Постановка и решение проблемы нагрузки, обеспечивающей заданную форму витых канатов

Настоящая работа посвящена исследованию сил взаимодействия в связях по контакту гибких канатов с препятствиями, обеспечивающими заданную форму канатов.

Канаты из различных материалов (на основе полимерных и натуральных волокон, стекловолокна) широко используются в строительной практике как несущие и армирующие элементы в вантовых, тентовых и стержневых (арках, фермах, балках) конструкциях, как основные несущие элементы сооружений морских плантаций (такие сооружения принято называть гидробиотехническими — ГБТС), в сетях и тралах орудий промышленного рыболовства, в подъёмных и такелажных устройствах.

Изменение формы канатов (отклонение их от прямолинейного положения) обычно локализовано. Необходимые для конструирования изделий изменения направления канатов осуществляются при помощи различного рода препятствий. Такими препятствиями могут быть упоры, цилиндры, блоки и другие жесткие и гибкие устройства, а также сами канаты. Между канатом и препятствием возникают силы взаимодействия, которые существенно влияют как на положение каната на поверхности, так и на усилие в нём.

Канат, занимающий заданное (проектное) положение (форму) должен отвечать своему функциональному назначению. Например, форма узловых соединений гибких канатов, должна обеспечивать эксплуатационные качества данного соединения. Основными эксплуатационными качествами узла являются устойчивость — сохранение заданной формы узлового соединения без развязывания канатов, срыва или соскальзывания друг относительно друга и прочность — способность канатов в узловом соединения воспринимать нагрузку без разрыва (при соблюдении условий устойчивости). Известно [4, 53], что потеря прочности канатов в узловом соединении в зависимости от его формы составляет от 25 до 60% от прочности целого каната. Практика использования синтетических канатов показала [3, 29, 55], что наблюдается сильная деформация (обжатие) поперечного сечения витых канатов (до половины сечения), значительно влияющая на устойчивость и прочность узловых соединений.

В якорных системах ГБТС используются анкера, имеющие гибкие оттяжки, погружаемые вместе с якорем в грунт. При изгибе якорной оттяжки в грунте, усилие, передаваемое от сооружения к якорю, изменяется (уменьшается) за счёт сил взаимодействия между грунтом и оттяжкой. В строительных конструкциях, напрягаемых высокопрочными пучками проволоки, в местах изменения направления пучков (в анкерующих устройствах) возникают значительные потери предварительного напряжения [51, 87].

Издавна в теории равновесия сил известен верёвочный многоугольник, показывающий какую форму приобретает канат (нить) при действии внешних, не меняющих своего направления сил. Большинство задач, решаемых на основе теории тонкой нити, сводится к определению формы сооружения от заданной нагрузки (например, цепная линия) [32, 74, 88]. На кафедре теории сооружений ДВГТУ разработан смешанный метод расчёта тросов, тросовых систем и существенно подвижных полотнищ на известную нагрузку, переменную в пространстве и зависящую от положения сооружения в нём. Решалась эта задача применительно к особенностям работы гидробиотехнических сооружений [33, 34, 59, 83, 84, 85]. Мы решаем обратную задачу — определение величины нагрузки формирующей заданное положение каната.

В рамках концепции сил взаимодействие гибкого каната с препятствием моделируется связями. Мерой взаимодействия будут усилия в этих связях (нагрузка). Таким образом, в расчётном отношении задача сводится к определению сил в связях, обеспечивающих заданную форму каната. Зная величину и характер сил взаимодействия в этих связях, можно найти изменения усилий в канате по длине и оценить прочностные характеристики препятствия.

Целью настоящей работы является разработка методики определения нагрузки, обеспечивающей заданную форму витого каната с учётом его сжимаемости на основе теории тонкой нити.

Для создания методики необходимо решить следующие задачи.

— построить расчётную модель взаимодействия каната с препятствием на основе анализа их свойств;

— сформулировать теоретические основы расчётной модели;

— разработать приближенный метод для реализации математической постановки, исследовать точность и сходимость предложенного метода;

— составить алгоритм и программу для реализации предложенного метода на ПЭВМ;

— разработать методику определения нагрузки, обеспечивающей заданную форму каната и исследовать на её основе силы взаимодействия на конкретных задачах.

Основоположниками теории тонкой нити являются Л. Лагранж и Я. Бер-нулли Задача по определению усилий в нити, обвивающей круговой цилиндр была решена Л. Эйлером. В работах А. П. Минакова, В. С. Щедрова были продолжены разработки теоретических основ тонкой нити. Предложенные Леонардом Эйлером зависимости использовались в работах Ф. И. Баранова, Л. М. Зайцевой (Ломакиной), М. Н. Пахнова, Е. М. Мамцева для расчёта канатов. Большинство исследований было проведено на канатах из натуральных волокон с препятствиями в виде кругового цилиндра. Задача определения нагрузки при сложной (произвольной) форме кривой, по которой располагается канат, с учётом деформации его поперечного сечения, в известной нам литературе, не решалась.

В первой главе настоящей работы анализируются свойства витых гибких канатов. На основе проведённого анализа обосновывается геометрическая сторона расчётной схемы канатов в виде тонкой нити. В связи с тем, что при обви-вание канатом препятствия радиус кривизны часто соизмерим с размерами поперечного сечения каната, исследуется вопрос о границах применимости теории гибкой нити для витых канатов. Приводится обоснование ограничений радиуса обвивания и пределы применения гипотезы тонкой нити с изгибом. Предлагается и исследуется линейная гипотеза о связи давления и радиуса кривизны для учёта сжимаемости полимерных канатов. Рассматривается статическая сторона задачи и составляются уравнения равновесия с учётом рассмотренных гипотез. Показывается, что использование теории гибкой нити в традиционной постановке при решении нашей задачи полной математической постановки не даёт. Во второй главе анализируются факторы, влияющие на работу нити на поверхности с трением, проводится сравнительный анализ использования линейной и степенной зависимостей между давлением и трением на контакте и на его основе выбирается дополнительное физическое уравнение, связывающее компоненты нагрузки между собой. С учётом принятого дополнительного физического уравнения исследуется влияние сжимаемости канатов на величину нагрузок и усилий в канате.

В третьей главе разрабатывается графический метод для решения поставленной задачи. Метод исследуется на точность и сходимость. Для реализации метода на ПЭВМ разрабатываются алгоритм и программа расчёта.

В четвертой главе решаются практические примеры. С помощью разработанной методики определяются нагрузки по контакту элемента прямого узла (как наиболее широко используемого в практике). Задача решается с учётом и без учёта сжимаемости канатов. В результате получаются эпюры давления и трения по длине элемента. Выполняется расчёт оттяжки гибкого якоря, работающей в грунте. При этом определяются «потери» усилия натяжения в канате по длине, вычисляется усилие передаваемое на якорь, и получаются эпюры давления и трения.

В заключении делаются выводы по проделанной работе, рекомендации по конструированию узловых соединений и якорных оттяжек и ставятся задачи дальнейших исследований.

Работа содержит 117 страниц машинописного текста, 59 рисунков, 17 таблиц, библиография 97 наименований, приложение.

4.3. Выводы.

1. С помощью разработанного приближенного метода определения сил взаимодействия по контакту каната с препятствием при заданной форме каната решены практические задачи.

2. Поставлена и решена задача передачи усилия от сооружения к якорю через гибкую связь.

Экспериментально определены параметры кривой, которую занимает гибкая связь в грунте. Вычислены по предлагаемой методике давление на огибаемую поверхность (грунт) и определены изменения усилия, передаваемые от сооружения к анкеру через гибкую связь. Установлено, что усилие, приложенное к анкеру в 3 раза меньше усилия, передаваемого от сооружения на якорную оттяжку. а) б).

Рис. 4.12 Узел БЕСТ, а — узел в готовом виде, б — схема исполнения узла.

3. Проведена топологическая классификация применяемых на практике типов узловых соединений. Показано, что все они состоят из конечного количества типовых элементов, повторяющихся в определённой последовательности. На примере прямого узла проанализировано распределение напряжений по контакту канатов и изменение усилий в узле. Наиболее напряжёнными элементами в узлах являются охваты — участки зажатия канатов. На основании проведённого анализа делается вывод о том, что лучшими прочностными свойствами обладают узлы, имеющие меньшее число зажатий.

4. По результатам топологической классификации и исследования распределения сил взаимодействия в узловых соединениях составлены рекомендации по использованию узлов в гидробиотехнических сооружениях, вошедшие в норма проектирования ГБТС (НМ — 03 — 88). Нормы внедрены в При-моррыбпроме.

5. Путём теоретических исследований, выполненных с помощью предложенной методики, разработан новый тип узлового соединения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. В соответствии с поставленной целью в настоящей работе разработана на основе теории тонкой нити методика определения нагрузки, обеспечивающей заданную форму витого каната с учётом его сжимаемости.

При этом решены следующие задачи.

1.1. Построена расчётная схема взаимодействия каната с препятствием, с учётом особенностей структуры каната, соотношения геометрических характеристик каната и препятствия и их физико — механических свойств.

1.2. Сформулирована математическая постановка определения усилий взаимодействия каната с препятствием, обеспечивающих заданную форму каната, применительно к принятой расчётной схеме каната в виде тонкой нити.

1.3. Уравнения равновесия и неразрывности составлены с учётом влияния отношения радиуса каната к радиусу его кривизны и изменения кривизны в зависимости от обжатия канатов.

1.4. В связи с тем, что при решении обратной задачи в теории нити по отношению к традиционной (определение формы нити от заданной нагрузки), уравнение неразрывности обращается в тождество, составлено дополнительное уравнение. Таким уравнением является соотношение между нормальной и касательной составляющей сил взаимодействия между канатом и препятствием в состоянии предельного равновесия нити на поверхности препятствия.

1.5. На основе анализа существующих теорий, путём специальной обработки данных экспериментов, имеющихся в литературе, установлен вид зависимости между компонентами нагрузки по контакту каната с препятствием. Установлено, что основными факторами, влияющими на рассматриваемую зависимость, являются натяжение каната и свойства соприкасающихся поверхностей.

1.6. Показано, что уравнение, связывающее силу трения по контакту каната с препятствием и силу давления, является нелинейным — степенным, на основе специально разработанной методике показано, что при замене степенной зависимости на линейную, максимальная ошибка не превышает 10 — 14%.

1.7. На основе сформулированной математической постановки, путём интегрирования дифференциальных уравнений, получено точное аналитическое решение задачи определения давления нити на круговой цилиндр с учётом обжатия канатов (аналог задачи Эйлера). Показано, что обжатие канатов приводит к уменьшению давления по контакту в два раза и более.

1.8. Для сложных пространственных кривых обвивания предлагается приближенный метод определения давления на огибаемую поверхность. Дана аналитическая и графическая интерпретация метода.

1.9. Приближенный метод исследован на ряде модельных задач, точное решение которых известно или получено автором. Показано, что точность решения зависит от числа участков, на которых нить аппроксимируется прямой. При длине участков, не превышающих 1/5 радиуса обвивания, ошибка при определении усилия в канате и давления не превышает одного процента. При увеличении количества участков, величины усилий и давлений сходятся к точному.

1.10. На основе предлагаемого приближенного метода разработан алгоритм и составлена программа для ПЭВМ по определению давления при сложных пространственных кривых обвивания.

2. Разработанная методика определения усилий взаимодействия по контакту каната с препятствием позволила решить и исследовать полученные результаты для практических задач.

2.1. Поставлена и решена задача передачи усилия от сооружения к якорю через гибкую связь. Экспериментально определены параметры кривой, форму которой принимает гибкая связь в грунте. Вычислены по предлагаемой методике давление на огибаемую поверхность (грунт) и определены изменения усилия, передаваемого от сооружения к анкеру через гибкую связь. Установлено, что усилие приложенное к анкеру в три раза меньше усилия, передаваемого от сооружения на оттяжку.

2.2. Проанализировано влияние геометрии узловых соединений на характер распределения напряжений по контакту канатов и величину передаваемого усилия. Установлено, что лучшими прочностными свойствами обладают узлы с меньшим количеством элементов зажатия. На основе выполненного анализа работы узловых соединений составлены рекомендации по использованию узловых соединений различных типов в гибких ГБТС, вошедшие в Нормы проектирования гидробиотехнических сооружений (НМ — 03 — 88).

2.3. Разработан новый тип узлового соединения, который отличается от существующих узлов — огонов, симметричностью, обвиваниями с большим шагом, меньшим давлением по кривой обвивания, простотой формирования.