Разработка математических моделей и методов расчета устойчивости электрических систем

Основное направление развития народного хозяйства СССР неразрывно связано с ростом потребления электрической энергии. Вследствие этого мощность энергетических систем непрерывно растет. Преимущества создания мощных энергетических систем и их объединений, как известно, состоят в повышении надежности и улучшении качества электроэнергии, что в первую очередь обеспечивается сохранением устойчивой работы электрических систем. Обеспечение устойчивости энергосистем является также важной задачей при проектировании и эксплуатации. Объясняется это тем, что нарушение устойчивости может привести к полному развалу энергосистемы. Поэтому, одной из основных проблем с которой сталкиваются инженеры энергетики является расчет переходных процессов в электроэнергетических системах, обеспечивающий получение достоверного и точного результата при минимальных затратах времени счета на ЦВМ.

Анализ устойчивости электрических систем требует общего математического описания происходящих процессов. Причем, для получения достоверных результатов, соответствующих реальной физической природе исследуемого явления, необходимо выбрать стровую математическую модель [ 1,7-и]. Обычно различают три типа математических моделей, называемых моделями кратковременных переходных процессов, моделями процессов средней длительности и процессов большой длительности. В моделях кратковременных переходных процессов детально воспроизводятся малоинерционные электрические элементы системы, процессы в которых практически происходят мгновенно. В моделях, в которых описываются процессы средней и большой длительности, основное внимание уделяется низкочастотным процессам, которые длятся до 10 с и более.

Существует четыре пути применения математического моделирования б задачах электроэнергетики. Первый путь заключается в создании специальных программ и алгоритмов для решения задач на типовых ЦВМ, которые получили уже широкое применение при решении различных электроэнергетических задач и, несомненно, их дальнейшее применение получит еще больший размах. Второй путь заключается в разработке и создании специализированных цифровых машин и методов решения конкретных задач, отвечающих определенным условиям и описываемых определенным классом уравнений. Сюда можно отнести кибернетическое моделирование и различные виды обобщенного моделирования [ 12,13]. Третий путь — создание гибридных устройств — аналогово-цифровых моделей, которые могут быть как универсальными, так и специально приспособленными к задачам электроэнергетики. Четвертый путь — создание и построение графовых моделей, мысленных структурных моделей и т. д. [ II] .

В связи с укрупнением энергосистем часто приходится проводить расчеты большого числа переходных режимов, исследуя влияние на устойчивость, например, типа и места приложения возмущения, автоматических переключений, параметров доаварийного режима системы, а также характеристик сети, генераторов, систем регулирования [5,8,14−21]. Это затрудняет анализ работы энергосистем даже при использовании быстродействующих вычислительных машин. Для больших электрических систем, процессы в которых описываются тысячами нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений, расчет одного переходного процесса может потребовать несколько часов машинного времени современной мощной ЦВМ. Поэтому поиск более эффективных методов расчета представляет большой интерес. Кроме того, разные задачи, возникающие при исследовании переходных процессов и устойчивости энергосистем, требуют разной степени идеализации отдельных объектов в исходной системе.

Как правило, расчеты электромеханических переходных процессов не могут гарантировать полного совпадения результатов расчета с действительностью. Поэтому, в зависимости от конкретно поставленной задачи, сложности исследуемой электрической системы, точности задания исходной информации инженеру необходимо производить расчет с разными допущениями и соответственно разной глубиной математического описания. Несомненно, наиболее сложным и существенным элементом общей модели электрической системы является модель генератора, процессы в котором описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений [1,4,16,22−29]. Причем, в зависимости от конкретно поставленной задачи, переходные процессы должны. описываться моделями разного класса точности, так как при расчете устойчивости электрических систем правильный выбор класса применяемой модели может привести к более строгому и точному результату.

Существуют различные способы анализа устойчивости нелинейных систем. Е простейшей энергосистеме характер относительного движения ротора генератора можно установить без решения системы дифференциальных уравнений применением способа площадей. Этот способ дает возможность определения предельного угла и времени отключения КЗ, в зависимости от места и характера возмущения, то есть он используется для качественной оценки устойчивости простейшей энергосистемы. Однако, если исследуемая энергосистема содержит более двух станций, то применение способа площадей оказывается затруднительным и не является эффективным. Е таких случаях задачу следует решать либо строго обоснованными численными методами интегрирования [з0−40,44] либо применять Еторой метод Ляпунова как в малом, так и в большом [41−43]. Однако, отсутствие общих правил выбора и трудности нахождения функции Ляпунова в каждом конкретном случае, делают применение этого метода на данном этапе затруднительным.

Таким образом, следует уделять большое внимание прежде всего выбору строгой и точной математической модели, описывающей исследуемый переходный процесс, а также наиболее эффективным и надежным методам численного интегрирования, необходимым для расчета электромеханических переходных процессов в электрических системах, описываемых системой нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка. Однако правильный выбор математических моделей и численных методов, позволяющих с помощью ЦВМ быстро и достаточно точно получить ответ о поведении энергосистемы, является довольно важной, но трудной задачей.

Цель данной диссертационной работы заключается в разработке методики выбора математической модели энергосистемы и методов численного интегрирования, обеспечивающих получение достоверных и точных результатов, при расчете электромеханических переходных процессов в электрических системах, а также в комплексном подходе к оценке полной погрешности вычислительного процесса, включающей погрешность метода численного интегрирования, погрешность округления ЦВМ, погрешность от неточного задания исходной информации, и зависящая от длительности исследуемого процесса и параметров элементов электрической системы.

Существуют различные методы численного интегрирования дифференциальных уравнений, которые за последние годы существенно совершенствовались. Их можно разделить на следующие основные категории: прямые (явные) и неявные, одношаговые и многошаговые [30−40, 44−53,68−70,73−89]. Однако обычно, как в промышленных программах («УДАР», «КУ», «РАДИУС», «РЕЗУС» и др.), так и при исследовательских расчетах электромеханических переходных процессов в электрических системах, используются либо методы Рунге-Кутта второго и четвертого порядков, либо методы прогноза и коррекции второго и третьего порядков. При этом величина шага интегрирования и точность расчета задаются ориентировочно (интуитивно). Это приводит как к большим затратам машинного времени счета, так и в ряде случаев к неправильному результату. Поэтому, для получения достоверных и точных результатов, необходимо правильно выбрать метод численного интегрирования и шаг расчета, зависящие от постановки задачи, от/длительности исследуемого процесса, от параметров элементов электрической системы и класса решаемой задачи, то есть жесткости системы дифференциальных уравнений, описывающей исследуемый переходный процесс. Жесткость зависит от величин постоянных времени, входящих в систему дифференциальных уравнений, или более строго, от собственных значений матрицы Якоби решаемой системы и связана с диапазоном значений постоянных времени. Например, жесткость возрастает с ростом детализации моделирования синхронных машин (переходные постоянные времени на порядок выше сверхпереходных). Особым источником жесткости являются малые постоянные времени элементов систем регулирования мощности турбин и возбуждения генераторов.

В диссертационной работе предложена общая методика, обеспечи-ваюшдя правильный выбор метода численного интегрирования и шага расчета, позволяющие получить достоверный и точный результат при минимальных затратах времени счета на ЦВМ.

Особо важное значение имеет погрешность решения на каждом шаге интегрирования и устойчивость численного решения, характеризующая степень накапливания погрешности в процессе расчета. К основным источникам погрешности относятся: а) неточность формулы интегрирования, б) вычислительная неточность (вследствие ошибок округления), в) погрешность, вследствие неточного задания исходной информации. В литературе [ 1,31−36,51−53,БО-бб] подробно описано влияние этих факторов в отдельности на конечный результат. В данной же работе проведена комплексная оценка полной погрешности вычислительного процесса, включающей все виды погрешностей, в зависимости от класса решаемой задачи, длительности и характера исследуемого процесса, параметров элементов электрической системы и показана степень влияния отдельных факторов на полную погрешность результата.

В первой главе диссертационной работы проведен обзор методов численного интегрирования, наиболее часто применяемых при решении инженерных задач. На конкретном примере показаны преимущества и недостатки приведенных методов в зависимости от длительности исследуемого процесса. Даны рекомендации по выбору метода и шага расчета при решении конкретного класса задач. Рассмотрены различные способы автоматического изменения шага интегрирования и даны рекомендации по их применению для ускорения времени счета на ЦВМ.

Необходимо отметить, что в работах [ 37,51−55,68,77−79,85−89] проводилось сравнение методов интегрирования между собой. Однако в этих работах сравнивались лишь несколько методов между собой, а данные рекомендации не могут быть распространены на широкий класс решаемых задач.

Трудность, возникающая при попытке решить жесткую задачу, заключается в необходимости обеспечить устойчивость численного решения, которая определяет реализуемость алгоритма и характеризует степень накапливания ошибки в процессе вычислений [33,37−40, 45,46,69−73] .

Во второй главе диссертации показан способ анализа устойчивости и погрешности численного решения. Приведены условия и области устойчивости явных и неявных методов интегрирования. Предложена методика выбора метода численного интегрирования и шага расчета, обеспечивающих получение наиболее точного и достоверного результата при решении любого класса задач и любой длительности исследуемого процесса, а также показано влияние погрешности округления ЦВМ на погрешность численного решения в зависимости от порядка применяемого метода интегрирования, шага расчета и длительности исследуемого процесса.

В третьей главе диссертационной работы показано как влияет на достоверность и точность результатов расчета переходных процессов (как при больших так и при малых возмущениях) выбранная математическая модель, параметры элементов электрической системы, длительность и характер переходного процесса, а также неточное задание исходной информации. Даны рекомендации по правильному выбору математической модели, строго и точно описывающей электромеханические переходные процессы в электрической системе, в зависимости от конкретной постановки задачи. Показаны области применения полных и упрощенных уравнений Парка-Горева, а также влияние момента отключения КЗ и учет горения дуги в выключателе на достоверность результатов расчета. Разработана инструкция для широкого круга инженерных задач, позволяющая правильно выбрать метод численного интегрирования и шаг расчета (обеспечивающие получение достоверных и точных результатов при минимальных затратах машинного времени), в зависимости от класса решаемой задачи и длительности исследуемого процесса. Причем, основные выводы по выбору математических моделей и методов интегрирования, позволяющие получить достоверный результат при расчете переходных процессов в электрических системах, проверены экспериментально на электродинамической модели ЩИ. Результаты приведены в Приложении 6.

Обычно, при анализе электромеханических переходных процессов в электрических системах бывает необходимо решать систему как дифференциальных так и алгебраических уравнений. Традиционный подход, используемый практически во всех промышленных программах, заключается е раздельном решении систем дифференциальных и алгебраических уравнений [1,8,25,75−78] .

Е четвертой главе диссертации рассмотрены способы одновременного решения дифференциальных и алгебраических уравнений [30,38, 40,56,81,82] и показаны преимущества способа, основанного на применении неявных методов численного интегрирования, который оказывается наиболее эффективным при решении жестких систем уравнений высокого порядка, а также при исследовании длительных электромеханических переходных процессов в электрических системах. Показано влияние жесткости задачи и длительности исследуемого процесса на эффективность алгоритмов, учитывающих слабую заполненность матриц, когда применяется одновременное решение дифференциальных и алгебраических уравнений с использованием неявных методов численного интегрирования. Даны рекомендации по применению различных способов упорядочения элементов слабозаполненных матриц в зависимости от порядка решаемой системы уравнений и длительности исследуемого процесса.

4.5. Выводы.

1. При анализе переходных процессов в сложных электроэнергетических системах расчет рекомендуется вести совместным решением дифференциальных и алгебраических уравнений с применением неявных методов численного интегрирования. Это приводит к резкому сокращению времени счета на ЦВМ.

2. При одновременном решении дифференциальных и алгебраических уравнений сильно возрастает эффективность алгоритмов, учитывающих слабую заполненность матриц, так как при этом решаемая система уравнений оказывается высокого порядка, а число нулевых элементов составляет 85−90 $. Эффективность алгоритма, учитывающего слабую заполненность матриц возрастает при увеличении длительности исследуемого процесса.

3. Если система уравнений, бписывающая электромеханические переходные процессы в электрических системах, оказывается невысокого порядка, то при учете слабой заполненности матрицы нет необходимости применять метод динамического упорядочения элементов. Если же система оказывается высокого порядка, то эффективность метода динамического упорядочения возрастает.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

По материалам диссертационной работы можно сделать следующие основные выводы:

1. Предложенная методика выбора метода интегрирования и шага расчета позволяет для любого класса решаемых задач и любой длительности исследуемого процесса получить устойчивое численное решение, ограничивающее степень накапливания ошибки в процессе расчета при анализе электромеханических переходных процессов в электрических системах, как при больших так и при малых возмущениях.

2. Приведен способ оценки погрешности численного решения, являющийся наиболее гибким и позволяющий производить анализ погрешности в процессе расчета. При этом показано, что на точность расчетов кроме погрешности самого метода интегрирования большое влияние оказывает погрешность округления ЦВМ, которая возрастает при уменьшении величины шага расчета.

3. Показаны области применения явных и неявных методов численного интегрирования в зависимости от жесткости и длительности решаемых задач, а также эффективность применения автоматического изменения шага расчета, производимое методом Мерсона. Даны рекомендации по выбору методов и шагов при решении конкретных задач.

4. Показано влияние относительного активного сопротивления генератора, а также момента отключения КЗ и учета горения дуги в выключателе на достоверность и точность результатов расчета переходных процессов по полным и упрощенным уравнениям Парка-Горева. При этом, полученные результаты были полностью подтверждены экспериментально.

5. Показано влияние неточного задания исходной информации, е частности активного сопротивления генератора на точность результатов расчета в зависимости от класса применяемой модели, а также характера и длительности исследуемого процесса,.

6. Предложен способ одновременного решения систем дифференциальных и алгебраических уравнений, описывающих переходные процессы в электрических системах с использованием неявных методов численного интегрирования. При этом резко возрастает эффективность алгоритмов, учитывающих слабую заполненность матриц. Такой подход при расчете переходных процессов в электрических системах приводит как к ускорению вычислений, так и к значительному уменьшению занимаемого объема памяти ЦВМ.

7. Разработана инструкция, пригодная для широкого круга инженерных задач, позволяющая выбрать метод и шаг расчета, обеспечивающие наиболее быстрое получение достоверных и точных результатов при расчете электромеханических переходных процессов в электрических системах.