Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях

Схема цепи и её параметры

1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях

2. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии

3. Анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии

4. Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии

5. Вывод

6. Список литературы

Рис 1. Принципиальная схема исследуемой цепи Параметры:

R1 = 500 Ом

R2 = 500 Ом

R3 = 1000 Ом

Rn = 1000 Ом

L1 = 0.02 Гн

L2 = 0,04 Гн

C = 1.6 •10 -7 Ф

1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях Для цепи дано и В, где

По данным требуется:

1. 1 Составить уравнения состояния цепи при .

1.2 Найти точные решения уравнения состояния.

1.3 Найти решение уравнения состояния, используя один из численных методов.

1.4 Построить точные и численные решения уравнения состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменных состояния.

1.1 Составление уравнений состояния

Уравнения состояния в нормальной форме имеют вид. Для определения элементов матриц будем искать формулы, определяющие, и через iL1, iL2 и uC. Из полученных таким образом уравнений будут найдены матрицы и (F)

По условию задания матрицы, примут вид:

Расставим токи и составим уравнения по законам Кирхгофа, в результате получим:

Теперь из них выразим, и, зная, что :

1.2 Точное решение уравнений состояния Точному решению дифференциальных уравнений соответствует следующая формула

Как видно для решения нам потребуются начальные условия и матричная экспоненциальная функция .

Определим начальные условия, при t<0 и e (t) = 0:

Из рисунка следует, что iL10 = iL20=R2, а напряжение на конденсаторе равно падению напряжения на резисторе R2.

Составим уравнения по законам Кирхгофа для нахождения iRn:

J — iR1 — iR2 = 0 4 — iR1 — iR2 = 0

— iR1•R1 + iR2•R2 = 0 -500•iR1 + 500•iR2 = 0

Отсюда следует, что

iR2 = iL10 = iL20 = 2 A

uC0 = R2•iR2 = 500 •2= 1000 В

Определим матричную экспоненциальную функцию :

Это можно путем разложения в ряд Тейлора, так чтобы число слагаемых ряда равнялось числу реактивных элементов, т. е. три члена.

где

Коэффициенты можно определить из следующей системы:

В этой матрице собственные числа матрицы, которые могут быть получены из условия. Или используя MathCad:

Теперь найдем :

Запишем матричную экспоненциальную функцию:

Найдем переменные состояния, пользуясь формулой

но в нашем случае, т.к. источники питания постоянны можно воспользоваться более простой формулой

1.3 Решение уравнений состояния численным методом Воспользуемся наиболее простым методов решения систем дифференциальных уравнений — методом Эйлера. Он заключается в следующем — пусть дана зависимость. Тогда определится из формулы. Точность формулы тем выше, чем меньше , — заданное начальное условие.

Точность решения задается следующими параметрами:

где N — число разбиений.

Для наших переменных состояния имеем:

Графики решений уравнения состояний приведены ниже. Сплошная линия соответствует точному решению, а прерывистая численному решению.

2. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии Анализу подлежит цепь, изображённая на рис. 1, причём в цепи e (t)=0. Начальные условия в цепи нулевые. В момент времени t=0 на вход цепи подан сигнал в виде одиночного импульса тока с параметрами Im= 0.5 A и tи= 8•10 -5 с.

По данным требуется:

2.1 Найти функцию передачи.

2.2 Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскость комплексной частоты.

2.3 Найти переходную h1(t) и импульсную h?(t) характеристики для выходного напряжения или тока.

2.4 Определить изображение по Лапласу входного импульса.

2.5 Найти ток на выходе цепи, используя H (p).

2.6 Построить на одном графике переходную h1(t) и импульсную h?(t) характеристики цепи, на другом — входной и выходной сигналы.

2.1 Передаточная функция

Для нахождения передаточной функции составим систему уравнений Кирхгофа для цепи:

Выразим J (p) через IRn (p):

Теперь найдем передаточную функцию

2.2 Полюса и нули передаточной функции Нули передаточной функции находим из условия равенства нулю числителя передаточной функции Полюса передаточной функции найдем из условия равенства нулю знаменателя передаточной функции

Полюса передаточной функции совпадают с собственными значениями матрицы, А из первой части, что свидетельствует о правильности решения.

Изобразим полюса и нули передаточной функции на комплексной плоскости, причем полюса передаточной функции изображаются крестиками, а ноль функции кружком. Данная цепь ограничивает области комплексной плоскости второй и третей квадрантами, в которых могут располагаться нули и полюсы. Только при этом условии свободные составляющие токов и напряжений затухают, отсутствие мнимой части говорит о том, что затухание апериодическое.

2.3 Переходная и импульсная характеристика Знание передаточной функции позволяет нам найти переходную и импульсную характеристики цепи. Переходная характеристика может быть получена путем обратного преобразования Лапласа от отношения передаточной H (p) функции к p

Импульсная характеристика определяется как обратное преобразование Лапласа от H (p)

2.4 Изображение входного сигнала Найдем изображение нашей функции используя прямое преобразование Лапласа:

2.5 Ток на выходе Найдем ток на выходе из формулы

Найдем оригинал используя обратное преобразование Лапласа:

2.6 Графики входного и выходного токов

3. Анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии Анализу подлежит цепь, изображённая на рис. 1, причём в цепи e (t)=0. Начальные условия в цепи нулевые. В момент времени t=0 на вход цепи подан сигнал в виде одиночного импульса, соответствующий импульсу из второй части.

По данным требуется:

3.1. Найти и построить амплитудно-фазовую (АФХ), амплитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики функции передачи H (jw).

3.2. Определить полосу пропускания цепи по уровню 0,707 |H (jw)|макс.

3.3. Найти и построить амплитудный и фазовый спектры входного сигнала. Определить ширину спектра входного сигнала по уровню 0,1|F (jw)|макс.

3.4. Сопоставляя спектры входного сигнала с частотными характеристиками цепи, дать предварительные заключения об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи. Сверить эти качественные оценки с сигналом на выходе, полученным в п. 2.5.

3.5. Найти и построить амплитудный и фазовый спектры выходного сигнала.

3.6. Определить выходной сигнал по вещественной или мнимой частотной характеристике, используя приближённый метод Гиллемина.

3.1 АФХ, АЧХ, ФЧХ передаточной функции H (p)

Наиболее простой способ получения АЧХ цепи — это замена в выражении для H (p) операторной переменной p на мнимую частоту j? и нахождение модуля полученной комплексной функции частоты: |H (j?)|:

Для получения ФЧХ воспользуемся формулой:

Амплитудно-фазочастотная характеристика цепи (годограф) связывает воедино АЧХ и ФЧХ во всем диапазоне частот.

Годограф является параметрической кривой, параметром которой является частота ?. Длина вектора, проведенного из начала координат к какойлибо точке годографа соответствует абсолютному значению передаточной функции на этой частоте |H (j?)|, а угол между ним и положительным направлением вещественной оси — аргументу передаточной функции .

цепь закон кирхгоф сигнал

3.2 Полоса пропускания цепи по уровню 0.707

Полосой пропускания цепи называют диапазон частот, для которых коэффициент передачи не более чем в 0.707 отличается от его максимального значения.

— уровень полосы пропускания

Полоса пропускания без учета отрицательных частот, которые не имеют физического смысла, равна

3.3 Амплитудный и фазовый спектры входного сигнала. Ширина спектра входного сигнала по уровню 0.1

Наиболее простой способ получения спектральной характеристики входного сигнала J (j?) — это замена в выражении для J (p) операторной переменной p на мнимую частоту j? и нахождение модуля полученной комплексной функции частоты: |J (j?)|.

Для получения АЧХ найдем модуль

Для получения ФЧХ воспользуемся формулой

Найдем ширину спектра по уровню 0,1|J (jw)|макс

— уровень ширины спектра входного сигнала

— ширина спектра входного сигнала

3.4 Предварительные заключения об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи Сравнивая АЧХ и ФЧХ входного сигнала и передаточной функции можно сделать следующие выводы: сигнал на выходе не сильно изменит свою форму; максимум, что с ним произойдет — это уменьшение его амплитуды и сглаживания фронта сигнала на выходе. Уменьшение амплитуды наличием резистивных элементов в цепи. Сглаживание фронта сигнала обусловлено уменьшением влияния на формирование сигнала гармоник высокой частоты. Эта цепь действует как НЧ-фильтр и не пропускает высокочастотные составляющие нашего входного сигнала, а как известно именно они обуславливают крутизну фронта сигнала. Чем меньше их вклад в формирование сигнала, тем он плавней изменяется.

3.5 Амплитудный и фазовый спектры выходного сигнала Амплитудный и фазовый спектры выходного сигнала найдем путем перемножения частотных характеристик цепи и входного сигнала

Для получения ФЧХ воспользуемся формулой

3.6 Определение выходного сигнала методом Гиллемина Метод Гиллемина позволяет получить временную функцию сигнала по известной вещественной или мнимой части частотной характеристики сигнала. Суть метода заключается в следующем: мы линейно аппроксимируем вещественную или мнимую часть частотной характеристики и находим производную от аппроксимирующей функции. Зная производную и пользуясь формулой

определяем временную зависимость сигнала. В этой формуле — величина k ступеньки производной функции, — координата ступенек на импульсной оси.

Для определения вещественной или мнимой частей частотной характеристики сигнала можно воспользоваться соответствующими формулами:

здесь — фазочастотная характеристика входного сигнала — фазочастотная характеристика цепи.

Точность метода зависит от того насколько малыми мы выберем отрезки для аппроксимации нашей частотной характеристики.

Для нахождения тока на выходе я воспользуюсь вещественной частью частотной характеристики и выберу интервал аппроксимации

Построим производную Теперь можно найти временную зависимость выходного сигнала

4. Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии Анализу подлежит цепь, изображённая на рис. 1, причём в цепи e (t) = 0. На вход цепи подана периодическая последовательность импульсов тока. Форма импульса показана аналогична сигналу из второй части, с периодом повторения

Требуется:

4.1. Разложить в ряд Фурье заданную периодическую последовательность импульсов и построить её амплитудный и фазовый спектры.

4.2. Построить на одном графике заданную периодическую последовательность импульсов и её аппроксимацию отрезком ряда Фурье.

4.3. Используя рассчитанные в п. 3.1 АЧХ и ФЧХ функции передачи цепи, определение тока на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье.

4.4. Построить ток на выходе цепи в виде суммы гармоник найденного отрезка ряда Фурье. Графики по пп. 4.2 и 4.4 построить на одном масштабе времени и разместить их на одном листе один под другим.

4.1 Разложение в ряд Фурье заданной последовательности импульсов и их АЧХ и ФЧХ Требуется разложить последовательность заданных в пункте два импульсов тока с периодом следования. Для этого можно воспользоваться найденным представлением сигнала в операторной форме и воспользовавшись формулой

найди комплексные амплитуды гармоник ряда Фурье. В этой формуле — частота основной гармоники, равная. Использование комплексного ряда Фурье позволяет по комплексной амплитуде найти амплитуды и начальные фазы гармоник. И подставляя их в формулу для аппроксимации рядом Фурье находим входной сигнал

.

В этой формуле

.

Конечная формула комплексной амплитуды k-ой гармоники имеет вид:

Определение амплитуды k-ой гармоники производиться путем взятия модуля комплексной амплитуды k-ой гармоники .

А на хождение начальной фазы k-ой гармоники производиться путем взятия аргумента комплексной амплитуды k-ой гармоники .

Точность представления сигнала гармоническим рядом зависит от количества гармоник, учитываемых при разложении. Их количество определяется исходя из ширины спектра данного сигнала, где — ширина спектра сигнала; - частота основной гармоники.

Определим для первых трех гармоник амплитуды и начальные фазы:

Изобразим спектры графически

АЧХ:

ФЧХ:

Из формулы для определения основной частоты видно, что с уменьшением периода следования сигнала будет увеличиваться расстояние между соседними гармониками дискретных спектров. А при увеличении периода — это расстояние будет уменьшаться, и когда наша последовательность импульсов будет вырождена в одиночный импульс, при бесконечном периоде, получим непрерывные спектры АЧХ и ФЧХ, что и произошло в третьей части курсовой.

4.2 Аппроксимация входного сигнала отрезком ряда Фурье.

Выражение для отрезка ряда Фурье в моём случае будет содержать три слагаемых две гармоники (третья равна нулю) и постоянную составляющую:

4.3 Сигнал на выходе в виде отрезка ряда Фурье Аппроксимация выходного сигнала отрезком ряда Фурье может быть получена по той же формуле, что и для входного сигнала.

Амплитуды гармоник найдем следующим образом. Перемножим модуль передаточной функции на модуль входного сигнала для каждой частоты в отдельности

Начальные фазы гармоник выходного сигнала могут быть получены, как сумма ФЧХ передаточной функции цепи и входного сигнала для каждой гармоники в отдельности

4.4 График тока на выходе как отрезка ряда Фурье Из графика видно, что на выходе цепи у меня получается мало зависящий от времени, по сравнению с входным сигналом, постоянный ток. Малая зависимость от времени обусловлена малым периодом следования импульсов, импульс на выходе не успевает значительно затухнуть, как следует новый импульс. Можно сказать, что цепь представляет собой НЧ-фильтр, что также подтверждается схемой цепи. Для уменьшения коэффициента пульсаций выходного сигнала можно уменьшить период следования импульсов или увеличить длительность импульса входного сигнала.

Вывод В конце курсовой работы стоит подвести итог по сделанному. Существует большое количество методов расчета линейных электрических цепей. Все они имеют свои достоинства и недостатки, одни пригодны для расчета простых цепей, но для сложных цепей они не подходят из-за больших расчетов, другие наоборот относительно легко рассчитывают сложные цепи, но для простых цепей их применять не разумно.

В ходе курсовой работы мною были рассмотрены три метода расчета линейных электрических цепей: метод переменных состояний, операторный метод и частотный метод (для апериодического и периодического сигналов). Посмотрим на их достоинства и недостатки.

Метод переменных состояний даёт возможность найти состояние системы (цепи) в функции времени, используя матричный метод решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в форме Коши. Под переменными состояния подразумеваются токи в катушках индуктивности и напряжения на конденсаторах. Далее все оставшиеся токи и напряжения выражаются через наши переменные состояния. И составляется система дифференциальных уравнений первого порядка, которая может быть представлена в матричной форме записи. Решая такую систему, мы находим характеристические корни — это ни что иное, как собственные значения матрицы основных связей. А зная характеристические корни, можно сделать выводы о переходных процессах в цепи. Также метод переменных состояния позволяет находить одновременно и переменные состояния и выходные параметры. Недостатком метода является громоздкость решения при ручном расчете и необходимость находить все корни характеристического уравнения цепи, что для больших схем довольно долго. Последний недостаток можно скомпенсировать применением численных методов решения систем уравнений.

Операторный метод расчета переходных процессов основан на преобразованиях Лапласа. Этот метод хоть и основан на абстрактных математических величинах, зато позволяет упростить расчеты. Единственная сложность, которая возникает при расчете этим методом — это преобразования Лапласа, но это не является в настоящее время серьезным недостатком, так как современные математические пакеты поддерживают такие преобразования. Поэтому этот метод более эффективен, нежели метод переменных состояний.

Спектральный или частотный метод расчета переходных процессов, основан на преобразование Фурье. Он наиболее универсален, потому что позволяет найти не только интересующие нас токи или напряжения при определенном сигнале, но и предсказать, как будет вести себя цепь при других воздействиях. Спектральный метод позволяет найти реакцию цепи на всем диапазоне частот входных сигналов. Поэтому данный метод наиболее пригоден, когда токи и напряжения изменяются не по гармоническим законам, а по самым различным. Также преимущество спектрального метода сказывается при экспериментально найденных входных сигналах и передаточных функциях.

Как видно наилучшим методом расчета является спектральный, но все же для расчета простых цепей разумней применять операторный метод.

1. Основы теории цепей: Учебник для вузов/ Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин. — 5-е изд., перераб. — М.: Энергоатомиздат, 1989.-528 с.: ил.

2. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: Учебник. — 10-е изд. — М.: Гардарики, 1999. — 638 с.: ил.

3. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. — М.: Высш. шк., 1996.

4. Лосев А. К. Теория линейных электрических цепей. — М.: ВШ, 1987. -512 с.