Применение моделирования статистических игр в задаче оценивания параметра гипергеометрического распределения

В диссертации рассматривается теоретико-игровая модель задачи статистического оценивания параметра дискретного распределения вероятностей на примере гипергеометрического распределения, В рамках этого подхода статистические задачи точечного и интервального оценивания сводятся к статистическим играм, которые и решаются с помощью компьютерной системы минимаксного оценивания.

Уже П. Лаплас [50] и К. Гаусс [47] ясно понимали возможность игрового истолкования статистических задач. В дальнейшем идея применения теоретико-игрового подхода к решению статистических задач была развита в многообещающих работах А. Вальда [5], Д. Блекуэлла и М. Гиршика [1], Э. Лемана [21] и других статистиков-теоретиков. Однако широкого практического применения эти идеи до настоящего времени не получили и, по-видимому, не могли получить в силу ряда объективных взаимосвязанных причин, из которых можно выделить следующие три:

1) Построение теоретико-игровых моделей для конкретных статистических задач, связанное с конструированием пространства решений и выбором функции потерь, оказалось весьма не простым делом.

2) Неготовность (в частности, психологическая) к использованию рандомизированных решающих функций, поскольку таковыми оказываются оптимальные решающие функции, если Статистик не ограничивает себя выпуклыми функциями потерь.

3) Отсутствие быстродействующих компьютерных комплексов, позволяющих не только решать статистические задачи и находить рандомизированные решающие функции, но и формировать сами задачи.

После первых успехов в решении статистических игр (см. [1]) исследователи столкнулись с серьёзными трудностями, пути преодоления которых основывались как на развитии общей теории антагонистических, в частности матричных игр [30], так и с развитием линейного программирования, численные методы которого являются основным инструментом для решения матричных игр.

Среди многих статистических задач наиболее исследованы в классической математической статистике задачи точечного и интервального оценивания параметра семейства распределений. При этом среди дискретных распределений первое место всегда принадлежало биномиальному распределению. Успехи Ходжеса и Немана [49] во многом предопределили интерес статистиков к теоретико-игровому подходу. Ими была сформулирована и решена задача точечного оценивания параметра для квадратичной функции потерь. В дальнейшем статистики неоднократно обращались к полученному ими решению статистической игры, которое постоянно сравнивалось с классической точечной оценкой.

В той же работе Ходжеса и Лемана [49] были получены минимаксные точечные оценки для гипергеометрического распределения, которые также сравнивались с классическими точечными оценками. Статистики критиковали оценки Ходжеса-Лемана за то, что они слишком много уделяют внимания оценкам параметра в окрестности точки Уг. Автор показывает, что классические точечные оценки выделяются среди всех других точечных оценок только своей простотой. Для подтверждения этого тезиса рассматривается нелинейная оценка Луценко, эффективность которой сравнивается с классическими и минимаксными оценками.

Что касается интервального оценивания, то наиболее известными являются оценивающие биномиальную вероятность доверительные интервалы К. Клоппера и Е. Пирсона [42], Т. Стерна [52] и Е. Кроу [44]. Не удивительно поэтому, что первые попытки теоретико-игрового подхода (идейно подготовленные работами М. Дрешера [10] и H.H. Воробьёва [6]) к решению задач интервального оценивания параметров дискретных распределений, относятся к оцениванию биномиального параметра. При этом, если в первоначальной для указанного направления работе H.A. Никитиной [31] речь шла лишь о построении доверительного интервала по одному наблюдению, то методика, предложенная.

М.М. Луценко [22, 23], позволяет строить доверительные интервалы для биномиального параметра при любом объёме выборки методами динамического программирования.

В 1989 году Л. Б. Мерку лов и ч ж В. Г. Суздаль [29] разработали: метод, позволяющий сводить решение матричной статистической игры большой размерности к решению задачи линейного программирования с матрицей, размеры которой существенно меньше. Развитием этих работ в направлении их практического применения явилась созданная на кафедре «Высшая математика» 1ТГУМС под руководством М. М. Луценко компьютерная система минимаксного оценивания и проверки гипотез [24,27,28].

Первоначально эта система решала лишь некоторые задачи точечного и интервального оценивания биномиального параметра малой размерности. При развитии этой системы стало возможно формировать и решать задачи оценивания параметра гипергеометрического распределения [12]. Автором были добавлены подсистемы, позволяющие для гипергеометричесшш распределения строить:

1) Любые точечные оценки параметра и, в частности, классическую, Ходжеса-Лемана, нелинейную оценку Луценко;

2) Классические интервальные оценки (аналоги оценок Клоппера-Пирсона и Стерна-Кроу);

3) Минимаксные интервальные оценки для широкого круга доверительных областей.

В частности, автор и его научный руководитель построили доверительные интервалы фиксированной ширины для параметра гипергеометрического распределения [18], аналогичные соответствующим интервалам для биномиального параметра, построенным ранее в работе М. М. Луценко и С.Г. Мало-шевсшго [25]. Было показано, что минимаксные доверительные интервалы при заданных точности и надежности оценки требуют значительно меньшего числа наблюдений по сравнению с их классическими аналогами (подробнее результаты сравнения излагаются в главе 2 диссертации).

При сравнении классических точечных оценок и оценок, полученных на основе теоретико-игрового подхода (минимаксные оценки), появилось устойчивое мнение, что минимаксные оценки «выглядят не всегда разумными» [4, с, 77−78], поскольку минимаксная точечная оценка параметра биномиального (или гипергеометрического) распределения будет лучше классической тогда, когда объём выборки небольшой, а априорное распределение оцениваемого параметра сосредоточено в узкой окрестности 0 = Vi. Однако вошедший в главу 3 диссертации анализ точечной оценки, предложенной М. М. Луценко, показывает, что последняя оценка лучше классической в том же смысле, в каком классическая лучше оценки Ходжеса-JI емана.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложений и занимает 132 страницы м/т. Библиография содержит 54 наименования работ отечественных и зарубежных авторов,.

Результаты работы неоднократно докладывались автором на различных конференциях Москвы, Санкт-Петербурга и Пскова, в частности на международной конференции «Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества продукции «, подготовленной Центральным экономико-математическим институтом РАН, а также на различных научных семинарах в Санкт-Петербурге.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Работа посвящена исследованию теоретико-игровой модели задачи оценивания параметра гипергеометрического распределения.

Классические задачи точечного и интервального оценивания параметра гипергеометрического распределения представлены в форме статистических игр точечного и интервального оценивания Гр, где Р — семейство случайных величин, имеющих ги пер" соме три ческое распределение. Данная постановка задачи позволяет осуществлять единообразный подход к построению как точечных, так и интервальных оценок параметра для любых функций потерь.

Разработана процедура построения доверительных интервалов фиксированной ширины для параметра гипергеометрического распределения. Проведены сравнения доверительных интервалов фиксированной ширины, доверительных интервалов Клопнера-Пирсона и доверительных интервалов Стерна-Кроу, оценивающих параметры гипергеометрического и биномиального распределений. В результате подтвердились выводы о том, что интервалы Стерна-Кроу более точны, чем интервалы Клоппера-Пирсона, а длины всех рассматриваемых доверительных интервалов для параметра гипергеометрического распределения меньше длин соответствующих доверительных интервалов для параметра биномиального распределения. 1 {оказано, что при фиксированной точности и надежности оценки применение доверительных интервалов фиксированной ширины позволяет на 20−30% уменьшить количество необходимых наблюдений в задаче выборочного контроля качества продукции.

Проведен анализ нелинейной точечной оценки, предложенной М.М. Лу-ценко, и ее сравнение с классической и минимаксной точечными оценками параметров биномиального и гипергеометрического распределений, показавшие, что среди оценок Лупенко всегда можно найти такие, которые являются лучше классической оценки везде, где классическая оценка лучше минимаксной.

Модернизирована компьютерная система минимаксного оценивания. В частности, разработаны и включены в систему процедуры построения доверительных интервалов для параметра гипергеометрического распределения по методам Ютоппера-Пирсона и Стерна-Кроу. На основе компьютерной системы реализован единый подход к построению классических и минимаксных оценок параметра гипергеометрического распределения. Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы автором в работах [12−18], среди которых наиболее важными являются:

— «Минимаксные доверительные интервалы для параметра гипергеометрического распределения» в журнале «Автоматика и телемеханика» № 7, 2000, 13 с. м/т (принята к публикации);

— «Сравнение различных точечных оценок параметров биномиального и гипергеометрического распределений с применением компьютерной системы минимаксного оценивания «, 25 с. м/т, депонирована в ВИНИТИ 19.04.2000, № Ю63-В00.