е. наложится на точку М1 внутренней области треугольника А1В1С1. Таким же образом можно доказать и обратное: на любую точку внутренней области треугольника А1В1С1 наложится некоторая точка внутренней области треугольника АВС. Итак, при указанном наложении треугольники АВС и А1В1С1 полностью совместятся, т. е. они равны.
5. Аксиомы расстояния
Следующие две аксиомы связаны с измерением отрезков. Прежде чем их сформулировать, напомним, как измеряются отрезки. Пусть отрезок АВ — измеряемый отрезок, PQ — выбранная единица измерения отрезков. На луче АВ отложим отрезок АА1=PQ, на луче А1В — отрезок А1А2=PQ и т. д. до тех пор, пока точка Аn не совпадет с точкой В либо точка В не окажется лежащей между Аn и An+1. В первом случае говорят, что длина отрезка АВ при единице измерения PQ выражается числом n (или что отрезок PQ укладывается на отрезке АВ n раз). Во втором случае можно сказать, что длина отрезка АВ при единице измерения PQ приближенно выражается числом n. Для более точного измерения отрезок PQ делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и с помощью одной из этих частей измеряют описанным способом остаток АnВ.
Если при этом десятая часть отрезка PQ не укладывается целое число раз в измеряемом остатке, то ее также делят на 10 равных частей и продолжают процесс измерения. Мы утверждаем, что таким способом можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину при данной единице измерения конечной или бесконечной десятичной дробью. Это утверждение кратко формулируем так:
IV1 При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.
Кроме того, мы принимаем аксиому существования отрезка данной длины.
IV2 При выбранной единице измерения отрезков для любого положительно числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.
6. Аксиомы параллельности
В «Началах» Евклида содержится постулат (пятый постулат Евклида), из которого следует, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Многие математики, начиная с давних времен, предпринимали попытки доказать пятый постулат Евклида, то есть вывести его из других аксиом. Однако эти попытки каждый раз оказывались неудачными. И лишь в позапрошлом веке было выяснено, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, не может быть доказано на основе остальных аксиом Евклида, а само является аксиомой. Огромную роль в решении этого вопроса сыграл великий русский математик Николай Иванович Лобачевский.
V1 В любой плоскости через точку, не лежащую на данной прямой этой плоскости, проходит только одна прямая, параллельная данной.
7.
Литература
Бахвалов С. В., Иваницкая В. П. Основания геометрии М., «Высшая школа», 1972
Моиз Э. Э. и Даунс Ф. Л. Геометрия М., «Просвещение», 1972
Атанасян Я. С., Бутузов, Кадомцев С. Б., Киселева Л. С., Позняк Геометрия М., «Просвещение», 1994
Шувалова Э. З. Геометрия М., «Высшая школа», 1978
2) Группа событий
— попал первый охотник
— попал второй охотник
— попал третий охотник
— промах первого охотника
— промах второго охотника
— промах третьего охотника, тогда
— вероятность того, что две пулу попали в волка
.
3) 110 111 100.
