Устойчивость стохастических систем со случайными скачками фазовых траекторий

Настоящая работа посвящена исследованию задач устойчивости и стабилизации динамических систем, находящихся под воздействием случайных помех. Эти помехи могут иметь различную природу возникновения и вызывать изменения, как структурного состояния системы, так и разрывы фазовой траектории. В реальных физических, экономических и, других эволюционных процессах, случайное воздействие возмущений может привести либо к разрывам протекающего процесса, либо к его непрерывному изменению. Системы, характерным признаком которых является неоднородность пространства состояний, называют системами со случайной структурой, а в западной литературе распространён термин «системы со скачками» (jamp systems). В настоящее время большое внимание уделяется моделированию стохастических систем, которые встречаются в различных отраслях техники, механики, биологии и т. д. Особое место в моделировании случайных процессов занимает описание возможных случайных разрывов фазовых траекторий.

При анализе таких динамических систем, как правило, интересуют вопросы устойчивости, в том или ином смысле, стабилизации и оптимизации. Так как эволюция системы протекает под воздействием случайных факторов, то методы исследования устойчивости зависят в определенной степени от информации о помехах, действующих на систему. Если возмущения в системе отсутствуют или носят детерминированный характер, а информация об этих помехах исчерпывается лишь заданием областей их возможного изменения, то исследование устойчивости опирается, прежде всего, на фундаментальные результаты в теории устойчивости детерминированных систем, основанной Ляпуновым и, получившей своё развитие в трудах Н. Г. Четаева, И. Г. Малкина, Е. А. Барбашина, Н. Н. Красовского, А. И. Лурье, Дж. Массера.

Исследование устойчивости невозмущенного движения обыкновенных дифференциальных уравнений основано на применении второго метода Ляпунова. В этой связи следует, прежде всего, отметить труды Барбашина Е. А. [5], Красовского Н. Н. [34−36], Матросова В. М. [54, 55], Якубовича В. А. [82]. Метод функций Ляпунова оказался эффективным средством исследования устойчивости и стабилизации разностных систем, а так же для систем с последействием. В этой области известны труды Мышкиса А. Д. [65], Колма-новского В.Б. [39], Шайхета [80, 81]. Бесспорное преимущество этого метода состоит в том, что систему дифференциальных уравнений можно исследовать на предмет устойчивости не интегрированием, а построением специальной функции с определенными свойствами, зависящей от правых частей рассматриваемой системы.

Моделирование реальных процессов, происходящих в природе, технике и других физических явлений, связанное с рассмотрением систем со случайной структурой, привело к созданию нового направления в теории устойчивости движения — стохастической теории устойчивости. Задачи устойчивости динамических систем при случайных возмущениях связаны с выяснением условий, при которых некоторые статистические характеристики движения (например, среднее значение координат и скоростей, их матрица кова-риации и т. д.) мало меняются при малом изменении возмущающих факторов. Основные базовые результаты в этом направлении были получены в работах Красовского Н. Н. и Каца И. Я. [25−29], Хасьминского Р. З. [78], Лидского Э. А. [51]. Исследования стохастической устойчивости так же базируется на втором методе Ляпунова, который использовался в ряде работ [3], [4], [7], [27], [29], [33], [40] и др.

В развитии стохастической устойчивости можно выделить два основных направления. К первому направлению относится изучение стохастических дифференциальных уравнений с непрерывными фазовыми траекториями, описываемые стохастическими уравнениями Ито [10]. Рассмотрение стохастических уравнений Ито приводит к исследованию стохастических интегралов, конструкция и свойства которых изложены во многих монографиях.

8], [64] и учебниках по теории вероятностных процессов [10], [64], [66]. Результаты исследования устойчивости таких случайных процессов изложены в публикациях [15], [17], [32], [47].

В работе Мильштейна Г. Н. [61] впервые получены необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном в терминах функции Ляпунова для линейной системы, находящейся под воздействием марковской цепи. Для такой стохастической системы выведен аналог уравнения Ляпунова, высказаны общие соображения по анализу этого уравнения, приводящие к условиям экспоненциальной устойчивости линейной системы с мультипликативными белыми шумами и случайным изменением структуры. В публикациях [6], [25], [50] показано, что устойчивость линейной стохастической системы сводится к исследованию устойчивости линейной детерминированной системы, составленной для моментов второго порядка. Метод функций Ляпунова используется так же и для дискретных систем со случайной структурой. Например, в работах Пакшина П. В. [68−70] построена функция Ляпунова, обеспечивающая необходимые и достаточные условия устойчивости таких систем, исследована устойчивость в среднем квадратичном, получены критерии устойчивости линейных систем с мультипликативными белыми шумами.

Ко второму направлению следует отнести стохастические дифференциальные уравнения с разрывными фазовыми траекториями. В уравнениях такого типа предполагается, что в моменты смены режима (структурного состояния системы) фазовый вектор объекта управления изменяется скачком по некоторому закону. Рассмотрение задач с разрывными фазовыми траекториями позволило расширить известную теорию стохастической устойчивости. Основные результаты, полученные при исследовании вероятностной устойчивости (асимптотической, экспоненциальной, среднеквадратической и т. д.) с разрывными фазовыми траекториями опубликованы в работах [27],.

29], [56], [57], [72]. Впервые такая проблематика рассмотрена в работе [27], где исследуется линейная система со случайной структурой.

0.1) где *(/) — п — мерный вектор фазовых координат системы, y{t) — простая марковская цепь с известными вероятностями перехода. В момент перехода из одного структурного состояния в другое вектор x (t) изменяется скачком по линейному закону где г — момент перехода марковской цепи y (t) из состояния yi в состояние уj, а Сузаданная матрица размерности пхп, зависящая от структурного состояния системы. Таким образом, величина скачка пропорциональна матрице перехода, зависящей от переходного процесса.

Получено необходимое и достаточное условие устойчивости в среднем квадратичном для системы (0.1) с условием скачка (0.2), выписаны момент-ные уравнения. Для скалярного случая показано, что для экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном необходимо и достаточно, чтобы соответствующая система без скачков обладала этим свойством, и коэффициенты Су удовлетворяли условию с у cjs = cis, cit = 1, i, j, s = 1,. к.

Данная диссертационная работа продолжает исследования в этой области. Основные результаты опубликованы в работах [13−24].

Первая глава данной диссертации так же посвящена исследованию и анализу устойчивости в среднем квадратичном стохастических систем, испытывающих воздействие марковской цепи. Существенным предположением в х (т + 0) = Сих{т — 0),.

0.2) постановке задачи диссертации является предположение о скачке фазового вектора, величина которого зависит от случайной величины с известными параметрами распределения. Такая ситуация является весьма распространённой на практике, что делает изучение таких задач актуальным как с теоретической точки зрения, так и с практической.

В ряде работ для исследования вероятностной устойчивости стохастических систем дифференциальных уравнений применяется метод вектор-функций Ляпунова (другое название векторные функции Ляпунова). Понятие вектор-функций для стохастических систем было введено Мильштейном [62], где с помощью них исследовалась устойчивость линейных систем, находящихся под воздействием марковского процесса. Дальнейшее развитие метода векторных функций Ляпунова получило в работах А. А. Воронова, В. М. Матросова [7], О. В. Григорьевой [9], Р. И. Козлова и М. П. Петрякова [37], Л. Б. Ряшко [60]. В этом методе в качестве компонент векторных функций Ляпунова рассматриваются матричные функции и строятся векторно-матричные системы сравнения, которые позволяют сделать вывод об устойчивости возмущенного движения стохастической системы дифференциальных уравнений.

Так, например, в работах МаликоваА.И. [56], [57] исследуется управляемая стохастическая система x = f (t, x, y (t)), (0.3) где х е R" ' -nt— вектор фазовых координат системы в 1-м структурном состоянии, t el = [0,+оо), l (t) gL = {1,2,., к] вектор-функция / непрерывна по (/,*)&euro-/хГ2, (ПсЛЛ|) при каждом фиксированном l (t), обращается в ноль при х = 0, удовлетворяет условиям Липшица по х равномерно относительно / е/, l (t)eL. Предполагается, что если в момент t = ts происходит скачок из состояния j в состояние i, то в этот момент времени происходит скачок фазового вектора по закону x (ts+0) = x (ts) = R" J — являются непрерывными по х и для них выполняется условие Липшица. Предполагается, что в переходные моменты изменяется и размерность фазового пространства. С помощью построения вектор-функций Ляпунова получены достаточные условия вероятностной устойчивости системы (0.3), (0.4).

К исследованию устойчивости нелинейных стохастических систем со скачками фазового вектора применяется классический метод первого приближения. Для стохастических уравнений с неизменной структурой задача об устойчивости по первому приближению рассматривалась в монографиях Р. З. Хасьминского [78], Гихмана И. И. и Скорохода А. В. [8]. Важные результаты в этом направлении для систем со скачками получены в работе И. Я. Каца [29]. В качестве систем первого приближения в [29] рассматривались либо стохастические системы, либо детерминированные, полученные «замораживанием» случайных факторов в системе. В работе И. Я. Каца [29] получены условия экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном для системы со случайной структурой в предположении, что правые части системы либо малы, либо малы в среднем по времени. Вторая глава данной диссертации продолжает эти исследования на случай случайных скачков фазовых траекторий. Следует отметить, что, несмотря на разрывный характер фазового вектора, удается определить условия существования функции Ляпунова и вычислить значение усредненной производной этой функции в силу системы со случайной структурой.

Эффективные методы решения задач управления для детерминированных и стохастических систем, в том числе в условиях неполной информации, предложены в работах А. Б. Куржанского [48], Ю. С. Осипова [67], Ф.Л. Чер-ноусько [79], А. И. Субботина и А. Г. Ченцова [75] и в работах многих других исследователей. Задачи оптимального управления стохастическими системами состоят в определении управления, реализующего экстремум математического ожидания заданного функционала (критерия качества), зависящего от траектории движения системы и управления.

В случае, когда имеется полное статистическое описание помех, задача оценивания и управления решается в рамках статистической теории фильтрации, созданной Н. Винером, А. Н. Колмогоровым, Р. Калманом [84]. Существенные результаты в этом направлении содержатся в работах Ф.Л. Черно-усько [79], В. Б. Колмановского [39], И. И. Гихмана, А. В. Скорохода [8] и многих других исследователей. Метод функций Ляпунова применялся в исследовании условий стабилизации для систем со случайной структурой с разрывными фазовыми траекториями. Здесь известны работы И .Я. Каца [29], Пакшина П. В. [72] и др.

Предлагаемая диссертационная работа состоит из двух глав, объединяющих одиннадцать параграфов. Первая глава посвящена изучению и анализу устойчивости в среднем квадратичном стохастических систем со случайными скачками. Во второй главе рассматриваются вопросы устойчивости по первому приближению нелинейной системы случайной структурой, испытывающей воздействие чисто разрывного марковского процесса и, претерпевающая случайные разрывы фазовых траекторий.

Исследование устойчивости таких систем, проведённое в диссертационной работе, базируется на методах, использованных в монографии И. Я. Каца «Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры» для стохастических систем с детерминированным условием скачка фазового вектора.

Остановимся подробнее на содержании работы.

1. Ананьев Б. И. О двойственности задач оптимального наблюдения и управ ления для линейных систем с запаздыванием. // Дифференц. уравнения 1974, т. 10, № 7, с. 1060−1067.

2. Альбрехт Э. Г., Красовский Н. Н. О наблюдении нелинейной управляемо" системы в окрестности заданного движения. // Автоматика и телемеханика, 1964, № 2, с. 1047−1057.

3. Ауслендер Э. И., Мильштейн Г. Н. Асимптотические разложения показате Ляпунова для линейных стохастических систем с малыми шумами. // При кладная математика и механика, 1982, т.46, вып. З, с. 358−365.

4. Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р., Математическая теория конструирования систем управления. Москва: «Высшая школа», 1998.

5. Барбашин Е. А.

Введение

в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. — 223 с.

6. Березина Е. Н. Левит М.В. Уравнения для моментов и условия устойчивости линейных систем со скалярным параметрическим возмущением цепью Маркова. // Прикладная математика и механика, 1980, т.44, вып.5.

7. Воронов А. А., В. М. Матросов. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости. Москва: Наука, 1987.

8. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев, Наукова думка: 1968 354 с.

9. Григорьева О. В. Принцип сравнения с вектор функцией Ляпунова для стохастических дифференциальных уравнений.//Труды КАН, 1974, т. 171.

10. Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы. Москва: ИЛ, 1956.

11. Диментберг М. Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. Москва: Наука, 1980.

12. Дьяконов В. П. Справочник по применению системы PC MatLAB. М.: Наука, 1993, с. 111.

13. Завьялова Т. В. Устойчивость стохастических систем со случайным условием скачка фазовой траектории, Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели», Челябинск, 2002, с.35−36.

14. Завьялова Т. В. Об устойчивости нелинейных стохастических систем со случайным условием скачка фазового вектора, Тезисы докладов 7-го международного семинара «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», Москва, 2002, с.88−90.

15. Завьялова Т. В., Стабилизация стохастических систем, испытывающих воздействие марковского процесса, сборник научных трудов конференции «Молодые учёные транспорту», Екатеринбург, УрГУПС, 2003, с. 448−457.

16. Завьялова Т. В. Устойчивость невозмущенного движения нелинейных стохастических систем с разрывными фазовыми траекториями, Сборник трудов УрГУПС. том 2, 2001, с. 107−115.

17. Завьялова Т. В. Моделирование движения тела переменной массы, мате риалы региональной молодёжной школы-конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 2004, с. 128−132.

18. Кац И. Я., Красовский Н. Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами. // Прикладная математика и механика. 1960, т.24., вып.5.

19. Кац И. Я. Об устойчивости в целом стохастических систем.// Прикладная математика и механика, 1964, т.28., вып.2.

20. Кац И. Я. Об устойчивости движения стохастических систем с разрывными фазовыми траекториями.// Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: Сборник трудов: Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1988.

21. Кац И. Я. Об устойчивости в целом стохастических систем //Прикладная математика и механика. 1964. т. 28. Вып.2.

22. Кац И. Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры. Изд-во УрГУПС, Екатеринбург. 1998 г.-222с.

23. Казаков И. Е., Артемьев В. М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. М.: Наука, 1980. — 382 с.

24. Ким А. В. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости систем с последействием. Екатеринбург: Изд. Уральского университета, 1992. — 144 с.

25. Красовский Н. Н. Об оптимальном регулировании при случайных возмущениях.// Прикладная математика и механика, 1960, т.24., вып. 1.

26. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. — 211 с.

27. Красовский Н. Н. о применении второго метода A.M. Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени. ПММ, 1956, Т. 20, Вып. 3, С. 315−327.

28. Козлов Р. И., Петряков М. П. Построение вектор функций Ляпунова и систем сравнения для некоторых стохастических дифференциальных систем.// Динамика нелинейных систем. Новосибирск: Наука СО, 1983.

29. Ковалева А. С. Синхронизация переходов между устойчивыми состояниями в нелинейных стохастических системах при действии слабого сигнала.// Тезисы докладов 7 Международного семинара «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», Москва, 2002.

30. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. — 448 с.

31. Кореневский Д. Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях параметров. Киев: Наукова думка. 1989. — 208 с.

32. Кореневский Д. Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях параметров. Алгебраические критерии. Киев: Наукова думка, 1983.

33. Корневский Д. П. Алгебраический критерий абсолютной устойчивости дискретных систем автоматического регулирования с нелинейной обратной связью.// Украинский математический журнал, 1989, т.4., № 1.

34. Кощеев А. С. Об оценивании состояний управляемых многошаговых систем в условиях неопределённости. Сб. Исследования по прикладной математике. Свердловск, 1979, с. 33−62.

35. Кунцевич В. М Адаптация и робастность в системах управления.// Известия РАН. Техническая кибернетика, 1993, 32.

36. Кузнецов Д. Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов. С.-Пб.: Наука, 1999. 459 с.

37. Кульчицкий О. Ю., Кузнецов Д. Ф. Численное моделирование решений стохастических систем линейных стационарных дифференциальных уравнений // Электр. Ж. Дифференц. уравн. и проц. управл., № 1, 1998 f http://www.neva.ru/iournan.

38. Кушнер Г. Дж. Стохастическая устойчивость и управление. Москва: Издательство Мир. 1967.

39. Куржанский А. Б. О вычислении оптимального управления в системе с неполной информацией. //Дифференциальные уравнения, 1965, т. 1, № 3, с. 524−531.

40. Лазарева А. Б., Пакшин П. В. Решение матричных уравнений Лурье, Риккати, и Ляпунова для дискретных систем.// Автоматика и телемеханика, 1986, № 12.

41. Левит М. В., Березина Е. Н. Уравнения для моментов и условия устойчивости линейных систем со скалярным параметрическим возмущением цепью Маркова//ПММ. Т. 44. № 5. 1980. С.792−799.

42. Лидский Э. А. Об устойчивости решений стохастической системы. В кн.: Труды межвузовской конференции по прикладной теории устойчивости движения и аналитич. механике. Казань, 1964, с. 96−101.

43. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Москва: Гостехиз-дат, 1950, 472 стр.

44. Мартынюк А. А. Устойчивость движения сложных систем. Киев: Наукова Думка, 1975.-352с.

45. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука. 1966. — 530 с.

46. Матросов В. М. Об устойчивости движения. // Прикладная математика и механика. 1962, т.26, вып. 5, с. 992−1002.

47. Маликов А. И. Об устойчивости логико-динамических систем управления со структурными изменениями.// Теория и системы управления. 1996, № 2.

48. Маликов А. И. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем со случайными изменениями структуры.// Теория и системы управления, 1996, № 3.

49. Малышев В. В., Пакшин П. В. Прикладная теория стохастической устойчивости и оптимального стационарного управления.// Техническая кибернетика, 1990, № 1 (часть 1).

50. Малышев В. В., Пакшин П. В. Прикладная теория стохастической устойчивости и оптимального стационарного управления.// Техническая кибернетика, 1990, № 2 (часть 2).

51. Мильштейн Г. Н., Ряшко Л. Б. Оптимальная стабилизация линейных стохастических систем.// Прикладная математика и механика, 1976, т.40, вып. 6.

52. Мильштейн Г. Н. Среднеквадратическая устойчивость линейных систем, находящихся под воздействием марковской цепи.// Прикладная математика и механика, 1972, т.36., вып.З.

53. Милыитейн Г. Н., Репин Ю. М. О воздействии марковского процесса на системы дифференциальных уравнений.// Дифференциальные уравнения, 1969, т.5, № 8.

54. Милыитейн Г. Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Свердловск: Изд-во Уральского ун-та, 1988, 225с.

55. Миллер Б. М., Панов А. Р. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2002. 248 с.

56. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972, — 352 с.бб.Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения.

Введение

в теорию и приложения. М.: Мир, ООО «Издательство ACT», 2003. 408 с.

57. Осипов Ю. С. Информационная игровая задача. В кн.: Труды 2 конференции ИФИП, Новосибирск: СО АН СССР, 1974, с. 121−124.

58. Пакшин П. В. Устойчивость дискретных систем со случайной структурой при постоянно действующих возмущениях.// Автоматика и телемеханика, 1983, № 6.

59. Пакшин П. В. Экспоненциальная устойчивость одного класса нелинейных стохастических систем.// Автоматика и телемеханика, 1980, № 2.

60. Пакшин П. В. Дискретные системы со случайными параметрами и структурой. Москва: Наука. 1994.

61. Пакшин П. В. Робастная устойчивость и управление в классе дискретных систем со случайными изменениями параметров и структуры.// Теория и системы управления. 1996. № 2.

62. Пакшин П. В. Робастное стабилизирующее управление нелинейными системами случайной структуры. // Тезисы докладов 7-го международного семинара «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». Москва, 2002, с.164−166.

63. Ряшко Л. Б. Линейный фильтр в задаче стабилизации линейных стохастических систем при неполной информации.// Автоматика и телемеханика, 1979, № 7.

64. Румянцев В. В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения. В кн.: Механика в СССР за 50 лет. т. 1., М.: Наука, 1968, с.7−66.

65. Субботин А. И., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. -М.: Наука, 1981.-288 с.

66. Угриновский В. А. О робастности линейных систем со случайно изменяющимися во времени параметрами.// Автоматика и телемеханика. 1994. № 4.

67. Угриновский В. А. Экспоненциальная стабилизация нелинейных стохастических систем // Прикладная математика и механика, 1988, т.52, вып.1.

68. Хасьминский Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. Москва: Наука, 1969, 316 стр.

69. Черноусько Ф. Л. Оптимизация процессов управления и наблюдения в динамической системе при случайных возмущениях. // Автоматика и телемеханика, 1972, № 4, с. 42—49.

70. Шайхет Л. Е. Устойчивость по вероятности нелинейных стохастических систем с запаздыванием // РАН. Математические заметки, 1995, С. 142−146.

71. Шайхет Л. Е. Устойчивость по первому приближению стохастических систем с последействием // ПММ, 1976. Т.40. Вып.6. С. 1116−1121.

72. Якубович В. А. Методы теории абсолютной устойчивости. в кн.: Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. — М.: Наука, 1975, с.74−180.

73. Willems J.L. Stability criteria for stochastic systems with colored multiplicative noise.// Acta mechanical, 1975, v.23.

74. Kalman R.E. New methods in Wiener Filtering Theory. Proc. Of the first Symp. on Eng. Appl. of random function Theory and Prob.J.Wiley, 1963, p. 112−120.