К/р по высшей математике Вариант 4

Вариант № 4.

1. Найдите производную функции:

а) y=2x^(-3)-3sinx+5cosx;

б) y=(x²+1)/(x+1).

Решение:

а) ;

б).

.

2. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции:

в точке .

Решение:

тангенс угла наклона касательной к графику функции в заданной точке есть значение производной функции в этой точке, поэтому находим производную:

и тогда, где — угол наклона касательной к графику функции .

3. Найдите точки экстремума функции:

.

Решение:

найдем сначала стационарные точки функции, для этого решим уравнение .

Находим производную функции:, тогда.

Точек, в которых функция не существует нет, т.к. область определения функции, тогда критические точки: и. Нанесем точки на ось абсцисс и установим знак производной на полученных интервалах:

Т.к. на функция убывает, а на возрастает, то в точке экстремум, а именно минимум и. И т.к. на функция возрастает, а на убывает, то в точке тоже экстремум, а именно максимум и .

4. Найдите промежутки убывания (возрастания) функции:

.

Решение:

найдем сначала стационарные точки:

Т.к. функция определена на всей числовой оси R, то критические точки: .

Нанесем точки на ось абсцисс и установим знак производной на полученных интрвалах:

Т.к. на производная функции, то следовательно, на функция убывает, а на —, следовательно, на функция возрастает.