О поведении при больших значениях времени решений параболических уравнений

1 Постановка задач и обзор известных результатов.

Настоящая работа посвящена вопросам, связанным с нелокальным поведением (при большом времени) решений задач Коши и первой краевой задачи для параболических уравнений второго порядка.

Систематическое исследование по качественной теории уравнений параболического типа стало возможным благодаря фундаментальным работам, посвященным обоснованию вопросов разрешимости задачи Коши и смешанных задач для таких уравнений.

Из огромного числа работ по корректности постановки упомянутых выше задач отметим работы В. А. Ильина [1], A.M. Ильина, A.C. Калашникова, O.A. Олейник [2], O.A. Ладыженской, В. А Солонникова, H.H. Уральцевой [3], Е. М. Ландиса [57]. Среди зарубежных ученых отметим фундаментальные работы Д. Аронсона [4], Фридмана [5], Г. Либермана [6]. Работа А. Н. Тихонова [7] явилась первой работой, в которой изучалась стабилизация решений уравнения теплопроводности. Эта работа открыла новое направление в теории уравнений в частных производных, которое интенсивно развивается в настоящее время.

В данной работе изучается стабилизация решений задач Коши для параболических уравнений второго порядка, как дивергентного, так и недивергептного типа в зависимости от поведения на бесконечности младших коэффициентов уравнений для различных классов начальных функций, включающих в том числе и растущие функции .

Мы изучим также необходимые и достаточные условия на неограниченную область в M. N, при которых решение первой краевой задачи для параболического уравнения без младших членов стабилизируется к нулю для любой ограниченной начальной функции.

Приведем список применяемых далее обозначений и определений (см. [2]-[4]).

D = Rn х (0, оо) = {х, t: х е R*. t > 0}, D = M. N x [0, oo) = {x, t: x G RN, t > 0}. Щь. ь] = {x, t-.xe Rn, к.

С¡-) — ограниченная область в М^, {х? Ж1*: х—х'о| < й} открытый шар в с центром в точке Хо, радиуса Я, ВК — замкнутый шар в частности.

Я = Я (0,т], VT>0, х G MN: х — х0 < R}, BR = В о я.

Объем шара Вхг?: где лг площадь сферы единичного радиуса в а (х) = Ог/к (ж), а (х, = ?) — квадратные матрицы размера N х N с вещественными коэффициентами. n n о = ЪкСх)^, (а (х, ОС, 0 = ^^ ~~ г, к=1 квадратичные формы, порожденные матрицами а (х) и а (х, ?) соответственно. Всегда будем предполагать симметричность матриц а{х) и а{х, ?), т. е. ащ (х) = акг (х), сцк (х, ?) = (*, & =.

УС/ = (С/Ж1, ., ихы) — градиент скалярной функции 17(ж),.

С/. = = дХг' Х*Х" ! дХгдХк.

Для вектора = (Ьх (ж), ., Ъ^{х)) полагаем n.

Ь (х) ¦ Vи = (6(х), УС/(а-)) = ^ ^ (ж), 1 а для вектора ?) = (Ь](х, — - -, ЬлК®-" ?)) полагаем N ь (®-, о • Vи = (Ь (х, г), чи (х)) = 1 г = |ж| — расстояние в евклидовом пространстве от точки ж до О, Г = Г (г) — функция, зависящая от г,.

Пусть ?1 — произвольная область в Мдг+1, под пространством И/21'°(П) будем понимать (см. [3]) пополнение множества финитных бесконечно дифференцируемых функций Со°(П) по норме.

I а2(х, г) + (V/, V/)) ¿-гЛ .п.

½ где как обычно (V/, V/) — скалярный квадрат вектора (/^. (х, у) — скалярное произведение в аналогично И/21,1(0) — есть пополнение множества функций Со°(Г?) по норме.

Н/Ни^сп) = п.

½.

Пусть ал) дивергентный оператор второго порядка, где х — ., х^) € М", Щк (х) — ограниченные и измеримые функции в М^. Аналогично определим оператор

1.2) с ограниченными и измеримыми коэффициентами в ?) = М^ х (0, оо). При этом мы всегда предполагаем, что для (1.1) выполняются условия: (*(*)*, 0 < или, соответственно для (1.2), условия.

1.3).

1.4) где Л0 > 0, Аг > 0, Мх е К* Уt > О, е.

Будем рассматривать и недивергентные операторы вида: n.

А (х) = ?

1,к=1 n д2.

А (х, 4) =? ^ г, к=1.

1.5).

1.6) где для матриц а (х) = ац^х), а (х, Ь) — щк (х, ?) выполнены условия (1.3) (соответственно (1.4)).

В х (0, оо) будут рассмотрены обобщенные решения и (х, ?) параболического уравнения с коэффициентами зависящими от х: Ь (х) = (^(я), ., Ь^(х)), с (х), с дивергентным огь-ератором (1.1):

Ь (х)и + (Ь (х), V") + с (х)и — щ = О,.

1.7) удовлетворяющее условию и (х, 0) = uq (x), х е RN, (1.8) где щ (х) — заданная функция. Точные условия на (1.7) и (1.8) даны ниже.

В х (0, оо) будут изучены обобщенные решения и (х, t) параболического уравнения с коэффициентами зависящими от (ж, t): агь{х, t), b (x, t) = (Ъх{х, i), ., t)), c (x, t), с дивергентным оператором (1.2):

L (x, t) u + (b (x, t), Vu) + c (x, t) u — щ = 0, (1.9) удовлетворяющее условию u (x, 0) = u0(x), x e (1.10).

Коэффициенты (1.7) (соответственно (1.9)) являются ограниченными и измеримыми в M. N (в D), функция щ (х) — непрерывна в M. N и удовлетворяет определенному условию роста на бесконечности (например ограничена |и0(ж)| < М или |и0(ж)| < М (1 + l^l)" 1 и т. д.), при этом предполагается, что решения и (х, t) удовлетворяют аналогичному условию роста^ И,.

Под обобщенным решением задачи Коши (1.7), (1.8) (или (1.9), (1.10)) в DT = RjV х (0, Т), Т > 0 будем понимать (см. [3], [4]) функцию и (х, t), которая при всех R > 0 принадлежит пространству И^'^Дк х (0, Т)) и удовлетворяет интегральному тождеству.

J [(aVii, Vr]) — [т)(Ь, Vu) + curj — щи] dxdt =.

RjV +1 J ио (х)т)(х, 0) dx, (1−11) для всех функций rj (x. t) из WI'1{Dt) с ограниченным носителем, удовлетворяющих условию г)(х, Т) = 0. Будем говорить, что функция и (х, t) является обобщенным решением задачи Коши (1.7), (1.8), (1.9), (1.10) в области D, если при каждом Т > 0 она является обобщенным решением в области Др. Известно (см., например, [3] — [5]), что если функция щ (х) является ограниченной (точнее, если щ (х) G L°°(mN)) и если ее норму обозначить через ||^o||l=°(mw)! т0 ограниченное решение задачи Коши (1.7), (1.8) ((1.9), (1.10)) существует, единственно, принадлежит классу С (М++1) и где С не зависит от щ.

Случай неограниченных начальных функций рассмотрен, например, в [2], [4], [5]. В области х (0, оо) рассмотрим классические решения параболиче, ского уравнения с недивергентным оператором (1−5):

Lи = А (х)и + (b{x), Vu) + с (х)и — ut = 0, (1−12) удовлетворяющее начальному условию и (х, 0) = гю (а:), х € (1.13) Аналогично рассматривается задача Коши с оператором (1.6).

Lu = А (х, t) u + (b (x, t), V") + c (x, t) u — ut = 0, (1.14) u{x, 0) = Uq{x), x e RN. (1.15).

Под классическим решением задачи (1.12), (1.13) (или (1.14), (1.15)) мы понимаем (см. [2], [5]) такую функцию и (х, t), которая непрерывна в D, имеет непрерывные производные, входящие в (1.12) (или (1.14)), удовлетворяет в D уравнению (1.12) (или (1.14)) и соответствующему начальному условию при t = 0. Ради краткости рассмотрим случай (1.14), (1.15).

Будем предполагать в дальнейшем, что оператор (1.6) является равномерно параболическим, т. е. выполненяются неравенства (1.4), коэффициенты уравнения (1.14) непрерывны и ограничены в D, и, кроме того, удовлетворяют условиям Гельдера: aik (x, t) — aik (x0, t0) < А[х — х0р + 11- ¿-о|7/2], (а).

Ibifo t) — bi{x0, i)| < Ax — хор, (Ь) c (?, t) — c (xo, ?)| < Ax — ar0p, © для (x, I) € D, (х'п, ?o) € -D и некотором 7: 0 < 7 < 1. Аналогичные условия накладываются и на коэффициенты уравнения (1.12).

Если решение и (х, t) удовлетворяет условию роста и (х, t) I < Сгес*Ы (1.16) в слое Я[0>г] для Т > 0, т. е. и{х, t) из тихоновского класса, то задача Коши (1.14), (1.15) имеет единственное решение (см., например [2], [5]). Мы далее будем считать, что начальная функция и0(х) и соответствующее ему решение и (х, t) удовлетворяют условию (1.16), и что коэффициент с (х, t) удовлетворяет неравенству с (х, t) < 0, [с (гг) < 0]. (1.17).

Определение. Пусть и (х, t) — решение задачи Коши (1.7), (1.8) (или (1.9), (1.10), (1.12), (1.13), (1.14), (1.15)). Будем говорить, что решение и (х, t) стабилизируется в точке x Е, если существует конечный предел lim и (х, t) = А (х). (1.18) t—>00.

Если предел (1.18) существует равномерно по х на каждом компакте К в Шм (равномерно по х во всем Rw), то будем говорить, что решение стабилизируется равномерно по х на любом компакте К в R-^ (равномерно по х во всем R-^).

В главах 1 и 2 настоящей работы мы будем изучать условия на коэффициенты параболического уравнения (1.14) (или соответственно (1.7), (1.9), (1−12)) при которых решение соответствующей задачи Коши стабилизируется к нулю lim и (х, t) = 0, (1.19) t—уоо равномерно относительно х на любом компакте К в ~RN, при любой начальной функции щ (х) из некоторого класса единственности решения этой задачи Коши.

Отметим, что изучение задачи о стабилизации решения задачи Коши идет в основном по двум линиям: изучение влияния на стабилизацию младших коэффициентов уравнений, при любой начальной функции щ (х) из заданного классаи строения начальных функций, обеспечивающее стабилизацию решения, когда младшие коэффициенты не оказывают влияния на явление стабилизации.

В ряде работ других авторов (см. обзоры [8], [9], [10]) изучались условия, которые гарантируют существование равномерного во всем M. N предела (1.19). В настоящей работе, в отличие от упомянутых работ, мы отказываемся от равномерности во всем Шм предела (1.19), и это приводит, как будет видно из результатов нашей работы, к расширению классов коэффициентов и начальных функций, для которых существует предел (1.19), равномерно относительно х на каждом компакте К в R^.

В настоящей работе мы приведем обзор некоторых результатов о стабилизации, в которых изучается влияние младших коэффициентов уравнений. Обзоры работ по другим проблемам стабилизации задачи Коши и краевых задач содержится в работах [81, [9], [10].

Первой работой по стабилизации является работа А. Н. Тихонова [7]. В 1938 году А. Н. Тихонов в [7] установил следующие результаты.

Пусть Q — ограниченная область в Шм и пусть D = Q х (0, оо) — прямой цилиндр с основанием Q С RN, и (х, t) — непрерывная в D функция, удовлетворяющая уравнению теплопроводности: г) ff.

Au-—- =0 в D, (1.20) ot и условиям и{х, t) = (f (X, l), х е S = dQ x (0, oo), t > 0, (1.21) и (х, 0) = ф{х xeQ, (1.22) где ф (х), (?(x, t) непрерывные функции, удовлетворяющие условию ф (х) = !р (х, 0), х G Q.

I. Если функция и (х, t) непрерывна в D и удовлетворяет в D уравнению (1.20) и условию и (х, t) = 0, х Е S, t > t0 > 0, (1.23).

1.24) то lim и (х, t) = 0 t—Voo равномерно по х € Q, каковы бы ни были значения и (х, t) при t < toll. Если ip (x, t) — ip (x) — т. е. граничная функция не зависит от t, то решение удовлетворяющее (1.20)—(1.22) имеет предел lim и{х, t) = V (x), (1.25) t—Voo равномерно по х G Q, где V (x) — решение задачи.

AV = 0, в Q, Vs = v{x). (1.26).

В дальнейшем сформулированные выше результаты А. Н. Тихонова из [7] обобщались во многих работах (см., например, [11]-[14]). А. Фридман доказал в [12], {13] теоремы о равномерном стремлении к нулю при t —> оо решений краевых задач в полуцилиндре и в расширяющейся области, неоднородных параболических уравнений второго порядка вида (1.14) (содержащих «слабые» нелинейности) при условии, что граничные функции стремятся к нулю при t —? оо. Там же сформулированы и доказаны теоремы, обобщающие результаты А. Н. Тихонова на общие неоднородные линейные уравнения, заданные в полуцилиндре D = Q х (0, оо).

Результаты работ [12], [13] и ряда других работ систематизировали в главе 6 монографии [5].

Хорошо известно ([14]), что решение задачи Коши для уравнения теплопроводности.

А и — щ = 0, в D, ut=o = и0(х), х € М^ с начальной функцией щ (х), которая стремится к нулю при [х| —> оо, само стремится к нулю при t —> оо.

Тот же результат имеет место и для уравнений с постоянными коэффициентами n n у^ aikuXtXk + ЪгиХ1 +си — щ = 0, г, к—1 г=1 при условии, что с < 0. Это легко следует из явной формулы для решения. Однако, как было установлено в работе A.M. Ильина ]15], подобное утверждение о существовании предела lim и (х, t) = 0 решения задачи Коши уже не имеет места для параt—yoo болического уравнения (1.14) с переменными коэффициентами, зависящими от х и t, даже если выполнено условие с (х, t) < 0.

A.M. Ильину принадлежит следующая теорема (см. [15], с. 117). Если и (х, t) является решением уравнения (1.14), удовлетворяющим условиям.

1. и (х, 1) = lio (x) —^ 0 при |ж| —> оо,.

2. уравнение (1.14) является равномерно параболическим (т.е. выполнены неравенства (1−4)),.

3. коэффициенты bi (x, t) ограничены в полосе H[i, t], VT > 1, bi (x, i)| < M при М < г0, г0 > 0, n ай (х, t) + Ьг (х, t) xi) > 5 > О i= 1 для любого t > 1 и |а-| > 5q > О,.

5. с (ж, t) < 0, (ж, t) е D, то lim и (х, t) = 0 равномерно по i в В [15] на примерах показано, что при невыt—>оо полнении хотя бы одного из условий 1) — 5) теоремы, утверждение может оказаться неверным.

В § 12 работы [2] получен ряд результатов о стабилизации решений краевых задач и задачи Коши для параболических уравнений вида (1.14). Так как мы обобщим некоторые результаты из [2], то для удобства читателя приведем обзор ряда результатов из § 12 работы [2].

Предположим, если не оговорено противное, что коэффициенты уравнения (1.14) ограничены, а коэффициент с (х, 1.) удовлетворяет неравенству с (х, t) < 0, и что рассматриваемые решения и ио (ж) ограничены |п (ж, ?)| < М, |uo (x)| < М.

Теорема 1. ([2], § 12). Пусть и (х, t) является решением задачи Коши (1.14), (1−15) или решением уравнения (1.14) в цилиндре D = Q х (0, оо), где Q — ограниченная область в M. N, удовлетворяющим начальному условию и (х, 0) = щ (х), х е Q и одному из краевых условий us = 0, t > 0 или i{u) = ^ + аи^ =0, t > 0, где S = dQ х (0, оо) — боковая поверхность цилиндра D, а (х, t) < 0, v — направление в МЛ', составляющее острый угол с направлением внутренней нормали к границе области Q. Пусть с (х, t) < -со < 0, (х, t) 6 D, (1.27) где со — постоянная. Тогда lim и (х, t) = 0, (1.28) t—foo равномерно по х Е Q.

В теореме 2 § 12 [2] установлено, что условие (1−27) может быть отброшено и заменено на с (х, t) < 0 в случае первой краевой задачи. Тогда существует предел (1.28).

В теореме 4 § 12 [2] доказано, что если и (х, t) — решение задачи Коши (1.14), (1−15) с ограниченной начальной функцией щ (х) и если существует такая положительная в M. N функция V (x), что x, t) V + (b (x, l), W) + c (x, t) V-Vt< 0 в D, (1.29) lim V (x) = +oo, (1.30) ъ то lim и (х, t) = 0, (1.31) i->oo ъ n равномерно по х на каждом компакте К в.

Теорема 4 носит условный характер, в том смысле, что требуется еще указать условия, гарантирующие существование функции V (x), обладающей свойствами (1.29), (1.30).

В § 12 [2] установлена теорема 5, которая утверждает, что если.

1. и (х, t) — ограниченное решение задачи Коши (1.14Л (1−15) с ограниченной начальной функцией щ (х).

2. коэффициент с (х, t) удовлетворяет, неравенству (1.27) для х G Q, где Q — ограниченная область в M. N,.

3. в M. N существует функция V (x), удовлетворяющая (1.29) при |а-| > R, t > 0, и такая, что выполнено (1.30), то решение задачи (1.14), (1.15) имеет предел (1.31), равномерно по х на каждом компакте К в M.N.

Легко видеть, что достаточным условием существования функции V (x) в теореме 5, обладающей свойствами (1.29), (1.30) является расходимость следующего интеграла оо / г.

J г ехр | - J J dr = +oo, (1−32) r r) где N.

J2 ац (х, t) + bi (x, t) xi q{y) = sup -, o, t>o E aik{^ t) Sp i, k=1 при этом в качестве функции V (x) в теореме 5 следует взять функцию.

N /г.

V (|®|) = J г ехр I — J^dy J dr. (1.33).

R R).

В работе Р. З. Хасьминского [16] дана классификация дифференциальных операторов с коэффициентами, зависящими только от х, вида.

N «.

Ai^AOzO + ^b^) —, (1.34).

1 1 относительно принадлежности оператора Ai (a-) одному из классов (Л2), (Лз) определения классов Ait i = 1, ., 3, мы приведем ниже), и устанавлена связь между стабилизацией решения задачи Коши (1.12), (1.13) и принадлежностью оператора Ai (x) одному из классов (^4i), г = 1, 2, 3.

Пусть Q — некоторая ограниченная область в с достаточно гладкой границей QQ.

Определение. Будем говорить, что оператор (1.34) принадлежит классу (Ai), если в области Q существует не менее двух различных ограниченных решений внешней задачи Дирихле для эллиптического уравнения.

Ai (a?)u = О, 16"ЛГ (3.

Определение. Оператор К{х) принадлежит классу (А2), если Ai (a-) ^ и уравнение.

Ai (®)u = -1, xzRNQ не имеет положительного решения.

Определение. Оператор Ai (a-) принадлежит классу (Л3), если Ai (rr) ^ (А) и Ai (s)? (Л2).

Оператор Лапласа в пространстве размерности 2 дает пример оператора класса (yli), оператор Лапласа в R3 дает пример оператора класса (Л2) — Примером оператора из класса (Аз) может служить одномерный оператор

92, г ^ 9.

В работе [16] установлены следующие результаты. Пусть и (х, 0) = и0(х) и функция и0(х) финитна в JRn. Тогда справедливы теоремы: оо.

1. Если hi (x) € то lim и (х, t) = 0 и f и (х, t) dt < со.

4—>оо q оо.

2. Если Ki{x) G (А2), то lim и (х, t) = 0, но при с (х) = 0 и щ (х) > 0, I и (х, t) dt = t—ЮО Q.

00.

3. Пусть начальная функция щ (х) ограничена (но может быть не финитна).

Тогда, если Ai (a-) € (Л3) и с (х) = 0, то lim и (х, t) = I u0(x)p (x)dx, t—foo J.

RN где р{х) > 0 — единственное решение сопряженного уравнения Ар{х) = 0 такое, что / p (x)dx = 1.

4. Пусть начальная функция щ (х) ограничена (но может быть не финитна). Тогда, если Ai (:r) € (А2) или Ai (x) G (А3) и с{х) < 0, и с (х) О, то lim и (х, t) =.

О.

Если коэффициенты уравнения (1.14) зависят от ж и от t, то картина зависимости поведения решения задачи Коши (1.14), (1.15) от поведения коэффициентов уравнения (1.14) оказывается более сложной. Это видно из цитируемых ниже результатов работы [17].

Рассмотрим дифференциальный оператор а.

Лх (ж, t) = А (х, + Чх, (1.35).

Будем считать, что коэффициенты уравнения (1.14) ограничены в D и выполнено условие (1.4).

В § 1 работы [17] доказан аналог теоремы 1 из [16] для случая коэффициентов, зависящих от х и от t. В теореме 1 работы [17] установлено, что если существует функция V = V (|a:|) > 0, такая, что.

Аг (х, t) V (N) < 0, при |ж| > R > 0, t > 0 (1.36) lim V (|z|)=0, (1.37) х|—>00 U lim и0(х) = 0, (1.38) х|—ЮО то решение задачи (1.14), (1−15) имеет предел lim и (х, t) = 0 (1.39) t-юо равномерно по х на каждом компакте К в M.N.

Замечание. Достаточным условием существования функции V (x), обладающей свойствами (1.36), (1.37), является сходимость следующего интеграла оо / г.

Jг exp 9i (p)dp I dr < оо, (1−40) го го / где n.

J2 ац (х, t) + bi (x, t) xi й (г) = Г inf г=1 i, fc=l при этом в качестве функции в теореме 1 из [17] следует взять функцию.

9i (fi)dp^ dr.

Предполагая, что для некоторых ограниченных областей Q и Qi в Ж7^, Q С Qi справедливы соотношения с (х, t) < —со < 0, при х е Q, с (ж, t) = 0, при xeRNQu авторы работы [17] устанавливают теорему 2, в которой утверждается, что решение задачи (1.14), (1−15) имеет предел lim и (х, t) > О, t—>оо если существует функция У (|а-|), для которой выполнены условия (1.36), (1.37) и, кроме того, inf щ (х) > 0.

Если же и (х, t) — решение задачи Коши (1.12), (1.13), с (х) < 0, и существует предел lim «о (ж) = к, то lim и (х, t) = w (x), где w (x) — единственное решение х|->оо t-юо уравнения.

Ki{x)w + c (x)w = 0, для которого существует предел lim w (x) = k. х—>оо.

Отметим интересные результаты работы В. В. Жикова [19], в которой были получены достаточные условия на коэффициенты уравнения (1−14) для любого начального значения щ{х) G Lco (RN), гарантирующие справедливость теоремы о «равностабилизации», т. е. существование предела lim (и (х, t) — v (x, t)) = 0, (1.41) где v (x, t) — решение задачи с постоянными коэффициентами n n aikvXiXk + ^ vx. -Vt = 0, (1.42) i, k=1 i= 1 v (x, 0) = p (x)u0(x), (1.43) p (x) — периодическая с периодом 1 функция по каждому аргументу (xi, ., xN).

Предполагая, что коэффициенты параболического уравнения (1.14) являются гладкими и периодическими функциями периода 1 по каждому аргументу (х1}., х^), с (х, t) ~ 0, и что вектор b — (bi, ., bn) мало отличается от постоянного вектора Ь1, оо / г ж|) = J г ехр | - J ы го т. е. имеет вид Ь = Ъ1 + е, где Ъ1 = (Ь, ., Ь]^) — постоянный вектор. Тогда найдется параболический оператор вида (1.42) с постоянными коэффициентами и гладкая периодическая функция р (х) такая, что если и (х, ?) — решение задачи Коши, а у (х, I) — решение задачи (1.42), (1.43), то для любой функции щ (х) Е существует предел (1.41).

Теорема о равностабилизации позволяет получить критерий стабилизации решения задачи Коши для уравнения с младшими членами, выражающийся в терминах существования соответствующих данному уравнению пределов средних от начальной функции. В самом общем случае критерий поточечной (равномерной) стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения второго порядка без младших коэффициентов в классе ограниченных начальных функций был получен в работе В. В. Жикова [18].

В работе [20] был впервые получен критерий стабилизации рашения задачи Коши для уравнения теплопроводности с ограниченной начальной функцией. В [21] результаты [20] перенесены на некоторые параболические уравнения с постоянными и переменными младшими коэффициентами.

Более подробный обзор работ, когда изучается строение начальных функций, обеспечивающее стабилизацию решения задачи Коши, когда младшие члены не оказывают влияния на явление стабилизации см. в [9].

Замечание. Согласно терминологии, введеной Н. Мейерсом и Дж. Серринном [22] функцию у (х) > 0, удовлетворяющую условиям (1.36), (1−37) называют барьером, отвечающим оператору Ах (ж, 1,).

Если функция ь (х) > 0 удовлетворяет условиям то функция у (х) называют антибарьером, отвечающим оператору А^ж, ?) на бесконечности [22].

Хорошо известно ([22]), что если оператор Лх имеет барьер, то он не может иметь антибарьер. Явные условия на коэффициенты, гарантирующие существования барьера или антибарьера даны в работе [22]. В случае оператора Лапласа барьер существует при N > 3, а антибарьер при N <2.

Используя концепцию барьера (антибарьера) для уравнения (1.14), мы можем дать другую, эквивалентную, формулировку результатов, цитированных выше работ [2], [16], [17] в терминах существования антибарьера (барьера) для уравнения (1.14).

В главе 1 настоящей работы мы перенесем концепцию антибарьера с классических решений суперпараболических неравенств на случай обобщенных решений соответствующих суперпараболических неравенств с дивергентным эллиптическим оператором (1.1), имеющим независящие от? коэффициенты. На этом пути мы получим ос.

А^ж, £)и — щ = 0, = щ (х),.

Аг{х, ?)^<0, |а-|>Д, ?>0, Нт у (х) — +сю,.

1.44).

1.45) новные результаты главы 1 в классах ограниченных или степенным образом растущих на бесконечности начальных функций.

В главе 2 построим классические антибарьеры для уравнения (1.14) с точным порядком роста на бесконечности, обусловленным соответствующим поведением на бесконечности младших коэффициентов этого уравнения (1.14). Начальные функции при этом будем брать из классов функций, порядок роста которых согласован с порядком роста соответствующих антибарьеров. На этом пути будут получены основные результаты о стабилизации решения задачи Коши (1.14), (1.15) в классах экспоненциально растущих начальных функций.

Глава 3 посвящена вопросу о влиянии неограниченной области <2 на свойство стабилизации к нулю решения первой краевой задачи для параболического уравнения где оператор Ь (х) определен в (1−1), и0(х) — непрерывная и ограниченная в ф функция, Б = 9(3 х (0, оо) — боковая поверхность цилиндра П.

В работе [23] доказано, что если решение и (х, ?) уравнения (1.14) в нециллиндри-ческой области.

Отметим, что область Zt в каждом сечении t = t0 является ограниченной. Из условия ip (t)" ip'(t) < /3 следует, что возможно логарифмическое расширение области Zt при i —У оо. Окончательный результат получен A.M. Ильиным в [24], который доказал, что ф (Ь) должно расти не быстрее, чем логарифм. Точным классам единственности для параболических уравнений и систем посвящена работа [25]. Достаточные условия на область Q, при которых решение первой краевой задачи стабилизируется к нулю, посвящена работа Ф. Х. Мукминова [26]. Эта тематика получила значительное развитие в работах JI.M. Кожевниковой (см. [27] и имеющиеся там ссылки).

В главе 3 мы установим, что если область M. NQ имеет бесконечную емкость, [28], то решение смешанной задачи (1.46) стабилизируется к нулю при t —> оо. Установлена также необходимость этого условия на емкость M. N Q.

L (x)u — ut = 0, в D = Q х (0, оо), < «|s = 0, jAt=o = Ио (х), х G Q,.

1.46).

Zt = {х, t: t > 0, |z| < ф (1)}, ФШ'(г) < Р, ф{£) е СЧО, оо], удовлетворяющее условиям иагг = 0, и|4=0 = и0(х), где ь. о (х) — непрерывная и ограниченная в Zo функция. Тогда.

1. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений. // УМЫ, 1960, т. 15, вып. 2, с. 97−154.

2. Ильин A.M., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. // УМН, 1962, т.17, вып. 3, с. 3−146.

3. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. // Москва, Наука, 1967.

4. Aronson D.G. Non-negative solutions of linear parabolic equations. // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3). 1968, v. 22, N 4, p. 607−694.

5. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. // Москва, Мир, 1968.

6. Lieberman G.M. Second order parabolic differential equations. // World science, 2005.

7. Тихонов A.H. Об уравнении теплопроводности для нескольких переменных. // Бюллютень МГУ, математика и механика, 1938, т.1, N 9, с. 1 49.

8. Гущин А. К., Михайлов В. П., Муравей A.JI. О стабилизации решений нестационарных граничных задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных. // Динамика сплошной среды. 1975, N 23, с. 57−90.

9. Денисов В. Н. О поведении решений параболических уравнений при больших значениях времени. // УМН, 2005, т. 60, N 4, с. 145−212.

10. Денисов В. Н., Репников В. Д. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений. // Дифференциальные уравнения, 1984, т. 20, N 1, с. 20−41.

11. Fulks W. A note on the steady state solutions of the heat equations. // Proc. Amer. Math. Soc., 1956, v. 7, N 5, p. 766−771.

12. Friedman A. Convergence of solutions of parabolic equations to a steady state. // J. Math and Mech, 1956, v. 8, N 1, p. 57−76.

13. Friedman A. Asymptotic behaviour of solutions of parabolic equations of any order. // Acta Mathem, 1961, v 106, N 1−2, p. 1−43.

14. Krzyzanski M. Scer l’allure asymptotique des solutions d’equation de type parabolique. // Bull Acad. Polon. Sei., 1956, Sei cl III, N 4, p. 247−251.

15. Ильин A.M. О поведении решения задачи Коши для параболического уравнения при неограниченном возрастании времени. // УМН, 1961, т. 16, N 2, с. 115−121.

16. Хасьминский Р. З. Эргодические свойства возвратных дифузионных процессов и стабилизация решений задачи Коши для параболических уравнений. // Теория вероятностей и ее прилож. 1960, т. 5, N 2, с. 196−214.

17. Ильин A.M., Хасьминский Р. З. Асимптотическое поведение решений параболических уравнений и эргодическое свойство неоднородных дифузионных процессов. // Матем. сборник, 1963, т. 60, N 3, с. 368−392.

18. Жиков В. В. О стабилизации решений параболических уравнений. // Матем. сборник, 1977, т. 104, N 4, с. 597−616.

19. Жиков В. В. Асимптотическое поведение и стабилизация решений параболических уравнений второго порядка с младшими членами. // Труды ММО, 1983, т. 46, с. 69−98.

20. Решшков В. Д. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений. // ДАН СССР, 1964, т. 157, N 3, с. 532−535.

21. Репииков В .Д., Эйдельман С. Д. Необходимые и достаточные условия установления решения задачи Коши. // ДАН СССР, 1966, т. 167, N 2, с. 298−301.

22. Meyers N., Serrin J., The exterior Dirichlet problem for second order elliptic partial differential equations. // J. Math and Mech, 1960, v. 9, N 4, p. 513−538.

23. Черемных Ю. Н. Об асимптотике решений параболических уравнений. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1959, т. 23, N 6, с. 913−924.

24. Ильин A.M. Об одном достаточном условии стабилизации решения параболического уравнения. // Мат. заметки, 1985, т. 37, с. 851−856.

25. Житомирский Я. И. Задача Коши для параболических систем линейных уравнений в частных производных с растущими коэффициентами. // Изв. вузов, матем., 1959, N 1, с. 55−74.

26. Мукминов Ф. Х. Стабилизация решения первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка. // Матем. сборник, 1980, т. Ill, N 4, с. 503−521.

27. Кожевникова JI.M. Классы единственности решений первой смешанной задачи для параболического уравнения щ = Au с квазиэллиптическим оператором, А в неограниченных областях. // Матем. сборник, 2007, т. 198, N 1, с. 59−101.

28. Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала. // Москва, Наука, 1966.

29. Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations. // Amer. J. Math., 1958, v. 80, N 4, p. 531−954.

30. Aronson D.G. Bounds for the fundamental solution of a parabolic equations. // Bull. Amer. Math. Soc., 1967, v. 73, N. 6, p. 890−896.

31. Osada H. Diffusion processes with generator of generalized divirgence forms. // J. Math. Kyoto Univ., 1987, v. 72, p. 597−619.

32. Zang Qi. S. Gaussian bounds for the fundamental solutions of V (AVu) + BVu — щ = 0.// Manuscripta Math., 1997, v. 93, p. 381−390.

33. Смирнова Г. Н. Задача Коши для параболических уравнений, вырождающихся на бесконечности. // Матем. сборник, 1966, т. 70, N 4, с. 591−604.

34. Эйдельман С. Д., Порпер Ф. О. О поведении решений параболических уравнений второго порядка с диссипацией. // Дифференциальные уравнения, 1971, т. 7, N 9, с. 1684−1695.

35. Pinchover Y. On uniqueness and nonuniqueness of the positive Cauchy problem for parabolic equations with unbounded coefficients. // Math. Zeitsh., 1996, bd. 223, p. 566−586 •.

36. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. // Москва, Наука, 1973.

37. Мукминов Ф. Х. О равномерной стабилизации решений первой смешанной задачи для параболического уравнения. // Матем. сборник, 1990, т. 131, N 11, с. 1486−1509.

38. Гущин А. К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического уравнения. // Матем. сборник, 1982, т. 119, N 4, с. 451−507.

39. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. // Москва, Наука, 1989.

40. Гарнетт Б. Ограниченные аналитические функции. // Москва, Мир, 1987.

41. Gilbarg D., Serrin J. On isolated singularities of solutions of second order elliptic differential equations // J. Anal. Math. 1954/56, v. 4, p. 309−340.

42. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл.Х. Математический анализ ч. 1, 2. // Изд. МГУ, 2005.

43. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. // Москва, Наука, 1973.

44. Stampacchia G. Le probleme de Dirichlet pour les equations elliptiques du second ordre a coefficients discontinuous. // Ann. Inst. Fourier, 1965, v. 15, N 1, p. 189−258.

45. Крейн М. Г., Рутман M.A. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха. // УМН, 1948, т. 3, N 1, с. 3−95.

46. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. // Москва, Наука, 1971.

47. Красносельский М. А., Соболевский П. Е. О неотрицательной собственной функции первой краевой задачи для эллиптического уравнения. // УМН, 1961, т. 16, N 1, с. 197−199.

48. Эванс Л. К. Уравнения с частными производными. // Новосибирск, 2003.

49. Кондратьев В. А. Об асимптотических свойствах решений нелинейного уравнения теплопроводности. // Дифференциальные уравнения, 1988, т.34, N 2, с. 246−255.

50. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. // Москва, ИЛ. 1949.

51. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. // Москва, Наука, 1983.

52. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. // Москва, ИЛ. 1954.

53. Харди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. // Москва, ИЛ. 1948.

54. Айне Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. // Москва, Факториал Пресс, 2005.

55. Харди Г. Расходящиеся ряды. // Москва, Факториал Пресс, 2006.

56. Стейн И., Вейс Г.

Введение

в гармонический анализ в евклидовых пространствах. // Москва, Мир, 1974.

57. Ландис Е. М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. // Москва, Наука, 1971.

58. Watson N.A. Thermal capacity. // Proc. London Math. Soc., 1978, v.37, p. 372−662.

59. Ландис Е. М. Необходимые и достаточные условия регулярности граничной точки для задачи Дирихле для уравнения теплопроводности. // ДАН СССР, 1969, т. 185, N 3, с. 517−520.

60. Кайзер В., Мюллер Б. Устранимые множества для уравнения теплопроводности. // Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1973, N 5, с. 26−32.

61. Lanconelli Е. Sur problema di Dirichlet per l’equasione del calore. // Ann. Mat. Pura ed Amol, 1973, v. 77, p.83−114.

62. Алхутов Ю. А. Устранимые особенности решений параболических уравнений второго порядка. // Математические заметки, 1991, т. 50, N. 5, с. 9−17.

63. Gariepy R., Ziemer W.P. Thermal capacity and boundary regularity. // J. Diff. Equations, 1982, v. 45, p. 374−388.

64. Ziemer W.P. Behavior at the boundary of solutions of quazilinear parabolic equations. // J. Diff. Equations, 1980, v. 35, p. 291−305.

65. Evans L.C., Gariepy R.F., Wiener criterion for the heat equation. // Arch. Ration. Mech and Anal., 1982, v. 78, N 4, p.193−194.

66. Littman W., Stampacchia G., Wainberger N.F. Regular points for elliptic equations with discontinious coefficients. // Ann. Scoula Norm. Sup. Piza, 1963, v. 17, p.43−77.

67. Денисов B.H. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшим коэффициентом. // Дифференциальные уравнения, 2003, т. 39, N 4, с. 506−515.

68. Денисов В. Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшими коэффициентом и растущей начальной функцией. // ДАН РАН, 2004, т. 397, N 4, с. 439−441.

69. Денисов В. Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с коэффициентом младшего порядка и растущей начальной функцией. // Труды семинара им. И. Г. Петровского, 2003, т. 23, с. 125−148.

70. Денисов В. Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшим коэффициентом. // Фундаментальная и прикладная математика, 2006, т. 12, N 4, с. 79−97.

71. Денисов В. Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшим коэффициентом и с экспоненциально растущей начальной функцией. // Труды МИАН им. В. А. Стеклова, 2008, т. 261, с. 97−106.

72. Денисов В. Н. О стабилизации решения задачи Коши для недивергентного параболического уравнения с младшим коэффициентом в классах растущих начальных функций. // ДАН РАН, 2010, т. 430, N 5, с. 586−588.

73. Денисов В. Н. Стабилизация решения задачи Коши для недивергентного параболического уравнения с растущими младшими коэффициентами. // Труды МИАН им. В. А. Стеклова, 2010, т. 270, с. 97−109.

74. Денисов В. Н. Условия стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения в классах растущих начальных функций. // Труды конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология Москва, 2008, с. 118−32.

75. Денисов В. Н. Достаточные условия стабилизации решения задачи Коши для недивергентного параболического уравнения с младшими коэффициентами. // Современнная математика. Фундаментальные направления, 2010, т. 36, с. 61−71.

76. Денисов В. Н. О необходимых и достаточных условиях стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшими коэффициентами. // ДАН РАН, 2010, т. 433, N 4, с. 452−454.

77. Денисов В. Н. Необходимые и достаточные условия стабилизации решения задачи Дирихле для уравнения теплопроводности. // ДАН РАН, 2006, т. 407, N 2, с. 163 166.

<"