями при различных q > 0.

Для функций из пространств Mq (D) найдены оценки их роста.

Теорема (оценка роста). Для любой функции /? Mq (D), q > 0, справедливо неравенство.

1ч (1 + f (z)) 4 MMl, z = x + iy€D, У где постоянная Eq не зависит от f и (3q = max (l, 1 /q).

Аналогичное неравенство верно и для функций из пространств Nq (D).

Первая глава завершается факторизационной теоремой.

Теорема (факторизационная теорема). Пусть q > 1. Тогда любая функция /? Mq (D) представляется в виде произведения двух функций: f (z) = bf (z)F (z), где bf — произведение Бляшке для функции /- zzv zu — i zv + г. — «zv l zv + % M no последовательности {zu} нулей функции f в D, удовлетворяющей условию.

У] 1, Vl, 2 < +00' Zv = xv + iyu, Уи > 0,^l + xl + yl сходимости произведения bf, а функция F Е Mq (D) и F (z) ф 0, z G D. И обратно, если функция f представляется в указанном виде, то она принадлежит классу Mq (D).

Во второй главе диссертации исследуются линейно-метрические свойства изучаемых пространств. Утверждается, что характеристики || • ||м" и || • образуют квазинормы (в смысле К. Иосиды [8]) в соответствующих классах. Как и в любом квазинормированном пространстве, в Mq (D) и Nq (D) существуют естественные инвариантные метрики, порожденные квазинормами: рм*и, д) = \1-д\мf, geMq (D),.

PN*(f, 9) = \f-9\N<>, f, geNq (D), и в топологиях, определяемых этими метриками, классы представляют собой линейно-топологические пространства.

Оказывается, что эти пространства обладают дополнительными структурами:

Теорема. Каждое Mq (D), q > 0, образует F—алгебру, т. е. такое F—пространство, в котором введена алгебраическая операция умножения, превращающая Mq (D) в алгебру, и эта операция умножения непрерывна в метрике рмч.

Теорема. Каждое Nq (D), q > 0- образует F—алгебру.

Во втором параграфе второй главы описываются ограниченные и вполне ограниченные подмножества классов Mq (D), q > 0. Доказаны следующие критерии.

Теорема (критерий ограниченности). Множество L С Mq (D), q > 0, ограничено тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: а) существует такое число К > 0, что.

J ln9(l + Mf (x))dx.

— оо для любой f G L, то есть мноэюество L ограничено по метрике Pqб) для любого г > О существует такое S = 6(e) > О, что.

J nq (l + Mf (x))dx.

Теорема (критерий полной ограниченности). Множество L вполне ограничено в пространстве Mq (D), q > 1, тогда и только тогда, когда а) L ограничено в Mq (D) — б) множество функций {f+(x)}, f € L, относительно компактно в топологии сходимости по лебеговой мере /л на прямойв) для любого е > 0 существует такое, А > 0, что для всех f G L.

Третья глава диссертации посвящена изучению линейных изо-метрий классов Nq (D), q > 0.

Конус в линейном пространстве определяется как множество, замкнутое относительно умножения на положительные числа. Ключевым утверждением в описании общего вида линейных изометрий этих пространств является следующая.

Лемма. Пусть q > 1 и положительно-однородное отображение I конуса С С hiLq®, где lnL9(M) — класс функций f, для.

00 которых выполняется неравенство f ln9(l + f (x))dx < +оо, яв.

— А.

— 00 А ляется In Lq® -изометричным, то есть 00 +00.

I ln*(l + I f (x + «y)|) dx= J lnfl (l + If (x + iy) I) dx, fGC. 00 —00.

Тогда отображение I будет также и LP (Ж)-изометричным, то есть.

00 +00.

J f (x + iy) pdx= J lf (x + iy) pdx, fee, — 00 —00 для всех р вида q—l, где I 6 и I ^ q + 1.

Основным результатом третьей главы является.

Теорема. Пусть q > 0 и I — произвольная линейная изометрия пространства Nq (D). Тогда I имеет вид = c (y'(z)?lpf (4>{z)), zeDJe N"(D), где с Е С, |с| = 1, (р = Ф (^) = (z—i)(z+i)~1, ф — конформное отображение единичного круга U на себя, и ip' - производная (р.

Обратно, если I имеет вышеуказанный вид для некоторого отображения ip = Ф-1 о ф о Ф, то I — линейная изометрия пространства Nq (D).

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю В. И. Гаврилову за постоянное внимание, искреннюю заинтересованность, постановку интересной задачи, многочисленные обсуждения и ценные советы. Автор благодарен также своему соавтору А. В. Субботину за всестороннюю поддержку и конструктивные замечания в течение всего диссертационного исследования.