Поведение ядра Бергмана вблизи границы псевдовыпуклой области

Изучение ядер Бергмана в областях Сп имеет долгую историю. Начиная с работ Керзмана [11], Феффермана [7], Буте де Монвеля-Шёст-ранда [5], написанных в начале семидесятых, и далее до конца девяностых, все результаты, касающиеся поведения ядер Бергмана вблизи границы, предполагали С°°-гладкость границы. Соответствующие результаты представлены, например, в работах [2−4,6,8,10,12−14,16,19,20]. Возможное асимптотическое разложение ядра Бергмана Bq для ограниченной псевдовыпуклой области П С CR, п > 2, с С°°-гладкой границей в предположении, что 0 = (0,., 0) Е dQ и внешняя нормаль к dVi в точке 0 направлена по положительной полуоси (xi, 0 ., 0), для z<5 = (—5,0,., 0), 5 > 0, выглядит так ([5]): ^ + + 1+0(1). (1) к—п.

Условие С°°-гладкости границы в упомянутых работах (а также в еще большем количестве неупомянутых работ) связано с основной идеей подхода, использовавшегося всеми авторами. Этот подход использует фундаментальную связь между проектором Бергмана (а значит и ядром Бергмана) и^{-оператором} Неймана, исследование которого, в свою очередь, требует С°°-гладкость границы. Если опустить условие строгой псевдовыпуклости, оставив только условие С°°-гладкости границы, то при тех же геометрических условиях на расположение области Q в Сп изменяется даже первый член асимптотики (1) (или оценки.

Bq (zs, zs), [4], [14]). Существует, однако, новый подход, который поз3 волил получить результаты, касающиеся ядра Бергмана Bq (z, z), для строго псевдовыпуклых областей конечной гладкости. Но этот подход работает только для областей близких к шару.

Впервые этот подход был использован в [18]. Он основан на идее получения (при некоторых ограничениях) вариационной формулы для ядер Бергмана для семейства областей Пг. Тогда для конкретной области П, которая предполагается близкой к шару, и для точки z (г), стремящейся к некоторой граничной точке Zo при г —> 1 — 0, мы можем применить подходящее биголоморфное отображение, переводящее z (г) дальше во внутренность области. Образ области О будет стремиться к единичному шару при г —> 1 — 0. Затем мы применим вариационную формулу к областям Ог и единичному шару. Так как области Пг близки к шару, формула даст точный количественный результат.

Подход работы [18] оказалось возможным существенно усовершенствовать. Он был использован для более широкого класса областей, что потребовало новых идей, в частности, для проверки условий вариационной формулы и для преобразований этой формулы с целью получения окончательного результата. Для строго псевдовыпуклых областей, близких к шару и имеющих границу класса С6, автором совместно с Н. А. Широковым было доказано в [1], [15], что имеет место асимптотическое разложение Bq (zs, zs) вида которое согласуется с (1) и по форме двух первых слагаемых, и в порядке роста остатка.

2).

Оказывается, однако, что ослабление требования на гладкость границы <90 до На, 4 < о < 6, для строго псевдовыпуклой области может кардинально изменить привычный вид асимптотики Bq (z§, z$) (1) (или, как его части (2)), что рассмотрено автором в [17]. Именно, для некоторых областей fi, близких к шару, после первых двух слагаемых в (2) в асимптотике для Bn (z$, zs) будет стоять произвольное количество слагаемых степенного роста вида, а остаток, тем не менее, будет совпадать по росту с остатком в (2). Впервые это было отмечено в совместной работе [15] автора с Н. А. Широковым для областей с границей класса в которой строились области с добавлением в Bq (z$, zs) только одного нового по сравнению с (2) слагаемого.

В настоящей диссертации будут изложены результаты работ [1], [15] и [17]. Материал диссертации подразделен на 3 главы. Первая глава содержит некоторые предварительные сведения, необходимые для дальнейшего изложения, в частности, вариационную формулу.

Вторая глава посвящена рассмотрению случая строго псевдовыпуклых областей, близких к шару и имеющих границу класса.

С6. В ней формулируется и доказывается следующая теорема:

Теорема 1. Существует такое 5(п) > 0, что для функции.

4<а' + (3'<5 такой что.

Да/, о — 0 пРи Iе*'| — 4, |с/| = 5,.

IMI <*(«), и для области.

Cl ((p) := {z G €n: |z|2 + ip (z') < 1} П U2i U2 := {z G Cn: |z| < 2}, ядро Бергмана zo, zo) имеет асимптотику.

Bn{ip){z0,z0) = ^ Crn2°)n+i + S Q ((l-^n-i) '^ezo = (r, 0,., 0), r -> 1 — 0.

Здесь cn{a!) — константы, зависящие только от п и а', а константа в оценке остатка зависит только от п.

Вторая глава состоит из семи параграфов. В параграфе 2.1 приводится формулировка Теоремы 1. Затем Теорема 1 выводится из аналогичной ей Теоремы 1', рассматривающей вместо функции y>(z') = Y1 Re (^z, a'z//3/)+0(|z|6).

4<|а'| + |/3'|<5 многочлен Re V') .

4<|а'| + |/3'|<5.

Оставшаяся часть второй главы посвящается доказательству Теоремы 1'.

Параграф 2.2 посвящен каноническому биголоморфному отображению Fr и его свойствам в применении к рассматриваемой ситуации. Данное отображение, несмотря на свою простоту, оказывается очень важным в доказательстве. Оно позволяет перевести точку zr, близкую 6 к границе области, в начало координат, тем самым создавая основу для применения вариационной формулы.

Параграф 2.3 рассматривает функцию R (u>o, cJoA, v, г) как голоморфную функцию v. Значение функции R равно длине радиус-вектора, направленного к границе ТГ (А, и) области Clr (A, v) по направлению и? о, соответственно, эта функция описывает, насколько рассматриваемая область близка к шару.

В параграфе 2.4 мы, наконец, вплотную подходим к доказательству Теоремы Г, а значит и Теоремы 1. В нем доказывается весьма важная и трудоемкая Лемма 2.6, на основании которой мы получаем возможность воспользоваться вариационной формулой.

Параграф 2.5 посвящен преобразованиям вариационной формулы, направленным на замену в ней интегрирования по границе области на интегрирование по сфере, а в параграфе 2.6 производится оценка полученного в предыдущем параграфе остатка.

Наконец, параграф 2.7 посвящен вычислению асимптотики и, соответственно, завершению доказательства теоремы 1.

В третьей главе рассматривается случай строго псевдовыпуклых областей близких к шару с границей класса На. Основным результатом этой главы является следующая теорема:

Теорема 2. Пусть п > 3, v Е Ж, 4 < о — а < сгъ < • • • < < 6,.

А = {Aaipi} — набор коэффициентов, соответствующих различным 7 парам мультииндексов а', f3', |<У| = (3' = 2, Aaiai Е К и.

А<*'Р' + Kl Н——-Ь aN < 1, а', 13' где a, k, k = 1,., N — некоторые вещественные числа. Пусть Q (A}a, u) С С&trade- — следующая область: jz = (zi, z'): zi < 1, |z'| < 2, a', 13' k=1 / J.

Тогда существует v2 = ^(rc) > 0, такое что при v < v2 для ядра Бергмана Bq (z,?) при zr = ?r = (г, 0,., 0) — 0 < г < 1, справедливо соотношение (1 Cn°r (2^+1 + f ECn{a')Aa, a, (1 *r2)n.

EN cn (.

Третья глава, как и вторая глава, состоит из семи параграфов. Их назначение такое же, как и в предыдущей главе, и используемые методы, равно как и полученные результаты, аналогичны, но не тождественны, методам и результатам второй главы. Однако, так как в 8 результате получается качественно другая асимптотика, мы сочли целесообразным привести все рассуждения в подробностях.

Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в статьях [1,15,17] и докладывались на городском семинаре по комплексному анализу в ПОМИ, на семинаре по комплексному анализу в университете города Гетеборга (Швеция) и на конференции по математическому анализу (2000 год, Санкт-Петербург).

1. Е. Anissova (Zeldina), N. Shirokov, Bergman kernels for C6 -smooth almost spherical domains, Dept. of Math. Chalmers/Goteborg University preprint series, Preprint 2000:29.

2. M. Beals, C. Fefferman, R. Grossman, Strictly pseudoconvex domains in Cn, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 8 (1983), no. 2, 125−322.

3. H. P. Boas, E. J. Straube, Ji Ye Yu, Boundary limits of the Bergman kernel and metric, Michigan Math. J. 42 (1995), no. 3, 449−461.

4. A. Bonami, S. Grellier, Weighted Bergman projections in domains of finite type in C2, Harmonic Analysis and Operator Theory, vol. 189, Contemp. Math., Amer. Math. Soc., 1995, pp. 65−80.

5. L. Boutet de Monvel, J. Sjostrand, Sur la singularitS des noyaux de Bergman et de Szego, Societe Mathematique de France, Asterisque 34—35 (1976), 123−164.

6. S. Cho, Estimates of the Bergman kernel function on certain pseudoconvex domains in Cn, Math. Z. 222 (1996), no. 2, 329−339.

7. C. Fefferman, The Bergman kernel and biholomorphic mapping of pseudoconvex domains, Invent. Math. 26 (1974), 1- 65.

8. C. Fefferman, The Bergman kernel in quantum mechanics, Analysis and Geometry in Several Complex Variables (Katata 1997), Trends Math., Birkhauser: Boston, MA, 1999, pp. 39−58.

9. E. Goursat, Cours d’Analyse Mathematique, vol. 1, Paris, Gauthier-Villars, 1933.

10. K. Hitachi, G. Komatsu, Invariant theory of the Bergman kernel, Adv. Stud. Pure Math., vol. 25, Math. Soc. Japan, Tokio, 1997, pp. 167−220.

11. N. Kerzman, The Bergman kernel function. Differentiability at the boundary, Math. Ann. 195 (1972), 149−158.

12. J. Kamimoto, Asymptotic expansion of the Bergman kernel for weakly pseudoconvex tube domains in Cn, Ann. Fac. Toulouse Math. (6)7 (1998), no. 1, 51−85.

13. J. McNeal, Boundary behavior of the Bergman kernel function in C2, Duke Math. J. 58 (1989), 499−512.

14. A. Nagel, J. P. Rosay, E. M. Stein, S. Wainger, Estimates for the Bergman and Szego kernels in C2, Ann. Math. 129 (1989), 113−149.

15. N. Shirokov, E. Zeldina (Anissova), Bergman kernels for С6 and H5-smooth almost spherical domains, Dept. of Math. Chalmers/Goteborg University preprint series, Preprint 2001:3.

16. A. D. Thomas, Uniform extendability of the Bergman kernel, Illinois J. Math. 39 (1995), no. 4, 598−607.

17. Е. Зельдина (Анисова), Ядра Бергмана почти сферических областей с границей класса На, Записки Научных Семинаров ПОМИ 282 (2001).

18. Н. А. Широков, Вариационная формула для ядер Бергмана, Записки Научных Семинаров ПОМИ 255 (1998), 221−243.

19. Н. А. Широков, Ядро Бергмана вблизи окрестности диагонали для областей близких к эллипсоидам, Записки Научных Семинаров ЛОМИ 190 (1991), 163 173.

20. Н. А. Широков, Оценки ядра Бергмана для некоторых псевдовыпуклых областей, Записки Научных Семинаров ПОМИ 222 (1995), 222−246.