Исследование (m, k) — методов с L-устойчивыми промежуточными схемами для решения жестких систем

Во многих приложениях, таких как химическая кинетика, радиоэлектроника и других, возникает необходимость численного решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Стремление ко все более точному описанию физических процессов приводит к постоянному росту размерности и жесткости соответствующей системы дифференциальных уравнений и предъявляет все возрастающие требования к методам интегрирования. Применение многошаговых схем в некоторых случаях нежелательно из-за эффекта «срезания экстремумов». Реализация неявных методов Рунге-Кутты сложна и приводит к итерационному процессу для нахождения стадий. В работах [1]-[4] предложен способ интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на локальном многочленном приближении, где также используется итерационный процесс. Применение явных методов типа Рунге-Кутты приводит к обременительному ограничению на размер шага интегрирования ввиду ограниченного размера области устойчивости. Построение явных методов с расширенными и согласованными областями устойчивости [5, 6] не способно полностью решить проблему.

При решении задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений широкое распространение получили методы типа Розенброка [7]. Данные численные формулы получены из полуявных методов типа Рунге-Кутты [8, 9], в которых при решении нелинейной системы алгебраических уравнений используется одна итерация метода Ньютона (см., например, [10]). В результате при вычислении каждой стадии вместо нелинейной системы алгебраических уравнений нужно решать линейную систему, а требуемая точность вычислений достигается за счет подходящего выбора величины шага интегрирования. Для снижения вычислительных затрат при решении линейной системы обычно используют LUразложение. Другие способы решения линейных систем можно найти в работах [11]-[21].

Максимальный порядок точности методов типа Розенброка не превышает (к + 1), где число к задает количество вычислений правой части системы дифференциальных уравнений на шаге. Несмотря на более сложную (по сравнению с явными методами) реализацию и необходимость вычисления и обращения матрицы Якоби, методы Розенброка обладают неограниченной областью устойчивости, их применение позволяет снять ограничения по устойчивости на размер шага интегрирования.

При решении жестких систем важную роль играет также численная устойчивость. Эффективность метода определяется в большей степени свойствами устойчивости, чем точности, поэтому методы решения жестких систем должны быть как минимум Л-устойчивыми. В настоящее время в основном используют Lустойчивые схемы, что позволяет еще больше снизить вычислительные затраты.

Проблеме устойчивости численных методов на нелинейных задачах посвящена монография [22], построение численных схем для интегрирования жестких систем и способы контроля точности описываются в работах [10, 23]. Возможности применения явных методов для жестких систем, включая контроль устойчивости, описаны в монографии [5]. В этих работах имеется обширный библиографический список по соответствующей тематике, поэтому в дальнейшем приводятся ссылки только на непосредственно используемые источники.

При большой размерности решаемой задачи основные вычислительные затраты методов Розенброка приходятся на обращение матрицы Якоби, что заставляет искать способы сокращения числа обращений данной матрицы. Один из таких способов — так называемое замораживание матрицы Якоби, то есть использование одной и той же матрицы Якоби на нескольких шагах интегрирования. Если алгоритм интегрирования не обладает такой возможностью, это означает ограничение на размерность решаемых задач. При этом возможности численного вычисления матрицы Якоби и ее замораживания должны быть учтены уже на стадии математического описания алгоритма, в противном случае заявленная точность метода не будет выполнена.

Известно, что при замораживании матрицы Якоби в методах Розенброка максимальный порядок точности не превышает двух [24].

В [25] предложен класс (т, к) -методов, в которых вычисление стадий не связывается с обязательным вычислением правой части системы дифференциальных уравнений. Применение данных методов позволяет построить численные схемы с более лучшими, чем у методов Розенброка, свойствами точности и устойчивости. В рамках (ш, к) -методов значительно упрощается проблема замораживания матрицы Якоби и ее численного вычисления.

В настоящее время на базе (га, к) -методов с замораживанием матрицы Якоби удалось построить алгоритмы интегрирования до четвертого порядка порядка точности [26]. Показано, что максимальный порядок точности (га, к) -методов равен (к + 2) в случае аналитического вычисления матрицы Якоби и (& + 1) при ее замораживании. Здесь к — количество вычислений правой части на шаг интегрирования. Построены (т, к) -схемы максимального порядка точности, обладающие свойством Lустойчивости.

При построение методов интегрирования жестких систем необходимо учитывать, что классический порядок точности метода, основанный на сравнении разложений приближенного и точного решений в ряды Тейлора, в случае жестких систем оказывается завышенным по сравнению с фактическим. На это явление впервые было указано в работе [27], а затем в [28] было введено понятие Всходимости, способное предоставить оценку глобальной ошибки метода, не зависящую от жесткости решаемой задачи. Как показано в [10, с.267], методы Розенброка не могут быть Всходящимися.

Наряду с В-сходимостью было введено понятие BSIустойчивости [29], которое играет существенную роль для В-сходимости и связано с поведением внутренних схем. В [22, с. 194] установлено, что однократно неявные методы Рунге-Кутты, к которым относятся и методы Розенброка, BSIустойчивы при некотором ограничении на шаг интегрирования. Данное ограничение можно обойти, потребовав Lустойчивость промежуточных численных формул.

Поскольку о возможности построения Всходящихся и BSIустойчивых (ш, к) -методов на сегодняшний день ничего не известно, можно надеяться, что (т, к) -схема, обладающая Lустойчивыми внутренними схемами, будет обладать лучшими свойствами сходимости на жестких системах. Однако во многих современных алгоритмах промежуточные численные формулы не обладают свойством Lустойчивости. В результате эффективность алгоритма интегрирования и точность расчетов понижаются.

Следует заметить, что свойства Всходимости и BSIустойчивости зависят от класса решаемых задач, и проверка этих условий для достаточно общих классов задач трудоемка, в то время как во многих случаях применение Lустойчивых схем с Lустойчивыми внутренними схемами, построенных на основе классического порядка точности, вполне себя оправдывает.

На практике известно, что при невысокой требуемой точности вычислений выгоднее применять схемы низкого порядка точности, в то время как схемы высокого порядка оказываются эффективнее при более высокой требуемой точности. Более того, в одной и той же задаче встречаются участки, которые эффективней решать разными методами. Все это привело к созданию методов переменного порядка точности, которые способны самостоятельно решить вопрос о применении на данном участке той или иной схемы. На настоящий момент методы переменного порядка на основе (ш, к) -методов отсутствуют.

В данной работе предлагается повысить эффективность (га, к) -методов путем построения Lустойчивых схем, обладающих внутренней Lустойчивостью. Решается вопрос о построении таких схем, имеющих максимальный порядок точности, и предлагается способ построения методов переменного порядка на базе (то, к) -методов. Построена пара (то, к) -методов третьего и четвертого порядка, в которых для нахождения стадий используется одна и та же матрица. Использование пар подобных методов в алгоритмах переменного порядка и шага может упростить задачу замораживания матрицы Якоби в данных алгоритмах.

В главе 1 приведены основные определения, описаны (то, к) -методы и некоторые способы контроля точностисформулирован алгоритм интегрирования переменного шагадоказаны утверждения о максимальном порядке точности (то, к) -методов при к = 1,2,3 как в случае аналитического вычисления матрицы Якоби, так и в случае ее замораживания.

В главе 2 построены Lустойчивые (то, к) -алгоритмы второго, третьего, четвертого и пятого порядка точности, обладающие внутренней Lустойчивостью. Построены методы максимального порядка точности, обладающие Lустойчивыми промежуточными схемами. Приведены результаты расчетов, подтверждающие повышение эффективности методов с внутренней L-устойчивостью.

В главе 3 построены Lустойчивые алгоритмы второго и третьего порядка с Lустойчивыми внутренними схемами. Предлагаемые алгоритмы обладают возможностью замораживания матрицы Якоби и ее численного вычисления. Приведены результаты расчетов, подтверждающие эффективность замораживания матрицы Якоби в построенных алгоритмах.

В главе 4 сконструирован алгоритм переменного порядка и шага на основе методов второго и третьего порядка. Построена пара (га, к) -методов третьего и четвертого порядка, в которых используется одна и та же матрица Dn, приведены результаты расчетов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [30]-[41].

Заключение

.

В работе построены эффективные методы интегрирования жестких систем, обладающие свойством Lустойчивости основной и промежуточных схем. Получены следующие новые результаты.

• Доказаны теоремы о максимальном порядке точности (ш, к) -методов при к = 1,2,3 с замораживанием и без замораживания матрицы Якоби, а также с возможностью ее численной аппроксимации. Показано, что методы максимального порядка могут обладать свойством внутренней Lустойчивости.

• На основе (ш, к) -методов с аналитическим вычислением матрицы Якоби построены алгоритмы второго, третьего, четвертого и пятого порядков точности, обладающие свойством внутренней Lустойчивости.

• На основе (т, к) -методов с замораживанием матрицы Якоби и ее численной аппроксимацией построены алгоритмы второго и третьего порядков точности, обладающие свойством внутренней Lустойчивости.

• На десяти тестовых примерах из области химической кинетики показано почти полуторократное повышение эффективности методов за счет Lустойчивости промежуточных численных схем.

• Исследована возможность построения методов переменного порядка и шага на основе (ш, к) -методов. Проведены численные расчеты, подтверждающие повышение эффективности алгоритмов интегрирования за счет внутренней Lустойчивости.