Интервальный анализ дохода трамвайного парка в очередные сутки с применением доверительной вероятности

ГОУ ВПО Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет Кафедра вычислительной математики и кибернетики

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе по теории вероятности на тему:

Интервальный анализ дохода трамвайного парка в очередные сутки с применением доверительной вероятности

Уфа 2010 г

Задание 1

Условие

Исходные данные — суточный доход трамвайного парка (млн. руб.):

12,56; 12,41; 12,52; 12,80; 12,98; 12,70.

Актуальные вопросы: Каков практический максимум суточного дохода трамвайного парка? В каких пределах практически будет находиться доход трамвайного парка в очередные сутки?

Сформулировать эти вопросы на языке теории вероятностей и дать на них ответы.

Высказать предположение (с обоснованием) о законе распределения суточного дохода трамвайного парка, найти оценки и построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии суточного дохода.

Решение

Исходный материал — данные наблюдений над суточным доходом трамвайного парка (млн. руб):

По условию известно:

х₁=12,56; х₂=12,41; х ₃=12,52; х ₄=12,80; х ₅=12,98; х ₆=12,70; n=6.

Под X будем понимать случайную величину — доход, который получит трамвайный парк в будущий день. Данная величина дискретна, так как получить доход, например, 89,623 руб нельзя, существуют определенные стандарты. Но для решения этой задачи мы перейдем к идеализации и допустим, что р, е и др.- все это возможные значения X. Тогда X - непрерывная случайная величина.

Исчерпывающей характеристикой случайной величины является закон распределения, который зависит от условий проведения опыта. В нашем случае, опыт — это завтрашняя работа трамвайного парка. Учесть все условия невозможно. Может быть на следующий день резко возрастут цены на проезд в автобусах, и люди предпочтут пользоваться трамваями. А может это будет выходной, и людям просто захочется остаться дома. Так как же проанализировать условия?

1. В трамвайном парке работает множество трамваев. Пусть число трамваев — s.

2. Доход каждого трамвая завтра зависит от случая. Занумеруем трамваи:

3. Общий доход, который получат трамваи завтра:

X=+++…+

Т.е. X можно представить в виде суммы большого числа слагаемых. В силу центральной предельной теоремы мы можем ожидать, что закон распределения X близок к нормальному.

Пусть с — доход, который будет получен трамвайным парком в очередные сутки.

Событие является желательным событием. Найдем его вероятность.

Нам известно, что вероятность того, что X не превысит величины с, согласно нормальному закону распределения, зависит от с следующим образом:

где m=M(X) — математическое ожидание X, =D(Х) — дисперсия, а — стандартное отклонение X. Эти константы можно оценить, используя формулы:

(млн.руб) Следует отметить, что оценки и зависят от данных наблюдений, которые зависят от случая, когда m и от случая не зависят.

Зная оценки и, можно приближенно ответить на вопрос: «Какой доход (величина с) получит трамвайный парк в очередной день, т. е. чтобы вероятность события была достаточно велика, например, равна ?» Величину с найдем из уравнения:

.

Сделаем подстановку, тогда:

; при,; при, .

Получим уравнение:

.

Выберем вероятность равной 0,95 (т.е. чтобы получить практический максимум суточного дохода трамвайного парка) и решим уравнение с помощью таблицы значений нормальной функции распределения. Получим:

; (млн.руб) Таким образом, мы получили, что в очередные сутки практическим максимумом суточного дохода трамвайного парка будет являться 13,0132 млн руб. Ответим на вопрос: «В каких пределах практически будет находиться доход трамвайного парка в очередные сутки?»

Общая формула:

где

функция Лапласа, а a и b — концевые точки.

Пусть a и b расположены симметрично относительно m: a=m-s*; b= m+s*. Тогда:

т.к. функция нечетная. По таблицам найдем, что если s=1,96, то .

Таким образом, нам известно, что с вероятностью 0,95 Х будет находиться в пределах .

Т.е. доход трамвайного парка будет практически находиться в пределах от 12,262 до 13,077 млн руб.

Как уже отмечалось, оценки и зависят от случая, в то время как m и от случая не зависят. О местоположении этих констант на числовой оси дают представление доверительные интервалы, т. е. такие интервалы, для которых до проведения наблюдений известна вероятность того, что они в итоге наблюдений накроют константу.

В нашем случае концевые точки доверительного интервала для m находятся по формулам:, , где

а коэффициент зависит от устраивающей нас вероятности накрывания интервалом константы m:

.

можно найти из таблицы: при =0,95 и k=5(где k=(n-1) — число степеней свободы) =2,57.

Доверительный интервал для m: (12,45; 12,89) с вероятностью покрытия 0,95.

Концевые точки доверительного интервала для находятся по формулам:

.

Вероятность того, что такой интервал накроет, обозначим:

Она зависит от чисел и. Выберем вероятность накрывания дисперсии, например, и воспользуемся таблицами для вычисления и. Для этого вычислим:

(1-б)/2=0,1 — погрешность слева; (1+б)/2=0,6 — погрешность справа, k=n-1=5 — число степеней свободы.

Значит =1,610; =9,24.

Интервал: (0,113; 0,646) — доверительный интервал для дисперсии с вероятностью покрытия 0,8.

Задание 2

Условие

В продолжение задания 1. Существенно ли изменились условия проведения опыта, если очередная серия наблюдений привела к следующим данным? Поставить этот вопрос на языке теории вероятностей и получить ответ.

11,84; 12,50; 11,70; 11,72; 11,81; 11,78; 11,70.

Решение

Новые суточные доходы трамвайного парка: п₂=7.

Перед нами стоит вопрос: «Существенно ли изменились условия проведения опыта, если очередная серия наблюдений привела к следующим данным, т. е. изменились ли математическое ожидание и дисперсия в новой серии наблюдений?»

Предполагается, что над случайной величиной X проведены независимых испытаний, а над Y - независимых испытаний.

Пусть случайные величины X и Y независимы и каждая подчиняется одному и тому же нормальному закону распределения.

Нормальный закон распределения определяется функцией распределения или плотностью вероятностей, которые зависят только от двух констант — m и. Пусть дисперсии X и Y одинаковы. Тогда если математические ожидания X и Y одинаковы, то условия проведения опыта полностью совпадают.

Найдем оценки и :

(млн.руб); (млн.руб).

Если действовать согласно интуиции, то можно прийти к такому выводу: если в результате наблюдений случайная величина примет значение, сильно отличающееся от нуля, то следует, что математические ожидания X и Y неодинаковы. Но как понять, что значит «сильно отличаться от нуля», а что — «не сильно»? Для этого нам необходимо найти границу.

Рассмотрим случайную величину:

Возьмем какое-либо число, которое назовем пороговым числом, т. е. границей между значениями t, достаточно сильно отличающимися от 0 и не сильно. Тогда:

1) если | t |>, то проверяемая гипотеза отвергается;

2) если | t |, то отвергать гипотезу не будем.

Но данные наблюдений всегда зависят от случая, поэтому мы можем отвергнуть справедливую гипотезу и допустить ошибку. Выберем устраивающую нас достаточно малую вероятность такой ошибки в.

.

Пусть в=0,05. Нужно использовать таблицу для погрешностей, но т.к. ее нет, найдем ц=1- в=0,95.

По таблицам Стьюдента =2,20.

Сравним t и: | 5,4 |>2,20 гипотеза отвергается, и M(X)M(Y).

Таким образом, с вероятностью ошибки 0,05 можно считать, что условия проведения опыта существенно изменились.

Задание 3

Условие

В продолжение задания 1. Можно ли утверждать, что указанные в задании 1 данные говорят о существенном изменении условий проведения опыта, если известно, что для проведения этих наблюдений математическое ожидание рассматривающейся случайной величины составляло 12,42?

Решение

У нас имеется случайная величина X, закон распределения которой близок к нормальному закону. Нам нужно ответить на вопрос: «Справедливо ли, что математическое ожидание X равно заданной константе m, где m=12,42?» Если нет, то условия проведения нашего опыта существенно изменились. Предполагается, что над случайной величиной проведены n независимых испытаний.

Введем оценку математического ожидания для X:

Интуитивно мы можем сделать вывод по такому правилу: если после наблюдений случайная величина примет значение, сильно отличающееся от нуля, то условия проведения опыта существенно изменились. Но, опять же, нужно найти данную границу. Рассмотрим случайную величину:

.

Если | t |, то условия проведения опыта существенно не изменились, если | t |>, то условия изменились. Но, как и в задаче 2, это может привести к ошибке. Выберем малую вероятность такой ошибки: в=0,05.

.

С помощью таблицы Стьюдента найдем: =2,57.

Сравним t и: | 2,9 |>2,57 М (Х) m.

Таким образом, условия проведения опыта существенно изменились с вероятностью ошибки 0,05.

математическое ожидание дисперсия

1. Рудерман С. Ю. Законы в мире случая. Том 1. Уфа, 2005

2. Рудерман С. Ю. Законы в мире случая. Том 2. Уфа: РИО БашГУ, 2005

3. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Высшая школа, 1999

4. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002