О разрешимости одного нелокального варианта задачи Геллерстедта

Актуальность темы

В диссертации рассматриваются уравнения смешанного (эллиптико-гиперболического) типа с одной линией изменения типа уравнения и с заданием нелокального краевого условия на границе эллиптической части области. Начало исследованию уравнений смешанного типа положили работы Ф. Трикоми [36,37 ], который впервые выписал уравнение, ныне носящее его имя, и работа С. Геллерстедта [41]. Ф. И. Франкль [38,39] обнаружил, что уравнения смешанного типа имеют приложения в околозвуковой газовой динамике, теории сопел Лаваля. Им же были поставлены и ислледованы новые краевые задачи для уравнения смешанного типа [40]. На важность приложения уравнений смешанного типа указывали и другие авторы см. [3,8]. Тематикой уравнений смешанного типа занимались А. В. Бицадзе [4,5], К. И. Бабенко [1] и М. М. Смирнов [34]. Ими были поставлены и исследованы ряд новых задач для уравнений смешанного типа. Лаврентьев М.А.и Бицадзе А. В. [19 ] предложили для простоты исследования модельное уравнение sgny) uxx + иуу — 0.

В середине 50-ых годов А. В. Бицадзе доказал принцип экстремума для задачи Трикоми и ряда родственных задач. С конца 70-ых годов по инициативе А. В. Бицадзе, Кальменовым Т. Ш. 17,18], Пономаревым С. М. 29], Моисеевым Е. И. 23] были исследованы спектральные свойства уравнений смешаннного типа (было доказано, что существует хотя бы одно собственное значение [17], были указаны области на комплексной плоскости, где отсутствует спектр задачи Трикоми [23], были найдены и выписаны собственные функции, доказана их полнота [29]).

В течение последних двух десятилетий эти подходы успешно развивались в трудах других авторов (Мамедов Я.Н.,[20] Сабитов К. Б. [31−32]).

В последние годы активно изучаются уравнения смешанного типа с запаздывающей переменной в работах А. Н. Зарубина [9] и его учеников.

Активному изучению нелокальных краевых задач положила работа А. В. Бицадзе и А. А. Самарского в 1969 г. 6]. В этой работе были даны две постановки нелокальных краевых задач для уравнений эллиптического типа в классе регулярных решений. В дальнейшем эти исследования развивались В. А. Ильиным и Е. И. Моисеевым [11−12] для случая многоточечных задач. На важность изучения нелокальных краевых задач, возникающих в физике, было указано в работе А. А. Самарского [30]. А. Л. Скубачевский [33] и его ученики получили теоремы о разрешимости для обобщенных решений уравнений эллиптического типа. Н. И. Ионкин [14−16] исследовал нелокальную краевую задачу для уравнений параболического типа. В своих работах он исследовал аналитическое решение, а затем разностное (численное) решение. Н. И. Ионкиным были получены априорные оценки для решения как для точного, так и для разностного решения .

Для уравнений смешанного типа А. М. Нахушевым [28] и его учениками изучались краевые задачи с нелокальными краевыми условиями, заданными либо в гиперболической части области, либо на линии изменения типа.

В настоящей работе нелокальные краевые условия задаются на границе эллиптической части области, что ранее не было изучено.

Цель работыисследование вопросов разрешимости и построение решений новых нелокальных краевых задач для уравнений эллиптико-гиперболического типа (в частности для уравнения Лаврентьева-Бицадзе), нахождение собственных значений и собственных функций этих краевых задач, исследование полноты систем собственных функций в различных областях.

Основные результаты.

1. В работе для уравнения Лаврентьева-Бицадзе исследована задача Геллерстедта с нелокальным краевым условием в виде требования четности на границе области в эллиптической части. Выписаны явно все собственные значения и собственные функции, доказано, что система собственных функций полна в эллиптической части области и неполна во всей области.

Для спектрального параметра не равного собственному значению доказана однозначная разрешимость и решение выписано в виде ряда.

Для спектрального параметра, совпадающего с собственным значением, получены условия разрешимости, и при выполнении условий разрешимости выписано семейство решений в виде ряда. Указано, для каких собственных значений возникает условие разрешимости, а для каких не возникает.

2. В работе для уравнения Лаврентьева-Бицадзе исследована также задача Геллерстедта с нелокальным краевым условием в виде требования нечетности на границе области в эллиптической части. Для этой задачи получены результаты, аналогичные п. 1.

3. В работе для уравнения Лаврентьева-Бицадзе исследована «сопряженная» задача Геллерстедта (с заданием краевых условий на других характеристиках) с нелокальным условием типа нечетности на границе эллиптической части областиспектральный параметр в этом случае равен нулю. Доказана однозначная разрешимость задачи и получено решение в виде ряда, кроме того, получено интегральное представление решения.

Научная новизна работы. Исследована разрешимость новых нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа с условием в виде четности и нечетности на границе в эллиптической части области, найдены собственныые значения и собственные функции указанных задач, доказана полнота систем собственных функций .

Теоретическая и практическая ценность работы. Научные результаты диссертации имеют теоретическую значимость и могут быть использованы в научных исследованиях, проводимых в Московском, Новосибирском государственных университетах, институте Математического моделирования РАН, ВЦ РАН, институте Прикладной математики. Построенные аналитические решения могут служить эффективным тестом при численном моделировании задач трансзвуковой газовой динамики.

Методы исследования. Основным методом исследования является представление решения в виде биортогонального ряда, с последующим изучением его сходимости и с использованием теории специальных функций. При изучении единствености активно используются методы функционального анализа, принцип экстремума, принцип Зарембо-Жиро .

Апробация работы. Работа неоднократно докладывалась на семинаре кафедры вычислительных методов под рук. проф. Гулина А.В.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в журнале «Дифференциальные уравнения» .Все результаты строго научно обоснованы, получены автором самостоятельно и являются новыми.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем диссертации 75 страниц. Библиография включает 41 наименование.

выводы.

1. В работе для уравнения Лаврентьева-Бицадзе исследована задача Геллерстедта с нелокальным краевым условием в виде требования четности на границе области в эллиптической части. Выписаны явно все собственные значения и собственные функции, доказано, что система собственных функций полна в эллиптической части области и неполна во всей области.

Для спектрального параметра не равного собственному значению доказана однозначная разрешимость и решение выписано в виде ряда.

Для спектрального параметра, совпадающего с собственным значением, получены условия разрешимости, и при выполнении условий разрешимости выписано семейство решений в виде ряда. Указано, для каких собственных значений возникает условие разрешимости, а для каких не возникает.

2. В работе для уравнения Лаврентьева-Бицадзе исследована также задача Геллерстедта с нелокальным краевым условием в виде требования нечетности на границе области в эллиптической части. Для этой задачи получены результаты, аналогичные п. 1.

3. В работе для уравнения Лавретьева-Бицадзе исследована «сопряженная» задача Геллерстедта (с заданием краевых условий на других характеристиках) с нелокальным условием типа нечетности на границе эллиптической части областиспектральный параметр в этом случае равен нулю. Доказана однозначная разрешимость задачи, представлением решения в виде ряда. Кроме того, получено интегральное представление решения. В случае этой задачи построить решение со спектральным параметром по схеме п. 1 и п. 2 не удается.

4. Построенные аналитические решения могут служить эффективным тестом при численном моделировании задач трансзвуковой газовой динамики.

Автор выражает признательность своему научному руководителю доценту Н. И. Ионкину за постановку задачи и постоянное внимание к работе, автор также выражает благодарность проф. А. П. Фаворскому за сделанные им критические замечания в ходе выполнения данной работы.