Исследование периодических режимов имеет очень большое значение в теории нелинейных систем и цепей. Для многих широко используемых на практике устройств и приборов периодический режим является рабочим. Весьма важно выяснить условия возникновения и устойчивости периодического режима, влияния параметров элементов цепи на амплитуду, частоту и форму установившихся колебаний, а также время и характер переходного процесса [1]. Для других устройств, таких, как усилители, системы автоматического регулирования и т. п., установившиеся колебания не должны иметь места. Нели нейность — неотъемлемая, а часто и определяющая черта современных объектов научных исследований и автоматизации, обширно поставляемых нуждами практики. Достаточно указать на объекты в авиации и космонавтике, биотехнологии и робототехнике, в химии и нефтехимии, экологии и т. д. Необходимо также указать на научную ценность исследования нелинейных цепей и систем, ибо в них возможны такие явления как автоколебания, детерминированный хаос, необратимость, странные аттракторы, бифуркации и т. п. Все это указывает на фундаментальность проблем анализа нелинейных неавтономных динамических цепей и исследования процессов управления ими.
Периодические режимы в нелинейных цепях могут возникать [1,2]: в автономных цепях — не только консервативных, но главным образом диссипативных. В зависимости от характера нелинейности, вида элементов и структуры цепи, частота и форма колебаний могут быть разнообразнымив неавтономных цепях — в виде вынужденных колебаний. При действии одного источника периодического сигнала вынужденная реакция может быть как периодической, так и непериодической. Периодическая вынужденная реакция может иметь основную частоту колебания, кратную или дробнократную частоте входного сигнала или равной ейпри действии двух источников периодических сигналов разных частот в цепи могут возникнуть колебания с большим числом различных комбинационных частот. При действии же нескольких таких источников картина необычайно усложняется.
Различают следующие виды периодических колебаний: автоколебания, многочастотные вынужденные колебания и сложные колебания. Наиболее общий среди них случай — сложные колебания, из которого как частные следуют два первых.
В общем случае исследование периодических режимов в нелинейных цепях с помощью аналитических методов невозможно. На практике более широкое распространение получили приближенные методы анализа периодических режимов в нелинейных цепях. С помощью таких методов решен ряд конкретных задач, связанных с анализом периодических режимов в автономных электрических цепях. Однако данные методы требуют серьезных ограничений на вид уравнений динамики цепей. Выполняя анализ с помощью приближенных методов, исследователь сталкивается с необходимостью: анализа существования и единственности искомого периодического решенияуточнения приближенного периодического решенияоценки погрешности расчета периодического решенияотделения периодических режимов от хаотических в исследуемых нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепях.
Расчет любой нелинейной неавтономной нестационарной электрической цепи, как известно, невозможен в отрыве от предначальных условий [2,3]. Согласно качественной теории нелинейных электрических цепей такие цепи в общем случае не обладают свойством конвергентности, т. е. для различных предначальных условий в цепи устанавливаются различные по характеру процессы. Анализ динамики нелинейных неавтономных нестационарных цепей возможен в общем случае только с помощью численных методов.
Вследствие этого пошаговый расчет является единственно возможным подходом для выявления детерминированного хаоса, бифуркации в искомых реакциях исследуемой цепи [4]. С другой стороны, все численные методы накапливают погрешность расчета. Тогда, если рассматривать установившийся периодический процесс, т. е. случай, когда общая картина динамики характеризуется повторяемостью, фактор накопления погрешности расчета обуславливает снижение степени достоверности получаемой информации. В связи с этим для описания периодического решения уравнения динамики исследуемой цепи наиболее целесообразно и более эффективно описание его с помощью аппарата рядов Фурье. Вследствие этого актуальна задача построения процедуры расчета периодического режима на основе расчетной схемы численного метода с возможностью последующего описания этого решения на периоде в виде многочлена Фурье.
Диссертационная работа посвящена разработке нового метода анализа периодических режимов в нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепях на основе обобщенных портретов дифференциальных и амплитудно-фазовых спектров искомых реакций.
В данной работе решен круг вопросов, связанных с нахождением взаимосвязи между рядами Фурье и Тейлорапостроением обобщенных портретов на основе найденной взаимосвязиразработкой процедуры формирования периодического решения в виде многочлена Фурье на основе полученных обобщенных портеров. Решены вопросы о существовании, периодичности и единственности искомого решения уравнения динамики нелинейной неавтономной нестационарной электрической цепи. Сформированы интегральные оценки погрешности расчета периодического режима. Разработан алгоритм, позволяющий отделить периодических режимы от хаотических в нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепях.
4.3. Выводы.
1. Разработан алгоритм расчета периодических режимов в линейных электрических цепях на основе новой формы записи ряда Тейлора. Алгоритм основан на выделении из коэффициентов Тейлора, коэффициентов, отвечающих за вынужденную составляющую, и формировании универсальных систем тригонометрических уравнений для нахождения неизвестных амплитуд и начальных фаз искомых периодических режимов.
2. Сформирован алгоритм отделения периодических режимов от хаотических. Алгоритм основан как на построении обобщенных портретов, так и на существовании пределов последовательностей полученных амплитуд и начальных фаз искомых решений.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
В диссертации разработан новый метод анализа периодических режимов в нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепях на основе обобщенных портретов дифференциальных и амплитудно-фазовых спектров искомых реакций.
Для достижения этой цели в диссертации решены поставленные задачи.
1. Установлена взаимосвязь на периоде между описаниями периодического решения в виде ряда Фурье и ряда Тейлора в виде выражений (2.2). Данная взаимосвязь является отправной точкой для построения необходимых процедур и расчетных схем анализа периодических режимов в нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепях.
2. Разработана процедура построения обобщенных портретов дифференциальных и амплитудно-фазовых спектров реакций нелинейных неавтономных электрических цепей. В качестве исходной информации для построения портретов используются коэффициенты ряда Тейлора, вычисленные с помощью аналитически-численного метода. Процедура построения обобщенных портретов основана на установленной взаимосвязи между рядами Тейлора и Фурье. Для построения функции у, ъ (с, 1к) искомых периодических режимов используются выражения (2.4). Предложены качественные и количественные показатели обобщенных портретов, которые позволяют судить о сложности периодического режима. Так, например:
— если при построении обобщенного портрета есть положительные интервалы постоянства (2.11) функций y, M{t-lk), то искомый режим является периодическим и описывается ограниченным количеством гармоник ряда Фурье;
— если при построении обобщенного портрета значения локальных максимумов и минимумов функций ylk (t-Ik) меняется с изменением их порядкового номера, то искомый режим является периодическим и описывается бесконечным количеством гармоник ряда Фурье;
— если функции y, k (t-lk) имеют интервалы постоянства значений, количество которых различно в зависимости от четности их порядкового номера, то данный факт позволяет судить о фазовом спектре и четности описания искомого периодического режима.
3. На основе сформированных обобщенных портретов разработан вычислительный алгоритм расчета периодических режимов нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепей при описании их тригонометрическими многочленами. Для расчета периодического режима данным подходом необходимо использовать численный метод, обладающего строгой оценкой полной погрешности расчета для определения верхней и нижней оценок неизвестного точного значения периода искомого периодического решения. На основе этих оценок могут быть определены соответственно нижняя и верхняя оценки частоты искомого периодического решения.
Предложена формула для определения количества гармоник на основе знания нижней и верхней оценки частоты и количественных показателей построенного обобщенного портрета.
Указаны способы выбора абсцисс точек разложения коэффициентов ряда Тейлора, для которых формируются универсальные системы тригонометрических уравнений. В зависимости от сложности искомого периодического режима абсциссы точек разложения выбираются либо как середины интервалов постоянств функций, либо — абсциссы точек соответствующих локальным максимумов или минимумов этих функций. Предложена универсальная система тригонометрических уравнений, связывающая неизвестные амплитуды и начальные фазы искомого периодического решения с известными коэффициентами ряда Тейлора этого решения. Решая универсальные системы, вычисляют неизвестные амплитуды и начальные фазы искомого решения при описании его тригонометрическим многочленом.
Разработана процедура расчета электрических цепей при наличии разрывов первого рода в описаниях внешних воздействий и характеристик элементов с гистерезисом. Указаны особенности при построении обобщенных портретов для такого класса цепей. Сформулированы способы выбора абсцисс точек разложения коэффициентов ряда Тейлора, для которых формируются универсальные системы тригонометрических уравнений, и частоты периодического режима для цепей с гистерезисным типом.
4. Разработан алгоритм исследования существования и единственности периодических решений уравнения динамики нелинейных неавтономных электрических цепей. Алгоритм основан на исследовании сходимости числовых последовательностей амплитуд и начальных фаз, и на существовании интеграла от квадрата искомого периодического решения.
5. Разработаны процедуры формирования интегральных погрешностей описания периодических режимов нелинейных неавтономных электрических цепей. В качестве исходной информации берутся верхние оценки абсолютных полных погрешностей расчета искомого периодического решения.
Получены необходимые соотношения для выбора порядка тригонометрического многочлена при описании искомого периодического режима. Описана процедура уточнения получаемого периодического режима путем изменения порядка тригонометрического многочлена.
6. Сформированы условия отделения периодических режимов от хаотических. В основе сформированных условий лежат обобщенный портрет искомого решения и выполнение пределов (3.1), связанных со сходимостью числовых последовательностей амплитуд и начальных фаз.
