Аналитическая геометрия

Контрольная работа по аналитической геометрии

Задача 1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку, А (2, 4) и удаленной от начала координат на расстояние

Решение:

1) Пусть искомое уравнение имеет вид (ясно, что точка, А (2, 4) удовлетворяет этому уравнению).

2) Расстояние от начала координат до прямой равно Приравняв это выражение к, получим уравнение

3) Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

Таким образом, искомое уравнение. Преобразуем полученное уравнение

Рисунок 1.

4) Прямая проходит через точку и расстояние от этой прямой до начала координат равно 2. То есть также является решением задачи (см. рисунок 1).

Ответ. Искомая прямая либо

Задача 2. Стороны АВ и ВС параллелограмма заданы уравнениями у = х — 2 и 5у = х + 6, диагонали его пересекаются в точке М (1, 4). Найти длины его высот

координата плоскость параллелограмм прямая

Решение:

1) Точка пересечения прямых, находится как решение системы

.

Вычитая из первого уравнение второе, получим, или. Из первого уравнения. Таким образом, координаты точки. Координаты .

2) Координаты Координаты D совпадают с координатами вектора, Таким образом, координаты точки .

3) Находим расстояние от D до прямой, воспользовавшись формулой

.

.

Находим расстояние от D до прямой

.

Ответ. Длины высот, .

Задача 3. Даны точки А (-4, 0) и В (0, 6). Через середину отрезка провести прямую, отсекающую на оси отрезок, вдвое больший, чем на оси

Решение:

1) Середина отрезка — точка

.

2) Пусть уравнение искомой прямой в отрезках. По условию задачи, таким образом уравнение искомой прямой

.

Подставим координаты точки в уравнение. Получим

.

Уравнение искомой прямой .

Рисунок 2.

Ответ. Уравнение искомой прямой .

Задача 4. Построить плоскость х + у — z = 0 и прямую, проходящую через точки А (0, 0, 4) и В (2, 2, 0). Найти точку пересечения прямой и плоскости и угол между ними

1) Найти три точки, лежащие на плоскости, и через них построить плоскость.

Решение:

1) Если в уравнение подставить,, получим. Таким образом, точка лежит на плоскости. Аналогично, при, получаем и точка лежит на плоскости. Третья точка, лежащая на плоскости —. Построим плоскость и прямую .

Рисунок 3.

2) Запишем уравнение прямой, подставляя в уравнение координаты точек А (0, 0, 4) и. Получим уравнение прямой. Приравняем к параметру все соотношения и перепишем уравнение прямой в параметрическом виде

.

3) Подставим полученные выражения в уравнение плоскости. Получим для уравнение

.

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости (при)

4) Если дано уравнение плоскости в виде, то координаты нормального вектора К плоскости нормальный вектор Вектор. Синус угла между прямой и плоскостью равен

.

Ответ. Точка пересечения прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью.

Задача 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки Р (3, 0, -1) и Q (-1, -1, 3) и перпендикулярной плоскости 3х + 2у — z + 5 = 0

Решение:

Пусть уравнение искомой плоскости. Так как точка лежит на плоскости, то подставляя в уравнение плоскости ее координаты, получим уравнение .

Подставляя в уравнение плоскости координаты точки, получим уравнение .

Так как искомая плоскость перпендикулярна к плоскости 3х + 2у — z + 5 = =0, их нормальные вектора перпендикулярны. К плоскости в нормальный вектор, к плоскости 3х + 2у — z + 5 = 0 нормальный вектор Равенство нулю скалярного произведения дает уравнение

Таким образом имеем систему Из третьего уравнения Подставляя в первое и второе уравнения, получим систему

.

Из уравнения получим. Подставив полученные выражения в уравнение, получаем уравнение искомой плоскости в виде

.

Умножим уравнение на 8:

.

Разделив уравнение на, получим искомое уравнение

.

Ответ. Уравнение искомой плоскости .

Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми у = 2х, у = -2х+1 и у = -х + 2

Решение:

1). Вычисление вершин.

а) Точка пересечения прямых, находится как решение системы

Подставляя выражение для из второго уравнения в первое, получим, откуда, или. Учитывая, что, при получаем .

Координаты точки .

б) Точка пересечения прямых, находится как решение системы

Подставляя выражение для из первого уравнения во второе, получим

Координаты точки .

с) Точка С пересечения прямых, находится как решение системы

Подставляя выражение для первого уравнения во второе, получаем. Следовательно,. При получим

Координаты точки .

Рисунок 4.

2). Вычисление основания. Находим координаты вектора Длина .

3). Вычисление высоты. Если дано уравнение прямой в виде и координаты точки, то расстояние от точки С до прямой находится по формуле

.

Уравнение прямой AB, или (то есть, ,). Координаты. Подставляя в формулу расстояния от точки до прямой, получаем высоту

.

4). Нахождение площади. Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты, то есть .

кв.ед.

5). Нахождение углов треугольника. Чтобы найти углы треугольника, нужно все уравнения прямых записать как уравнения с угловым коэффициентом, то есть в виде , — угловой коэффициент. Упорядочив коэффициенты по убыванию,, тангенсы внутренних углов находят по формулам (тангенс угла между прямыми с коэффициентами ,); (тангенс угла между прямыми с коэффициентами ,); (тангенс угла между прямыми с коэффициентами ,). Прямая AB имеет уравнение угловой коэффициент равен 2. Прямая AС имеет уравнение, угловой коэффициент равен -2. Прямая CB имеет уравнение, угловой коэффициент равен -1. Упорядочим угловые коэффициенты по убыванию Угловой коэффициент АВ, угловой коэффициент ВС, угловой коэффициент СB. Вычисляем тангенсы углов

(угол между СВ и АС),

(угол между АС и АВ),

(угол между АВ и СВ).

Ответ: кв.ед.;;; .

Задача 7. Стороны АВ и ВС параллелограмма заданы уравнениями 2х — у + 5 = 0 и х — 2у + 4 = 0, диагонали его пересекаются в точке М (1, 4). Найти длины его высот

Решение:

1) Точка пересечения прямых, находится как решение системы

.

Умножаем второе уравнение на 2.

Вычитая из первого уравнение второе, получим, или. Из первого уравнения. Таким образом, координаты точки. Координаты .

2) Координаты Координаты D совпадают с координатами вектора, Таким образом, координаты точки .

3) Находим расстояние от D до прямой, воспользовавшись формулой

.

.

Находим расстояние от D до прямой

.

Ответ. Длины высот, .

Задача 8. Через начало координат проведена прямая на одинаковом расстоянии от точек А (2, 2) и В (1, 0). Найти это расстояние

Схема решения задачи.

1) Записав уравнение искомой прямой в виде, найти параметр из условия, что точка лежит на прямой.

2) Записать расстояние от точки до искомой прямой, затем расстояние от точки до искомой прямой.

3) Приравняв полученные в пункте 2 выражения для расстояний, получить уравнение, содержащее параметр. Решить уравнение

4) Написать уравнения полученной прямой (прямых). Найти расстояние от точек, А и В до прямой (прямых). Сделать чертеж.

Решение:

1. Подставив (0;0) в уравнение, получим, то есть искомое уравнение имеет вид или .

2. Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле

и равно .

Аналогично расстояние от точки до прямой равно

3. Из условия получаем уравнение

Разделим уравнение на (ясно, что не является решением). Получаем

.

Следовательно, возможно два решения или .

Из первого уравнения получим, или, .

Из второго уравнения получим, или, .

4. Таким образом, условию задачи удовлетворяют две прямые и. Расстояние от точек и до прямой равно

.

Расстояние от точек идо прямой равно

.

Рисунок 5.

Ответ. Расстояние от точек идо прямой равно, до прямой равно .

Задача 9. Написать уравнение биссектрис углов между прямыми 3х + 4у = 12 и у = 0

Решение:

Биссектриса — это геометрическое место точек, равноудаленных от обеих прямых. Пусть — точка, лежащая на биссектрисе. Запишем расстояния от до прямой и до прямой Расстояние от до прямой равно, расстояние от до прямой равно .

Так как эти расстояния равны между собой, то получаем уравнение

;

Умножая это уравнение на и деля на, получаем .

Если модуль числа равен, то это число равно или. Следовательно, для точки получим два уравнения

1) или 2).

Первое уравнение равносильно уравнению или. Аналогично второе уравнение равносильно или .

Ответ. Уравнения биссектрис и .

Задача 10. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: А (- 4, 2), В (2, -5) и С (5, 0)

Решение.

I. Точка пересечения медиан.

1) Координаты средины: или. Координаты средины: или .

2) Найдем уравнение медианы (уравнение прямой, проходящей через точки и).

Уравнение :

Найдем уравнение медианы (уравнение прямой, проходящей через точки и. Уравнение :

3) Точка пересечения медиан — точка пересечения прямых

() и .

Решим систему

.

Умножим первое уравнение на 3 и вычтем из него второе:

Подставим значение у во второе уравнение:

Координаты точки пересечения медиан (1;-1).

II. Точка пересечения высот.

1) Координаты. Вектор перпендикулярен вектору .

2) Уравнение высоты :

3) Координаты вектора. Вектор перпендикулярен вектору .

4) Уравнение высоты :

.

5) Точка пересечения высот — точка пересечения прямых () и ().

Координаты точки пересечения высот — решение системы

.

Умножаем второе уравнения на 2 и вычитаем его из первого:

Подставляя в первое уравнение у=-2, получим .

Координаты точки пересечения высот (-2; 2).

Ответ. Точка пересечения медиан (1;-1), точка пересечения высот (-2; 2).

Задача 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А (1, -1, 2), В (2, 1, 2), С (1, 1, 1)

Решение: Уравнение плоскости, проходящей через три точки

, имеет вид

.

Подставляя координаты точек А (1, -1, 2), В (2, 1, 2), С (1, 1, 1), получим уравнение

.

Вычисляем определитель методом треугольника.

.

Итак, искомое уравнение плоскости Для проверки можно подставить в это уравнение координаты точек А (1, -1, 2), В (2, 1, 2), С (1, 1, 1) и убедиться в том, что точки лежат на плоскости.

Действительно, для точки (верно).

Для точки (верно).

Для точки (верно).

Ответ. Искомое уравнение плоскости

Задача 12. Найти расстояние от точки М (a, b, c) до плоскости, отсекающей на осях координат отрезки a, b и с

Решение:

Уравнение плоскости в отрезках .

Найдем расстояние от точки до этой плоскости.

.

Ответ. Искомое расстояние равно .

Задача 13. Найти угол между прямой и прямой, проходящей через точку М (1, -1, -1) и начало координат

Решение:

1) Находим координаты двух точек и, лежащих на прямой, заданной в виде системы. Подставив в систему

получим систему

.

Из первого уравнения. Подставляем z=0,5 во второе уравнение: y=1+2Ч0,5=2. Таким образом, координаты точки.

Подставив в систему

получим систему .

Из первого уравнения. Из второго уравнения. Таким образом, координаты точки .

2) Координаты направляющих векторов прямых

; .

3) Косинус угла между прямыми равен

.

Ответ. Угол между прямыми равен

Задача 14. Найти проекцию точки А (3, 1, -1) на прямую x = y = z

Решение:

1) Если уравнение прямой записано в виде, то — направляющий вектор данной прямой. Из уравнения видно, что направляющий вектор .

Подставим в уравнение вместо координаты, вместо координаты. Получим уравнение

.

2) Запишем уравнение прямой x = y = z в параметрическом виде. Для этого приравняем к параметру все соотношения x = y = z=t.

Получим систему .

Подставим полученные выражения в уравнение плоскости из пункта 1.

Получим для уравнение .

Из системы ,

при получаем .

Координаты проекции .

Ответ. Координаты проекции .

Задача 15. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую l: (x — 1)/1 = (y + 1)/2 = (z + 2)/2 и перпендикулярно к плоскости р: 2x + 3y — z = 4

Решение:

1) Если уравнение прямой записано в виде, то — направляющий вектор данной прямой. Из уравнения видно, что направляющий вектор прямой .

Если дано уравнение плоскости в виде, то координаты нормального вектора Таким образом, к плоскости нормальный вектор

2) Обозначим координаты нормального к искомой плоскости вектора Из условий, следует, что равны нулю скалярные произведения,. То есть координаты удовлетворяют системе уравнений

.

Умножим второе уравнение на -2 и сложить оба уравнения:

.

Таким образом,. Из второго уравнения системы. Если взять, получим координаты нормального вектора

3) Чтобы найти точку, лежащую на искомой плоскости, найдем любую точку, лежащую на прямой (так как прямая принадлежит искомой плоскости). Подставляя в уравнение значение, получим равенства, откуда,. Таким образом, координаты точки .

4) Искомое уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид

.

Ответ.