Стабилизация и аналитические методы синтеза режимов нелинейной динамики машин

Динамика современных машин характеризуется наличием нелинейных режимов, которые вызваны как наличием нелинейных силовых взаимодействий в машинах, так и использованием различного рода управляющих связей — регуляторов. Аналитический синтез динамических режимов с заданными параметрами устойчивости — стабилизации движения, осуществляется с помощью математических моделей в виде нелинейных систем дифференциальных уравнений. С момента появления первой работы И. А. Вышнеградского по регуляторам прямого действия до формирования нелинейной динамики регулирующих устройств элементов машин прошло немногим больше века. Такое временное расстояние объясняется тем, что с одной стороны нелинейная динамика управляемых процессов оформилась в самостоятельную область сравнительно недавно и, с другой стороны, это связано с достижениями в области современного материаловедения. Все это дало принципиальную возможность для технического воплощения сложных управляемых процессов, основанных на создании машин и их элементов с нелинейными принципами функционирования.

Настоящая работа посвящена синтезу в математических моделях элементов машин заданных нелинейных режимов, обеспечивающих их устойчивость и прочность. При этом модели технических устройства рассматриваются с позиций динамических систем. Такой подход оказывается достаточно эффективным по двум основным причинам: во-первых, рассматриваемые математические модели представляют собой системы дифференциальных уравнений, определяющие динамические системы [4,5,53]- во-вторых, динамическая система обладает групповыми свойствами [33, 35, 53, 54]. Первое позволяет привлечь к исследованию не только современные аналитические, но и качественные методы теории дифференциальных уравнений [4, 5, 8, 11]. Второе позволяет синтезировать для широкого класса моделей алгебры Ли на их векторных полях [53, 54−56] и исследовать t процессы стабилизации с позиций алгебраической теории Ли.

Математические модели динамики современной теории машин представляют собой взаимосвязанную совокупность подсистем различного типа. При этом существуют связи между подсистемами, сформированные как на стадии проекта, так и образующиеся в процессе функционирования реального устройства [43]. Таким образом, сложность динамических моделей определяется не только большими размерностями, но и нелинейным — характером связей между подсистемами. Основные задачи синтеза заданных режимов функционирования связаны со стабилизацией, поскольку синтезированный режим должен обладать достаточным запасом устойчивости. Среди исследований отечественных и зарубежных ученых, определивших современную концепцию синтеза заданной нелинейной динамики систем, можно привести работы А. М. Летова, В. И. Зубова, А. А. Андронова, В. И. Арнольда, А. Г. Александрова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского, Ю. Ф. Неймарка, Е. П. Попова, В. Н. Афанасьева, П. Д. Крутько, К. С. Колесникова, В. Р. Носова, К. В. Фролова, В. Ф. Журавлева, В. Б. Колмановского, Д. М. Климова, А. ван дер Шафта, Р. У. Брокетта, Н. Н. Красовского, Е. А. Барбашина. Большое влияние на построение систем, имеющих заданные траектории, оказали работы Н. П. Еругина [28].

Началу многочисленных исследований по синтезу регуляторов (управления с обратной связью) как в России, так и за рубежом положила серия известных работ А. М. Летова [ 46−49].

Развиваемый в диссертационной работе подход к различным задачам синтеза опирается на основные положения теории устойчивости инвариантных множеств динамических систем, предложенной В. И. Зубовым [33−37]. Понятие инвариантности в качественной теории динамических систем играет важную роль при геометрическом исследовании фазовых траекторий [12, 28, 36,76].

Кроме того, синтезируемая математическая модель должна обладать нелинейным трением в окрестности инвариантного множества. В своих исследованиях И. А. Вышнеградский определил наличие трения при работе регулирующего устройства, как основной из принципов теории регулирования: «без трения нет регулятора» [45].

Любая проектируемая машина представляет собой сложный комплекс управляемых элементов. Основные требования, предъявляемые к современным машинам, — это управляемость, наблюдаемость и устойчивость режимов их функционирования [6, 27, 50] согласно целям и задачам, преследуемым инженером-проектировщиком.

В связи с возможностью технической реализации сложных динамических режимов, в последнее время акцент при проектировании различных устройств сместился на применение концепций нелинейного регулирования динамики машин [12, 23, 49]. Это связано как с необходимостью синтеза нелинейных режимов, так и с подавлением нелинейного поведения устройства и обеспечения устойчивости линейного характера работы исполнительных органов машины. Например, работа многих устройств основана на возбуждении автоколебательных процессов, которые по своей природе являются нелинейными [ 4, 26, 16]. Простейшим устройством, работающем на этом принципе, является часовой механизм. Обеспечение синхронизации нескольких часовых механизмов основанных на захвате частоты, реализуется через нелинейное взаимодействие [60]. Задача синтеза нелинейного компенсатора, который разрушает нежелательные контуры нелинейных обратных связей, возникающие, например, при износе, усталостных напряжениях, выработке ресурса, возникновении эффекта сухого трения и т. д. [43, 74], относится к области нелинейного регулирования.

Задачи перехода от одного устойчивого режима устройства к другому также решаются посредством синтеза нелинейного управляющего устройства. Такие машины можно описать кусочно-сшитыми моделями [4, 6, 8]. Кусочнолинейные (сшитые на интервалах времени) модели являются аппроксимацией моделей с нелинейными характеристиками. В таких моделях нелинейность аппроксимируется линейными характеристиками, различными для каждого из конечных интервалов времени [21, 22].

При формировании контуров обратных связей в устройствах с целью достижения требуемого динамического процесса могут возникать колебания с растущей амплитудой [23], приводящие к неустойчивой работе устройства. Поэтому возникает проблема локализации переходных процессов. Практически любая технически интересная задача связана с локализацией процессов стабилизации заданных режимов в ограниченных областях пространства состояний динамических моделей машин. Это объясняется тем, что от работы конкретного устройства требуется выход на заложенные в проекте устойчивые динамические и статические режимы. В связи с этим можно сформулировать следующие принципы аналитического конструирования регулирующих устройств с обратной связью по состоянию модели, на основе которых формируется подход, предлагаемый в диссертации к задачам синтеза устойчивых режимов в нелинейной динамике машин:

1) синтез инвариантного компактного множества в пространстве состояний модели;

2) обеспечение асимптотической устойчивости синтезированного множества относительно динамической системы — модели, описывающей требуемую динамику устройства;

3) возможность регулирования размера границы области.

Выполнение первого принципа для синтезируемого множества приводит к локализации процессов, начинающихся на этом множестве, согласно теоремам об инвариантных множествах (интегральных многообразиях) [28, 33, 54], т. е. фазовые траектории пространства состояний системы при начальных условиях, заданных на этих множествах, не могут его покинуть при t —> ±-оо. При выполнении первого принципа компактная односвязная область состоит из объединения двух инвариантных множестввнутренности и границы области. Требование односвязности связано в первую очередь с тем, что если нелинейная характеристика определяется некоторой потенциальной функцией, то она должна быть однозначно определенной [25,43]. Выполнение второго принципа обеспечивает выход устройства на заданный режим. Выполнение третьего принципа позволяет управлять размером области асимптотической устойчивости заданного режима при начальных условиях, заданных внутри области с инвариантной границей.

В диссертации, в частности, сформулированы и доказаны достаточные условия, при которых задача синтеза удовлетворяет всем трем принципам аналитического конструирования регулирующего устройства, и требуемые динамические режимы лежат на границе области, они являются притягивающими для траекторий динамических моделей, величины, характеризирующие требуемую динамику, являются регулируемыми (управляемыми).

Например, для автоколебательных процессов с начальными условиями, заданными внутри области, ограниченной эллипсоидом, требуемый диапазон заданных амплитуд может регулироваться через длины полуосей многомерного эллипсоида, ограничивающего область в пространстве состояний и удовлетворяющий приведенным выше принципам.

С аналитической точки зрения, синтез стабилизирующих устройств представляет собой синтез нелинейных статических, динамических характеристик модели, представляющих собой нелинейную вектор-функциюаналитическую модель регулирующих органов машины,.

В диссертации аналитический синтез регулирующих устройств рассматриваются в теории гладких моделей нелинейной динамики машин. Регулирующие устройства, синтезируемые в данной работе, относятся к классу регуляторов прямого действия [6].

Выбор такой области является неслучайным и связан с тем, что позволяет получить достаточно общие результаты, так как модели гладкой нелинейной динамики могут быть вполне удовлетворительно аппроксимированы последовательностью кусочно-линейных и дискретных моделей [21,43, 79].

В настоящей работе рассматриваются гладкие моделей элементов машин на инвариантных компактных множествах, так как понятия динамической системы и векторного поля, заданного на инвариантном компактном множестве, эквивалентны вследствие его компактности [72 ]. Кроме того, в этом случае операторная запись векторного поля является инфинитезимальным оператором динамической системы, как группы преобразований пространства состояний модели. В конечном счете это приводит к исследованию предметной области как с позиций теории дифференциальных уравнений, так и с теоретико-групповой точки зрения.

В данной работе, в частности, предлагается решение ряда задач стабилизации движений посредством аналитического синтеза многомерных эллипсоидов в пространстве состояний динамических систем. Такой подход, следуя сформулированным выше принципам, включает в себя две основные задачи:

1) задачу синтеза эллипсоида как интегрального множества системы. Решение этой задачи приводит к выводу условий инвариантности эллипсоида, а также обеспечивает локализацию траекторий, начинающихся во внутренних точках области, ограниченной эллипсоидом, при выполнении условия существования и единственности решения задачи Коши.

2) задачу обеспечения асимптотической устойчивости эллипсоида. Решение этой задачи гарантирует притяжение этих траекторий к границе области.

Наконец, решение этих двух задач приводит к синтезу связей, стабилизирующих движение систем в окрестности эллипсоида и, как следствие этого, к аналитическому конструированию регулирующих устройств.

Решение этих задач для колебательных систем позволяет синтезировать колебательные процессы с выходом на стационарный режим с заданной амплитудой. При таком подходе притягивающие режимы стабилизации возникают на самом эллипсоиде. Кроме того, размеры области локализации движений систем можно регулировать через длину полуосей эллипсоида. Свойства поверхности эллипсоида, его инвариантность и устойчивость определяет характер нелинейных связей, синтезируемых в динамических системах.

Помимо этих задач в данной работе рассматриваются задачи стабилизации движений системы в окрестности заданных состояний равновесия на алгебрах Ли векторных полей [25, 75], посредством введения взаимодействия между подсистемами с квадратичным характером нелинейности. Активное применение алгебраической теории Ли в задачах синтеза заданной динамики управляемых систем за рубежом появилось сравнительно недавно — в 80-е прошлого века и восходит к программной работе Р. У. Броккета [10], где сформулированы некоторые важные направления в данном ключе. Советский Союз, а затем и Россия, в области задач синтеза заданной динамики на алгебрах Ли занимает одно из лидирующих мест в мире. Здесь уместно перечислить ряд работ, стимулирующих формирование новых направлений в данной области — это работы [29−31, 53].

Задачи синтеза устойчивых режимов, решаемые в диссертации, можно отнести к трем основным классам динамических моделей характерных для нелинейной динамики машин: колебательные, градиентные и комбинированные (синтезированные посредством нелинейного взаимодействия на апериодических и колебательных звеньях).

Актуальность и необходимость исследований проблемы стабилизации движений систем, такого вида и определило выбор темы, целей и задач данной работы.

Цель работы состоит в теоретическом исследовании многомерных колебательных и градиентных динамических моделей и синтезе обратных связей по состоянию модели, стабилизирующих движения систем в окрестности эллипсоидов.

Задачи исследований: разработка методов аналитического конструирования устройств, основанных на принципах локализации движений на ограниченных областях, инвариантности, притяжения границами заданных областей траекторий синтезируемых систем.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе используются методы качественной теории динамических систем, теории устойчивости и математического моделирования. На защиту выносятся: задача синтеза многомерных колебательных систем на замкнутом единичном шаре, с инвариантной асимптотически устойчивой границей относительно синтезируемых систем и синтез автоколебательного режима на эллипсоиде в R3- задача синтеза инвариантного асимптотически устойчивого эллипсоида для многомерных градиентных системзадача синтеза нелинейной обратной связи, обеспечивающего выход колебательных процессов на устойчивый автоколебательный режим для моделей устройств, состоящих из двух колебательных звеньевсинтез некоммутативной алгебры Ли для задач стабилизации квадратичнонелинейных моделей.

Научная новизна. На основе исследования:

1) предложен единый подход к аналитическому синтезу градиентных и колебательных моделей с кубической нелинейностью, основанный на локализации движений в области, ограниченной эллипсоидом;

2) сформулирована и решена задача стабилизации в окрестности сферы многомерных колебательных нелинейных систем с нечетными многочленами третьего порядка в правых частях и синтез автоколебательного режима на эллипсоиде в.

3) сформулирована и решена задача стабилизации в окрестности эллипсоида многомерных градиентных систем с потенциалом в виде четного многочлена четвертого порядка;

4) осуществлен синтез систем с квадратичной нелинейностью для задач стабилизации в окрестности заданных положений равновесия на некоммутативной алгебре Ли, что позволяет получить алгебраические принципы стабилизации на основе теории алгебр Ли и решить задачу аварийной стабилизации.

Практическая ценность работы заключается в создании теоретических основ для проектирования систем автоматического регулирования с динамикой, локализованной в замкнутых областях с границами эллипсоидального типа. Полученные результаты открывают новые перспективы в развитии качественных методов моделирования нелинейных систем.

Достоверность и обоснованность результатов и выводов диссертации определяется применением при проведении исследований обоснованных методов качественного и группового анализа нелинейных систем дифференциальных уравнений, теории устойчивости и методов математического моделирования.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции, посвященной 100-летию А. А. Андронова «Прогресс в нелинейной науке. Математические проблемы нелинейной динамики». (Н. Новгород, 2.07.2001;6.07.2001), на «VI международном конгрессе по математическому моделированию» (Н. Новгород, 20.09.200 426.09.2004), на международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения В. И. Зубова «Устойчивость и процессы управления» (Санкт-Петербург, 29.06.2005;01.07.2005), на научных семинарах и конференциях государственных технических университетов (Астрахань, Волгоград 19 952 004).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы изложено в 10 научных работах и материалах конференций [17−20, 64−70].

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 104 страницах и состоит из введения, четырех оригинальных глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 82 наименования, 24 рисунка и таблицы. В конце каждой из глав приведены основные полученные результаты.

4.7. Выводы.

1. Сформулирован и доказан достаточный признак структурной неустойчивости динамических моделей на алгебрах Ли. Данный признак может быть полезен при блокировании работы устройств на опасных областях параметров.

2. Доказана неразрешимость задач стабилизации в окрестности заданного стационарного режима, для моделей со многими состояниями равновесия на абелевых алгебрах Ли.

3. Синтезирована некоммутативная алгебра Ли, для задач «аварийной» стабилизации на векторных полях квадратичного типа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. Для многомерных колебательных моделей получена нелинейная аналитическая модель стабилизирующего устройства на множестве нечетных многочленов третьего порядка, обеспечивающая инвариантность и асимптотическую устойчивость единичной сферы.

2. Синтезированы модели с устойчивым автоколебательным режимом на эллипсоиде в R3.

3. Синтезированы многомерные градиентные модели регулируемых элементов машин с инвариантным и асимптотически устойчивым эллипсоидом.

4. Синтезирована модель регулирующего устройства, обеспечивающего локализацию колебательных процессов для моделей устройств, состоящих из двух колебательных звеньев, при этом на равных частотах генерируются устойчивые автоколебательные режимы.

5. Синтезирована некоммутативная алгебра Ли квадратично-нелинейных векторных полей для задач стабилизации режимов модели в заданной области пространства состояний.

6. Предложен алгоритм аварийной стабилизации на некоммутативной алгебре Ли.

7. Доказано, что при решении задачи аварийной стабилизации на некоммутативной алгебре Ли формируется петлевая динамика в пространстве состояний.

Результаты исследований могут найти применение при проектировании стабилизирующих устройств и регуляторов машин и аппаратов.