Задачи дифракции электромагнитных волн на рассеивателях с конечной проводимостью (на диэлектрических телах) имеют широкий диапазон применений в микроволновой технике, медицине, физике плазмы и в других областях. Задача дифракции на неоднородном теле произвольной формы имеет тесную связь с вопросами о влиянии электромагнитного излучения на биологические объекты.
Исследование задач дифракции электромагнитных волн на диэлектрических телах является классической проблемой электродинамики. Традиционная (физическая) теория дифракции создавалась на протяжении нескольких столетий X. Гюйгенсом, О. Френелем, Г. Гельмгольцем, Г. Р. Кирхгофом, Д. Лармором и другими авторами. Для понимания волновых процессов и расчета дифракционных полей большое значение имеет принцип Гюйгенса, согласно которому распространение волн обусловлено действием вторичных источников. Френель уточнил принцип Гюйгенса, приняв во внимание интерференцию сферических волн, излучаемых вторичными источниками. Дальнейшее уточнение принципа Гюйгенса — Френеля принадлежит Кирхгофу, который дал его строгую формулировку, основываясь на уравнении Гельмгольца. В современной теоретической оптике приближенное решение дифракционных задач производится почти исключительно с помощью принципа Гюйгенса — Кирхгофа. Электродинамическая (векторная) формулировка принципа Гюйгенса была дана Котлером.
Благодаря работам А. Пуанкаре и А. Зоммерфельда стало ясно, что в задачах дифракции электромагнитных волн речь идет о некоторой краевой задаче математической физики. В общей постановке задача состоит в нахождении решений уравнений Максвелла, удовлетворяющих определенным краевым условиям. К этому надо добавить «условия излучения» (Зоммерфельд, 1912), состоящие в том. что вся энергия, излучаемая источником, должна уходить в бесконечность. Кроме того, следует учитывать особое поведение полей в окрестности края поверхности гонкого экрана. Первое аналитическое решение задачи дифракции на идеально проводящей полуплоскости было дано Зоммерфельдом [1,2]. Уже это решение позволило сделать ряд важных выводов о поведении электромагнитного поля в ближней и дальней зоне, об особенности полей в окрестности края тонкого экрана, о поведении полей на бесконечности и т. д.
Релеем [3] рассмотрена двумерная задача возбуждения диэлектрического цилиндра кругового сечения плоской волной. Решение находится методом разделения переменных и представляет собой ряд по тригонометрическим и цилиндрическим функциям (ряд Рэлея), который сходится при всех значениях к0К, где = 2л IЛ — волновое число, Ядлина падающей волны, Ярадиус цилиндра. Если к0Я<< 1, то ряд сходится достаточно быстро. При к0Я «1 сходимость ряда может быть улучшена при помощи преобразования Ватсона [4]. В резонансном случае (т.е. для цилиндров с диаметром порядка длины волны) ряд Рэлея сходится плохо, и для его суммирования необходимо применять специальные методы [5]. Методом разделения переменных получено решение для диэлектрического шара [6] и для некоторых других тел простой формы.
Решение задач дифракции на телах сложной формы невозможно аналитически, поэтому необходимо разрабатывать численные (приближенные) методы решения таких задач. Для тел, размеры которых значительно меньше или значительно больше длины волны, возможно применение асимптотических методов [7]. Однако в «резонансном» случае, когда размеры тела сравнимы с длиной волны, применение асимптотических методов невозможно, и приходится решать задачу численно с помощью современных компьютеров.
При этом необходимо решать трехмерные векторные краевые задачи для системы уравнений Максвелла в полной электродинамической постановке. Решение таких задач является в настоящее время одной из самых актуальных проблем в электродинамике и с приемлемой для практики точностью на электродинамическом уровне строгости математическими методами требует очень большого объема вычислении, что зачастую невозможно даже на самых современных суперкомпьютерах. Многочисленные дорогостоящие пакеты прикладных программ для решения задач электродинамики (Апз!б, Ошкшауе и т. д.), имеющиеся на рынке программных продуктов, не используют кластерных технологий, решают задачу традиционными конечно-разностными методами или методами конечных элементов и не дают удовлетворительных по точности результатов. Несмотря на достаточно высокую цену предлагаемых продуктов, результаты, анонсируемые их производителями, сильно разнятся и не могут считаться надежными [8]. Последнее объясняется, прежде всего, отсутствием интереса у разработчиков ПО к данному кругу задач. Кроме того, указанные пакеты являются лишь модификациями программ для решения задач, связанных с техникой связи, и не имеют хорошего теоретического обоснования.
При решении краевых задач в неограниченных областях конечно-разностные методы и методы конечных элементов встречают принципиальные трудности: область, в которой решается задача, должна быть сделана конечной. Такая редукция области приводит к появлению неконтролируемой погрешности, причем размеры области для уменьшения погрешности должны быть достаточно велики. Конечно-разностные методы и методы конечных элементов в такой ситуации обычно приводят к очень большим, но разреженным матрицам (порядка 109 и более).
В качестве альтернативного метода решения задач в неограниченных областях применяется метод интегральных или интегродифференциальных уравнений. В этом случае задача сводится к интегральному или интегродифференциальному уравнению в области неоднородности, которая по размерам существенно (на порядки) меньше области решения задачи в случае применения конечно-разностных методов и методов конечных элементов. После дискретизации получается конечномерная система уравнений с матрицей существенно меньшего порядка (103 -104). До недавнего времени для задач дифракции резонансного диапазона не существовало универсального метода решения всех перечисленных выше задач, приемлемого с точки зрения вычислительных ресурсов, и для решения более общих задач приходилось вносить в их постановку различные упрощения, например, считать диэлектрическое тело «телом вращения» или заменять непрерывное распределение параметров среды кусочно-постоянным. Впервые объемные интегральные уравнения были выведены в [9]. В работах [10, 11] были приведены объемные сингулярные интегральные уравнения относительно вектора электрического поля, описывающие трехмерные задачи дифракции на неоднородных диэлектрических рассеивателях. К достоинствам этих уравнений следует отнести простоту и универсальность учета неоднородности любого типа, т. е. анизотропии. Опишем кратко результаты, полученные в этих работах.
— г.
Рассмотрен следующий класс задач. Пусть область Qc: К, ограниченная поверхностью 5, характеризуется произвольной тензор-функцией ¿-(х), обращающейся вне <2 в константу — диэлектрическую проницаемость ?0 свободного пространства. Магнитная проницаемость во всем пространстве предполагается постоянной. Требуется определить электромагнитное поле, возбуждаемое в данной среде внешним монохроматическим полем, представляющим собой либо плоскую волну, либо поле стороннего тока. Вводя электрический ток поляризации, применяя известные формулы векторного потенциала и теорему о дифференцировании интегралов со слабой особенностью [12], для рассматриваемой задачи получено [13] следующее векторное сингулярное интегральное уравнение относительно электрического поля:
E (*) = E°(*)-i j.
Q ?0 J g (*) j.
Е (*) +.
0 J.
Е (y)G®dy+ (0.1) v.
•P-i.
E (y), grad X J gradxG®dy,.
G® — exP (-/H)r) фундаментальное где и{г)-——-— - фундаментальное решение трехмерного уравнения 4ят.
Гельмгольца в свободном пространстве, соответствующее временной зависимости ехр (—?Ш), а Е°(.т) — известная гладкая функция. При достаточно общих предположениях о компонентах тензора проницаемости, оператор уравнения является ограниченным в пространстве и в П^] получена оценка его нормы.
Уравнение (0.1) относится к классу многомерных сингулярных интегральных уравнений, общая теория которых построена в [12]. Основные результаты этой теории получены для уравнений на многообразиях без края, поэтому для того, чтобы применить их к (0.1), необходимо предварительно определить продолжение оператора уравнения в). В [13] такое продолжение построено, исследована его взаимосвязь с исходным оператором, и в явном виде выписан символ продолженного оператора (0.1).
Утверждение 0.1. Пусть компоненты тензора диэлектрической проницаемости непрерывны во всем пространстве. Тогда для того, чтобы оператор уравнения был нетеров в необходимо и достаточно выполнения условия з п!" X аг (в, ф) а/(в, ф) Еу {х) > 0,.
0.2) где а}{в, ф) — декартовы координаты точек единичной сферы, е^ — компоненты тензора ё в декартовой системе координат.
Отметим, что требование непрерывности компонент тензора диэлектрической проницаемости во всем пространстве является принципиальным при использовании теории многомерных сингулярных интегральных уравнений, поскольку эти функции входят в выражения для символа оператора (0.1). С использованием утверждения 0.1 и факта эквивалентности исходной дифференциальной задачи и системы (0.1), в [13] получена следующая теорема существования и единственности решения задачи дифракции на неоднородном диэлектрике.
Утверждение 0.2. Пусть декартовые составляющие исходного поля и компоненты тензора диэлектрической проницаемости непрерывны по Гельдеру во всем пространстве, выполняется условие (0.2), а тензор системы (0.1) существует, единственно в ?2(<2) и является классическим решением задачи дифракции, т. е. удовлетворяет поточечно уравнениям Максвелла и условиям излучения.
Для изотропной среды требование непрерывности диэлектрической проницаемости во всем пространстве удается снять. В [14] для системы (0.1) в явном виде построен регуляризирующий оператор, и теорема существования и единственности решения задачи дифракции доказана при выполнении неравенства л е (х)-? (х) 21 положительно определен почти всюду в О. Тогда решение.
1тг:(л:) > 1 т .
0.3).
В [13] также проведено исследование системы (0.1) при минимальном требовании ограниченности компонент тензора диэлектрической проницаемости. При условии.
Нх)-ёх)-2/W.
2 i обобщающем (0.3) на анизотропный случай, доказана теорема существования и единственности решения (0.1) в L2(Q).
Подробное исследование задачи дифракции в свободном пространстве на сложных диэлектриках с применением метода интегральных уравнений проведено A.C. Ильинским, А. Б. Самохиным и Ю. Ю. Капустиным в работах [15−17].
В работе Д. В. Савостьянова и Е. Е. Тыртышникова [18] рассматривается распространение электромагнитной волны в неоднородной среде, содержащей идеально проводящую плоскость. Вычисление значений электрической и магнитной составляющих производится сведением исходной задачи дифракции к объемному сингулярному интегральному уравнению в области неоднородности и применением численного метода Галеркина. Результаты получены с использованием ресурсов суперкомпыотерных вычислительных комплексов.
Метод интегральных уравнений находит применение и при решении других классов задач, например, в волноведущих структурах.
В работе Ю. А. Еремина, В. И. Ивахненко [19] рассматривается проблема моделирования царапины на стенке волновода. Исходная дифференциальная задача сводится с использованием тензорной функции Грина к интегральному уравнению, для приближенного решения которого построен и обоснован численный метод.
В работе Е. М. Карчевского [20] метод сингулярных интегральных уравнений успешно применен при исследовании проблемы о собственных модах волновода с размытой границей.
До недавнего времени главной областью применения волноводов и резонаторов была техника СВЧ. К основным вопросам, которые рассматривались исследователями, можно отнести следующие: определение собственных частот и волн для волноводов и резонаторов разной формыисследование характера волновых процессов в волноводах и резонаторахизучение влияния на поля потерь в волноводах и резонаторах и определение добротностиисследование диэлектрических, оптических и квазиоптических волноводов и резонаторов. Эти и ряд других вопросов исследованы в монографиях [21−23]. Наиболее полно математический аппарат для решения задач электродинамики применительно к волноводам и резонаторам исследован в работах В. В. Никольского [24 — 27].
В данной работе рассматриваются две задачи дифракции на диэлектрическом теле в свободном пространстве и в бесконечном прямоугольном волноводе. Несмотря на различные краевые условия, получаем однотипные интегро-дифференциальные уравнения, используя функции (тензоры) Грина.
Для численного решения задачи дифракции в свободном пространстве ' используется метод Галеркина. Выбор метода Галеркина обусловлен тем, что этот метод обладает большой устойчивостью к погрешностям вычислений. При его использовании получается плотная матрица с блочно-теплицевой структурой. При заполнении получаемой матрицы используются средства мощных вычислительных комплексов — кластеров (суперкомпьютеров), так как процесс заполнения при использовании ПЭВМ занимает неприемлемо большое время. Для запуска программ на кластерах широко используется реализация стандарта MPI [28] - OpenMPICH [29]. Показаны проблемы, встречающиеся при отладке и запуске программы, реализованной под.
OpenMPICH и пути их решения. Показаны методы распределения данных для одновременного использования нескольких узлов. Получены первые результаты. Также для запуска программы заполнения матрицы была использована система «х-сош» [30] позволившая заполнить матрицу для исследований еще большего размера, чем реализация MPI.
В случае задачи дифракции на теле в бесконечном прямоугольном волноводе используется метод коллокации, так как при использовании метода Галеркина получаем проблему значительного увеличения времени заполнения (формирования) матрицы коэффициентов в конечномерной системе линейных алгебраических уравнений (на несколько порядков). В работе использовано аналитическое представление коэффициентов матрицы в виде двойных рядов с выделением (аналитическим суммированием) медленно сходящихся рядов.
В первой главе рассматривается постановка задач дифракции. В первой части рассматривается случай свободного пространства, во второй частислучай прямоугольного волновода.
Во второй главе описаны функции Грина, использованные для перехода к интегро-дифференциальным и интегральным уравнениям.
В третьей главе получены векторные интегро-дифференциальные и интегральные уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле. Показана эквивалентность интегро-дифференциальной и исходной формулировок соответствующих задач. Доказываются теоремы о сходимости методов для решения соответствующих интегро-дифференциальных уравнений.
В четвертой главе описаны численные методы решения задач. В первой части исследуются проекционные методы, показаны основные утверждения о сходимости методов. Во второй части исследуется метод Галеркина, использованного для случая свободного пространства, в третьей части — метод коллокации для случая прямоугольного волновода. Доказываются теоремы о сходимости методов для решения соответствующих интегро-дифференциальных уравнений. В четвертой части описываются методы оптимизации на основе свойств симметрии получаемых матриц в использованных численных методах для сокращения времени вычислений и сокращения выделяемой памяти. В пятой части, в терминах стандарта MPI, описываются методы распределения вычислений для обоих случаев, а также, в терминах системы «х-сош», метод раздачи заданий узлам (только случай свободного пространства) для одновременного использования произвольного числа узлов суперкомпьютерного комплекса.
В пятом пункте представлены результаты работы программ по заполнению получаемых матриц, рассмотрены таблицы и графики производительности вычислений при использовании суперкомпьютерных вычислительных комплексов. Показаны численные результаты решения задач дифрации.
Результаты работы были использованы для решения обратной задачи дифракции на диэлектрическом теле, размещенном в прямоугольном волноводе — задачи определения диэлектрической проницаемости материалов [65], [66].
Заключение
.
Данная работа содержит следующие основные результаты:
1. Краевые задачи дифракции на диэлектрическом теле в свободном пространстве и в прямоугольном волноводе сведены к решению векторных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений.
2. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости интегро-дифференциальных уравнений и соответствующих краевых задач при некоторых достаточных условиях.
3. Разработан метод Галеркина для численного решения векторного сингулярного интегро-дифференциального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле в свободном пространстве. Доказана теорема о сходимости метода Галеркина.
4. Разработан метод коллокации для численного решения векторного сингулярного интегро-дифференциального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе. Доказана теорема об однозначной разрешимости конечномерных уравнений в методе коллокации.
5. Предложенные параллельные алгоритмы реализованы для решения векторных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений для задач дифракции на диэлектрическом теле в свободном пространстве и в прямоугольном волноводе на суперкомпьютерных комплексах.
