Аффинные и проективные многообразия

Содержание Введение

1. Аффинные многообразия

2. Проективные многообразия Список литературы Приложение: вспомогательные определения из алгебры ВВЕДЕНИЕ Данную работу можно назвать введением в алгебраическую геометрию.

Она состоит из двух частей.

Первая часть содержит определения аффинных многообразий и связанных с аффинными многообразиями понятий. Также приводится несколько примеров в виде задач и решения к этим задачам.

Вторая часть — о проективных многообразиях — строится по той же схеме, что и первая.

Все связанные определения из алгебры, необходимые для прочтения данной работы описаны в части приложение.

1. АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ППусть фиксированное алгебраически замкнутое поле. nмерным аффинным пространством над будем назвать множество наборов n элементов из поля, обозначим это пространство. Элемент, где, будем называть точкой аффинного пространства, а все — координатами этой точки.

Пусть кольцо многочленов.

это множество нулей любого многочлена из. Более общим образом можно говорить о множестве нулей:

где произвольное подмножество многочленов из .

Теперь приведем несколько основных определений.

Аффинным (алгебраическим) множеством называется подмножество в, если существует такое подмножество, что .

Непустое подмножество топологического пространства называется неприводимым, если его нельзя представить в виде такого объединения:, где и — замкнутые, собственные подмножества в. Например, аффинная прямая неприводима, так как ее собственные замкнутые подмножества конечны, а как множество бесконечно.

Неприводимое замкнутое подмножество пространства называется аффинным алгебраическим многообразием (или просто аффинным многообразием). Открытое подмножество аффинного многообразия называется квазиаффинным многообразием.

Для любого подмножества определим его идеал в :

.

Пусть аффинное алгебраическое множество, соответствующий ему идеал. Факторкольцо будем называть аффинным координатным кольцом множества. Заметим, что в случае когда аффинное многообразие, кольцо является целостным (не содержит делители нуля). Более того, является конечнопорожденной алгеброй.

Определим Топологию Зарисского на .В качестве открытых подмножеств выберем дополнения ко всевозможным алгебраическим множествам это действительно топология, так как пересечение двух открытых множеств и объединение любого семейства открытых множеств снова являются открытыми (1,гл.I, предложение 1.1).Кроме того, пустое множество и все пространство тоже являются открытыми множествами.

Например, выясним, как устроена топология Зорисского на аффинной прямой. Каждый идеал в кольце является главным, поэтому каждое алгебраическое множество — это множество нулей одного многочлена, так как поле алгебраически замкнуто, то всякий ненулевой многочлен может быть записан в виде

где .

В таком случае,. Таким образом, алгебраические множества в — это всевозможные конечные подмножества (включая пустое множество) и вся прямая, соответствующая нулевому многочлену. Следовательно, открытыми множествами в являются пустое множество и дополнения к конечным подмножествам.

Топологическое пространство называется нётеровым, если для его замкнутых подмножеств выполняется условие обрыва возрастающих цепочек: для любой последовательности замкнутых подмножеств в, существует такое целое число s, что .

Для возможности продвижения дальше, а точнее для перехода к проективным пространствам, необходимо разобрать несколько примеров.

Пример 1.1 Докажем, что пространство нётерово. Если убывающая цепочка замкнутых подмножеств, то возрастающая цепочка идеалов в. Т.к. кольцо нётерово (по следствию из теоремы Гильберта о базисе), то эта цепочка идеалов обрывается. Но так как, цепочка подмножеств также обрывается, что и следовало доказать.

Пример 1.2 Пусть плоская кривая. Показать, что изоморфно кольцу многочленов от одной переменной над полем .

Необходимо заметить, что есть множество нулей многочлена, т. е.

.

Переформулируем задачу в терминах, используемых в данной работе: Нам нужно доказать, что. В данном случае понятно, что является аффинным многообразием, аффинным координатным кольцом. Теперь рассмотрим существование изоморфизма:

(1)

Понятно, что

— сюръективный гомоморфизм алгебр. Тогда выражение (1) включается в коммутативный треугольник алгебр И определяется соответствием. Непосредственная проверка определения показывает, что гомоморфизм. Обратный ему задается соответствием. Это показывает, что — гомоморфизм.

Пример 1.3 Пусть алгебраическое множество в, определенное двумя многочленами и. Показать, что разбивается в объединение неприводимых компонент.

Рассмотрим систему уравнений:

Теперь представим второе уравнение системы в виде совокупности двух уравнений, затем объединим с первым уравнением и запишем новую систему:

Данную систему разобьем в систему двух совокупностей, и будем продолжать так дальше:

Таким образом, мы разложили в объединение неприводимых компонент, заданных идеалами .

Пример 1.4 Показать, что коммутативная ассоциативная алгебра с единицей тогда и только тогда изоморфна аффинному координатному кольцу некоторого алгебраического множества в для некоторого, когда конечно порождена над .

алгебра конечно порождена, если существует сюръективный гомоморфизм:

с ядром

При этом

.

Поскольку кольцо нетерово, то идеал конечно порожден, в нем можно выбрать конечную систему образующих

Тогда система уравнений задает искомое подмножество, такое, что .

Обратно, пусть алгебра изоморфна координатному кольцу некоторого замкнутого алгебраического множества в аффинном пространстве. Тогда определен сюръективный гомоморфизм алгебр, который и доказывает конечную порожденность алгебры

Пример 1.5 Показать, что, если — произвольное подмножество топологического пространства, то .

Для решения данной задачи необходимо привести определение размерности топологического пространства.

Размерностью топологического пространства называется точная верхняя грань множества всех целых чисел, таких, что существует цепочка отличающихся друг от друга неприводимых замкнутых подмножеств в .

Рассмотрим две цепочки неприводимых замкнутых подмножеств:

;

.

Нужно показать, что точная верхняя грань множества длин возрастающих последовательностей неприводимых замкнутых подмножеств в не превосходит точной верхней грани множества длин возрастающих последовательностей неприводимых замкнутых подмножеств в .

Возьмем возрастающую последовательность в :

очевидно, что ее нельзя уплотнить до .

Тогда возьмем цепочку замыканий множеств :

.

Может случиться, что данную цепочку уплотнить можно, то есть

.

Тогда и получается, что, что и требовалось показать.

ПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ Проективные многообразия определяются аналогично аффинным, разница лишь в том, что все понятия рассматриваются в проективном пространстве.

Введем проективное пространство над полем. Оно обозначается символом, где целое число (встречается и сокращенное обозначение).

Пусть арифметическое мерное векторное пространство над полем. Рассмотрим множество. На этом множестве можно ввести отношение эквивалентности:

ненулевой скаляр, такой что

Множество классов этих эквивалентных наборов называется мерным проективным пространством. Иначе говоря, фактор множество множества по отношению эквивалентности, отождествляющему точки, лежащие на одной и той же прямой, проходящей через начало координат.

Большинство понятий определяются аналогично понятиям, связанным с аффинными многообразиям, поэтому их упоминать не будем, лишь добавим некоторые недостающие.

Кольцо называется градуированным, если оно обладает разложением в прямую сумму:

где, а

аддитивные абелевы группы, такие что

где

Построение проективного пространства как фактор множества позволяет ввести на нем однородные координаты. Каждой точке ставится в соответствие набор, причем для всех считается, что .

Иначе говоря, имеют смысл не конкретные значения, а соотношения между ними.

Проективное пространство можно покрывать аффинными многообразиями. Построим такое покрытие.

Рассмотрим проективную плоскость с однородными координатами. Построим множество, определяемое такой формулой:

При этом координаты точек в задаются соотношениями :

Затем построим по аналогии подмножество: в котором Проведем замену Аналогично, задается требованием и заменой

Таким образом, получаем Очевидно,

.

Множество называется аффинной картой (в данной системе координат). Точки при отвечают одной и той же точке, лежащей на пересечении, тогда и только тогда, когда поставив единицу на тое в векторе и на тое место в векторе, мы получаем пропорциональные векторы. В частности,

точка отвечает точке, при. Точка из не лежит в, а точка из не лежит в. Естественно считать, что получается из добавлением точки с координатой .

Данная конструкция называется аффинным покрытием проективного пространства.

Теперь рассмотрим несколько примеров Пример 2.2 Показать, что .

Для решения данной задачи необходимо привести определение размерности топологического пространства: пусть — топологическое пространство. Размерностью (обозначают) называют точную верхнюю грань всех целых чисел n, таких, что существует цепочка

отличающихся друг от друга неприводимых замкнутых подмножеств. Размерности аффинного и проективного пространств определяются как размерность проективного пространства.

Как было оговорено в теоретической части работы, проективное пространство можно покрыть аффинными покрытиями, этим мы отождествим с. А для было доказано, что его размерность равна (1,гл.I, предложение 1.9).

Пример 2.3 Показать, что нётерово.

Выберем убывающую цепь замкнутых подмножеств:

образует цепь, обрывающуюся на конечном шаге. Предположим, что цепь

не обрывается, то при, т. е.

Имеем цепь в

Продолжая этот процесс, приходим к точка Ясно, что нётерово.

Таким образом, цепь обрывается на конечном шаге.

Пример 2.4 Пусть образ двукратного вложения в .Это есть так называемая поверхность Веронезе. Показать, что если замкнутая кривая, то существует гиперповерхность, такая что

.

.

пространство однородных многочленов от трех переменных степени два. Очевидно,

Образ вложения Веронезе задается уравнениями

где

.

Также можно определить обратное отображение:

с помощью выражений однородных координат в .

Эти выражения справедливы для тех точек плоскости, в которых. Аналогичные соотношения имеют место для и. Отображение Веронезе биективно на свой образ, то есть является вложением. Тогда применим к замкнутой кривой. Получим

.

Это гиперповерхность в. Пусть

— ее уравнение.

Возьмем Тогда

— гиперповерхность в

Аналогично, для

Наконец для

Очевидно, что

аффинный проективный нётеров топология СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хартсхорн «Алгебраическая геометрия», М.: Мир, 1981

2. Шафаревич И. Р. «Основы алгебраической геометрии», М.: Наука, 1971

3. Рид М. «Алгебраическая геометрия для всех», М.: Мир, 1991

4. Кострикин А. И. «Линейная алгебра и геометрия», М.: Наука, 1980

ПРИЛОЖЕНИЕ

Группа (G, *) — непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией, если выполнены следующие аксиомы:

ассоциативность:

;

наличие нейтрального элемента:

;

наличие обратного элемента:

Абелева группа- группа, в которой введенная операция коммутативна.

Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и Ч (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:

коммутативность сложения ассоциативность сложения существование нейтрального элемента относительно сложения существование обратного элемента относительно сложения ассоциативность умножения (некоторые авторы не требуют выполнения этой аксиомы) дистрибутивность

Поле — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим.

Примеры колец:

{0} — тривиальное кольцо, состоящее из одного нуля. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей.

— целые числа (с обычным сложением и умножением).

— кольцо вычетов по модулю натурального числа n.

— кольцо рациональных чисел, являющееся полем.

— кольцо вещественных чисел, являющееся полем.

— кольцо многочленов от n переменных над полем

Кольцо алгебраических целых чисел.

— кольцо гауссовых целых чисел.

Нётерово кольцом — ассоциативное кольцо, А с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва возрастающих цепей: Всякая последовательность идеалов (для некоммутативных колец — левых идеалов) стабилизируется, то есть начиная с некоторого n.(Простейший пример нётерова кольца — это кольцо главных идеалов (КГИ). Например, такими свойствами обладает кольцо многочленов от одной переменной над коммутативным кольцом. Однако, не всякое нётерово кольцо является КГИ. Например, кольцо многочленов многих переменных над коммутативным кольцом нётерово, но не КГИ.)

Алгеброй над полем называется кольцо, аддитивная группа которого является векторным пространством над полем Р, а умножение связано с умножением на скаляры требованием (здесь а, b — элементы кольца, — элемент поля):

.

Идеал — это подмножество кольца, которое замкнуто относительно сложения, умножения, и для которого выполняется равенство: для любого справедливо:

Главный идеал — порожден одним элементом.

Пусть дано множество X. Система его подмножеств называется тополомгией на X, если выполнены следующие условия:

1. Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих, принадлежит, то есть если, то

2. Пересечение конечного семейства множеств, принадлежащих, тпринадлежит, то есть если

то .

3.

Пара называется топологическим пространством. Множества, принадлежащие, называются открытыми множествами.

Если, и, то A называется сомбственным или нетривиамльным подмножеством.

Сюръекция — это отображение такое, что каждый элемент области значений имеет хотя бы один прообраз.

Allbst.ru