Расчет поля дифракции электромагнитной волны на неоднородных цилиндрических диэлектрических объектах микрооптики

Новейшие технологические достижения позволяют миниатюризировать оптические и дифракционные устройства до размеров порядка длины волны света. Такие элементы могут быть использованы в оптоэлектронике, оптических компьютерах и волоконной оптике, а также в голографии, спектроскопии и интерферометрии. Существует много практических приложений для этих устройств, например, дифракционные решетки для формирования волнового фронта и преобразования поляризации падающей волны [35, 50, 64, 67], зонные пластины Френеля [33], аэрозоли [43, 66], нанолитография [6], волноводы [10, 13, 59, 62], сканирующие микроскопы ближнего поля [26, 61], дифракционные микролинзы [35, 36, 37] и т. д. Точное моделирование этих устройств требует решения электромагнитных уравнений, что придает особое значение развитию численных методов по решению уравнений Максвелла. Эти численные методы могут быть полезны для более качественного изготовления данных устройств (например, микрополостных полупроводниковых лазеров [63]) или для оптимизации конструкции новых устройств (например, фотонных кристаллов [42, 56]).

Основная часть численных методов решения задач дифракции могут классифицироваться как лучевые [22], дискретных источников [6], разностные [45, 67, 96], дифференциальные [52], вариационные [33, 92], интегральные [25, 28]. Для дифракционных решеток некоторые из наиболее широко известных дифференциальных и интегральных методов описаны в [50], а метод связанных волн рассмотрен в [9, 46, 58]. Для решения задач дифракции света на телах простых форм применимы аналитические методы [29,34, 78].

Одним из методов, используемых для решения уравнений, описывающих распространение света, является метод граничных элементов (МГЭ) [4, 10]. Чаще всего он применяется для решения задач дифракции на таких периодических структурах, как дифракционные решетки [4] и субволновые дифракционные микролинзы [37, 38]. Это обусловлено тем, что для его реализации необходимо учитывать форму профиля рассеивателя, по которой ведется интегрирование. В [53] МГЭ использован при расчете дифракционных линз, интегрируемых с инфракрасными фотодетекторами. Заметим, что МГЭ не позволяет анализировать неоднородные объекты.

Для решения задач дифракции на непериодических структурах используют метод конечных элементов (МКЭ), основанный на разложения светового поля по базису заданных интерполирующих функций [11, 48]. В [51] при помощи МКЭ, записанного в вариационной постановке Галеркина, решается задача трехмерного (ЗБ) моделирования томографии гемоглобина в ближней инфракрасной части спектра. Проблемой для МКЭ является постановка граничных условий для световых полей, уходящих на бесконечность.

В [44] описана комбинация МКЭ и МГЭ — гибридный метод конечных элементов — граничных элементов (МКГЭ). Этот метод, сформулированный через вариационный метод Ритца, использует МКЭ для решения волнового уравнения во внутренней части объекта, в то время как на искусственной границе, охватывающей элемент, используется МГЭ. В результате произведенной комбинации двух методов результирующая система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), к которой сводится задача, имеет блочную трехдиагональную матрицу, что значительно сокращает вычислительные затраты по сравнению с другими интегральными методами [76].

К распространенным методам анализа дифракции относятся также дифференциальные методы. В [52] описано применение классического метода к фотонным кристаллам. Метод позволяет провести искусственную границу, даже если она пересекает физические границы объекта. Однако при этом ухудшается сходимость метода для ТМ-поляризации для идеально проводящих объектов. К дифференциальным методам также можно отнести метод мульти-полей [6], с помощью которого исследуют дифракцию на субволновых решетках и интерференцию затухающего дифрагированного ближнего поля.

Разностные методы основаны на приближенном решении исходного волнового уравнения с помощью разностных схем. Одним из распространенных методов, используемых для решения временных задач, является конечно-разностный метод временной области [12, 15]. В [57] для того чтобы уменьшить вычислительные затраты, связанные с необходимостью расчета поля на границе дифракционного оптического элемента (ДОЭ) рассматривается модификация, использующая неоднородную сетку дискретизации. В [55] описана модификация метода для осесимметричных ДОЭ (в [54] рассматривается косое падение волны), которая позволяет проводить анализ дифракции на структурах, размеры которых порядка 10 000 длин падающей волны. Метод нашел применение в решении задачи рассеяния на аэрозолях [66], несферических частицах в поглощающей диэлектрической среде [60]. В [65] решена ЗЭ задача моделирования изображения объекта при помощи сканирующего ближнее поле оптического микроскопа. В [45] ЗЭ метод был применен к субволновым ДОЭ. Недостатком метода является то, что все структуры должны согласовываться с декартовой сеткой (все кривые поверхности должны быть ступенчато аппроксимированы), в связи с чем становится возможным появление ошибок в результатах. Здесь также возникает проблема поиска оптимальных поглощающих граничных условий [16, 21, 23], которые, как правило, генерируют отраженные поля, что, в свою очередь, может являться причиной возможных ошибок в расчетах. В [5] данная проблема решается введением идеально согласованного слоя.

Большой интерес представляют методы интегральных уравнений [40, 79], которые позволяют решать неограниченные полевые задачи, так как условие Зоммерфельда безусловно удовлетворяется в формулировке задачи [14, 32]. В [61] при помощи интегральных уравнений решена специальная задача дифракции ТМ-поляризованной электромагнитной волны на металлопокрытых диэлектрических образцах. Такая задача возникает при компьютерном моделировании двухмерной оптики ближнего поля (сканирующий микроскоп ближнего поля). В [49] решается ЗЭ векторная задача дифракции электромагнитного поля на телах, включенных в слоистую среду. Использование здесь интегрального уравнения позволило ввести дискретизацию только для рассеивателей. Кроме того, за счет введения тензора Грина автоматически удовлетворились граничные условия.

Несмотря на стремительное развитие численных методов решения задач дифракции, недостаточно внимания уделяется изучению полей дифракции, когда рассеиватель (или даже группа рассеивателей) имеет неоднородную структуру. Поэтому является актуальным исследование прохождения электромагнитной волны через неоднородные объекты. Для подобных объектов, представляющих собой в общем случае многосвязную область с произвольной неоднородной структурой, имеющей комплексный показатель преломления, наиболее подходит метод интегрального уравнения Фредгольма второго рода [28]. Для ТМ-поляризации задача сводится к нагруженному интегральному уравнению из-за появления интеграла по контуру 2Т> объекта. Поэтому актуальной является разработка методов решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода для задач дифракции произвольной ТЕ-/ТМ-поляризованной волны на неоднородных многосвязных цилиндрических диэлектрических объектах, размер которых сравним с длиной волны света.

Большинство численных методов анализа дифракции электромагнитных полей являются энергоемкими в плане затрат на вычисления. Например, интегральные методы имеют заполненные матрицы большого порядка, что ограничивает их практическое применение. С другой стороны, есть класс объектов, обладающих некоторой симметрией, для которых получены аналитические решения задач дифракции в виде бесконечных рядов. К ним относятся однородные [8, 71] и многослойные круговые диэлектрические [24, 41] и киральные [27] цилиндры, слоистые пленки [64], металлические сферы [7], фотонные кристаллы [56], аэрозоли [77]. При изучении дифракции электромагнитной волны на цилиндрических объектах, как правило, интересуются свойствами рассеянного поля в дальней зоне. Поэтому обычно рассматривают дифракцию плоской волны. Для задач микрооптики актуальным является анализ дифракции сходящихся электромагнитных волн (например, непараксиального гауссова пучка) на микронеоднородностях, поэтому является актуальной разработка метода дифракции произвольной электромагнитной волны на двумерных многослойных цилиндрах.

Примером цилиндрического градиентного оптического элемента является линза Лунеберга [39, 73], которая, как правило анализируется методом геометрической оптики. Интересным является строгий анализ дифракции электромагнитной волны на многослойном круглом цилиндре Лунеберга, размер которого сравним с длиной волны.

Вследствие того, что технология позволяет изготовлять такие объекты, как круговые цилиндры (по технологии оптических градиентных волокон), актуальна разработка метода их синтеза. Известны методы оптимизации микрорельеф дифракционных решеток [89], бинарной микрооптики [47, 53]. Но, как правило, эти методы применяются для расчета рельефа однородных объектов. Актуальной является разработка метода оптимизации параметров неоднородных объектов, например, расчет распределения показателя преломления по слоям диэлектрического многослойного кругового цилиндра, формирующего заданное поле дифракции.

Таким образом, целью работы является расчет поля дифракции произвольной электромагнитной волны на двумерных неоднородных объектах микрооптики и синтез неоднородных объектов микрооптики, формирующих заданное распределение поля дифракции.

В соответствие с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

• разработка метода расчета поля дифракции на основе решения интегрального уравнения для 2Б задачи дифракции произвольной электромагнитной волны на неоднородном микрообъекте с комплексным показателем преломления;

• разработка метода расчета 20 поля дифракции произвольной четной электромагнитной волны на неоднородных круглых диэлектрических микрообъектах на основе аналитического представления поля в виде ряда по цилиндрическим функциям;

• разработка градиентного метода оптимизации для синтеза неоднородных объектов микрооптики на основе разработанного метода решения прямой задачи дифракции произвольной четной электромагнитной волны на неоднородном круглом диэлектрическом цилиндре.

Научная новизна работы состоит в следующем:

• На основе решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода разработан метод расчета поля дифракции произвольной ТЕ-/ТМ-поляризованной электромагнитной волны на неоднородных микрообъектах произвольной формы с комплексным показателем преломления и на группах таких объектов.

• Разработан рекуррентный метод расчета поля дифракции произвольной четной ТЕ-/ТМ-поляризованной электромагнитной волны на неоднородных круглых диэлектрических цилиндрах, показатель преломления которых зависит от радиальной координаты. Метод применен для анализа дифракции на градиентных микролинзах Лунеберга и линзе Итона-Липмана. На численных примерах показано, что линзы сохраняют свои свойства фокусировки (для линз Лунеберга) и отражения (для линзы.

Итона-Липмана) даже при размере радиуса линз сравнимом с длиной волны света, когда лучевое приближение теряет силу.

• На основе полученного рекуррентного метода разработан градиентный метод оптимизации зависимости показателя преломления от радиальной координаты для синтеза неоднородных круглых диэлектрических цилиндров.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту.

• Метод расчета поля дифракции на основе решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода с использованием метода конечных элементов для 2Б задачи дифракции ТЕ-/ТМ-поляризованной электромагнитной волны на неоднородных микрообъектах с комплексным показателем преломления произвольной формы и группах таких объектов.

• Рекуррентный метод расчета поля дифракции ТЕ-/ТМ-поляризованной волны для 2Т) задачи дифракции электромагнитной волны на многослойных диэлектрических круглых цилиндрах, показатель преломления которых зависит от радиальной координаты.

• Градиентный метод оптимизации зависимости показателя преломления от радиальной координаты для синтеза неоднородных диэлектрических круглых цилиндров, размер которых сравним с длиной волны света.

Апробация работы.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:

• международная конференция «Математическое моделирование ММ-2001», г. Самара (2001г.);

• международная школа молодых ученых и студентов по оптике, лазерной физике и биофизике, г. Саратов (2001г.);

• международная школа молодых ученых и студентов по оптике, лазерной физике и биофизике, г. Саратов (2002г.);

• 2-ая международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов», г. Самара (2003г.).

Публикации.

По результатам диссертационной работы опубликовано 9 печатных работ, в том числе 6 статей и 3 публикации в сборниках трудов международных конференций.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы (96 наименований), изложенных на 108 страницах, содержит 30 рисунков.

3.1 Выводы по главе 3.

В этой главе разработан градиентный метод расчета многослойного диэлектрического цилиндра с круглым сечением, фокусирующего произвольную электромагнитную волну в точки с заданным распределением интенсивности.

Метод применен для расчета 10-слойного цилиндра, формирующего две фокальные точки, и радиус цилиндра сравним с длиной волны света. Незначительное увеличение интенсивности фокальных точек (на 10% по сравнению с начальным) связано с малым числом степеней свободы (всего 10 слоев) и хорошим начальным приближением, которое следует из геометрооптического решения аналогичной задачи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В работе получены следующие основные научные результаты.

1. На основе численного решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода разработан метод расчета 20 поля дифракции произвольной ТЕ-/ТМ-поляризованной электромагнитной волны на неоднородном микрообъекте с комплексным показателем преломления произвольной формы и на группе таких объектов. Численно показано, что метод:

1.1. позволяет производить расчет на кусочно-неоднородных объектах (слоистые пленки);

1.2. позволяет производить расчет на совокупности объектов без построения искусственного замыкания, охватывающего все объекты (система металлических пленок).

1.3. Показано, что результаты, полученные при помощи разработанного метода, согласуются с результатами, полученными другими методами (Котляр В. В, Нестеренко Д. В., Личманов М.А.).

2. Разработан рекуррентный метод расчета 2Т) поля дифракции произвольной ТЕ-/ТМ-поляризованной электромагнитной волны на неоднородном круглом диэлектрическом цилиндре, показатель преломления которого зависит от радиальной координаты.

2.1. Метод применен для анализа дифракции на градиентных микролинзах Лунеберга и линзе Итона-Липмана.

2.2. На численных примерах показано, что: линзы сохраняют свои свойства фокусировки (для линз Лунеберга) и отражения (для линзы Итона-Липмана) даже при размере радиуса линз сравнимом с длиной волны света, когда лучевое приближение теряет силу;

2.3. разработанный метод позволяет производить расчет дифракции для произвольной падающей четной электромагнитной волны (дифракция гауссова пучка на линзе Итона-Липмана). 3. На основе полученного рекуррентного метода разработан градиентный метод оптимизации для синтеза неоднородных круглых диэлектрических цилиндров с зависимостью показателя преломления от радиальной координаты.