Π ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²
ΠΠ°Π½Π½Π°Ρ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ. ΠΡΠΈΠΌ ΠΎΠ½Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ. ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ Π΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π°, Π° Π΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ — ΡΠ΅ΡΠ΅Π· f. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ, ΡΠΎ domf=codf=a, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Π΄Π²Π° ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ°Π΅Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ. Π Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½. Π£ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
Π ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
ΠΠΠΠΠ‘Π’ΠΠ Π‘Π’ΠΠ ΠΠΠ ΠΠΠΠΠΠΠΠ― Π ΠΠ‘Π‘ΠΠΠ‘ΠΠΠ Π€ΠΠΠΠ ΠΠ¦ΠΠ
ΠΠ―Π’Π‘ΠΠΠ ΠΠΠ‘Π£ΠΠΠ Π‘Π’ΠΠΠΠΠ«Π ΠΠ£ΠΠΠΠΠ’ΠΠ ΠΠ«Π
Π£ΠΠΠΠΠ Π‘ΠΠ’ΠΠ’
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ°ΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Ρ ΠΠ°ΡΠ΅Π΄ΡΠ° Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΡΠΏΡΡΠΊΠ½Π°Ρ ΠΊΠ²Π°Π»ΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½Π°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°
Π ΠΠΠ’ΠΠΠΠ ΠΠ ΠΠΠΠΠΠ‘Π’Π
ΠΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ»Π° ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠΊΠ° V ΠΊΡΡΡΠ° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ°
ΠΠ΄Π΅Π³ΠΎΠ²Π° Π.Π.
/ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΈΡΡ/
ΠΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»Ρ:
ΠΠΎΠΊΡΠΎΡ Ρ.-ΠΌ.Π½., ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΎΡ ΠΠ΅ΡΡΠΎΠΌΠΎΠ² Π.Π.
/ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΈΡΡ/
Π Π΅ΡΠ΅Π½Π·Π΅Π½Ρ: ΠΊΠ°Π½Π΄ΠΈΡΠ°Ρ Ρ.-ΠΌ.Π½., Π΄ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π§Π΅ΡΠΌΠ½ΡΡ Π.Π.
/ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΈΡΡ/
ΠΠΎΠΏΡΡΠ΅Π½ ΠΊ Π·Π°ΡΠΈΡΠ΅ Π² ΠΠΠ ΠΠ°Π². ΠΊΠ°ΡΠ΅Π΄ΡΠΎΠΉ ΠΠ΅ΡΡΠΎΠΌΠΎΠ² Π.Π.
(ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΈΡΡ)
2003 Π³.
ΠΠ΅ΠΊΠ°Π½ ΡΠ°ΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ° ΠΠ°ΡΠ°Π½ΠΊΠΈΠ½Π° Π.Π.
(ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΈΡΡ)
2003 Π³.
ΠΠΈΡΠΎΠ², 2003 Π³.
Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
3
- 1 ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΉ 4
- 1.1. ΠΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ 6
- 1.2. ΠΠΏΠΈΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ 7
- 1.3. ΠΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ 8
- 1.5. ΠΠ°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ 10
- 1.6. ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ 10
- 1.7. ΠΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ 11
- 1.8. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ 12
- 1.9. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ 15
- 1.10. ΠΠΎΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ² 18
- 2 ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠ― ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² 19
- 2.1. ΠΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² 20
- 2.2. ΠΠΏΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² 21
- 2.3. ΠΠ°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² 23
- 2.4. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² 23
- 2.5. ΠΠΎΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² 24
- 3 ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΉ 24
- 3.1. ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ 1 24
- 3.2. ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ 2 25
- 3.3. ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ 3 25
- 3.4. ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° 26
- 3.5. ΠΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ 26
- 3.6. ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ N 27
ΠΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ°
28
Π‘Π΅ΠΉΡΠ°Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΎΡΡΠ°ΡΠ»ΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠΊΠΎ-ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ΅ΡΠΎΠΌΠ½Π΅Π½Π½ΠΎ, ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² ΡΡΠ³ΡΠ°Π»Π° ΠΎΠ³ΡΠΎΠΌΠ½ΡΡ ΡΠΎΠ»Ρ Π² ΡΠ°Π·Π²ΠΈΡΠΈΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ. Π£ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΈΠΌΡΡΠ΅ΡΡΠ², Π½ΠΎ Π² ΡΡΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ Π½Π΅ ΠΎΠ± ΡΡΠΎΠΌ. Π Π°Π·Π²ΠΈΡΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΉ. Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ «ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΉ». ΠΡΠΎ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΈ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π° ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ². ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΌΡΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°, Π½ΠΎ Π½Π΅Ρ ΡΠΆΠ΅ ΡΠ²Π΅ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΈ Π² Π±ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΠΈΡ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ. ΠΠ΅Π· ΡΠΎΠΌΠ½Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΠ·ΡΠΊ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² ΠΎΡΡΠ°Π½Π΅ΡΡΡ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΌ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ Π² ΡΠ΅Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ , ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π΄ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ². ΠΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΡΠ»ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΈΠΌΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΈΠ»Ρ ΠΏΠΎΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Ρ.
Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π²Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΉ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ — ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ². Π ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°Π³ΡΠ°ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΉ. ΠΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΈ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°Π³ΡΠ°ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ². Π’Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΉ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΡΡΡΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π² ΡΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ. ΠΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠΈΡΡΡΡΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΉ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ².
Π ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°Π³ΡΠ°ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΉ. Π’Π΅ΠΌ ΡΠ°ΠΌΡΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΉ.
Π’Π΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΉ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° Π² ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π°Ρ [1]-[4].1 ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΉ
ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΡΠΈΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ — Π΅ΡΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ°ΠΌΠΈ. Π’ΠΎΡΠ½Π΅Π΅, ΡΡΠΎ — ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅, ΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ΅Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ.
ΠΡΠ»ΠΈ, Π — ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f, Π° Π — ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡΠ΅Π΅ Π²ΡΠ΅ f-ΠΎΠ±ΡΠ°Π·Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈΠ· Π, ΡΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ, ΡΡΠΎ f ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°, Π Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π. ΠΡΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΡ f: AB.
ΠΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ, Π Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π — ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
Π ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΉ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠ»ΠΎΠ²Π° «ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ» ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π½Π΅ΠΉΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎ «ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°» (Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎ «ΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ»).
ΠΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°:
1. C ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Π΄Π²Π° ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° — Π΅Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ.
2. ΠΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌ βΉ g, βΊ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ (ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ) ΠΈ Π΄Π°Π΅Ρ Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ g?, ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ.
3. Π‘ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π° ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ, ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ, ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ°.
ΠΡΠ°ΠΊ, Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ.
ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ Π© Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ Π² ΡΠ΅Π±Ρ:
1) Π‘ΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ², Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ Π© — ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ°ΠΌΠΈ
2) Π‘ΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ², Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ Π©-ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°ΠΌΠΈ
3) ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ, ΡΡΠ°Π²ΡΡΠΈΠ΅ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π©-ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ΅ f Π©-ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ dom f (Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ f) ΠΈ Π©-ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ cod f (ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ f). Π’ΠΎ, ΡΡΠΎ Π°=domf ΠΈ b=cod f ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ: f: ab
4) ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ, ΡΡΠ°Π²ΡΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ΅ βΉ g, βΊ Π©-ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ Ρ dom g=cod f Π©-ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ g?, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ f ΠΈ g, Ρ dom (g?)=dom f ΠΈ cod (g?)=cod g, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅:
Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ:
ΠΏΡΡΡΡ f: ab
g: bc
h: cd
ΡΠΎΠ³Π΄Π° h ?(g?)= (h ?g)?.
ΠΠ°ΠΊΠΎΠ½ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° Π²ΠΈΠ΄Π° ;
— ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½Π°.
(Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΉ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠΌ ΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠ΅ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ. ΠΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° — ΡΡΠΎ ΡΡ Π΅ΠΌΠ°, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ ΠΈ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ, Π»ΡΠ±ΡΠ΅ Π΄Π²Π° ΠΏΡΡΠΈ, Π²Π΅Π΄ΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°ΠΌ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° Π² Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ, ΡΠ°Π²Π½Ρ. ΠΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΡΠ΅ΠΉ ΠΎΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° ΠΊ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌΡ, ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΠΈ ΡΠΎΠΌΡ ΠΆΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ. Π’ΠΎΡΠ½Π΅Π΅: Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΡΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ, ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ, ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½Ρ. ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π»ΡΠ±ΡΠ΅ Π΄Π²Π° ΠΏΡΡΠΈ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ, Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈ ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ ΠΈ Π·Π°ΠΊΠ°Π½ΡΠΈΠ²Π°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈ ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅, Π·Π°Π΄Π°ΡΡ Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΈ ΡΡ ΠΆΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. ΠΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΉ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.)
5) Π‘ΠΎΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ Π©-ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ b Π©-ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ 1b: bb, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ ΠΠ°ΠΊΠΎΠ½ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°:
Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ Π©-ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ f: ab ΠΈ g: bc 1b ?f=f ΠΈ g?1b =g, Ρ. Π΅. ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°
1.1. ΠΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: Π‘ΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° f: ab Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Π© Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ Π² Π©, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΡ g, h: ca Π©-ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ ΠΈΠ· ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° f g=f h ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ g=h.
Β· Π ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ gf ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ f, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ g ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½Ρ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ:
ΠΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ:
Π‘ΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° gf: ac ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ l, m: ba Π΅ΡΠ»ΠΈ (gf)l=(gf)m, ΡΠΎ l=m. ΠΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΌ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ. ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ, Ρ. Π΅. (gf)l=(gf)m. Π Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π΅Π³ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ: g (fl)=g (fm).
g — ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° f l=f m
f — ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° l=m, ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ.
Β· Π ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ g f — ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½Π°, ΡΠΎ ΠΈ f — ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½Π°.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ: ΠΏΡΡΡΡ f: ab
g: bd,
l, m: ca
f — ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½Π°, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ· ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° f l=f m ()ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ l=m.
ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ.(ΡΠΌ. Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ). Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ, ΡΡΠΎ domg = cod (f l) = cod (f m), ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Ρ () ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ g. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ g (f l)=g (f m). ΠΠ°Π»Π΅Π΅, ΠΏΠΎ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ:
(gf)l=(gf)m.
gf — ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° l=m, ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ.
1.2. ΠΠΏΠΈΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: Π‘ΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° f: ab Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΏΠΈΠΌΠΎΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΏΠΈΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Π©, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ g, h: bc ΠΈΠ· ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° gf=hf ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ g=h, Ρ. Π΅. Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΡΠΎ g=h.
Β· ΠΡΠ»ΠΈ gΒ°f-ΡΠΏΠΈΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°, ΡΠΎ g— ΡΠΏΠΈΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ: ΠΏΡΡΡΡ f: ab
g: bc,
l, m: cd
g — ΡΠΏΠΈΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ· ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° l g=m g ()ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ l=m.
ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ.(ΡΠΌ. Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ). Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ, ΡΡΠΎ codf = dom (l g) = dom (m g), ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Ρ () ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ f. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ (l g)Β°f=(m g)Β°f. ΠΠ°Π»Π΅Π΅, ΠΏΠΎ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ:
l (gf)=m (gf).
gf — ΡΠΏΠΈΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° l=m, ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ.
1.3. ΠΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° f: ab Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠΌΠΎΠΉ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Π© ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π©ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° g: ba, ΡΠ°ΠΊΠ°Ρ, ΡΡΠΎ gf=1a ΠΈ fg=1b. ΠΠ° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ ΡΠ°ΠΊΠ°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π°. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π΅ΡΡ ΠΎΠ΄Π½Π° ΡΠ°ΠΊΠ°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° g', ΡΠΎ g'=1ag'=(gf)g'=g (fg')=g1b=g. Π‘ΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° g, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½Π° ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ f ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ f -1:ba. ΠΠ½Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌΠΈ: f -1f=1a, f f -1=1b .
Β· ΠΡΠ±Π°Ρ ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΏΠΈΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ: ΠΏΡΡΡΡ f: ab — ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°, ΠΈ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ g, h: bc.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° g f=h f ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ f -1. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° g = g 1b = g (f f-1) =(Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ)= (g f) f-1 = (hf)f-1=h (f f -1)=h 1b=h. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, f — ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠΈΠΌΠ° ΡΠΏΡΠ°Π²Π°. Π§.Ρ.Π΄.
Β· ΠΡΠ±Π°Ρ ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ. (Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌΡ).
Β· ΠΡΠ±Π°Ρ ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π±ΠΈΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ (ΡΠΏΠΈ ΠΈ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ).
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ: ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ· ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ.
Β· ΠΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ: ΠΡΡΡΡ f: aa — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°. Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° f —1: aa ΠΈ f —1 f=1a, f f —1=1a. f — ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°. Π§.Ρ.Π΄.
Β· ΠΡΠ»ΠΈ f — ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°, ΡΠΎ f —1 — ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ: ΠΏΡΡΡΡ f: ab — ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° f —1: ba. f — ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° f f —1=1b, f —1 f=1a. f —1 — ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°. Π§.Ρ.Π΄.
Β· ΠΡΠ»ΠΈ f, g — ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ, ΡΠΎ f g — ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°, ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ (f g)— 1 = g-1f- 1
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ: ΠΏΡΡΡΡ f: bc, g: ab. f g: ac. f, gΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ f —1: cb ΠΈ g —1: ba g —1f —1 :ca. ΠΡΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ «ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ·ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ» Π½Π° ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΊ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ΅ f g. ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΠΌ ΡΡΠΎ:
1) (g —1f —1)(f g)=(Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ)=g —1(f —1f g)=g-1(1bg)=g-1 g=1a.
2) (f g) g -1 f —1=f (g g —1f —1)=f (1bf —1)=f f —1=1c.
fgΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΠΈ (f g)-1=g —1f —1 .Π§.Ρ.Π΄.
1.4. ΠΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ a ΠΈ b Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π² Π© (ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ab), Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π© — ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° f: ab, ΡΠ²Π»ΡΡΡΠ°ΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ Π² Π©, Ρ. Π΅. f: ab.
Β· ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ Π© — ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ:
1) aa
2) Π΅ΡΠ»ΠΈ ab, ΡΠΎ ba
3) Π΅ΡΠ»ΠΈ ab ΠΈ bΡ, ΡΠΎ ac
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ:
1) Π² Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° 1a: aa (ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ). ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ (Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π²ΡΡΠ΅). ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ aa (ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ²).
2) ab f: ab ΠΈ f — ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° f —1: ba (ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ). Π Π°Π½Π΅Π΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ f — ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°, ΡΠΎ ΠΈ f —1 — ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°. Π’. Π΅. f —1: ba — ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ba (ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ²).
3) ab f: ab — ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°.
bΡ g: bc — ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°.
Dom g=cod f g f: ac ΠΈ g f — ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° (Ρ.ΠΊ.f ΠΈ g — ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ (Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π²ΡΡΠ΅)). Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ac, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ t: ac. ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ t ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ g f. Π§.Ρ.Π΄.
1.5. ΠΠ°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ 0 Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Π©, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ°, Π° ΠΈΠ· Π© ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° Π© — ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΠΈΠ· 0 Π² Π°.
Β· ΠΡΠ±ΡΠ΅ Π΄Π²Π° Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½Ρ Π² Π©.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ:
ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ 0 ΠΈ 0'- Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ. Π’ΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ 00'. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ 00'.
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ f: 0'0 (Ρ.ΠΊ.0' - Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ) ΠΈ g: 00' (Ρ.ΠΊ. 0 — Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ). Dom f=cod g f g: 00. 0 — Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ ! ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° 00. ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π© — ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° 10: 00 ΠΈ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° f g:00 ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° g f:0'0' ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠΎ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ 10'. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° g ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ (Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ f), Ρ. Π΅. g: 00'. Π§.Ρ.Π΄.
1.6. ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ°Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ 1 Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΌ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Π©, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π© — ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ°, Π° ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΠΈΠ·, Π° Π² 1.
Β· ΠΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½Ρ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ:
ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ 1 ΠΈ 1' - ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ. Π’ΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ 11'. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Π΄ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ 11'.
ΠΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ 1 — ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ! f: 1'1 (ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ°).
ΠΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ 1' - ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ! g:11' (ΠΏΠΎ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π΅). Dom f=cod g f g :11.
1 — ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ. f g: 11 — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ.
Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° 11:11. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ f g=11. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, g f=11'. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π΄Π»Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ g Π½Π°ΡΠ»Π°ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ (Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ f), Ρ. Π΅.g: 11'. Π§.Ρ.Π΄.
Β· Π‘ΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° f:1a — ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½Π°.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ:
F: 1a — ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½Π°, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ g, h: b1 ΠΈΠ· ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ f g=f h ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ g=h. ΠΠΎ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ°, ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° b1. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ g ΠΈ h ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π°Π²ΡΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ.
1.7. ΠΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΏΠΈΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ «ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ». Π’ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ². ΠΡΠΈ Π΄Π²Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π΄Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΉ.
ΠΡΠ»ΠΈ — ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ·ΡΠΊΠ°, ΡΠΎ Π΄Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΎΡ Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΈΠ· Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΉ «dom» Π½Π° «cod», «cod» Π½Π°"dom" ΠΈ «h=g f» Π½Π° «h=f g». Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π²ΡΠ΅ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠΈ, Π²Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ Π², ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΠ½ΡΡΡ Π² ΠΎΡ Π² Π΄ΡΡΠ³ΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ. ΠΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅, ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΊ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ, ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌΡ. ΠΠ»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Π© ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π΄Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ Π©ΠΎΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ.
ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Π© ΠΈ Π©ΠΎΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈ ΠΈ ΡΠ΅ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ. ΠΠ»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ f: ab Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π©ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ fop:ba (ΡΠ²ΠΎΡ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ f). Π’Π°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌΡΠ΅ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ ΠΈΡΡΠ΅ΡΠΏΡΠ²Π°ΡΡ Π²ΡΠ΅ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Π©ΠΎΡ. ΠΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ fopgop ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π² Π© ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ gf ΠΈ fopgop=(gf)op. Dom fop=cod f ΠΈ codfop=dom f.
ΠΠΎΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΡ, Π΄Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΊ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊ Π΄Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΈΡΡΠΈΠ½Π½ΠΎ Π² Π©, ΡΠΎ ΠΎΡ ΠΈΡΡΠΈΠ½Π½ΠΎ Π² Π©ΠΎΡ. Π’.ΠΎ. ΠΈΠ· ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΡΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ Π΄Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ Π΄Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ² Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅. Π’Π°ΠΊ, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π², ΡΡΠΎ Π΄Π²Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½Ρ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠ°Π·Ρ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π΄Π²Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½Ρ.
1.8. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ°ΠΊ ΠΎΡ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²
Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ. ΠΠ΅ΡΠΆΠ΅Π»ΠΈ ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ Π±Π΅Π· ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-ΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°Ρ?
ΠΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ. Π‘ΠΏΠΎΡΠΎΠ±, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°ΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°Ρ, Π΄Π°ΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π²ΡΡΡΠ½ΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΡ Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΉ.
ΠΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²Π° ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ (ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ) ΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ, .
ΠΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ, ΡΡΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ Π΅ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π‘ Ρ ΠΏΠ°ΡΠΎΠΉ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ f: CA, g: CB. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ p: C ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ p (x)=,
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° pΠ(p (x))=f (x) ΠΈ pB(p (x))=g (x) Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ Π‘. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, pAp=f ΠΈ pBp=g, Ρ. Π΅. ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Π°Ρ Π²ΡΡΠ΅ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½Π°. ΠΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, p ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ° Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½Π°. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ p (x)=y, z, ΡΠΎ Π² ΡΠΈΠ»Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ pAp=f Π±ΡΠ΄Π΅Ρ pA(p (x))=f (x), Ρ. Π΅. y=f (x). ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ pBp=g, ΡΠΎ z=g (x).
ΠΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ p, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎ f ΠΈ g, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· f, g ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ f ΠΈ g.
ΠΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»ΡΠΆΠ°Ρ ΠΌΠΎΡΠΈΠ²ΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Π© Π΄Π²ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ² a ΠΈ b Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π©-ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΠΌΡΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π·, Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ ΠΏΠ°ΡΠΎΠΉ (pra:a, prb:b) Π©ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ, ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΡ (f:ca, g: cb) Π©ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°: c, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½Π°, Ρ. Π΅. pra=f ΠΈ prb=g. Π‘ΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ f ΠΈ g ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ pra, prb.
Β· <pra,prb>=1.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ: ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΡ Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ΅.(ΡΠΎΡΠ½Π΅Π΅ Π»Π΅Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°). ΠΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° a, prb> ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ. Π ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° (ΡΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Π² ΡΠ΅Π±Ρ). ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΈ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ. Π§.Ρ.Π΄.
Β· ΠΡΠ»ΠΈ <f,g>=<k,h>, ΡΠΎ f=k ΠΈ g=h.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ: ΡΠ°Π·Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌΡΡ Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ.
a) Π‘ΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡdomf=domg. ΠΡΡΡΡ f: ca, g: cb. ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°: c.
b) Π‘ΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠΎ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ. dom=dom=c, cod=cod=. ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ k, h ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ domk=domh=c, Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ°Ρ a ΠΈ b.
c) ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ k: cb, h: ca. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊ, ΡΠΎ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°: c. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡ.
d) ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ k: cb, h: ca. ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½Ρ: k: ca, h: cb. Π·Π½Π°ΡΠΈΡ f=k, g=h. Π§.Ρ.Π΄.
Β· h, gh>=h
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ: ΠΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°. ΠΠΎ-ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ : ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ. ΠΠ· ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ domf=codh ΠΈ domg=codh, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ dom=codh. Π’. Π΅. ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ f, g, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ. ΠΡΡΡΡ h: dc, g: cb, f: ca. ΠΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΌ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ: ΡΡΠ° Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½Π°, Ρ. Π΅. prah=fh ΠΈ prbh=gh. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ fh, gh ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎ-ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° (ΠΎΠ½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π° ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ). Π ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ ΠΈ h.
1.9. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
ΠΠ»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠΊΠΎ-ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ f: AB ΠΈ g: CD ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠΉ: ΠΈ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: Π΅ΡΠ»ΠΈ f: ab ΠΈ g: cd — Π΄Π²Π΅ Π©-ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ, ΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ Π©-ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ .
Β·
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ: ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΡ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΎΠΉ. ΠΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° :, ΠΈ ΡΡΠ° ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°. Π ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ, Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°, Ρ. Π΅. ΡΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ Π² ΡΠ΅Π±Ρ. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ. Π§.Ρ.Π΄.
Β·
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ: Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ Π΄Π²ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ², Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ. Π Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ f:. ΠΠ»Ρ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π΄Π²Π΅ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ. ΠΡΡΡΡ g: ab, h: ba. ΡΠΎΠ³Π΄Π° :. ΠΡΠ° ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π° ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΌ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ.
Π ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠ° ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ΅. (ΡΡΠ° ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΡΠΎΠΆΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π° ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ). ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ ()():. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ ΠΈ — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Ρ, ΡΠΎ ΠΈ ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ Π΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°. Π ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ, ()()=. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ()()=. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ, ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ. (ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ²). Π§.Ρ.Π΄.
Β·
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ: Π΄Π»Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ.
Π‘ΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° :. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΡ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ (Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ), ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ. ΠΡΠ° ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ΅. (ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ). ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ — ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°.. Π§.Ρ.Π΄.
Β·
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ:
a) ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ, ΡΠΎ dom=cod.
b) Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°, ΡΠΎ domg=domk.
c) ΠΠ· ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ dom (fg)=dom (hk), domf=codg, domh=codk.
d) ΠΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΌ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ. ΠΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ: Ρ.
e) :Ρ. Π ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ² ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ. Π§.Ρ.Π΄.
1.10. ΠΠΎΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ²
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ², ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΊ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΊΠΎΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Π© Π΄Π²ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ² a ΠΈ b Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π©-ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΠΌΡΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· a+b, Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ ΠΏΠ°ΡΠΎΠΉ (ia:aa+b, ib:ba+b) -ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ, ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΡ (f:ac, g: bc) -ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° [f, g]: a+bc, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½Π°, Ρ. Π΅. [f, g]ia=f, [f, g]ib=g. Π‘ΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° [f, g] Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ f, g ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ ia ΠΈ ib.
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΡΠΉ ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠ½ΡΡ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠΉ. ΠΡ ΡΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΉ Π²ΠΎΡΡΠΎΠ·Π΄Π°Π΅Ρ ΠΌΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΈΠ΄Π΅ΠΉ ΠΈ Π² Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Π΅Ρ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΡΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΡ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ².
2 ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠ― ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²
ΠΡΡΡΡ S-ΠΊΠ»Π°ΡΡ Π²ΡΠ΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ², ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ Ρ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² Π² Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅.
f:A>B ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°, Π Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π.
ΠΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ f: A>B ΠΈ g: B>C, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ g Β°f:A>C, Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅: gΒ°f (a)=g (f (a)). ΠΡΠ° ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½Π°Ρ Π±ΠΈΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½Π° (ΡΠ°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°). ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊ:
Π΄Π°Π½Ρ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ f: A>B, g: B>C, h: C>D. hΒ°(gΒ°f)=(hΒ°g)Β°f. ΠΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ. ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ. ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌ Π»Π΅Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ: hΒ°(gΒ°f)(Π°)=hΒ°(gΒ°f (a))=hΒ°(g (f (a)))=h (g (f (a))). ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ: ((hΒ°g)Β°f)(Π°)=(hΒ°g)Β°f (a)=(hΒ°g)(f (a))=(hΒ°g (f (a)))=h (g (f (a))).Π»Π΅Π²Π°Ρ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ. hΒ°(gΒ°f)=(hΒ°g)Β°f.ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½Π°.
1Π:Π>Π, ΡΡΠΎ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°:
1) 1ΠΒ°g=g
2) hΒ°1A=h
ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² (ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ Set).
Π ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°, Π° ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°ΠΌΠΈ — Π²ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ. ΠΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°:
1. Π‘ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Π΄Π²Π° ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° — Π΅Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ.
2. ΠΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌ βΉ g, βΊ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ (ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ) ΠΈ Π΄Π°Π΅Ρ Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ g?, ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ.
3. Π‘ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π° ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ, ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ, ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ°.
2.1. ΠΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²
Β· Π ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Set (ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²) Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ f: A>B ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ:
1) fΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ
2) f-ΠΈΠ½ΡΠ΅ΠΊΡΠΈΡ
3) gΒ°f=1A Π΄Π»Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ g: B>A
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ: ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΡΠΈΠΊΠ»Ρ 1)>2)>3)>1)
1)>2): ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ f Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΡΠΌ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Ρ. Π΅. Π², Π ΠΈ f (a1)=f (a2)=b.
ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π΅ΠΏΡΡΡΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π‘ ΠΈ Π΄Π²Π° ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ u: C>A, v: C>A, ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ v ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π‘ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π² ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ Π°1Π, Π° ΠΏΡΠΈ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ u ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π‘ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π² ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ Π°2Π. ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ uv. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, Π½Π΅ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎ fΒ°u=b=fΒ°v. Π½ΠΎ f — ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½Π°u=v. ΠΡΠΈΡΠ»ΠΈ ΠΊ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡ, ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ fΠ½Π΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½Π°f — ΠΈΠ½ΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½Π°.
2)>3) ΠΡΡΡΡ f-ΠΈΠ½ΡΠ΅ΠΊΡΠΈΡ. ΠΠ»Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ g: B>A. Π·Π°Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ g ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ:
g (b)=
Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ gΒ°f=1A .
3)>1) Π² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ f: A>B, g: B>A, ΡΠΎ ΠΈΠ· ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ gΒ°f — ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ f-ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ. ΠΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ gΒ°f=1Π. ΠΡΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π»ΡΠ±Π°Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ. ΠΠ· Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΡΡΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ f — ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ.
2.2. ΠΠΏΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²
Β· Π ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Set (ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²) Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ f: A>B ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ:
1) fΡΠΏΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ, 2) f-ΡΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΡ, 3) fΒ°g=1B
Π΄Π»Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ g: B>A
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ:
Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΡΠΈΠΊΠ»Ρ 1)>2)>3)>1)
1)>2) ΠΏΡΡΡΡ f — ΡΠΏΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ f Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ «Π½Π°», Ρ. Π΅. Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ. (ImfB).
ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ b1BImf.
ΠΡΡΡΡ Π‘={b1,b2}. ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ u: B>C, ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅, ΡΡΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· Π ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π² b2. ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ v: B>C Π·Π°Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ u ΠΈ v Π½Π΅ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° uΒ°f=b=vΒ°f. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ f-ΡΠΏΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ (ΠΏΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ) u=v. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ f Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, f — ΡΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΡ.
2)>3) ΠΏΡΡΡΡ fΡΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΡ.
ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π· Π½Π΅ ΠΏΡΡΡ. ΠΠΎ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ΅ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠ°: ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ g: B>. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° f Β°g=1B. Π§.Ρ.Π΄.
3)>1) Π² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ f: A>B, g: B>A, ΡΠΎ ΠΈΠ· ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ gΒ°f — ΡΠΏΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ g-ΡΠΏΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ (Π΄ΠΎΠΊ-Π²ΠΎ ΡΠΌ. Π²ΡΡΠ΅). ΠΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ gΒ°f=1Π. ΠΡΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π»ΡΠ±Π°Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΏΠΈΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ. ΠΠ· Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΡΡΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ g — ΡΠΏΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ.
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅: Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Set ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ: f-Π±ΠΈΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°, f-Π±ΠΈΠ΅ΠΊΡΠΈΡ, f-ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ.
2.3. ΠΠ°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²
Π ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΡΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΡΡΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°. Π‘ΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΌΡΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΠ°ΡΡ (ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° ΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΠΏΡΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΡΡΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΠ°Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ.
ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ°ΠΌΠΈ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°. ΠΠ»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°, Π ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ f (x)=e ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f: A>{e}. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ e ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΡΠΎ ΡΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Set ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ². ΠΡΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ (ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½Ρ Π² Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ). ΠΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ {0}.
2.4. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²
Π ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ². ΠΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ. Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ — ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ pA(a, b)=a, pB(a, b)=b. ΠΡΡΠΌΠΎΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Ρ ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ: Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² Π, Π, Π‘ ΠΈ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ f: C>A ΠΈ g: C>B ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ h:, Π΄Π΅Π»Π°ΡΡΠ΅Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ (*) ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ.
ΠΠ΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎ h (c)=(f©, g (c)). ΠΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π±Π΅ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ² Π² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ.
Β· Π ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Set ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ² A ΠΈ Π ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΠΎ ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΌΡ (Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²Ρ) ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ².
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ: Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΌΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ h (c)=(f©, g (c)). ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ .
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ. ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ lΒ°h=1C, hΒ°l=. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, .
2.5. ΠΠΎΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²
Π ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Set ΠΊΠΎΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ², Π ΠΈ Π — ΡΡΠΎ ΠΈΡ Π΄ΠΈΠ·ΡΡΠ½ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π+Π, Ρ. Π΅. ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ², ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΡ , Π ΠΈ Π ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠΈΡ ΡΡ. Π’ΠΎΡΠ½Π΅Π΅, ΠΏΡΡΡΡ Π'={:aA}=A{0} ΠΈ B'={:bB}=B{1}. ΠΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π+Π=A'B'. ΠΈΠ½ΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ iΠ:ΠΠ+Π, iΠ:ΠΠ+Π ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ iA(a)=, iB(b)= ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ.
3 ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΉ
3.1. ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ 1
ΠΠ°Π½Π½Π°Ρ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ. ΠΡΠΈΠΌ ΠΎΠ½Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ. ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ Π΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π°, Π° Π΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ — ΡΠ΅ΡΠ΅Π· f. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ, ΡΠΎ domf=codf=a, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Π΄Π²Π° ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ°Π΅Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ. Π Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½. Π£ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°. ΠΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° f — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°, ΡΠΎ Π΅Ρ ΠΈ Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ. ΠΠ΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΠΎΠΉ, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠΈ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ° ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ fΒ°f=f. ΠΡΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 1af=f1a=ff=f, ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ f (ff)=(ff)f=f. Π’Π°ΠΊ ΠΌΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
3.2. ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ 2
ΠΡΠ° ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΄Π²Π° ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° ΠΈ ΡΡΠΈ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ ΠΈ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊ:
Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΠ°ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ² Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° 0 ΠΈ 1, Π° Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ — ΠΏΠ°ΡΡ <0,0>, <0,1> ΠΈ <1,1>. ΠΡΡΡΡ <0,0>:00,
<0,1>:01,
<1,1>:11.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° <0,0>=10 (Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° Π½Π° 0) ΠΈ <1,1>=11 (Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° Π½Π° 1). ΠΡΠΈ Π½Π°ΡΠΈΡ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΡ ΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ: 1010=10, <0,1>10=<0,1>, 11<0,1>=<0,1>, 1111=11. ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π° ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ.
3.3. ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ 3
ΠΡΠ° ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° ΠΈ ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ.
ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ: 0,1,2
ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ: <0,0>, <0,1>, <1,1>, <1,2>, <2,2>, <2,0>.
Π‘ΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ <0,0>,<1,1>,<2,2> - Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅.
ΠΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
1010=10, 1111=11, 1212=12, <0,1>10=<0,1>, 11<0,1>=<0,1>, <1,2>11=<1,2>, 12<1,2>=<1,2>, <2,0>12=<2,0>, 10<2,0>=<2,0>. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π° ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ.
3.4. ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°
ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π»ΡΠ±ΡΠ΅ Π΄Π²Π° ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° p ΠΈ q ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Ρ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ pq, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°. ΠΡΠ»ΠΈ Π — ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΡΠΎ Π½Π° Π½Π΅ΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ Π±ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ R:
R pq. ΠΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ R ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ:
2) ΡΠ΅ΡΠ»Π΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ (Π²ΡΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ ΠΈΠ· ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°)
3) ΡΡΠ°Π½Π·ΠΈΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ (Π²ΡΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ ΠΈΠ· ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° pq Π΄Π°Π΅Ρ Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠΈ ΡΠΎ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ qs ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ ps)
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°. ΠΠΎ Π² Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ Π΅ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Ρ Π°Π½ΡΠΈΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ pq ΠΈ qp, ΡΠΎ p=q. ΠΠ½ΡΠΈΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°. ΠΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ½Π°Ρ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ Ρ ΡΠ΅ΡΡΡΡΠΌΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°ΠΌΠΈ: Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ p>q ΠΈ q>p, Π½ΠΎ Ρq.
3.5. ΠΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ
ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ, Ρ. Π΅. ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ°. ΠΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π»ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½Π°Ρ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ ΡΡΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ². ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ X ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π²ΡΠ°ΡΠΈΡΡ Π² Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ, Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ xX.
3.6. ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ N
Π ΡΡΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠΎΠ²Π½ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΠΌΡΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· N. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ ΠΈΠ· N Π² N. ΠΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΠΌΠΈ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° 0,1,2,3…. ΠΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ N. ΠΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ (ΡΠΈΡΠ΅Π») m ΠΈ n Π΅ΡΡΡ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ mΒ°n=m+n. ΠΡΠ°ΠΊ, Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½Π° ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ°ΠΊΠΎΠ½ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ Π²ΡΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ ΠΈΠ· Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° 1N ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° N Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ 0. ΠΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½Π°, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 0+m=m n+0=n.
1. ΠΡΠΊΡΡ Π., ΠΠ΅Π»ΡΠ½Ρ Π.
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΉ ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². — Π.: ΠΠΈΡ, 1972.
2. ΠΠΎΠ»Π΄Π±Π»Π°Ρ Π . Π’ΠΎΠΏΠΎΡΡ. ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠ½ΡΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ. — Π.: ΠΠΈΡ, 1983.
3. Π‘ΠΊΠΎΡΠ½ΡΠΊΠΎΠ² Π. Π. ΠΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ. — Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 1983.
4. Π¦Π°Π»Π΅Π½ΠΊΠΎ Π. Π¨., Π¨ΡΠ»ΡΠ³Π΅ΠΉΡΠ΅Ρ Π. Π. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠΉ. — Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 1974.