За последние годы интенсивно разрабатываются и исследуются математические модели различных нелокальных процессов переноса субстанции в системах, обладающих фрактальной структурой. К таким системам относятся сильно пористые среды со сложной топологией порового пространства, и в первую очередь почва и почвогрунт. Интерпретация структуры пор в пористых средах как множества с фрактальной размерностью Хаусдорфа-Безиковича приводит к существенно новым уравнениям тепломассопереноса в этих средах, которые относятся к классу малоисследованных нелокальных нагруженных уравнений в частных производных основных и смешанных типов. Фрактальные структуры являются следствием многих процессов-и явлений необратимого роста, например, таких, как явления фрактальной диффузии, агрегирование, мно-гофазность, растворения, образование вязких пальцев при вытеснении жидкости в пористых средах. Фрактальность системы в свою очередь приводит к необходимости анализа ее свойств в рамках концепции пространственной нелокальности.
П. Я. Полубаринова-Кочина [1]- С. Ф. Аверьянов [2]- М. Г. Андерсен, Т. П. Берт [3], Я. Бэр, Д. Заславски, С. Ирмей [3]- JI. Дакштейн (см. [3. С. 681]) — Р. Дж, Ханке (см. [3. С. 27]) и другие в своих исследованиях обращали внимание на важность выяснения физико-математических основ процессов переноса в природных водоносных системах и создания их математической модели для решения задач гидрогеологического прогнозирования, защиты подземных вод от загрязнения и борьбы с засолением орошаемых земель.
Задачи теории движения грунтовых вод, физики пограничного слоя атмосферы, тепломассообмена в капиллярно-пористых телах, а также накопленные в физике фракталов теоретические и экспериментальные материалы о свойствах систем с фрактальной структурой ставят проблему выхода за рамки традиционных математических моделей, в основе которых лежат локальные дифференциальные уравнения в частных производных и соответствующие им локальные начально-краевые задачи. Выход состоит в разработке на базе концепции фрактала и пространственно-временной нелокальности нелокальных математических моделей, учитывающих фрактальную во времени и в пространстве природу нелинейных явлений, самоподобие фрактальных систем, эффект памяти и пространственные корреляции.
Актуальность темы
подтверждается еще и тем, что и основе нелокальных моделей систем с распределенными параметрами лежат нелокальные уравнения в частных производных и связанные с ними локальные и нелокальные начальные и краевые задачи, теория которых активно разрабатывается учеными различных государств, но она далека до завершения.
Исследование по теме докторской диссертации проводилось в рамках плана научно-исследовательских работ Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН по следующим двум направлениям фундаментальных исследований:
— «Нелокальные дифференциальные операторы основных и смешанных типов и их применение к фундаментальным исследованиям в различных областях знаний» (№ГР 01.20.00 12 841);
— «Развитие дробного исчисления и анализа на фракталах для разработки математических моделей физико-биологических процессов и сред с фрактальной структурой» (№ГР 0'1.20.00 12 845) — а также проекта № 00−01−311 — «Исследование класса задаваемых дифференциальными операторами дробного порядка математических моделей тепломассопереноса в средах с фрактальной структурой», поддержанного в 2000, 2001, 2002 годах Российским фондом фундаментальных исследований.
Основная научная цель работы — разработка принципиально новых компьютерно реализуемых и разного уровня прогностической значимости нелокальных математических моделей: движения грунтовых вод и почвенной влагиэволюции малых возмущений в каналах с пористыми и проницаемыми стенкамидинамики микрометеорологического режима при орошении больших площадей., .
Концепции фрактала и пространственно-временной нелокальности в сочетании с формализмом дробного (в смысле Римана-Лиувилля) интегро-дифференцирования являются методологической базой диссертации, где для достижения основной цели использованы: основные принципы математического моделирования локальных систем с распределенными параметрамиметоды теории тепломассопереноса, движения грунтовых вод, аналитической теории как локальных, так и нелокальных линейных дифференциальных уравнений основных и смешанных типовметоды априорных оценок, интегральных уравнений и преобразованийэлементы дробного исчисления и классического анализа.
В диссертации впервые получены следующие принципиально новые научные результаты, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в области математического моделирования:
1. Создана нелокальная математическая модель движения грунтовых вод, в основе которой лежит обобщенное нагруженное уравнение Бусси-неска с дробной производной по времени, и предложены методы ее линеаризации, приводящие к нелокальным условиям типа условия Самарского;
2. Качественный анализ математических моделей движения грунтовых вод и почвенной влаги, основанных на волновом уравнении, уравнениях смешанного эллиптико-гиперболического и параболо-гиперболичес-кого типов, уравнении фрактальной диффузии, и алгоритмы их компьютерной реализации;
3. Исследования на корректность эталонных нелокальных смешанных задач для дифференциальных уравнений математических моделей движения грунтовых вод и алгоритм долгосрочного прогноза их динамики;
4. Исследования качественных свойств математической модели эволюции малых возмущений в каналах с пористыми и проницаемыми стенками, основанной на нелокальном волновом уравнении с дробной производной, и алгоритм теоретического пойска нелокальных краевых условий;
5. Исследования качественных и структурных свойств линейной математической модели простанственно-временной динамики микрометеорологического режима при мелиорации земель, доказательство пропорциональности турбулентного потока дробной производной от удельной влажности и температуры на деятельной поверхности и эффективные формулы их вычисления с помощью функций типа Миттаг-Леффлера;
6. Эффективные и компьютерно реализуемые модели движения грунтовых вод, динамики микрометеорологического режима при мелиорации земель.
Эти шесть научно обоснованных результатов выносятся на публичную защиту, последний из них включен в «Отчет о деятельности Российской академии наук» в 2002 году как один из основных результатов в области математического моделирования.
Хотя работа носит теоретический характер, основные ее положения, касающиеся компьютерно реализуемых нелокальных математических моделей, могут сыграть важную роль при решении практически важных задач гидрогеологического прогнозирования в реальном времени, теплового и водносолевого режимов в пористых средах с фрактальной структурой, режимов орошения и водопотребления, долгосрочного прогнозирования и управления динамикой грунтовых вод при искусственном экологически чистом орошении больших площадей, динамики фитопланктона и конвективно-диффузионного переноса в водных объектах.
Основанные на операции дробного ингеро-дифференцирования методы поиска приближенных решений смешанных задач можно использовать для развития метода фиктивных областей применительно к средам с фрактальной геометрией.
Основные результаты диссертации изложены в работах автора [56−87], в том числе в монографии [74] объемом 144 страницы.
Первая глава посвящена выводу основных уравнений моделей неустановившегося движения грунтовых вод в безнапорном пласте со сла-боизменяющейся поверхностью водоупора z = h0(x, y) и свободной поверхностью z = h (x, y, t) в области Q евклидовой плоскости точек (х, у) с абсциссой х и ординатой у в момент времени t от начального t = 0 до расчетного t = Т, а также разработке и анализу методов их линеаризации.
В этой главе, как и во всей диссертации, существенно используются элементы дробного исчисления и в первую очередь операторы и 8qV Оператор D%t есть оператор дробного интегро-дифференцирования порядка |а| в смысле Римана-Лиувилля:
D%tu{x, у, т)= < t.
J f u (x, y, r)dy.
— a) J (t- ' a < 0,.
Г (-a) J (t — r) c о u (x, y, t), a = 0, d[al+1 a-fal-l.
— Dqi и (х, у, т), a> 0- где F (x) — гамма-функция Эйлера, [a] - целая часть числа а, которая удовлетворяет неравенству [а] < а < [а]+1. Если п—1 < а < п = 1,2,., то по определению величина и она называется регуляризованной производной по t порядка, а или производной по М. Caputo [5].
В параграфе 1.1 на основе интерпретации почвогрунта как сильно пористой среды с распределенными параметрами, структура пор которой образует множество с фрактальной размерностью cf/, и гипотезы о том, что за промежуток времени At происходит изменение уровня грунтовых вод на 5h = htAt, где.
Ы = д&к (х, у, т), (1) получено нагруженное обобщенное уравнение Буссинеска d%t[ah{x, у, г)] = L (h — Л0- h) + w0 + w. (2).
Здесь fi — число из интервала ]0,1[- а — водоотдача или недостаток насыщения грунтаdh ду).
— дифференциальное выражение;
— скорость просачивания через водоупор, к — коэффициент фильрациик0 — коэффициент фильтрации слабопроницаемого водоупора, который значительно меньше h, HQ — напор в нижележащем водоносном пластеMq = Мо (х, у) — мощность водоупораw = w (x, y, t) — величина инфильтрации (или разность между инфильтрацией и испарением) на единицу площади в единицу времени.
Для широких классов пористых сред можно приближенно положить li = df.
Уравнение (2) эквивалентно уравнению dt[ah (x, у, т) = 1- h2) — L (hQh) — c^kh + Д (3).
С Co = уfi = w + kcoHQ.
KMq.
Поскольку limд&и (х, y, t) = /1-Я ut то уравнение (2) при ц —> 1 совпадает с обобщенным (по терминологии.
П.Я. Полубариновой-Кочиной) уравнением Буссинеска dah д (ТМ д (ТМ ",. где К = k{h — hQ) — проводимость пласта, /0 = cok (HQ — ho).
Пусть а, к, М0 — постоянные величины, водоупор — горизонтален и ho = 0. Тогда из (3) получаем уравнение к adSth (x, у, т) = -Ah2 — cokh 4- /ь (5) д2 д2 где Д = ——- + -——¦ - оператор Лапласа. ох2 оу1.
Только при fx 1 уравнение (5) переходит в известное в классической теории движения грунтовых вод уравнение а^ =Ah2 — cokh + fx. (6).
В отличие от уравнений (4) и (б) нелинейные уравнения (3) и (5) являются нелокальными и относятся к классу нагруженных уравнений в частных производных параболического типа.
Пусть решение h (x, y, t) уравнения (2) удовлетворяет условию Коши h (x, y,0) = (р (х, у), (х, у) еП, (7) где (р (х, у) — уровень грунтовой воды в начальный момент времени.
В этом же параграфе доказана эквивалентность уравнения (2) уравнению.
Dj?t[h (x, y, T) — (р (х, у)] = L (h, h) — L (hQ, h) + wQ + ги. (8).
Целью исследований, проводимых в параграфах 1.2−1.4, является разработка методов линеаризации существенно нелинейного уравнения (2). В этих параграфах предложены и обоснованы три способа линеаризации нагруженного обобщенного уравнения Буссинеска.
Суть первого способа линеаризации, изложенного в § 1.2, состоит в следующем. Разность = h — h0 к представляет собой мощность водоносной части пласта. Пусть = Щ / у' ~ y^dxdy ® п.
— среднее значение этой разности по области Q с площадью ]0|. В дифференциальном выражении L (h — ho', h) функцию h — hQ в каждый момент времени t заменим ее средним значением ?(?) и нелинейное уравнение (2) аппроксимируем нагруженным (линейным относительно h при заданном значении 8) уравнением d&[.
Уравнение (10) и нелокальное для него условие (9) в случае уравнения (5) записываются в виде.
• 35Л (®-, у, т) = aAh — b (h — tf0) + е, (11) h (Q-t) = S (t), 0.
При линеаризации уравнения (4) с постоянными сг, к и Cq по методу Буссинеска полагают (П.Я. Полубаринова-Кочина, В. Т. Пряжинская, В. Н. Эмих [6]) функцию 5 = S (t) не зависящей от времени. В силу (7) и (12) это означает, что для уравнения (11) должно задаваться нелокальное условие типа условия А. А. Самарского для одномерных уравнений параболического типа: h (Qt) = Tp{Q,).
Когда процесс движения грунтовых вод существенно нестационарен, задача определения коэффициента уровнепроводности, а = a (t) экспериментальным или теоретическим путем становится весьма затруднительной и дорогостоящей. В этом случае в диссертации предлагается математическая модель, в основе которой лежат следующие уравнения: д&6(т) = aAh — b{h — #0) + е, (13).
ЗДт) = [N (t) — b (t)]5(t) + -МПt), (14), т дП где it — единичный вектор внешней нормали к dQ, ds — элемент границы дО,.
Второй способ линеаризации уравнения (2) также базируется на его аппроксимации нагруженным уравнением в частных производных параболического типа относительно функции.
-«,() =шк*-*»)'. f[.
Третий способ линеаризации принципиально отличается от первого и второго способов линеаризации нагруженного обобщенного уравнения Буссинеска. Суть этого метода заключается в аппроксимации уравнения.
2) нагруженными уравнениями гиперболического и смешанного типов. Примерами таких уравнений является, уравнение tdh, .. А, dh, dw. aD%t— = kS (t)Ah — о, — + к—, (16) которое при ц -> 1 принимает вид d2h. г//" л 1 dh кты-сй-ш+к-. (17).
Эффективность третьего способа демонстрируется на примере следующей математической модели одномерной задачи равномерного подъема уровня воды в каналах: dh к d2h2 h{x, 0) = 0, h{О, t) = at, а = const > 0. (19).
Когда инфильтрация w не зависит от времени, водоупор. непроницаем и подъем. среднего уровня грунтовых вод происходит равномерно ($'(?) = а), из уравнений (16) и (17) соответственно получаем irjj^M)=c^Aht (20) ' • (21) otJc где с1+/1 = —. При этом соответствующее уравнению (18) линеаризованное уравнение Буссинеска принимает такой же вид, что и одномерное волновое уравнение.
2d2h.
W =са? (22).
Волновые уравнения (21) и (22) учитывают конечность скорости распространения передней границы возмущенной области движения. Линейная математическая модель (22) движения грунтовых вод сохраняет важное свойство нелинейного уравнения параболического типа (18), обнаруженное в известных работах Я. Б. Зельдовича и А. С. Компанейца, Г. И. Баренблатта и М. И. Вишика в начале 50-х годов.
Уравнение (20) относится к классу уравнений дробной диффузии (фильтрации), исследованной в основополагающей работе А. Н. Кочубея.
7].
Представительная библиография работ, посвященных уравнениям дробной диффузии, содержится в монографии A.M. Нахушева [8].
Объект исследования второй главы — одномерные математические модели безнапорного движения грунтовых вод, почвенной влаги и почвенного раствора, основанные на линейных уравнениях гиперболического и смешанного типов.
В § 2.1 реализован вывод нелокальных условий, порождаемых методами линеаризации уравнения одномерного. безнапорного движения грунтовых вод со слабоизогнутой поверхностью при отсутствии внешнего воздействия на потокпроведен качественный анализ линейной модели, основанной на волновом уравнениинайдены эффективные и компьютерно реализуемые алгоритмы долгосрочного прогноза динамики грунтовых вод при нулевых условиях в начальный момент времени и на депресси-онной линии, а также при других начально-краевых условиях.
Параграф 2.2 посвящен анализу математических моделей динамики грунтовых вод, в основе которых лежит уравнение Лаврентьева-Бицадзе с нулевым начальным условием. Здесь на базе теоремы Коши-Ковалевской и принципа экстремума Зарембы-Жиро обнаружены экстремальные свойства модели и ее разрешимости в малом. Обращено внимание, что нелинейность процесса проявляется через некорректность по Адамару задачи Коши для уравнения Лапласа, и эффективным выходом из этой ситуации может стать не замена уравнения Лаврентьева-Бицадзе уравнением Трикоми, а его замена уравнением вида dl+H^h к., x. d2h л, , /ооЛ • ' (3) где h = h (?, t), i д Г fi = v{t) = -J h (?, t) dt, о.
Н (д) — функция Хевисайда.
Уравнение (23) в случае, когда j. i (t) меняется по степенному закону: fi (t) = fiot — t^sign (?" - t), где fiQ = const > 0, /3 = const > 0, t* - критическое время, допускает следующую запись:
Ql+H (-y) Q2 уф, 0 <х <г, (24, где х y = t-U, и (х, y) = h У + t*.
Уравнение (24) входит в класс уравнений смешанного парабологиперболического типа, исследованного Т. Д. Джураевым [9], В. А. Елеевым [10], A.M. Нахушевым [11], К. Б. Сабитовым [12] и их учениками.
В § 2.3 исследуется модель (24) в специальной прямоугольной области на плоскости точек (х, у) при нулевых начальных распределениях, одноdx родном условии на депрессионной кривой —— = (—yf!2 и нелокальном краевом условии dy г д Г J u (x, y) dx = <�Рп{у), -U.
I 771.
Vn{y) = [ld0yfsigny + f (y + Q] J—, f (t) — флуктурирующая сила.
Основным научным результатом этого параграфа является Теорема 2.3.1. Пусть и (х, 0) 6 С2]0, г[ПС[0, г], иу (х, 0) <ЕС1]0, г[ПЬ[0, г], А =^/(2/3 + 4), Ti = Г (2/51)Г (1-А)(2−4Д1)1−2^/[Г (А)Г (2−2А)]. Тогда иу (х) = 7lD^u (t, 0).
В § 2.4 разработан класс линейных математических моделей динамики грунтовых вод с горизонтальным водоупором, учитывающих явление последействия, когда интенсивность фильтрации a ~ dt ад£ д£) и скорость расхода в слое 0 <? < I меняются по линейным законам:
— = АхЮЛК, 0 + Аа (0 D? h (Z, T), 7 I У л К, t) d? = сГ, (26) о где Ai (?), А2(£) — заданные функции из С[0,1], а с и т — заданные положительные числа. В случае, когда ko (h-HQ) Мп и рассматриваются задачи долгосрочного гидрогеологического прогнозирования при естественном и искусственном орошении больших площадей, правая часть (26) заменяется величиной, пропорциональной ?|msign (?, — t), где t* - время, когда расход грунтовой воды в слое О <? < I достигает максимального значения, а затем падает до значения, не нарушающего экологию зоны орошения. Это условие позволяет аппроксимировать уравнение Буссинеска уравнением смешанного типа d2h,, т. , х d2h кп dh 1 dw .
— = ф. — trswlt. — t) — — - + —. (2−0.
Уравнение (27) с нелокальным условием вида (25) является линейной математической моделью неустановившегося плоскопараллельного движения грунтовых вод со слабоизменяющейся свободной поверхностью и со слабопроницаемым горизонтальным водоупором. Оно может служить основой для большинства количественных оценок динамики грунтовых вод и отражать фрактальную во времени природу этого процесса.
Важным результатом параграфов 2.5 и 2.6 является развитие одного способа поиска нелокального краевого условия для уравнения Буссинеска (18), предложенного А. М. Нахушевым в 1982 году [13]. В основе предлагаемого в § 2.6 алгоритма поиска нелокального краевого условия для нагруженного уравнения Буссинеска в случае горизонтального водоугюра лежит уравнение адт) + b (t)S (t) — e (t) = a (t)Ah, a{t) = ^ (28) 7 с начальным условием.
S (0) = 5° = щ/ у) dxdy• (29) n.
Принцип экстремума и функция Грина G (x, у, rj) для уравнения Лапласа, А и = 0 позволяют из (28) получить нелинейное дифференциальное уравнение дробного порядка.
В&(Т) + В№*)-Щ = «*),¦ (30) где.
B (t) = b (t) + ( , © = щ1 dx dy J G (x, уe, T))dZdr],.
Q Q.
W = dxdyJЩ.
П dSl.
Nq — внутренняя нормаль dQ в точке? = €{s)+irj (s), s — длина кривой отсчитываемая от фиксированной точки в положительном направлении.
Основной результат § 2.6 при В = const сформулирован в виде следующей теоремы.
Теорема 2.6.1. Приближенное решение 5n (t) задачи Коши (29) д. ия уравнения (30) можно построить по итерационной схеме.
Fn-i (t) = щПйХ-Лт) + ЩМт) + ОД, t.
Sn{t) = Fn! — В J (try-'Ey^-Bit — г)" - ^]Fn.x{r) dr, о где.
OO j.
— функция типа Миттаг-Леффлера.
При fi —у 1 уравнение (30) переходит в уравнение Риккати и его приближенное решение можно найти одним из численных методов, например, методом Рунге-Кутта. Для широких классов граничных и начальных условий средний уровень грунтовой воды меняется по логистическому закону и можно ввести понятие емкости водоносного пласта.
Параграф 2.7 посвящен линейной математической модели движения почвенной влаги и алгоритму ее компьютерной реализации. Принцип локальности в случае одномерного движения влаги в почвенном слое 0 < х < г приводит к следующему локальному нелинейному уравнению параболического типа: ди д dt дх.
D (uk{u).
31) где и = u{x, t) — влажность в точке х в момент времени tD (u) и k (u) -коэффициенты диффузитивности и влагопроводности при влажности и.
Моделирование баланса почвенных вод на основе различных вариантов уравнения (31) был объектом исследования многих авторов: С. Ф. Аверьянов [2]- Я. Бэр, Д. Заславски, С. Ирмей [4], С. В. Нерпин [14], А.Ф. Чуд-новский [15], Р. Дж. Ханке (см. [3. С. 27]) и др.
Численной, как классической, так и суммарной аппроксимации уравнений тепломассопереноса параболического типа вида (4) и (30) посвящено значительное число работ, среди которых следует отметить работы П. Н. Вабищевича [16]- П. Н. Вабищевича, А. Я. Горбачевского [17]- Л.А. Кру-киера, И. В. Шевченко [18]- A.M. Нахушева, М. Х. Шханукова [19] и А. И. Сухинова [20], [21].
В § 2.7 анонсируется, что: для широких классов почв, включающих почвы типа Гарднера, имеет место логистическое уравнение типа Ферхюльста-Пирла [А — fiD (u)]D (u), ф = const > 0- (32) du процесс движения влаги происходит в субдиффузионном режиме, имеет фрактальную во времени природу, подобен модели макроскопического движения при стохастическом переносе и с определенной точностью может быть описан уравнением д2и ди.
ДМ^) = аа—-Ьа—, 0 < а < 1, (33) А где аа =—коэффициент фрактальной диффузии, оа — фактическая скорость движения влаги в порах грунта.
Главный результат § 2.7 — алгоритм высокой точности, реализованный в виде численно-аналитического метода, позволяющий найти в классе функций, ограниченных при t 0, приближенное решение задачи Коши u (0, t) = r{t), их (0, t) = v (t), 0 < ятц '< Xi <. < хп = г нагруженным уравнением фрактальной диффузии u (Xi, 7]) Xi~X u (xi+urj) xi+i-x и эффективном использовании элементов дробного исчисления. Отметим, что решение = -, А4 уравнения (32) является устойчивым по Ляпунову. Если в уравнении (31) D (u) = А/д и скорость ъ dK{u) ' du д2и. ди «, 1, «= 0,1,., п движения влаги под действием гравитационных сил постоянна, то и к условию (34) надо присоединить условие и (х, 0) = <�р (х), 0 < х < г, (35) задающее глубинный ход влажности в начальный момент времени. Смешанная задача (34), (35) не является корректной по Адамару для уравнения (33) при, а = 1.
В § 2.8 в качестве базового уравнения математической модели одномерного движения почвенного раствора в почвогрунтнх, интерпретируемых как среды с фрактальной структурой, предлагается уравнение д2и ди.
Dgu{x, г,) = а— - Ъ— + /3(и. — и), 0<х< г, (36) где и = и{х, t) — концентрация почвенного раствора в точке х в момент времени t > 0- а — коэффициент фрактальной диффузии, 6 — скорость конвекции, а (Е]0,1[, f3 — коэффициент растворения солии* - предельная: концентрация насыщения.
Сходимость разностных схем для дифференциальных уравнений в частных производных с дробной производной впервые исследована М.Х., Шхануковым [21].
При реализации разностных методов для таких уравнений важную роль играют алгоритмы частного интегрирования и дифференцирования, основанные на определении производных по Летникову и Грюнвальду.
Интересные исследования в этом направлении провели К.В. Oldham, J. Spanier [23]- А. Р. Бечелова [24]- М. А. Керефов [25]- A.M. Нахушев [26]- М. З. Худалов [27].
Основным научным результатом этого параграфа является алгоритм компьютерной реализации следующей задачи, выступающей математической моделью широкого класса физико-математических и мелиоративных задач.
Задача 2.8.1. Найти регулярное в любой точке х €]0, г[ и для любого момента времени t > 0 решение и = и (х, t) уравнения (36), ограниченное при t —" 0 и удовлетворяющее условию Коши: u (0,t) = r (t), ^^ = Ф (0, 0.
В данном случае r (t) — минерализация почвенного раствора, a 4f (t) -" поток" концентрации на поверхности почвогрунта х = 0.
Здесь следует отметить весьма важные исследования К.М. Магомедо-ва [28], Р. П. Мейланова [29], [30], A.M. Нахушева [31], В. А. Нахушевой [32], P.P. Нигматулина [33], Р. Ш. Нигматулина [34], посвященные реализации концепции фрактала в теории фильтрации в средах со сложной геометрической структурой порового пространства.
Глубоко содержательные исследования по применению операции дробного интегро-дифференцирования постоянного и переменного порядков проведены в работах B.JI. Кобелева, Я. Л. Кобелевой, Л. Я. Кобелева и Е. П. Романова [35].
В третьей главе исследованы на корректность нелокальные начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений математических моделей движения грунтовых вод.
В § 3.1 в области Г2П = {{х, у): 0 < х < г, —пт < у < /3} рассматривается уравнение Лаврентьева-Бицадзе д2и (х, у) д2и (х, у) I.
•-^- +- = 0, 0 < х < г = (37) со следующими нелокальными и локальными начально-краевыми условиями: г.
Jи{х, y) dx = ii (y), 0 < у < {3 = Т — (38) о.
ЦО, у) = ФоЫ, и{г, у) = Фг{у), -и<�у<�р (39) и (х,/3) = h (x), и (х, -U) = hn (x), 0 < х < г. (40).
Здесь: п — целое число, у = t — х = и (х, у) = h (xy/c, y + ?"). vе предполагается, что горизонтальный водоупор непроницаеминфильтрация на единицу площади в единицу времени пренебрежительно мала (см. уравнение (26) — объект исследования.
Задача 3.1.1. Найти решение и (х, у) уравнения (37), удовлетворяющее условиям (38), (39) и (40), где ц (у), hn (x), h (x), Ф0(у), Фг (у) ~ заданные функции, fi (y) е С1[0,Р], Ф0{у)? С[—гп, 0], Фr (y) <Е С[-гп,/3], h{x) и hn (x) <Е C[0,r] .
Доказательство теорем единственности и существования решения задачи 3.1.1 существенно опирается на следующую лемму.
Лемма 3.1.1. Пусть существует решение и (х, у) задачи 3.1.1. Тогда для любой точки х? [0, г] п и (ж, 0) = ^2{ак[Фг{х — кг) + Ф0(-яг -{к- 1) г)] -к=1.
— ам[Фг (-х -(к- 1) г) + Ф0(х — Ат)]} + Я"(я), (41) где и (- / ~hn (г ~ ' 71 ~ 1 (mod 2)5 ПпКХ) — hn{x), п = 0 (mod 2).
Г 1, к = 1 (mod 2) — 0, к = 0(mod 2);
Теорема 3.1.1 единственности решения задачи 3.1.1 доказана с помощью леммы 3.1.1 с использованием свойств гармонических функций. Лемма 3.1.1 позволяет свести вопрос о существовании решения задачи 3.1.1 в эллиптической части f2+ смешанной области Qn к следующей новой нелокальной задаче для уравнения Лапласа.
Аи = 0. (42).
Задача 3.1.2. Найти регулярное в области Q+ и непрерывное в замыкании Г2+ решение и (х, у) уравнения (42), которое удовлетворяет условию гладкости jIL ec (|x|<�у</3), дх краевым условиям: и (г, у) = Ф, М,. = *(«), V у е]0,г[- х=г дх х=0 u (x,(3) = h (x), и (х, 0) = т (х), V хв [0,7-].
Справедлива.
Теорема 3.1.2. Пусть т (х)? С1[0,г]ГС2]0,г[, h (x)? С^О.г], ц (у)? с2[0,(3], Фг (у) € СЧО, 0 и т (г) = Фг (0), Л (г) = Фг (/?), т'(0) -т'(г) = рЩ.
Тогда существует решение задачи 3.1.2.
В этом параграфе разработан простой, но вместе с тем эффективный метод редукции нелокальной задачи 3.1.2 к двум локальным краевым задачам для гармонических функций, позволяющий построить конструктивную блок-схему поиска решения задач 3.1.2 и 3.1.1- для модельного случая, когда г = (3 = 1, Фг (?/) = 0, h{x) = 0 реализован и метод Фурье решения задачи 3.1.1 по схеме, предложенной Н. И. Ионкиным и Е. И. Моисеевым для уравнений параболического типа [36]. x=r %(v),.
В § 3.2 для уравнения (37) исследована эталонная видоизмененная начально-краевая задача 3.2.1, которая отличается от задачи 3.1.1 тем, что условие и (г, у) = Фг (у) в (39) заменено условием dh (x, y) дх где Фг (у) — закон изменения уклона потока грунтовых вод в точке х — т.
Задачи 3.1.1, 3.2.2 существенно отличаются от задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в прямоугольных областях, исследованной в работах Н. Н. Вахания [37], A.M. Нахушева [38] и М. М. Хачева [39].
Параграф 3.3 посвящен разработке алгоритма долгосрочного прогноза динамики грунтовых вод на базе уравнения Геллерстедта и начально-краевых условий: u (a-, 0) = т{х).
Ас диI • л, ди =0 при тф 0, — оуу=о ду при т = 0- у=о г 7 J u{x, y) dx = сут, ^ ^ = ф (у), Л = о.
Уравнение (43) — следствие уравнения (24) при у < 0.
Основная цель четвертой главы — разработка линейных математических моделей эволюции малых возмущений в каналах с пористыми и проницаемыми стенками.
В § 4.1 произведены выбор и анализ базовых уравнений модели распространения возмущений в полубесконечных каналах при наличии в них фильтрационньрс процессов через их плоскопараллельные проницаемые стенки.
Пусть с — скорость звука в жидкости, х — коэффициент пьезопровод-ности, т — пористость, h — высота канала, о2 =.
2 2 />ст h.
2Г>3/2, 2 д2.
3/2 = azDQ’t + — - cz-dt2 дх2.
Главное научное достижение этого параграфа — вывод базового уравнения.
Lzl2[u+{x, t)} = 0.
44) математической модели распространения волн давления р — u+{x, t) в каналах с плоскопараллельными стенками, заполненных жидкостью или газом.
В § 4.2 для нелокального волнового уравнения (44) доказаны теоремы единственности и существования решения следующей смешанной задачи.
Задача 4.2.1. В области D = {(x, t): 0 < х < г, 0 < t < Т} найти регулярное решение и = u (x, t) уравнения (44), удовлетворяющее условиям: u{0,t) = 0, u (r, t) = 0, VtG[0,T]- и (х, 0) = ф), = Vse]0,r[- обладающее тем свойством, что е Цо, т] для любого х > 0, ср (х) и — заданные функции, причем ср (х)? с2[о, г], Ффесчо,"-]:
Основным результатом § 4.2 являются:
Теорема 4.2.1. Задача 4.2.1 не имеет более одного решения. Теорема 4.2.2. Задача 4.2.1 имеет решение.
Первая теорема доказана методом энергетических неравенств и существенно опирается на теорему Нахушева о положительном операторе дробного интегро-дифференцирования порядка < 1, а вторая — методом Фурье.
В § 4.3 рассмотрен случай, когда скорость фильтрации v+ через стенки канала не зависит от точки х и меняется по следующему закону: h v+{x, t) = А2-—D%tu+(x0, t), 0 < xQ < г. (45).
2po.
Здесь po — плотность, отнесенная к невозмущенному состоянию, Xq — характерная точка среды, где реализуемо измерение давления u+(xo, t) в заданные моменты времени.
Гипотеза (45) приводит к существенно новому уравнению математической модели фильтрации с условием Коши: ~ c2? + (сА)2 t) = 0, (46) u (x, 0) = 0, ut (x, 0) = i/(x), (47) где v (x) — заданная функция из класса С1 [0,г].
Пусть x+ct.
K (x, t) = ± J i/KK, x—ct тогда t u (®0, 0 = t) — с2л2 j (t- 7])~a X x [—c2A2(? — t7)1e- 1-a] (48).
Формула (48) — основной научный результат § 4.3. Она позволяет свести задачу Коши (47) для уравнения (46) к этой же задаче для неоднородного одномерного волнового уравнения, является базовой при разработке эффективных аналитических и численных методов ее решения.
Центральное место в диссертации занимает пятая глава, посвященная исследованию качественных и структурных свойств математической. модели динамики микрометеорологического режима при орошении земель.
Объектом исследования в § 5.1 является математическая модель процесса трансформации полей температуры и влажности при стационарных условиях.
Метеорологический режим искусственно или естественно орошаемой земной поверхности евклидова пространства R3 точек (х, у, z) существенно отличается от режима окружающей неорошаемой территории. Влажность на поверхности Г20 и ее температура зависят от влажности v+ и ее температуры и+ в приземном слое 0 < z < h атмосферы.
При определенных, принадлежащих Д. П. Лайхтману [40] предположениях, когда характеристики метеорологического режима не зависят от времени, температура и+ = u+(z, x) и влажность v+ = v+(z, x) могут быть определены как решение следующей расщепленной системы дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка параболического типа: где к+ (z) и т+ (г) — коэффициент турбулентности и скорость, соответственно, на высоте z от поверхности П0.
Пусть v~ = v~ {z) — влажность, a u~ = u~ (z) — температура на неорошаемой территории fig > окружающей область Q0, или на самом массиве fio до орошения. Тогда функции и (z, х) = и+ (z, х) — и~ (z) и v (z, х) = v+ (z, х) — v~ (z) удовлетворяют уравнению.
51) и граничному условию ф, 0) = 0. (52).
В случае, когда h < 50 — 100 м, функции т+ (z) и к+ (z) можно по Лайхтману аппроксимировать степенными функциями и уравнение (51) переписать в виде mi z ди 1 д f zV с ди хZi) дх Kldzzi) dz' где mi и к — скорость ветра и турбулентность на характерной высоте zx от поверхности земли, е — положительное число меньше 1, <5 = const > 0.
Уравнение (53) относится к классу уравнений в частных производных параболического типа с вырождением порядка на линии z = 0.
В § 5.2 доказана пропорциональность турбулентного потока дробной производной от удельной влажности на деятельной поверхности по следующей схеме: 1. Пусть д.
1-е.
53) = kix.
2 ' rrilZl z2~pe2 = 1, р =.
6-e + l.
Тогда уравнение (53) эквивалентно уравнению Жевре дU d2U ^ di ~~ drf '.
54) где.
U = и&г,) = и L.
1/е rrh4 с 1 1? к,.
N (x) = -кх.
2. Пусть z 1-е ди ZiJ dz.
— турбулентный поток, Т (х) = и (0, х) — распределение субстанции и (z, х) на деятельной поверхности, ди.
2=0 дг) г,=0 г (0 — и т]=0'.
Тогда ко.
3. Пусть u (z, x) — регулярное при х > 0, z > 0 решение уравнения (53), удовлетворяющее условию (52) и обладающее тем свойством, что существуют dU. dU lim— = z/(?), lim— = r 0, v^o дт] rt-*о где и (?) и т (?) суммируемы на сегменте 0 <? < ?0 для любого ?0 > 0- т (0) = 0, lim и (z, х) = 0 для любой фиксированной точки х > 0. Тогда.
Z—?00 r (l-tt).
Г (а) + 2'.
При выводе связи (55) существенно использовано фундаментальное решение уравнения (54), впервые построенное Жевре. Ее можно получить и из формулы Келлера-Лайхтмана, которая выведено ими при дополнительном и весьма жестком предположении, что.
1-е.
КО = «= ГТ-^- (55).
Пусть теперь.
N+(x) = lim (-)1? Т+{х) = lim ^.
-*о дх' iV+(x) и ТЦя) € Ь[0,я0] для любого х0 > 0- Т+(0) = 0, v = удельная влажность, удовлетворяющая уравнению (53) при х > 0, z > 0 и lim v (z, x) = 0 для любой фиксированной точки х > 0. В этом же.
Z—УОО.
параграфе установлено, что.
N+(x) = kseDlT+ (f), (56) где.
1−2 q к. = ki.
4 5 + е +1' е qzj кгГ (9) ' В § 5.3 впервые дано представление турбулентного потока, удельной влажности и температуры на деятельной поверхности через функцию Миттаг-Леффлерав частности, строго доказано, что при граничных условиях:
Т+ (х) = АгТ {х) + Аа, A3N- (®) + A4TV+ (я?) + А5Т (®) = Аб с заданными характеристиками А^, j = 1,2,., 6 приземного слоя имеет место представление где /ь /з и, А однозначно определяются через Xj, Eq (z) = Ei/q (z- 1) -функция Миттаг-Деффлера.
Вывод формул вида (57) реализован методом редукции задачи к обыкновенным дифференциальным уравнениям дробного порядка.
Параграф 5.4 посвящен математическим моделям водопотребления и норм орошения. Здесь на основе качественных свойств функции Миттаг-Леффлера найдены эффективные точные и приближенные формулы для расчета суммарного водопотребления и норм орошения.
В последнем параграфе 5.5 главы 5 проведен качественный и сравнительный анализ математической модели динамики микрометеорологического режима при орошении и формул Лайхтмана, а также соответствующих им интегро-дифференциальных уравнений. Найдены формулы, уточняющие формулы для вычисления функции Xq (x) — v (0,x). Показано, что она удовлетворяет дифференциальному уравнению дробного порядка и представима в виде где Xi и Х2 ~ постоянные положительные величины, зависящие от параметров граничных условий.
Заключение
содержит выводы из проведенного научного исследования и вытекающие из него рекомендации, изложение в компактной форме сущности основных научных достижений автора, а также вспомогательные научные результаты, которые могут представлять самостоятельный интерес и в других областях знаний, например, в математической биологии, газовой динамике смешанных течений, при разработке математического и программного обеспечения САПР оросительных систем и систем магистральных водопроводов для сельскохозяйственного водообес-печения. В нем отмечается, что основные положения и выводы диссертации прошли апробацию на 24 научных мероприятиях, в том числе на 14 международных научных конференциях и симпозиумах, на III и IV Всероссийских симпозиумах «Математическое моделирование и компьютерные технологии», «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в естественных и гуманитарных науках» — на Всерос.
T (x) = f3Eq (x".
57) сийской научной конференции «Математическое моделирование в научных исследованиях» — Четвертом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математикена десятой Всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» — на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения», «Современные методы в теории краевых задач» в 1999 и 2001 годах.
Заключение
.
В диссертации решена проблема выхода за рамки традиционных математических моделей, базирующихся на локальных дифференциальных уравнениях и соответствующие им локальные начально-краевые задачи, которые, как правило, не гарантируют приемлемой адекватности реалии в случае систем с фрактальной структурой и (или) памятью. Научно обоснованно, что выход состоит в разработке на базе концепции фрактала, элементов дробного исчисления и пространственно-временной нелокальности математических моделей, учитывающих фрактальную во времени и в пространстве природу нелинейных явлений и процессов, самоподобие фрактальных систем.
Достигнута главная цель исследования, сформулированная во введении. Разработаны принципиально новые компьютерно реализуемые и разного уровня прогностической значимости нелокальные математические модели процессов переноса в водоносных системах с распределенными параметрами и фрактальной структурой:
1. Создана нелокальная математическая модель движения грунтовых вод, в основе которой лежит обобщенное нагруженное дифференциальное уравнение Буссинеска с дробной производной по времени, и предложены методы ее линеаризации, приводящие к интегральным граничным условиям типа условия Самарского.
2. Проведен структурный и качественный анализ математических моделей движения грунтовых вод и почвенной влаги, учитывающих явления последействия и основанных на волновом уравнении, уравнении смешанного эллшггико-гиперболического и параболо-гиперболического типов, уравнении фрактальной диффузии. Предложены конструктивные и высокой точности алгоритмы их компьютерной реализации, учитывающие дискретные эквиваленты необходимых краевых и внутреннекраевых условий типа фундаментального принципа среднего для волнового уравнения [42. С. 165] и уравнения Лапласа, когда приближенное значение гармонической функции в произвольном узле прямоугольной сетки должно совпадать со средним арифметическим значением, принимаемых ее в четырех «соседних» узлах [88. С. 323].
3. Исследованы на корректность эталонные нелокальные смешанные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных математических моделей движения грунтовых вод и почвенного раствора. Разработан алгоритм долгосрочного прогноза динамики грунтовых вод, проблемно-ориентированный на использование в составе математического обеспечения САПР оросительных систем и систем магистральных водопроводов для сельскохозяйственного водоснабжения.
4. Исследованы качественные свойства математической модели эволюции малых возмущений в каналах с пористыми и проницаемыми стенками, основанной на нелокальном волновом уравнении с дробной производной в смысле РиманагЛиувилля. Разработан алгоритм теоретического поиска необходимых нелокальных краевых условий. Реализован вывод нелокальных краевых условий, порождаемых методом линеаризации уравнения безнапорного движения грунтовых вод.
5. Исследованы качественные и структурные свойства линейной математической модели пространственно-временной динамики микрометео рологического режима при мелиорации земель. Доказана пропорциональность турбулентного потока дробной производной от удельной влажности и температуры на деятельной поверхности земли и найдены эффективные формулы их вычисления с помощью функции типа Миттаг-Леффлера.
6. Разработаны эффективные и компьютерно реализуемые линейные математические модели движения грунтовых вод, динамики микрометеорологического режима при мелиорации земель.
В диссертации помимо этих шести выносимых на защиту основных результатов содержится и ряд новых положений, вспомогательных утверждений и понятий, которые могут представлять самостоятельный интерес и в других областях знаний, например, в математической биологии, газовой динамике смешанных течений и геофизике. В частности, к таким относятся:
1. Экстремальные свойства линейных математических моделей процесса движения грунтовых BOflt в основе которых лежит весьма важное в газовой динамике околозвуковых течений уравнение Лаврентьева-Бицадзе [89]- утверждение о том, что нелинейность этого процесса проявляется через некорректность по Адамару задачи Коши в локальной постановке для уравнения Лапласа.
2. Положение о том, что для широких классов почв, включающих почвы типа Гарднера, коэффициент диффузитивности как функция влажности меняется по логистической кривой и процесс движения влаги происходит в субдиффузионном режиме, имеет фрактальную во времени природу, подобен модели макроскопического движения при стохастическом переносе.
3. Установление непосредственной связи уравнения Лайхтмана с уравнением Жевре и дано представление турбулентного потока через функцию Миттаг-Леффлера.
4. Вывод точных и приближенных формул для расчета суммарного водопотребления и норм орошения и сравнительный анализ математической модели динамики микрометеорологического режима при орошении больших площадей и формул Лайхтмана.
5. Развитие и обоснование положения о том, что в случае горизонтального водонепроницаемого водоупора среднее интегральное значение уровня, грунтовых вод представляет собой решение уравнения Риккати и его подъем и падение происходит по кривой, близкой к логистической.
Хорошо известна роль подсистемы «Уравнения и солевой прогноз» в системах автоматизированного проектирования оросительных систем и систем магистральных водопроводов для сельскохозяйственного водо-обеспечения. Основные результаты диссертации, связанные с математическими моделями динамики грунтовых вод, процессов солевлагопере-носа в почвогрунтах, могут стать фундаментальной основой развития математического и программного обеспечений этой подсистемы. В подсистеме «Режим орошения и водопотребления» САПР водохозяйственных систем (например, САПР Севкавгипроводхоза) аналогичную роль могут сыграть математические модели микрометеорологического режима при орошении, исследованные в пятой главе диссертации.
Основные положения и выводы диссертации были предметом систематического обсуждения на еженедельных заседаниях научно-исследовательского семинара по современному анализу и информатике Института прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук и прошли апробацию на следующих научных и научно-технических мероприятиях:
1. Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава СевКавГТУ (Ставрополь, 1992 г.);
2. Первая Международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (Нальчик, 1996 г.);
3. Третья Международная конференция «Математика, компьютер, образование» (Москва, 1996 г.);
4. Международная конференция «Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы» (Стерлитамак, 1998 г.);
5. Международная конференция «Воздействие интенсивных потоков на вещество» (Терскол, 1999 г.);
6. Третья региональная научно-техническая конференция «Вузовская наука — Северо-Кавказскому региону» (Ставрополь, 1999 г.);
7. Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава СевКавГТУ (Ставрополь, 1999 г.);
8. Международная конференция «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений. AMADE» (Минск, 1999 г.);
9. Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения» «Современные методы в теории краевых задач» (Воронеж, 1999 г.);
10. Третий Всероссийский симпозиум «Математическое моделироваг ние и компьютерные технологии», «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в естественных и гуманитарных науках» .
Кисловодск, 1999 г.);
11. Девятый Международный симпозиум «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (Орел, 2000 г.);
12. Четвертый Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии», «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в естественных и гуманитарных науках» (Кисловодск, 2000 г.);
13. Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование в научных исследованиях» (Ставрополь, 2000 г.);
14. Четвертый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ДОГОРИМ) (Новосибирск, 2000 г.);
15. Международная конференция «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений. AMADE» (Минск, 2001 г.);
16. Международная конференция «Новые подходы к решению дифференциальных уравнений» (Дрогобычи, 2001 г.);
17. Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения» «Современные методы в теории краевых задач» (Воронеж, 2001 г.);
18. Международная конференция «Математическое моделирование, статистика и информатика в современном управлении экономикой» (Самара, 2001 г.);
19. Вторая Международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (Нальчик, 2001 г.);
20. Десятая Международная конференция «Математика. Экономика. Образование» (Ростов-на-Дону, 2002 г.);
21. Четвертая Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (Санкт-Петербург, 2002 г.);
22. Российско-Узбекский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик-Эльбрус, 2003 г.);
23. Международная конференция «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений. AMADE» (Минск, 2003 г.);
24. Десятая Всероссийская школа-семинар «Современные проблемы математического моделирования» (Ростов-на-Дону, 2003 г.).
Формула (5.2.11), устанавливающая пропорциональность турбулентного потока дробной производной от удельной влажности на деятельной поверхности земли, прошла особую апробацию: она вошла в монографию A.M. Нахушева [8. С. 265].
В заключение отметим монографии [9], [90] -[95] и работы [96]—[101], посвященные краевым задачам для уравнений параболо-гиперболического типа и некоторым их приложениям к задачам распространения электрических колебаний в составных линиях и теплопереноса в системе, составленной из двух стержнейразвитию метода уравнений в частных производных смешанного типа как одного из конструктивных способов математического моделирования физических процессов и явлений в составных (смешанных) средах. «.
