Стабилизация статистических решений линейных гиперболических уравнений второго порядка

В работе изучается вопрос о стабилизации при ~Ь статистических решений линейных гиперболических уравнений второго порядка при начальных условиях.

Ш, 0) = Щ*),^Cx, o)=tiU, ыВ?. (2).

Предполагается, что случайная функция удовлетворяет условиям перемешивания: сильного (И.А.Ибрагимов [16]) или равномерно сильного (М.Розенблатт [32]). Грубо говоря, это означает, что значения и^о (^) начальных дащшх слабо зависимы при. Кроме того, предполагается, что лучи уравнения (I) уходят на бесконечность при.

При этих условиях с некоторыми дополнительными уточнениями доказано, что распределение ja^ решения задачи Коши (1)-(2) и его цроизводнои по Ъ в момент времени ~Ь слабо сходится при °о к гауссовой мере, связанной с распределением начальных данных явными формулами.

Такая постановка задачи для уравнений с частными производными в сочетании с условиями перемешивания в литературе до сих. пор не рассматривалась. Эта задача связана с одним из направлений в обосновании статистической физики, намеченным Р.Л.Добру-шиным в его докладе на заседании Московского математического общества [14] (см. также [15]).

Всюду в работе рассматривается случай нечетного VI Кроме тогосчитается, что начальные данные (R?.

Сформулируем точно условия перемешивания. Всюду в дальнейшем предполагается, что распределение р0 начальных данных U/o^l удовлетворяет одному из следующих условий:

I/ условие сильного перемешивания (по М. Розенблатту [32]).

L)=Sicp|j4.(ArtB>)-j4.(A)/W,(B)|—о, к—- (3).

2/ условие равномерно сильного перемешивания (по И. А. Ибрагимову [1б1) lfl.(AnB)-fl.(A)fi.(b)|.

Г—1,1.

Здесь точная верхняя грань берется по всем событиям, А, по-ровдннным Ue (x) xdf, всем событиям Ь, порожденным KlfyfttY (в случае 2/ JM0(b)>0) и всем выпуклым областямХ, Ус11ч с j>Q (-Y)>W>0 • Примеры таких случайных полей Ы0 известны: например, гауссово однородное поле с финитной корреляционной функцией. Другие примеры приведены в дополнении I.

Предполагается также, что распределение jv|Q трансляционно однородновопрос о стабилизации статистических решений Jvi^, отвечающих некоторым классам неоднородных начальных мер, обсуждается в дополнении П .

Кроме того, предполагается, что мера JVt0 обладает нулевым средним и конечной средней плотностью энергии:

1*0(x) (Mo (Ли)-о, J.

5).

0= J OmftlvuXx-rf+Wlxtf) p0(k).

6) J со, Г.

В случае выполнения условия сильного перемешивания (3), более слабого, чем (4) — накладываются дополнительные ограничения на моменты исходной меры JVJ0. Именнотребуется, чтобы вместо условия (б) выполнялось условие: при некотором S>0 * r.

От коэффициентов перемешивания d (Vj и требуется достаточно быстрое убывание при h->&<:>. Всюду в диссертации предполагается выполнение одного из следующих двух условий:

Jr/OOJU-,.

7) со ГЧ4.

1Уунк1Ц > ГУ eJt оо т)'.

В первых двух главах изучаются статистические решения волнового уравнения с постоянными коэффициентами:

В третьей главе с помощью результатов I и I главы доказана стабилизация при «t а><=> статистических решений уравнения (I) с переменными коэффициентами.

Первая глава посвящена изучению свойств моментных функций статистических решений JM|0) уравнения (8) при условиях перемешивания для начального распределения JH0. Основное внимание при этом уделяется вопросу о стабилизации при корреляционных функций мер. Чтобы сформулировать основную теорему I главы обозначим через корреляционную матрицу случайной функции •.

Пусть — семейство операторов на X «сопоставляющих функции решение уравнения (8) с начальными условиями (2) и его производную по i в момент времени Ь :

1Ш.

Пусть Q^Cpc,^) — корреляционная матрица случайной функции. Положим.

Qw ¦ г I.

Здесь fy- (^(g) — фундаментальное решение оператора Лапласа б, f обозначает свертку двух' функций. В первой главе доказана следующая.

Теорема I. ЕЬли распределение J40 начальных данных Ц0= U1] задачи Коши (8), (2) удовлетворяет условиям.

4)-(7) (или (3), (5), (б)'и (7)'), то.

II) 1.

Основной результат второй главы составляет следующая Теорема 2. Пусть JH^ - распределение случайной функции Uj-tH • При условиях теоремы I.

7 М. X, — ^ (12) слабо на С^СГ)®Vl>0. При этом JA^ - гауссова однородная мера с корреляционной матрицей.

Qoo, заданной в (ю).

Для доказательства этой теоремы достаточно проверить, что меры ," t>0 образуют слабо компактное семейство на Ж, а их характеристические функционалы сходятся при ~t —> <=><> к характеристическому функционалу гауссовой меры. Отметим, что утверждение о слабой компактности не вытекает из одних только энергетических оценок для решения задачи Коши (8), (2), однако его удается доказать, используя условия перемешивания (4), (7) или (3), (7)' .

СХЗ.

CXP.

Доказательство сходимости характеристических функционалов основывается на следующем наблюдении. Решение задачи Коши для уравнения (8) дается формулой Кирхгофа в виде интеграла по сфере радиуса R=C0t, д’еленного на. Ввиду асимптотической независимости U0(?) и при|оС-^|получается таким образом, что решение Щя, t) при Ь • имеет, грубо говоря, вид 21%*/" iN ', где^, •. ^ -слабо зависимые (при/V~t—) величины. Поэтому доказательство асимптотической нормальности М,(рсit) при t—" мы проводим по с" хеме, аналогичной методу серий С. Н. Бернштейна [i]. Такой подход широко применяется при доказательстве различных предельных теорем для случайных процессов (В.А.Волконский, С. А. Розанов [8, 9], И. А. Ибрагимов [17], М. Розенблатт [32], Я. Г. Синай [33] и др.) и полей (А.В.Булинский, И. Г. Нурбенко [з], [4], Н. Н. Леоненко, М. И. Ядренко [35] и др.)*.

В работах А. В. Булине кого и И. Г. Журбенко [3, 4] рассматриваются аддитивные случайные функции, в частности, интегралы по параллелепипедамразмеры которых стремятся к бесконечности. В работах Ю. Яеоненко и М. И. Ядренко [35] изучается, в частности, асимптотика сферических средних, когда радиус сферы стремится к бесконечности. Отличие нашего случая от [35] заключается в том, что в ?35^ центр сферы ОС — фиксирован. Поэтому из результатов [35] вытекает стабилизация при i-лишь случайной неличины при фиксированном ССс Щ.

Кроме того, в [35] предполагается дополнительно изотропность исходного случайного поля.

В основном тексте диссертации подробное доказательство теорем I и 2 приведено в случае Yl-Ъ .В дополнении I перечисW лены изменения, которые следует внести в доказательство для нечетных К>Ъ.

В третьей главе аналогичный теореме 2 результат получен для статистических решений гиперболического уравнения (I) с переменными коэффициентами. Предполагается, что коэффициенты этого уравнения достаточно гладкие, причем при loC.|>R0 уравнение (I) имеет вид (8). Кроме того'- CL0(x)zO и матрица (Q'ikfc)) положительно определена для VxejR^. Наконец, требуется выполнение так называемого условия неловушечности (см. условие Д на с. 234 монографик [5}), заключающегося в уходе на бесконечность при i лучей уравнения (I).

Пусть Ц ft)-" t? JR — семейство операторов на X # аналогичное Uo («0 (см. (9)), разрешающее задачу (1)-(2). Известно [23], что семейство «t^ 1R существует. Пусть распределение JM0 случайной функции удовлетворяет условиям теоремы 2. Пусть ро ~ статистическое решение уравнения (I).

Основной результат диссертации заключается в следующем утвервдении.

Теорема 3. При сформулированных выше предположениях и?—мЯ. i.

И-L I -? «ХЭ оо ;

В) слабо на % Здесь J4^ ~ гаУссова мера на.

Для доказательства этой теоремы в диссертации построена асимптотика решений уравнения (I) с бесконечной энергией. Чтобы сформулировать соответствующую теорему, обозначим через Xj подпространство функций из «Для которых конечна норма е.

Теорема Пусть выполнены сформулированные выше условия на коэффициенты уравнения (I). Тогда решение задачи (1)-(2) придля достаточно малых 1 >0 допускает представление вида.

1>о и) гдеО. и tfyj^O — непрерывные, линейные операторы из В ^ .При этом для VR >0 Ю.

15) где ^ - некоторое положительное числозависящее только от коэффициентов уравнения (I). Здесь Ю обозначает норму в пространстве.

Асимптотика (14) позволяет свести доказательство сходимости (13) к случаю постоянных коэффициентов. Эта асимптотика строится при помощи методов теории рассеяния [28] (отметим однакочто в теории рассеяния [28] рассматриваются решения уравнений (I) и (8) лишь с конечной энергией). Оценка (15) основана на теореме Б." Р. Вайнберга [5] об убывании энергии в ограниченных областях при t —* <=>0 .

Автор сердечно благодарит Александра Ильича Комеча и Марка Иосифовича Вишика за доброжелательное внимание к работе и многочисленные плодотворные обсуждения полученных результатов.

1. Бернштейн С. Н. Распространение предельной теоремы: теории вероятностей на суммы зависимых величин.- Успехи матем. наук, 1944, т. Х, с.65−114.

2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер.- М.: Наука, 1977, — 352 с.

3. Булинский А. В. Предельные теоремы для случайных процессов и полей.- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981, — 64 с.

4. Булинский А. В., Журбенко И. Г. Центральная предельная теорема для аддитивных случайных функций.- Теория вероятностей и ее применения, 1976, т.Ш. № 4, с.707−717.

5. Вайнберг Б. Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики.- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982, — 296 с.

6. Вишик М. И., Фурсиков А. В. Математические задачи статистической гидромеханики.- М.: Наука, 1980, — 442 с.

7. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1981, — 512 с.

8. Волконский В.А.-, Розанов Ю. А. Некоторые предельные теоремы для случайных функций, I.- Теория вероятностей и ее применения, 1959, т.1У, К, с. 186−207.

9. Волконский В. А., Розанов Ю. А. Некоторые предельные теоремы для случайных функций, II.- Теория вероятностей и ее применения, 196I, т. УТ, № 2, с.202−215.

10. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними.- М.: Физматгиз, 1958, — 440 с.

11. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов, т.1 М.: Наука, 1971, — 664с.-12 512. Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин.- М.-Л.: Гостех-издат, 1949, — 264 с.

12. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости.- М.: Наука, 1967, — 472 с.

13. Добрушин Р. Л. Проблема математического обоснования статистической механики.- Успехи матем. наук, 1977, т.32, № 5, с.164−165.

14. Добрушин Р. Л., Сухов Ю. М. Временная асимптотика для некоторых вырожденных моделей эволюции систем с бесконечным числом частиц. В сб.: Современные проблемы математики. Итоги науки, т.14, — ВИНИТИ, 1979, с.147−254.

15. Ибрагимов И.А.3 Некоторые предельные теоремы для стационарных в узком смысле вероятностных процессов.Докл. АН СССР, 1959, т.125, № 4, с.711−714.

16. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные величины.- М.:-Наука, 1965, — 524 с.

17. Иосида К. Функциональный анализ.- М.: Мир, 1967, — 624 с.

18. Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными.-М.: ИП, 1958, — 160 с.

19. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей.-М.: Наука, 1974, — 120 с.

20. Лаке П., Филлипс Р. Теория рассеяния.- М.: Мир, 1971, -312 с.

21. Лионе 1.-JI., Мадженес Э. Неоднородные задачи и их приложения.- М.: Мир, 1971, — 371 с.-12 623. Михаилов В. П. Дифференциальные уравнений в частных производных.- М.: Наука, 1933, — 424 с.

22. Ратанов Н. Е. Об асимптотической нормальности статистического решения волнового уравнения.- В сб. Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа.- М.: Изд-во Моск. ун-та, IS64.

23. Ратанов Н. Е. Стабилизация статистических решений волнового уравнения.- В сб. Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа.- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1964.

24. Ратанов Н. Е. Стабилизация статистических решений гиперболических уравнений второго порядка.- Успехи матем. наук, 1984, т."39, вып. 1, С.15Ы52.

25. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: т.2. Гармонический анализ. Самосопряженность.- М.: Мир, 1978, — 395 с.

26. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: т.З. Теория рассеяния.- М.: Мир, 1982, — 443 с.

27. Рдд Mi, Саймон Б. Методы современной математической физики: т.4. Анализ операторов, — М.: Мщэ, 1982, — 428 с.

28. Розанов Ю. А. О центральной предельной теореме для аддитивных случайных функций.- Теория вероятностей и ее применения, I960, т. У, Ш2, с.243−246.

29. Розанов Ю. А. Марковские случайные поля.- М.: Наука, 1981, — 256 с. П л32. io^xi&drt И. /1 Ф^ЪхЛ Uv^t O^Jl wuodvi^ CQfaktiРг^- №. Su. USA,. -127.

30. Синай Я. Г. О предельных теоремах для стационарныхfпроцессов.- Теория вероятностей и ее применения, 1962, т. УГГ, № 2, с.213−219.

31. Хасьминский Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров.- М.: Наука, 1969, — 367 с.

32. Ядренко М. И. Спектральная теория случайных полей. Киев: Вища школа, 1980, — 208 с.