Стурктурные и эквациональные свойства присоединенно регулярных колец

0.1 Общая характеристика работы.

Основным объектом настоящей диссертации является класс присоединенно регулярных колец. (Сразу отметим, что слово «кольцо» в данной работе всегда означает ассоциативное кольцо.).

Понятие присоединенной регулярности возникло на стыке двух важных направлений современной теории колец, а именно, теории регулярных колец и направления, изучающего присоединенное умножение. Кратко напомним соответствующие определения.

Кольцо R называется регулярным, если для любого a 6 R найдется такой элемент Ъ G R, что aba = а. Понятие регулярного кольца, введенное фон Нейманом [65] в 1936 году, обеспечило единообразный подход к классическим результатам теории полу простых колец.1 Позже выяснилось, что регулярные кольца обладают многими замечательными структурными и гомологическими свойствами. Обзор современного состояния теории регулярных колец дается в известной монографии Гу-дерла [38]. Отметим, что поскольку определение регулярности.

1 В теории колец термин «регулярное кольцо» используется и в других смыслах, но в данной диссертации под регулярностью будет всегда пониматься именно регулярность в смысле фон Неймана. использует только умножение, его можно рассматривать и для полугрупп.

Идея ввести в кольце Я присоединенное умножение о по правилу, а оЬ = а + Ь — аЬ для любых а, 6 е й возникла в 1940;х гг. в основополагающих работах Перлиса [38], Бэра [18] и Джекобсона [51], посвященных распространению идеи радикала на кольца без условий конечности. Хорошо известен тот факт, что кольцо является радикальным в смысле Джекобсона2 тогда и только тогда, когда оно является группой относительно присоединенного умножения. В общем случае легко проверить, что относительно присоединенного умножения любое кольцо становится полугруппой с единицей, роль которой играет нуль кольца. Полугруппа (Я, о) называется присоединенной полугруппой кольца Я.

Изучению присоединенной полугруппы кольца и связи ее свойств со свойствами кольца посвящены десятки работ, см., например, [16,17,22−32,34−36,41−48,55−60,69−73]. (В этот перечень включены основные классические работы и некоторые работы последних лет.) В настоящей диссертации рассматривается один из аспектов этого актуального направления.

По аналогии с определением фон Неймана назовем кольцо присоединенно регулярным, если для любого, а € Я найдется такой элемент Ь е Я, что аоЪоа — а. Другими словами, кольцо Я присоединенно регулярно тогда и только тогда, когда его присоединенная полугруппа регулярна.

Обозначим через ЛЯ класс всех присоединенно регулярных колец. Отметим, что этот класс весьма обширен. Очевидно, что класс ЛЯ содержит все радикальные кольцас другой.

2 В дальнейшем под радикальностью будет всегда пониматься радикальность в смысле Джекобсона. стороны, как было показано в работах Ду Ксиянкуна [35] и Хитерли и Туччи [44], все регулярные кольца являются присо-единенно регулярными. Тот факт, что понятие присоединенно регулярного кольца дает одновременное обобщение двух столь полярных типов колец как радикальные и регулярные кольца, делает задачу изучения класса ЛЯ весьма интригующей. В то же время, изучение класса присоединенно регулярных колец весьма естественно в рамках направления, рассматривающего связь между свойствами кольца и свойствами его присоединенной полугруппы.

В настоящей диссертации исследование присоединенно регулярных колец будет осуществляться в двух направлениях: структурном и эквациональном. В первом случае изучается «индивидуальное» строение присоединенно регулярных колецпри этом основное внимание уделяется вопросу о реконструкции присоединенно регулярного кольца по его радикальному и регулярному подкольцам. Под эквациональным направлением мы понимаем изучение различных классов присоединенно регулярных колец с точки зрения теории многообразий.

Перед тем, как переходить к подробному обсуждению содержания диссертации, приведем необходимые предварительные сведения и дадим обзор опубликованных результатов, связанных с тематикой нашего исследования.

0.2 Предварительные сведения.

Данный параграф носит справочный характер. Читатель может обращаться к нему по мере необходимости. Параграф делится на три пункта, в которых собрана необходимая для дальнейшего вспомогательная информация об основных «действующих лицах» данной диссертации: кольцах, полугруппах, многообразиях. Все результаты, сформулированные в этом параграфе, хорошо известны и получены ранее другими авторами.

0.2.1 Необходимые сведения из теории колец.

Некоторые авторы [22−25] используют в качестве присоединенного умножения операцию о+, определяемую как, а о+ Ь — а + Ъ + аЬ. Однако, легко можно проверить, что между операциями о+ и о нет принципиальной разницы в силу очевидного изоморфизма полугрупп (Я, о) и (Я, о+), ставящего в соответствие каждому элементу, а? (Я, о) элемент —а 6 (Я, о+). Более того, обе операции являются частными случаями производной операции ок} где к — целое число, определенной по правилу аокЪ — а-{-Ь — каЬ. Напомним, что производными операциями называются бинарные операции, образованные с помощью операций кольца и представляющие из себя многочлен от двух некоммутирующих переменных с целыми коэффициентами. По теореме Мак-Коннелла и Стокса [63], производная операция является ассоциативной тогда и только тогда, когда она определяется одним из следующих выражений: а + Ь — каЬ, а + Ъ — кЬа.

1) (2).

3).

4).

5).

6) (7) каЬ, а * Ь = < кЬа а.

Ь О где к целое число. Очевидно, что случаи (5),(6) и (7) не образуют интересных полугрупп, исчерпываясь полугруппами левых нулей, полугруппами правых нулей и полугруппами с нулевым умножением соответственно. В то же время, случай (2) двойствен к (1), а случай (4) — к (3). Таким образом, рассматриваемая нами операция присоединенного умножения является одной из немногих нетривиальных ассоциативных производных операций, которые можно задать на кольце (Я, +, •).

Отметим, что в случае наличия в кольце единицы, введение операции присоединенного умножения не представляет принципиального интереса:

Лемма 1. Пусть Я — кольцо с единицей. Тогда его присоединенная и мультипликативная полугруппы изоморфны.

Доказательство. Рассмотрим отображение </?, ставящее в соответствие элементу х? Я элемент 1-х. Очевидно, что (р — биекция и легко проверить, что ¡-р является изоморфизмом полугруппы (Я, о) на полугруппу (Я,-). Действительно, (р (х о у) — 1 — х о у — I — х — у + ху = (1 — ж)(1 — у) = (р (х)-(р (у). ?

В связи с леммой 1 и во избежание недоразумений, поясним, что хорошо известная конструкция вложения произвольного кольца Я в кольцо с единицей Я1 отнюдь не сводит теорию присоединенно регулярных колец к теории регулярных колец: присоединенная регулярность кольца Я не гарантирует регулярности кольца Я1. Заметим, что присоединенная полугруппа (Я, •) всегда содержит единицу, а именно — нуль кольца Я. В самом деле, ао0 = а + 0 — а • 0 = а.

Для удобства ссылок сформулируем в виде леммы следующий хорошо известный факт.

Лемма 2. Множества идемпотентов полугрупп (Я, о) и (Я, •) совпадают.

Доказательство. В самом деле, пусть е — идемпотент присоединенной полугруппы (Я, о), тогда еое = е. По определению присоединенного умножения, еое — е + е — е2. Таким образом, е = е + е — е2, но это возможно тогда и только тогда, когда е2 = е. ?

Тем самым, можно говорить о множестве идемпотентов в Я независимо от того, какой из объектов (Я, +, •) или (Я, +, о) рассматривается. Общепринятым обозначением для множества идемпотентов кольца Я служит Е (Я). Идеал, порожденный идемпотентами кольца Я, будем обозначать Х (Я).

Отметим, что всякое подкольцо кольца (Я, +, •} является подполугруппой присоединенной полугруппы (Я, о). В то же время объект (Я, +, о) кольцом не является, поскольку в нем не выполняются дистрибутивные законы: а о (6 + с) фа о 6 + а о с ни при каком, а ф 0. С другой стороны, отметим, что (Я, +, о) удовлетворяет своеобразному «тройному» дистрибутивному закону: а о (6 + с — д) = аоЬ + аос-аойиего правостороннему аналогу.

Не будем забывать, что наиболее доходчивое определение радикала дается именно в терминах присоединенного умножения. А именно, пусть Я — произвольное кольцо. Элемент х? Я называется квазирегулярным, если он обратим в присоединенной полугруппе (Я, о), т. е. х о у = у о х ~ 0 для некоторого элемента у е Я. Тогда радикал можно определить как наибольший идеал, состоящий из квазирегулярных элементов. Радикал кольца Я будем обозначать У (Я).

Напомним, что свойства радикальности и регулярности кольца коэффициентов распространяются на кольца матриц. Пусть Я произвольное кольцо, Я^ - кольцо всех п х п-матриц над Я. Тогда справедливо следующее утверждение (см., например, [12], глава 1):

Предложение 1. Кольцо матриц Яп над радикальным кольцом Я радикально.

Этот классический факт дополняется известным результатом Брауна и МакКоя [21]:

Предложение 2. Кольцо матриц Яп над регулярным кольцом Я регулярно.

0.2.2 Необходимые сведения из теории полугрупп.

В первую очередь необходимо отметить принципиально важную для дальнейшего исследования лемму Лаллемана [61]:

Лемма 3. Прообраз любого идемпотента при гомоморфизме одной регулярной полугруппы на другую всегда содержит идемпотент.

Этот факт позволяет в присоединенно регулярном кольце поднимать идемпотенты по модулю любого идеала и, тем самым, открывает широкие перспективы для исследования класса ЛЯ.

Поясним, в чем состоит процедура поднятия идемпотента по модулю идеала. Пусть Я — кольцо, I — идеал вй, ёидемпотент кольца Я/1. Говорят, что идемпотент ё поднимается по модулю идеала /, если в кольце Я существует такой идем-потент е, что е + / = ё. Разумеется, поднимать идемпотенты по модулю идеала можно не всегда. (Например, в свободном кольце .Р идемпотентов нет вообще и, если I — такой идеал в что в Р/1 есть идемпотент, то поднять последний по модулю I невозможно.) Обычно для поднятия идемпотента накладывают условия на идеал I. Например, хорошо известно, что поднятие идемпотентов возможно, если I — нильидеал (см., например, [10], § 3.6). В случае, когда Я — присоединенно регулярное кольцо, для поднятия идемпотента по модулю идеала /, не требуется налагать никакие дополнительные условия на идеал I. В самом деле, в присоединенно регулярном кольце Я естественный гомоморфизм Я най// является одновременно гомоморфизмом присоединенных полугрупп, поскольку при гомоморфизме сохраняются операции сложения и умножения, участвующие в определении операции присоединенного умножения. Возьмем идемпотент ё? Согласно лемме 2, ё является идемпотентом полугруппы о у По лемме Лал-лемана, у идемпотента ё есть прообраз е в {Я, о) и последний является идемпотентом в обычном смысле по лемме 2. Таким образом, существует идемпотент е, такой, что е + / = ё. Итак, справедлива следующая.

Лемма 4. В присоединенно регулярном кольце идемпотенты можно поднимать по модулю любого идеала.

Следует отметить, что в литературе этот несложный факт впервые появился в [36] в 2002 году, т. е. сравнительно недавно.

Напомним определения некоторых основных типов регулярных полугрупп. Регулярная полугруппа 5 называется.

• ортодоксальной, если множество ?(5) всех ее идемпотентов образует подполугруппу, т. е. е/ = (е/)2 для любых e, feE (S),.

• инверсной, если ef = /е для любых е, / Е E (S),.

• право-инверсной [лево-инверсной], если е/ = fef [соответственно е/ = е/е] для любых е, / Е E (S),.

• Е-плотной, если ее подполугруппа, порожденная множеством E (S), является объединением групп,.

• вполне регулярной если она является объединением групп.

• клиффордовой, если все ее идемпотенты лежат в центре.

Отметим, что, как видно из определения, право-инверсные [лево-инверсные], а тем более инверсные полугруппы являются ортодоксальными. В самом деле, в право-инверсной полугруппе (е/)2 = fef fef = /ее/ = fef = е/. Кроме того, клиф-фордовы полугруппы являются одновременно инверсными и вполне регулярными. Так как полугруппу идемпотентов можно считать объединением одноэлементных групп, всякая ортодоксальная полугруппа является Е-плотной. С другой стороны, хорошо известно, что у полугруппы, являющейся объединением групп, подполугруппа, порожденная идемпотентами, также будет объединением групп (см., например, [49], теорема 1.4.18). Таким образом, понятие Е-плотности дает одновременное обобщение понятий вполне регулярности и ортодоксальности.

Объединение групп S — [j G? называется связкой групп, eB если на множестве В можно ввести такое умножение, что В становится полугруппой идемпотентов и GaG? С Ga? для a,?? В.

0.2.3 Необходимые сведения из теории многообразий.

Пусть /г = д1 (г € I) — семейство тождеств сигнатуры ?1. Класс К всех алгебр сигнатуры П, удовлетворяющих каждому из тождеств ^ = $ (г? /), называется многообразием. В 1935 году Биркгоф [20] показал, что класс алгебр сигнатуры П является многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно подалгебр, гомоморфных образов и прямых произведений.

В данной диссертации рассматриваются многообразия колец. Изучению таких многообразий посвящена обширная литература, (см. [19] и источники, цитируемые там).

Нам будет важен один класс многообразий, рассмотренный в работе М. В. Волкова [5]. Назовем многообразие колец периодическим., если в нем выполнено тождество хт = х2т (1) для некоторого натурального т.

Через Ир обозначим многообразие всех коммутативных колец характеристики р (р — простое число), т. е. многообразие, задаваемое тождествами ху = ух, рх — 0. (2).

Следующий результат содержится в характеризации периодических многообразий, полученной в [5]:

Лемма 5. Если многообразие не содержит, ни одного из многообразий Ир, где р — простое число, то 0} является периодическим.

Теория многообразий оказала существенное влияние на исследования в области регулярных полугрупп. В 1970;е годы большое внимание уделялось многообразиям инверсных и вполне регулярных полугрупп как алгебр с дополнительной унарной операцией (в каждом случае своей) [66,67]. Однако, некоторые классы регулярных полугрупп не образуют многообразий в классическом смысле даже с привлечением дополнительной унарной операции. К числу таких классов относятся, например, классы ортодоксальных и Е-плотных полугрупп. Для того, чтобы изучать их средствами теории многообразий, возникла необходимость в свежем взгляде на предмет. В качестве такового в 1989;90 годах Холл [40] и Каду-рек и Сендрей [54] независимо друг от друга предложили новый, весьма плодотворный подход к классификации регулярных полугрупп, основанный на понятии е-многообразия. Е-многообразием называется класс регулярных полугрупп, замкнутый относительно взятия регулярных подполугрупп, прямых произведений и гомоморфных образов. Отметим, что регулярные полугруппы каждого из перечисленных выше типов составляют е-многообразия. Таким образом, можно говорить о е-многообразии ортодоксальных [54], о е-многообразии вполне регулярных полугрупп и т. д. Ясно, что е-многообразия образуют полную решетку по включению. Изучение этой решетки началось с работы Холла [40]. Впоследствии оказалось, что различные взаимосвязи между классами регулярных полугрупп допускают удобную интерпретацию в терминах решетки е-многообразий. Рисунок 1 на следующей странице представляет взаимное расположение наиболее важных е-многооб-разий регулярных полугрупп с единицей: линии на нем соответствуют включению классов. (Отметим, что частично упо.

Рис. 1: Основные е-многообразия регулярных полугрупп с единицей рядоченное множество, изображенное на рис. 1 не является подрешеткой решетки е-многообразий регулярных полугрупп.).

0.3 Обзор предшествующих результатов.

0.3.1 Свойства обобщенно радикальных колец.

Хронологически начало исследований класса ЛЯ следует отнести к 1968 году, когда появилась работа ученика Клиффорда Кларка [26], посвященная обобщенно радикальным кольцам. Кольцо называется обобщенно радикальным, если его присоединенная полугруппа является объединением групп. Обоснованием для такого названия служит уже упоминавшееся выше свойство кольца быть радикальным тогда и только тогда, когда его присоединенная полугруппа является группой (см., например, [1, с.76−78]). Как видно из определения, обобщенно радикальные кольца содержатся в классе ЛЯ и образуют довольно важный подкласс. В настоящее время обобщенно радикальные кольца принято называть присоединен-но вполне регулярными. В диссертации будут использоваться оба названия в зависимости от контекста. Несмотря на то, что не Кларк ввел в рассмотрение общее понятие присоединен-но регулярного кольца, его идеи пробудили интерес у других авторов [34−36,41−48,56,57] к кольцам с различными условиями регулярности на присоединенную полугруппу. Вдохновленный идеями Кларка, в 1988 году Ду Ксиянкун публикует статью, посвященную структурным свойствам обобщенно радикальных колец [34], и в этом же году в работе о кольцах с присоединенно регулярными полугруппами [35] начинает изучение класса ЛЯ.

Начнем с простейших свойств обобщенно радикальных колец.

Предложение 3. [34] Гомоморфные образы и прямые суммы обобщенно радикальных колец обобщенно радикальны.

Аддитивная подгруппа С5 кольца Я называется квази-идеалом, если яд п дя с д.

Предложение 4. [34] Квази-идеалы обобщенно радикальных колец являются обобщенно радикальными кольцами.

0.3.2 Связь обобщенной радикальности и строгой регулярности.

Отметим, что обобщенно радикальные кольца можно было бы назвать обобщенно строго регулярными, поскольку каждое строго регулярное кольцо обладает этим свойством. (Напомним, что кольцо Я называется строго регулярным, если, а е а2Я для всех, а 6 Я.) Это наблюдение принадлежит Джан Лу [53], который показал, что кольцо будет строго регулярным в том и только в том случае, когда его мультипликативная полугруппа является объединением группп. Кларк доказал, что не только мультипликативная полугруппа в строго регулярных кольцах является объединением групп, но и присоединенная:

Теорема 0.1. [26] Если кольцо Л строго регулярно, то оно обобщенно радикально.

Пусть Я произвольное кольцо, (Я, о) и (Я, •) — его присоединенная и мультипликативная полугруппы. Согласно лемме 2, е является одновременно идемпотентом и присоединенной полугруппы (Я, о) и мультипликативной полугруппы (Я, •). В силу леммы 1, справедливо следующее утверждение:

Предложение 5. [34] Обобщенно радикальные кольца с единицей строго регулярны.

В случае отсутствия в кольце R единицы, можно воспользоваться изоморфизмом exe —> е — ехе присоединенной полугруппы {eRe, о) на мультипликативную полугруппу кольца eRe и обобщить соответствующий результат Кларка (теорема 0.1):

Предложение 6. [34] Регулярные кольца являются обобщенно радикальными тогда и только тогда, когда они строго регулярны.

Кольцо R называется локально строго регулярным, если подкольцо eRe строго регулярно для каждого идемпотента е G R.

Предложение 7. [34] Каждое обобщенно радикальное кольцо является локально строго регулярным.

0.3.3 Критерий обобщенной радикальности.

После доказательства того факта, что всякое строго регулярное кольцо является обобщенно радикальным, Кларк направил свои усилия на описание обобщенно радикальных колец, содержащих главный идемпотент. Идемпотент называется главным, если он является единицей по модулю радикала. Класс колец, содержащих такой идемпотент, включает все радикальные кольца, все кольца с единицей и все кольца с условием обрыва цепочек левых идеалов. В качестве основного результата Кларком было показано, что кольцо, содержащее главный идемпотент, является обобщенно радикальным в том и только в том случае, когда оно раскладывается в прямую сумму радикала и строго регулярного подкольца еЯе для произвольного идемпотента е? Я.

Теорема 0.2. [26] Кольцо Я раскладывается в прямую сумму своего радикала ¿-[{Я) и строго регулярного подкольца еЯе для некоторого идемпотента е из Я тогда и только тогда, когда Я является обобщенно радикальным кольцом, содержащим главный идемпотент.

Совершенно естественным было поставить вопрос о структурном строении обобщенно радикальных колец без наложения столь сильного условия, как наличие в кольце главного идемпотента. Ду Ксиянкун продолжил исследования, начатые Кларком, и получил критерий обобщенной радикальности в общем случае.

Пусть К = {х е 1{Я), 1{Я)х1(Я) = 0}.

Теорема 0.3. [34] Кольцо Я является обобщенно радикальным в том и только в том случае, когда факторколъцо Я/Х (Я) радикально, а факторколъцо ^(Щ/К строго регулярно.

Следует отметить, что в более поздней работе 2002 года Ду Ксиянкун [36] заново доказал теорему 0.3, пользуясь более совершенной техникой с применением леммы 3.

Этот результат Ду Ксиянкун использовал для изучения колец с инверсными присоединенными полугруппами и колец, у которых каждое подкольцо является обобщенно радикальным. В итоге была получена.

Теорема 0.4. [34] Следующие условия для кольца Я эквивалентны:

1) Кольцо Я является расширением строго регулярного кольца посредством радикального кольца. и) Я является обобщено радикальным кольцом, чьи идем-потенты лежат в центре.

111) (Я, о) является инверсной полугруппой.

А. В. Келарев рассматривал обобщенно радикальные полугрупповые кольца [56], а также полугрупповые кольца с инверсной присоединенной полугруппой [57]. Задача ставилась так: при каких условиях на кольцо Я и полугруппу 5 полугрупповое кольцо ЯБ будет обобщенно радикальным, соответственно будет иметь инверсную присоединенную полугруппу. Полного решения пока не получено, имееются только частичные результаты для случаев, когда 5 — коммутативная полугруппа или полугруппа идемпотентов. Приведем один типичный результат:

Предложение 8. [57] Пусть В — полугруппа идемпотентов, Я — кольцо. Следующие условия эквивалентны: присоединенная полугруппа кольца ЯВ инверснап) либо Я — радикальное кольцо, либо присоединенная полугруппа кольца Я инверсна и полугруппа В коммутативна.

0.3.4 Свойства присоединенно регулярных колец.

Предложение 9. Гомоморфные образы и прямые суммы присоединенно регулярных колец присоединенно регулярны.

Предложение 10. Идеалы присоединенно регулярных колец присоединенно регулярны.

0.3.5 Связь регулярности и присоединенной регулярности.

Все типы присоединенных полугрупп, возникавших в работах Кларка [26] и Ду Ксиянкуна [34] относились к классу регулярных полугрупп.

Напомним, что отображение exe —> е — ехе для произвольного идемпотента е € R является изоморфизмом присоединенной полугруппы (eRe, о) на мультипликативную полугруппу кольца eRe. Отсюда, кольцо с единицей будет регулярным в том и только в том случае, когда оно присоединенно регулярно. В случае, когда кольцо не содержит единицу, справедлива следующая, полученная Ду Ксиянкуном в 1988 году.

Теорема 0.5. [35] Если кольцо регулярно, то оно присоединенно регулярно.

Вывод этого нетривиального факта Ду Ксиянкуном носил технический характер, однако, как впоследствии заметили Хит-терли и Туччи [44], для доказательства теоремы 0.5 достаточно сослаться на довольно сильное утверждение из теории колец о вложении произвольного регулярного кольца в качестве идеала в регулярное кольцо с единицей [39]. В самом деле, если кольцо R регулярно, то существует инъективный гомоморфизм ф: R —> R*, который вкладывает кольцо R в качестве идеала в регулярное кольцо R* с единицей. Следовательно, ф является изоморфизмом присоединенных полугрупп колец R и R*. Поскольку R* содержит единицу, его присоеди-неная и мультипликативная полугруппы изоморфны по лемме 1, отсюда присоединенная полугруппа регулярна и кольцо R* присоединенно регулярно. Согласно предложению 10, каждый идеал присоединенно регулярного кольца присоединенно регулярен и вместе с ним присоединение" регулярно кольцо Я. Следует отметить, что среди множества результатов Хитер л и и Туччи (см. [41−48]) наиболее значительным вкладом в теорию присоединенно регулярных колец следует считать именно это оригинальное и простое доказательство.

Кольцо Я называется локально регулярным, если еЯе регулярно для любого идемпотента е? Я.

Предложение 11. [35] Любое присоединенно регулярное кольцо локально регулярно. В частности, еЛ^Я)е = 0 для любого идемпотента е 6 Я.

0.3.6 Критерий присоединенной регулярности.

Вслед за Кларком, начавшим изучение обобщенной радикальности с колец, содержащих главный идемпотент, Ду Ксиянкун описал присоединенно регулярные кольца с главным идемпо-тентом, получив результат, аналогичный теореме 0.2:

Теорема 0.6. [35] Пусть кольцо Я содержит главный идемпотент е. Тогда для присоединенной регулярности кольца Я необходимо и достаточно, чтобы кольцо Я раскладывалось в прямую сумму регулярного подкольца еЯе и радикала С7(Я).

В общем случае справедлива.

Теорема 0.7. [35] Если В присоединенно регулярный идеал кольца Я такой, что фактор кольцо В радикально, тогда Я присоединенно регулярно. Обратно, если Я присоединенно регулярное кольцо, тогда &/х (Я) радикально, а 1{Я) присоединенно регулярно.

0.3.7 Присоединенно ортодоксальные кольца.

Значительные результаты в изучении класса ЛЯ Ду Ксиянкун продемонстрировал в работе 2002 года, где он исследовал кольца с различными условиями на присоединенную полугруппу: ортодоксальности, инверсности, правоинверсности и т. д.

В [36] Ду Ксиянкун рассмотрел связь между присоединенно ортдоксальными и вполне регулярными кольцами, показав, что присоединенно ортодоксальные кольца являются присоединенно вполне регулярными, а обратное, вообще говоря, не верно.

Предложение 12. [36] Для кольца Я следующие условия эквивалентны:

1) Кольцо Я является присоединенно ортодоксальным и) Кольцо Я является присоединенно вполне регулярным кольцом таким, что X®J (R)1(Я) = 0.

111) Фактор кольцо К/Х (Я) радикально, а фактор кольцо ЦЩ/К строго регулярно и 1(Я)К1(Я) = К1(Я)К = 0.

В следующем примере Ду Ксиянкуном построено конечное кольцо, являющееся присоединенно вполне регулярным, но не являющегося присоединенно ортодоксальным:

Пусть ^ - двухэлементное поле,.

Пусть К = J (I).

Тогда Я — присоединенно вполне регулярное кольцо с радикалом.

Положим о.

1 (Л (о е= о 1 Ги= о о.

О 0 (г и /О «V1 0 У у) у 0)'.

Тогда? является идемпотентом кольца Я, элемент х е J{R). Отметим, что уи = V. Поскольку мы видим, что кольцо Я не является присоединенно ортодоксальным.

0.3.8 Присоединенно право инверсные кольца.

Пусть К = Л1).

Предложение 13. [36] Для кольца Я следующие условия эквивалентны: Кольцо Я является присоединенно право инверсным (и) Фактор кольцо К/Т (Я) радикально, а фактор кольцо строго регулярно и Т (Я)К — 0.

0.3.9 Присоединенная регулярность матричных колец.

В заключение приведем результат о наследовании кольцами матриц некоторых свойств колец коэффициентов. Пусть Я произвольное кольцо, Яп — кольцо всех п х п-матриц над Я. Напомним, что радикальность Я влечет радикальность Яп (см. предложение 1). В случае регулярного кольца, кольцо матриц над ним так же будет регулярно (см. предложение 2). Ду Кси-янкун предположил, что и в случае присоединенной регулярности соответствующее утверждение останется справедливым, однако доказано только следующее.

Предложение 14. [35] Если кольцо Я обобщенно радикально, то кольцо матриц Яп присоединений регулярно.

Предположение Ду Ксиянкуна о присоединенной регулярности кольца матриц над присоединенно регулярным кольцом остается открытой проблемой.

0.4 Структура работы.

Текст диссертации состоит из оглавления, введения, трех глав, предметного указателя, списка обозначений и списка литературы. Библиография включает 82 наименования. Общий объем диссертации составляет 71 страницу.

0.5 Обзор основных результатов.

Текст диссертации, следующий за введением, разделен на 3 главы. Основные утверждения диссертации названы теоремамиих всего три, по одной в каждой главе, и они имеют сквозную нумерацию.

Первая глава посвящена структурной характеристике присоединенно регулярного кольца, в первую очередь реконструкции присоединенно регулярного кольца по его радикальному и регулярному подкольцам. Основным результатом главы является достаточное условие присоединенной регулярности кольца, раскладывающегося в сумму радикального подкольца и присоединенно регулярного подкольца:

Теорема 1. Пусть К — К + где К — радикальное, а Б — присоединенно регулярное подколъцо, причем аКа — 0 для любого, а из 51. Тогда кольцо Я присоединенно регулярно.

Следствие 1. Кольцо Я, являющееся суммой своего радикала ^(Я) и регулярного подкольца в, будет присоединенно регулярным тогда и только тогда, когда е^(Я)е — 0 для любого идемпотента е? в.

В свете классических теорем Веддербарна (см., например, [12], глава 2), наш результат дает полную классификацию конечномерных присоединенно регулярных алгебр над совершенным полем. Мы не знаем, останется ли это следствие верным, если ослабить условие на подкольцо 5 до присоединенной регулярности. Однако справедливо.

Утверждение 1. Пусть Я = К + в, где К — радикальный идеал, а в — присоединенно регулярное подкольцо, и /Кд = О для любых идемпотентов /, д 6 5. Тогда кольцо Я присоединенно регулярно.

В первой главе обсуждаются также некоторые другие следствия теоремы 1.

Вторая глава посвящена характеризации многообразий, состоящих из присоединенно регулярных колец, т. е. нахождению тождеств, гарантирующих присоединенную регулярность. Чтобы сформулировать основной результат главы 2, потребуется одно обозначение. Для каждого простого числа р рассмотрим кольцо.

Кольцо вр состоит из р2 элементов, коммутативно и имеет наглядную реализацию 2×2-матрицами над^{-элементным} полем, а именно.

Следующая теорема дает описание многообразий присоединение регулярных колец как на языке тождеств, так и на языке «запрещенных объектов»:

Теорема 2. Для многообразия колец следующие условия эквивалентны:

1) Я? состоит из присоединенно регулярных колец- (?1) Ю состоит из обобщенно радикальных колец- (111) не содержит ни одного из колец 8Р> где р — простое числогу) для некоторых к > I и т в $ 3 выполняется тожде.

Из формулировки теоремы со всей очевидностью следует невозможность различать присоединенно регулярные и обобщенно радикальные кольца на языке тождеств. Отсюда возникает естественная потребность в применении более тонкого инструмента для изучения связей в классе ЛЯ. В качестве такого инструмента в третьей главе вводится понятие е-многообразия присоединенно регулярных колец, аналогичное вр = (е, а | ре = 0, е2 = е, еа = ае — а, а2 — 0). ство хт{у — ук) хт = 0.

3) понятию е-многообразия регулярных полугрупп. А именно, е-многообразием присоединение регулярных колец называется класс присоединенно регулярных колец, замкнутый относительно взятия присоединенно регулярных подколец, прямых произведений и гомоморфных образов. Легко понять, что если V — е-многообразие регулярных полугрупп, то класс всех колец, присоединенные полугруппы которых лежат в V, образует е-многообразие присоединенно регулярных колец. С другой стороны, для любого многообразия колец ЯЗ класс всех присоединенно регулярных колец из Я? также образует е-многообразие. Таким образом, понятие е-многообразия присоединенно регулярных колец естественно и с полугрупповой, и с кольцевой точек зрения.

Основным результатом третьей главы является построение фрагмента решетки е-многообразий присоединенно вполне регулярных колец. Нам представляется перспективным подход к классификации е-многообразий присоединенно регулярных колец в терминах решетки, которую они образуют относительно включения классов. (В этой решетке операция пересечения совпадает с их теоретико-множественным пересечением, а объединением, А V В двух е-многообразий, А и В является наименьшее е-многообразие, содержащее как А, так и В.) В частности, основной результат данной главы показывает, что структурные результаты Ду Ксиянкуна допускают очень прозрачную теоретико-решеточную интерпретацию.

Теорема 3. Пустъ О — е-многообразие присоединенно ортодоксальных колец, Ы — е-многообразие присоединенно лево-инверсных колец иШе-многообразие присоединенно право-инверсных колец. Тогда О = Ы V Ш,.

Отметим, что полугрупповой аналог теоремы не имеет места: е-многообразие ортодоксальных полугрупп не является решеточным объединением е-многообразий лево-инверсных и право-инверсных полугрупп.

С учетом нашей теоремы и обсуждавшихся выше результатов Ду Ксиянкуна, в решетке е-многообразий присоединенно вполне регулярных колец можно выделить фрагмент, представленный на рис. 2. На рисунке, кроме введенных ранее, использованы следующие обозначения: I — е-многообразие присоединенно инверсных колец, СЯ — е-многообразие присоединенно вполне регулярных колец.

Рис. 2: Фрагмент решетки е-многообразий присоединенно вполне регулярных колец.

0.6 Апробация.

Изложенные в диссертации результаты были представлены на международной алгебраической конференции, посвященной памяти 3. И. Боревича (С-Петербург, 2002) и на международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию Л. Н. Шеврина (Екатеринбург, 2005). По результатам работы автор выступал с докладами в Екатеринбурге (семинар «Алгебраические системы», 1999;2006).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [77−82].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору М. В. Волкову за постановки задач, постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

1. Gardner B. J. Radical classe of regular rings with primitive images // Pasific J. Math. 1982. Vol. 49. P. 285−290.

2. Goodearl K. R. Von Neumann Regular Rings. Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., Malabar, FL, 2nd edition, 1991.39. fuchs L., halperin I. On the embedding of a regular ring in a regular ring with identity // Fund. Math. 1964. Vol. 54. P 337−350.

3. Hall T. E. Identities for existence varieties of regular semigroups // Bull. Austral. Math. Soc. 1989. Vol. 40. № 1 P 59−77.

4. Heatherly H. E. Adjoint groups and semigroups of rings // Rivista Di Matematica Pura Ed Applicata 1990. Vol. 6. P 105−108.

5. Heatherly H. E. Adjoint groups of radical rings // Riv. Math. Univ. Parma 1999. Vol. 6, № 2. P. 55−68.

6. Heatherly H. E., Tucci R. P. Central and semicentral idempotents // Kyungpook Math. J. 2000. Vol. 40, № 2. P 255−258.

7. Heatherly H. E., Tucci R. P. Adjoint regular rings // Int. J. Math. Math. Sci. 2002. Vol. 30, № 8. P. 459 466.

8. Heatherly H. E., Tucci R. P. The circle semigroup of a ring // Acta Math. Hungar. 2001. Vol. 90, № 3 P. 231−242.

9. Heatherly H. E., Tucci R. P. Adjoint Clifford rings // Acta Math. Hungar. 2002. Vol. 95, № 1−2. P. 75−82.

10. Heatherly H. E., Tucci R. P. Maximal ideals in near-rings and semigroups // Quaestiones Mathematicae 2002. Vol. 25, № 2. P. 259 268.

11. McConnell N. R., Stokes T. Generalizing quasiregularity for rings // Austral. Math. Soc. Gaz. 1998. Vol. 25. P. 250−252.

12. McKenzie R. N., McNulty G. F., Taylor W. F. Algebras, Lattices. Varieties. Vol.1 Monterey: Wadsworth & Brooks/Cole, 1987.

13. Neumann J. On regular rings // Proc. Nat. Acad. Sci. 1936. Vol. 22. P. 707−743.

14. Petrich M. Inverse Semigroups. New York: John Wiley к Sons, 1984.

15. Petrich M. and Reilly N. R. Completely Regular Semigroups. New York: John Wiley & Sons, 1999.

16. Perlis S. A characterization of the radical of an algebra // Bull. Amer. Math. Soc. 1942. Vol. 48, P. 128−132.

17. Riley D. M., Tasic' V., The transfer of a commutator law from a nil-ring to its adjoint group // Canad. Math. Bull., 1997. Vol. 40, № 1. P. 103−107.

18. Riley D. M., Tasic' V., Malcev nilpotent algebras // Arch. Math. (Basel), 1999. Vol. 72. № 1 P. 22−27.

19. Riley D. M., Wilson M. C., Associative algebras satisfying a semigroup identity // Glasgow Math. J. 1999. Vol. 41. P. 453−462.

20. Sandling R. Group rings of circle and unit groups // Math. Z. 1974. Vol. 140. P. 195−202.

21. Tahara К. I., hosomi A. On the circle group of finite nilpotent rings // In: A. C. Kim, В. H. Neumann (Eds.), Groups Korea 1983, Springer (Lecture Notes Math. Vol. 1098) 1984. P. 161−179.

22. Trotter P. G. E-varieties of regular semigroups // In: J. Almeida, G. M. S. Gomes, P. V. Silva (eds.) Semigroups, Automata and Languages. Singapore: World Scientific, 1996. P. 247−262.

23. WATTERS J. F. Radicals of semigroup rings // Glasgow Math. J. 19G9. Vol. 10. № 1. P. 85−93.

24. Zeleznikow J. Orthodox semirings and rings // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1980. Vol. 30. № 1 P. 50−54.Работы автора по теме диссертации.

25. Волков М. В., танана г. В. Многообразия присоединенно регулярных колец // Изв. Урал. гос. ун-та. 1999. № 14 (Матем., механ. Вып. 2.) С.23−28.

26. Volkov М. v., tan an a G. V. On Sums of Radical and Regular Rings // Int. Algebraic conference, St-Petersburg. 2002. P. 173−174.79. волков M. в., танана Г. в. О суммах радикальных и регулярных колец // Фундам. прикл. матем. 2003. Т.9, № 1. С. 71−75.

27. Volkov М. V., Tan an a G. V. On Sums of Radical and Regular Rings // J. Math. Sei. 2005, Vol. 128. № 6. 2005. P. 3378 3380.

28. ТАНАНА Г. В. О присоединенно ортодоксальных кольцах // Международ. алгебраич. конф. Тез. док. Екатеринбург. 2005. Р. 113−114.

29. ТАНАНА Г. В. О e-многообразиях присоединенно вполне регулярных колец // Изв. Урал. гос. ун-та. 2005. №. 38. (Матем., механ. Вып. 8.) С. 170−175.