Актуальность темы
.
Постановка новых экспериментов по изучению динамики атомных систем в сильных внешних нестационарных полях требует развития непертурбативных методов решения временного уравнения Шредингера. Прямое численное интегрирование такого уравнения даже для простейшей одночастичной системы затрудняется многомерностью задачи (3 пространственных координаты плюс время). Поэтому в качестве тестовых примеров часто используют атомные модели пониженной размерности (одномерные или плоские), реализуемость которых неочевидна. Параксиальная оптика световых пучков естественным образом порождает волновые задачи пониженной размерности, описываемые уравнением Шредингера. Временное уравнение Шредингера, описывающее эволюцию квантового состояния частицы в потенциальном поле, обнаруживает фундаментальную аналогию с уравнением для скалярной амплитуды светового пучка в параксиальном приближении волновой оптики. В последнем случае роль эволюционной переменной (времени) играет продольная координата пучка, роль координат частицы — поперечные координаты пучка, а в качестве потенциала выступает поперечный профиль показателя преломления среды. В частности, задача о распространении внеосево-го (разъюстированного) пучка обобщенной гауссовой формы через волноводную среду с параболическим профилем показателя преломления полностью аналогична задаче о временном поведении двумерного гармонического осциллятора, начальная волновая функция которого задана в виде произвольного обобщенного гауссова пакета. Такие пакеты описывают когерентные состояния смещенного гармонического осциллятора в координатном представлении и являются предметом пристального внимания в квантовой оптике. Таким образом, волновые пучки в волноводных средах могут рассматриваться как классическая физическая модель эволюции квантового состояния частицы, сочетающая в себе наглядность и простоту экспериментальной реализации. При численном решении временного уравнения Шредингера особую сложность представляет одновременное рассмотрение состояний финитного и инфинитного движения, что типично, например, для задач ионизации и рекомбинации атомов. Сходная ситуация имеет место и в оптике волноводов. При возбуждении волновода с конечной глубиной рельефа показателя преломления полем, распределение которого отличается от собственной моды, часть излучения вытекает наружу, а часть, соответствующая собственным модам, продолжает распространяться в волноводном режиме. Как и в квантовой механике, в параксиальной оптике существует ряд задач, предъявляющих повышенные требования к устойчивости и точности численного решения. В частности, адекватная реальному эксперименту постановка задачи о распространении световых пучков в волноводах должна предусматривать возможность значительного влияния на динамику поля в сердцевине со’стороны эффектов, возникающих в оболочке. Волновод гауссова профиля может служить удобным примером, демонстрирующим подобные эффекты. На малых расстояниях от оси симметрии такого волновода распределение показателя преломления имеет почти параболическую форму (модель сердцевины), а на больших расстояниях экспоненциально стремится к постоянному значению (модель оболочки). Такая среда допускает не только режим устойчивого волноводного распространения пучка, но и так называемый режим вытекания излучения. Корректное численное моделирование эффектов вытекания возможно только на основе асимптотически устойчивых схем с корректной реализацией граничных условий. Таким образом, построение таких схем по прежнему остаётся актуальной задачей.
В теории линейных волноводов понятие моды — одно из основных. Моды определяются как распределения поля, которые не изменяются при распространении пучка вдоль оси волновода г с точностью до множителя ехр (—г (3г), где /3 обычно называют константой распространения. Математически вычисление мод для прозрачной среды с линейным коэффициентом преломления эквивалентно решению проблемы на собственные значения и собственные функции линейного самосопряженного оператора. Собственные функции таких операторов имеют ряд известных свойств, таких как ортогональность и полнота, что делает возможным использование их в качестве базиса. Разложение поля по модам широко используется как при расчетах, так и при интерпретации динамики поля в линейных волноводах. Для прозрачных нелинейных волноводов также можно поставить задачу поиска такого поля, поперечное распределение которого не изменяется при распространении. Такие распределения аналогичны модам линейных волноводов и обычно называются нелинейными модами. Подобные задачи возникают в теории конденсата Бозе-Эйнштейна (КБЭ) нейтральных атомов в электромагнитной ловушке. В пределе среднего поля коллективная волновая функция конденсата подчиняется уравнению Гросса-Питаевского. В случае аксиально-симметричных ловушек это уравнение полностью аналогично двумерному нелинейному уравнению Шрединге-ра (НУШ), описывающему распространение лазерного пучка сквозь градиентный световод с керровской нелинейностью. Замечательной особенностью КБЭ является то, что реальные значения константы нелинейности могут быть на много порядков больше, чем керровская константа световода. Другое отличие — ловушки обычно являются трехмерными, а не двумерными, и описывающее их НУШ также трехмерное. В настоящее время наиболее впечатляющие результаты были достигнуты в изучении солитонных решений одномерного НУШ с помощью метода обратной проблемы рассеяния. Однако, даже в одномерном случае стационарные решения НУШ не исследованы для среды с произвольным коэффициентом преломления. Нелинейные моды для двумерных (пучки в волноводах) и трехмерных (атомные Бозе-конденсаты) систем могут быть найдены только численно и должны исследоваться индивидуально в каждом отдельном случае. Один из естественных путей нахождения стационарных поперечных распределений поля в нелинейном волноводе — численное решение проблемы распространения с произвольным начальными условиями с учетом вытекания излучения из волновода. Можно ожидать, что после прохождения некоторого расстояния, когда происходит переходной процесс, пучок приобретает стационарную (¿—независимую) поперечную структуру. Такие пучки часто упоминаются как квазимоды. Однако, такой метод применим только для одномодового волновода либо для волновода, все моды которого различаются типами симметрии. Кроме того, такой способ требует больших затрат вычислительных ресурсов. Более эффективен другой подход — прямой расчет нелинейных мод, аналогичных стационарным состояниям в квантовой механике, при фиксированной величине полной мощности пучка. Стандартные квантовомеханические методы расчета стационарных состояний, например вариационный, для данной задачи применимы только для специфических типов мод, так как для поиска с их помощью произвольной моды требуется использование условия ортогональности, которое для данной задачи не выполняется. Таким образом, существует необходимость создания универсального численного метода расчета нелинейных мод.
Распространение разъюстированного параксиального лазерного пучка в нелинейном волноводе может рассматриваться как нелинейная динамическая задача, где продольная координата г играет роль времени, а поперечный профиль поля — динамическая система, эволюционирующая по г. Прямое решение уравнения распространения лазерного пучка хотя и даёт полную информацию о его динамике, но не является идеальным методом её анализа из-за того, что поле представляет собой бесконечномерную динамическую систему. Для решения этой проблемы обычно используются методы, сводящие систему к конечномерной, такие, например, как т.н. модифицированный обобщенный метод моментов, использующего гауссову пробную функцию, чьи параметры определяются с помощью принципа Галёркина на базисе небольшого числа гибких гауссовых мод. Очевидным минусом подобных методов как раз является предположение о фиксированной, в данном случае гауссовой, форме поперечного профиля поля, что накладывает суровые ограничения на профиль показателя преломления среды. Прямое численное моделирование показывает значительные негауссовы искажения пучка, вызванные керровской нелинейностью, даже в случае параболического профиля линейного показателя преломления, когда метод моментов работает лучше всего. Это приводит к необходимости использования других методов, способных дать прямую информацию о динамике пучка, например, частоты различных типов колебаний пучка в волноводе.
Резонансные самофокусировка и наведение апертуры лазерного пучка в насыщаемой поглощающей среде являлись предметом множества теоретических и экспериментальных исследований. В лазерной спектроскопии лазерные пучки обычно модулированы по амплитуде или частоте. Если период модуляции велик по сравнению с атомными временами релаксации, отклик среды, очевидно, следует за изменениями поля адиабатически, так что среда может описана с помощью нелинейной восприимчивости. Когда период модуляции приближается к времени релаксации, можно ожидать переходного поведения среды. Экспериментальные проявления нестационарной околорезонансной самофокусировки частотно-модулированных пучков были продемонстрированы для неоднородно уширенных линий поглощения в молекулярных газах. Очевидно, что в однородно уширенных системах нестационарный отклик среды должен влиять на переданный пучок таким же образом. Простое приближение нелинейной восприимчивости уже недействительно, и необходимо решать систему временных уравнений Максвелла-Блоха. Схемы, разработанные для коротких импульсов, и основанные на том, что поле ограниченно как в пространстве, так и во времени, не подходят для периодически модулированных полей. Представляется практически важным исследовать искажения и степень подавления модулированного сигнала при прохождении сквозь резонансную поглощающую среду, а для решения подобных задач необходимы более универсальные численные схемы.
Существуют системы, описывающееся уравнениями, подобными уравнениям нелинейной параксиальной оптики, но с нелинейностью много большей, чем в оптических системах. Важнейшим примером таких систем является конденсат Бозе-Эйнштейна (КБЭ) нейтральных атомов в ловушке, чья волновая функция в пределе среднего поля описывается уравнением шредингеровского типа с большим кубическим членом, пропорциональным числу атомов. Исследования динамики КБЭ является интересным в контексте его многообещающих возможностей его применения в атомной оптике. КБЭ стал объектом многочисленных и интенсивных исследований как новое состояние материи со свойствами, открывающими новые возможности для атомной оптики и близких областей. Одной из наиболее интригующих возможностей является создание атомного лазера. Уравнение Гросса-Питаевского, управляющее коллективной волновой функцией КБЭ, по форме совпадает с уравнением распространения лазерного пучка в среде? керровской нелинейностью, но, в противоположность оптическим системам, нелинейные члены в этом уравнении обычно доминируют и не могут быть рассмотрены в качестве возмущения. В теории КБЭ различаются топологические и коллективные моды. Топологические моды представляют собой аналог стационарных состояний обычной квантовой механики и различаются симметрийными свойствами, откуда и происходит их название. Коллективные моды отвечают за колебания слабовозмущенных топологических мод. Возбуждение коллективных мод хорошо изучено как теоретически, так и экспериментально. В некоторых работах высказывалась гипотеза о возможности перехода между топологическими модами под действием резонансного возбуждения переменным полем. Однако необходимо проверить эту идею с помощью численного решения нестационарного уравнения Гросса-Питаевского.
Диссоциативная ионизация двухатомных молекул сейчас является объектом всё более возрастающего интереса вследствие быстрого развития экспериментальных методов регистрации совпадений, которые позволяют измерить импульсы возникших фрагментов, таких как остаточных ионов и электронов, и получить при помощи подсчета совпадений многократные дифференциальные сечения, изучение которых может дать точную информацию о электронной структуре, механизме фрагментации и влиянии направления молекулярной оси. Новые экспериментальные методы стимулировали интерес к фундаментальным теоретическим исследованиям диссоциативной ионизации двухатомных молекул электронным ударом. В области исследования (е, 2е) столкновений, т. е. ионизации электронным ударом с детекцией совпадения двух возникших электронов, двухатомные мишени менее часто теоретически исследуются, чем одноатомные, что находится в противоречии с тем фактом, что большинство газов в природе существуют в форме двухатомных молекул. Это может быть объяснено тем, что теоретическое построение волны, описывающей свободный электрон в поле двух центров, является весьма непростой задачей. Обычно описание испущенного электрона реализуется при помощи волновых функций одноцентрового континуума в форме разложения по парциальным волнам или в форме кулоновской волны, центрированной на центре молекулы или на ядрах. Ион молекулярного водорода для данной области может рассматриваться как простейшая система, в которой удаление единственного электрона вызывает диссоциацию. Простая (е, 2е) ионизация Н2 является одним из плохо изученных экспериментально процессов, также как (7,е) на Нз — В обоих этих случаях свободный электрон с волновым вектором ке находится в поле двух положительно заряженных ядер, которые можно считать неподвижными. Эта уникальная физическая ситуация может служить прекрасным тестом для различных теоретических моделей. Было сделано много попыток найти адекватное приближенное описание такого электрона. Наиболее часто для решения подобных задач используется приближенная волновая функция в форме произведения двух кулоновских функций, центрированных на ядрах, идея которой возникла из модели Плювенажа. Тот факт, что уравнение Шредингера с двумя кулоновскими центрами разделяется в сфероидальных переменных, очень редко используется для расчетов в физических ситуациях, требующих учета двухцентрового континуума. Насколько нам известно, в расчетах простой (е, 2е) ионизации до сих пор никто не использовал парциальные сфероидальные волны для описания медленного испущенного электрона в поле двух неподвижных ядер. С помощью этого приближения можно достичь любой желаемой точности расчета сечения ионизации Н2. Но желательно построить более универсальное приближение для расчета сечения ионизации молекулы или атома быстрым электроном, не требующее применения волновых функций непрерывного спектра.
Недавно было показано, что водородоподобные атомы в перпендикулярных магнитном поле и вращающемся электрическом поле имеют специфический тип стационарных состояний в форме локализованного волнового пакета, вращающегося на стационарной орбите радиусом в тысячи боровских радиусов. Состояния в виде недиссипирующих волновых пакетов обычно называются троянскими по аналогии с троянскими астероидами, вращающимися вокруг Солнца на орбите Юпитера в лагранжевых точках устойчивого равновесия, а атом в таком состоянии в некоторых работах называется са-турнианским. Интенсивно изучались как с квантовой, так и классической точки зрения устойчивость периодического движения пакета по отношению к возмущениям, вероятность спонтанного разрушения сатурнианского атома и превращение его в обычный. Такие состояния представляют интерес в связи с проблемой получение антиводорода из холодной позитрон-антипротонной плазмы в ловушке. Несмотря на то, что в последнее время достигнут значительный прогресс в области получения атомов антиводорода в количествах, достаточных для спектроскопических исследований, что, в конечном счете, необходимо для выяснения фундаментальных различий между веществом и антивеществом, проблема ускорения формирования атомов остаётся актуальной. Сильное магнитное поле больше 1 Тесла и электростатическое поле являются необходимыми элементами используемых в экспериментах ловушек. Помимо этого, легко может быть приложено радиочастотное вращающееся поле, а также лазерное излучение (непрерывное или импульсное). Поэтому разумно предположить, что троянские состояния могут быть использованы как промежуточные состояния при рекомбинации антиводорода. Двух-стадийный процесс, при котором сначала происходит рекомбинация в троянское состояние, а затем переход в обычные низшие состояния атома антиводорода, может иметь большую вероятность, чем прямой переход или переход через промежуточное обычное высокое ридберговское состояние. Для проверки этой идеи желательно получить аналитические соотношения для вероятности вынужденной и спонтанной рекомбинации разряженной плазмы в сатурнианские атомы.
Цель диссертационной работы.
Разработка методов численного решения многомерных нелинейных уравнений типа Шредингера для задач оптики волноводов и атомной оптики, а также задач ионизации и рекомбинации атомно-молекулярных систем. Разработка эффективных приближений и методов анализа этих задач для обнаружения ранее не исследованных физических эффектов и новых свойств рассмотренных систем.
Для достижения этих целей решались следующие основные задачи:
• Разработка метода решения двухмерного эволюционного уравнения шредингеров-ского типа с кубической нелинейностью, описывающего распространение лазерного пучка в волноводе с керровской нелинейностью и динамику Бозе-конденсата нейтральных атомов в цилиндрической ловушке.
• Разработка метода решения нелинейного уравнения типа стационарного уравнения Шредингера для поиска нелинейных мод волноводов и стационарных состояний Бозе-конденсата.
• Разработка метода решения трехмерного нестационарного уравнения Шредингера, описывающего движение электрона в аксиально-симметричном поле.
• Разработка приближения, сводящего задачу ионизации молекулы быстрым электроном к решению трехмерной эволюционной задачи.
Научная новизна работы.
Научная новизна результатов диссертации состоит как в обнаружении ранее не исследованных физических эффектов и свойств рассмотренных систем, так и в разработке оригинальных методов и подходов для их анализа.
1. Дифференциальное сечение ионизации иона молекулярного водорода быстрыми электронами вычислено при помощи нового приближения, которое позволяет свести решение исходного шестимерного уравнения к решению трехмерной эволюционной задачи. Это приближение не требует знания волновых функций непрерывного спектра. При малых углах рассеяния полученные результаты имеют существенные отличия от результатов широко применяемых приближённых методов.
Многократное дифференциальное сечение диссоциативной ионизации Н2 ударом быстрого (2КэВ) электрона впервые рассчитано при помощи волновой функции двухцентрового континуума, построенной из точных решений разделяющегося в сфероидальных переменных уравнения Шредингера для медленного (50 эВ) испускаемого электрона.
Путем численного решения нелинейного уравнения Гросса-Питаевского исследовано не изучавшееся ранее неосновное стационарное состояние Бозе-конденсата атомов в ловушке. Впервые показано, в противоречии с некоторыми работами, что невозможно вызвать резонансный переход из основного состояния в неосновное стационарное состояние под действием периодического возбуждения.
На основе непрерывного аналога метода Ньютона построен новый алгоритм решения стационарного уравнения Шредингера с кубической нелинейностью, возникающего в теории распространения лазерных пучков сквозь градиентные волноводы с керровской нелинейностью, а также в теории конденсатов Бозе-Эйнштейна нейтральных атомов в ловушке.
Предложена новая для оптики световодов технология анализа колебаний параметров лазерного пучка при его распространении в нелинейном волноводе с помощью уравнений Боголюбова, позаимствованная из теории Бозе-конденсата.
Разработан новый метод численного решения полной системы уравнений Максвелла-Блоха, описывающих распространение модулированного лазерного пучка сквозь среду с насыщаемым резонансным поглощением.
7. Впервые даны оценки скорости рекомбинации разряженной антипротон-позитронной (протон-электронной) плазмы с образованием атомов в троянское состояние, возникающем под действием постоянного магнитного поля и вращающегося электрического поля в форме недиссипирующего волнового пакета с помощью простой аналитической формулы для вероятности спонтанной рекомбинации свободного электрона в троянское состояние из разряженной плазмы.
Основные результаты и положения, выносимые на защиту.
1. Параксиальный метод расчета ионизации и возбуждения атомных и молекулярных систем ударом быстрого электрона.
2. Энергетически-угловые распределения многократного дифференциального сечения ионизации молекулярного иона электронным ударом, полученные с помощью предложенного метода и проверенные с помощью точного метода разложения по сфероидальным волнам, при малых углах рассеяния существенно точнее полученных с помощью широко используемых приближенных методов.
3. Метод расчета нелинейных мод градиентных волноводов с керровской нелинейностью и стационарных состояний Бозе-конденсата нейтральных атомов в ловушке, основанный на непрерывном аналоге метода Ньютона.
4. Зависимость вероятности перехода Бозе-конденсата из основного в возбужденное стационарное состояния под действием не имеет резонансного характера вопреки квантовомеханической аналогии.
Достоверность результатов диссертации.
Достоверность теоретических результатов, полученных в диссертации, обеспечивается использованием строгих математических методов, тестированием общих алгоритмов по результатам, полученным другими авторами для частных случаев, сравнением с экспериментом, а также совпадением численных результатов, полученных различными методами.
Научная и практическая значимость работы.
Предложенный параксиальный метод вычисления многократного дифференциального сечения ионизации молекулы ударом быстрого электрона не требует знания функций континуума в явной форме и даже их точной асимптотической формы, которая зачастую неизвестна, и поэтому может быть применён для объяснения результатов экспериментов, в которых регистрируются все частицы, возникшие при ионизации. Такие эксперименты проводятся с целью выяснения роли межэлектронных корреляций в атомах, например, при двукратной ионизации гелия, или особенностей процесса диссоциативной ионизации двухатомных молекул. Предложенное приближение может быть также использовано для решения некоторых проблем ядерной физики, таких как разрушение ядерного гало быстрой частицей. С помощью волновой функции двухцентрового континуума для медленного испускаемого электрона, построенной из точных решений разделяющегося в сфероидальных переменных уравнения Шредингера, путём сравнения графиков многократного дифференциального сечения ионизации положительного иона молекулы водорода ударом быстрого электрона, оценены пределы применимости различных распространенных приближенных функций двухцентрового континуума, таких как приближение кулоновской волны на эффективном центре и двухцентровой волны плювенажевского типа. Так подобные приближенные функции применяются и при расчетах ионизации более сложных систем, определение их пределов применимости представляется весьма важным и необходимым. Полученные графики многократного дифференциального сечения для различных ориентаций молекулы дают некоторое представление об оптимальных условиях для диссоциативной ионизации двухатомных мишеней.
Путем численного решения нелинейного уравнения Гросса-Питаевского показано, что невозможно вызвать резонансный переход между различными топологическими модами Бозе-конденсата атомов в ловушке под действием периодического возбуждения. Таким образом, предполагаемые эксперименты для обнаружения подобных переходов вряд ли дадут положительный результат.
Полученная аналитическая формула для вероятности спонтанной рекомбинации свободного позитрона в троянское состояние из разряженной плазмы может быть использована для подбора таких параметров внешних полей, при которых возможно использование этого состояния как промежуточного в процессе получения атомов антиводорода, и, в конечном счете, заметное увеличения числа полученных атомов антиводорода.
Предложенная численная схема на основе непрерывного аналога итерационного метода Ньютона для решения уравнений типа стационарного уравнения Шредингера с кубической нелинейностью может найти широкое применение для расчета нелинейных мод оптических волноводов, т. е. распределений поля, не меняющиеся при распространении по волноводу. Новый алгоритм продемонстрировал простоту реализации, устойчивость по отношению к выбору начального приближения и высокую скорость сходимости.
Разработанный метод численного решения нестационарного уравнения Шредингера с помощью метода расщепления и комплексного скейлинга, показал высокую эффективность в задачах параксиального распространения световых пучков в градиентных волноводных средах, в том числе при наличии керровской нелинейности. Другой предложенный метод позволяет точно рассчитывать частоты различных типов колебаний лазерного пучка при его распространении в нелинейном волноводе с помощью решения уравнений Боголюбова, и, таким образом, может служить мощным инструментом анализа особенностей его динамики, которые сложно выделить при прямом решении параксиального уравнения. Применение этих двух методов позволило, в частности, существенно уточнить количественные критерии применимости приближенных методов описания параксиальных пучков, разработанных ранее.
Построенная численная схема решения системы уравнений Максвелла-Блоха позволяет рассчитать искажения модулированного лазерного сигнала, распространяющегося сквозь легированный резонансными поглотителями световод. Эта проблема имеет большую практическую значимость.
Личный вклад автора.
Основные результаты диссертации получены автором. Большая часть задач, решенные в диссертации, была предложена моими научными руководителями д. ф.-м. н., проф. С. И. Виницким и д. ф.-м. н., проф. В. Л. Дербовым. Проблема ионизации положительного иона молекулярного водорода, а также метод её решения с помощью разложения по сфероидальным парциальным волнам, были предложены проф. Б. Жулакяном (Institut de Physique, Laboratoire de Physique Moleculaire et des Collisions, Universite de Metz, г. Мец, Франция). В разделах 1.1 и 1.3 использовались аналитические результаты обобщенного модифицированного метода моментов, полученные А. И. Быченковым. Для расчетов в разделе 3.3 использовались подпрограммы для вычисления сфероидальных функций дискретного и непрерывного спектра, написанные Д. В. Павловым.
Апробация работы.
Основные материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных конференциях: Saratov Fall Meeting'99/2000/2001/2002 (Russia, Saratov, 1999/2000/2001/2002) — 2nd International Conference «Modern Trends in Computational Physics», July 24−29, 2000, Dubna, RussiaInternational Meeting on Electron Scattering from Atoms, Nuclei, Molecules and Bulk Matter, Magdalene College, Cambridge, 16−19th December 2001; XVII Международная Конференция по Когерентной и Нелинейной Оп-тике (Беларусь, Минск, 2001) — 10th International Laser Physics Workshop (Moscow, July 3−7, 2001) — 3rd Int. Conf. on Transparent Optical Networks, Cracow, Poland, June 18−21, 2001; 4th Int. Conf. on Transparent Optical Networks, Warsaw, Poland, April 21−25, 2002.
Публикации.
По теме диссертации автором опубликовано 16 работ [1−16], из них 4 статьи опубликованы в реферируемых изданиях [5, 9, 10, 12]. Список основных публикаций приведен в конце диссертации.
Структура и объем диссертации
.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Работа изложена на 128 страницах, содержит 40 рисунков и список литературы из 103 наименований.
Основные результаты проведенных исследований можно сформулировать следующим образом.
1. При помощи параксиального приближения, сводящего проблему к решению трехмерного временного неоднородного уравнения Шредингера, построена процедура вычисления многократного дифференциального сечения (е, 2е) ионизации иона молекулярного водорода ударом быстрого электрона. Такой метод не требует знания функций континуума в явной форме и может быть применён для изучения ударной ионизации более сложных атомных и молекулярных систем. Подобное приближение может быть также использовано для некоторых проблем ядерной физики, таких как разрушение ядерного гало быстрой частицей.
2. Многократное дифференциальное сечение диссоциативной ионизации ударом быстрого (2КэВ) электрона рассчитано при помощи волновой функции двухцен-трового континуума, построенной из точных решений разделяющегося в сфероидальных переменных уравнения Шредингера для медленного (50 эВ) испускаемого электрона. Сравнение результатов с полученными при помощи приближенных методов, таких как кулоновской волны на эффективном центре, двухцентровой волны плювенажевского типа, а также эволюционного приближения, продемонстрировало пределы применимости этих приближенных методов. Графики семикратного дифференциального сечения, которое соответствует ионизации ориентированной молекулы, демонстрируют существенные отличия от результатов широко применяемых приближённых методов при малых углах рассеяния и дают некоторое представление об оптимальных условиях для диссоциативной ионизации более сложных двухатомных мишеней.
3. Путем численного решения нелинейного уравнения Гросса-Питаевского исследовано стационарное состояние Бозе-конденсата атомов в ловушке. Обнаружено, что малые возмущения этого состояния, описываемые уравнениями Боголюбова, имеют некоторые необычные свойства по сравнению с таковыми для основного состояния. Показано, в противоречии с некоторыми работами, что невозможно вызвать резонансный переход из основного состояния в стационарное состояние с одним узлом под действием периодического возбуждения.
4. Изучены специфические состояния электрона в водородном атоме под действием постоянного магнитного поля и вращающегося электрического поля в форме недиссипирующего волнового пакета. Эти состояния, обычно называемые троянскими по аналогии с троянскими астероидами, которые вращаются на орбите Юпитера в лагранжевых точках устойчивого равновесия, могут быть представлены как собственные состояния гамильтониана в координатной системе, вращающейся вместе с электрическим полем. Получена аналитическая формула для вероятности спонтанной рекомбинации свободного электрона в троянское состояние для разряженной плазмы. Сделан вывод о невозможности вынужденного однофотонного перехода из континуума в троянское состояние.
5. Предложена эффективная численная схема на основе непрерывного аналога итерационного метода Ньютона для решения уравнений типа стационарного уравнения Шредингера с кубической нелинейностью, которые возникают в скалярном параксиальном приближении теории оптических волноводов, а также в теории конденсата Бозе-Эйнштейна нейтральных атомов в ловушке.
6. Изучено самовоздействие амплитудно-модулированного пучка в двухуровневой насыщаемой поглощающей среде. В качестве поглощающей среды рассматривался легированный световод с параболическим профилем показателя преломления.
При периоде модуляции, близком к времени релаксации, отклик среды запаздывает, и необходимо решать полную систему уравнений Максвелла-Блоха, для чего предложена численная схема второго порядка по временному шагу с преобразованием Гаусса-Лагерра по поперечным координатам. Обнаружено, что нелинейные возмущения модулированного сигнала, прошедшего сквозь легированный световод, неожиданно малы по сравнению с возмущениями локальной поляризации и разности заселенностей.
Автор выражает искреннюю благодарность своим научным руководителям: проф. С. И. Виницкому, благодаря которому сформировался как учёный, и без которого данная работа никогда бы не была бы сделана, и проф. В. Л. Дербову, который оказывал мне неоценимую помощь во всем процессе работы, начиная от формулировки задач и заканчивая написанием и публикацией статей.
Также автор выражает благодарность проф. Б. Жулакяну за гостеприимный приём в университете г. Мец (Франция) и помощь в ходе работы.
Автор выражает признательность всем своим соавторам, в частности А. И. Бычен-кову, а также запоздалую благодарность Д. В. Павлову, недавно трагически погибшему.
Заключение
и выводы.
