Задачи по теории вероятности и математической статистике

Решение:

Составим вспомогательные таблицы для расчета теоретических частот:

Границы интервала Границы интервала 1 0 50 - -117,5 -1,77 2 50 100 -117,5 -67,5 -1,77 -1,02 3 100 150 -67,5 -17,5 -1,02 -0,26 4 150 200 -17,5 32,5 -0,26 0,49 5 200 250 32,5 82,5 0,49 1,24 6 250 300 82,5 — 1,24

Границы интервала 1 -1,77 -0,5000 -0,4614 0,0386 3,86 2 -1,77 -1,02 -0,4614 -0,3451 0,1164 11,64 3 -1,02 -0,26 -0,3451 -0,1038 0,2412 24,12 4 -0,26 0,49 -0,1038 0,1875 0,2914 29,14 5 0,49 1,24 0,1875 0,3927 0,2052 20,52 6 1,24 0,3927 0,5000 0,1073 10,73 Сравним эмпирические и теоретические частоты:

1 7 3,86 3,14 9,8832 2,5629 2 9 11,64 -2,64 6,9621 0,5982 3 18 24,12 -6,12 37,486 1,554 4 34 29,14 4,86 23,644 0,8115 5 22 20,52 1,48 2,2007 0,1073 6 10 10,73 -0,73 0,5308 0,0495

Итого: 100 100 5,6833

По таблице критических точек распределения χ2 для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы. Рассчитанное значение меньше табличного, следовательно, с вероятностью 95% можно утверждать, что случайная величина Х — дневная выработка ткани -распределена по нормальному закону.

Гистограмма эмпирического распределения и соответствующая нормальная кривая:

Задача 19.

В процессе исследования среднедушевого дохода (в усл.

ден.ед.) обследовано 100 семей. Выявлены оценки: =1900, s=240. В предположении о нормальном законе:

а) найти долю семей, чей среднедушевой доход находится в пределах от 1200 до 1800;

б) выяснить при уровне значимости =0,05 можно ли считать 2000 руб. нормативом среднедушевого дохода (проверить гипотезу H0: а=2000 против конкурирующей гипотезы Н1: а≠ 2000);

в) построить доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания, а и дисперсии σ2 (принять γ = 0,95).

Решение:

а) Нужно найти вероятность того, что Х примет значения от 2200 до 2800

Для нормального распределения

.

Итак,

б) Проверим гипотезу H0: а=2000 против конкурирующей гипотезы Н1: а≠ 2000.

Тогда при уровне значимости 0,05 нулевую гипотезу отклоняем.

в) построить доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания, а и дисперсии σ2 (принять γ = 0,95):

Для математического ожидания:

Для дисперсии:

Ответ: а) 20,28;

б) нулевая гипотеза отклоняется (среднюю зарплату нельзя считать 2000 руб);

в); .

Задача 20.

По данным 16 сотрудников фирмы, где работает 240 человек, среднемесячная заработная плата составила 340 у.е., при s=74 у.е. Какая минимальная сумма должна быть положена на счет фирмы, чтобы с вероятностью 0,99 гарантировать выдачу заработной платы всем сотрудникам?

Решение:

Ошибка среднего:. Для вероятности 0,99 t=2,57.

. Тогда минимальная сумма:

240*(340−45,93)= 70 576,8 у.е.

Ответ: 70 576,8 у.е.

Задача 21.

С целью размещения рекламы опрошено 440 телезрителей, из которых данную передачу смотрят 190 человек. С доверительной вероятностью γ=0,95 найти долю телезрителей, охваченных рекламой в лучшем случае. Случайны ли результаты опроса, если согласно статистике доля телезрителей, охваченных рекламой составляет 0,45 при уровне значимости =0,05?

Решение:

Для вероятности 0,95 коэффициент доверия равен 1,96. Тогда

Точность оценки:

.

Тогда в лучшем случае рекламу смотрят 0,432+0,046=0,478 или 47,8% телезрителей.

Проверим гипотезу о равенстве доли 0,45 при уровне значимости 0,05 и конкурирующей гипотезе :

Нулевая гипотеза принимается (результаты опроса случайны).

Задача 22.

Распределение пятидесяти предприятий по размерам основных производственных фондов Х (миллионов рублей) и выпуску продукции У (миллионов рублей) дано в таблице:

На основе приведенных таблицу не возможно заполнить: не указано, чему равен. Поэтому выполнение задания не представляется возможным.

Задача 23.

Число грузовых и легковых автомобилей, проезжающих мимо бензоколонки, относится как 2:

1. Вероятности того, что возникнет необходимость заправиться для грузовика и легковой машины равны, соответственно, 0.1 и 0.

2.

Найти вероятность того, что машина, подъехавшая на заправку, окажется грузовиком.

Решение:

Пусть событие, А состоит в том, что проехавшая машина решила заправиться. По условию она может быть грузовой (событие с вероятностью 2/3) или легковой (событие с вероятностью 1/3). Кроме того,. Тогда по формуле полной вероятности

.

По формуле Байеса вероятность того, что машина, подъехавшая на заправку, окажется грузовиком, равна

.

Ответ: 0,5.

Задача 24.

В результате выборочного обследования российских автомобилей, обслуживающихся в автосервисе по гарантии, по схеме собственно-случайной бесповторной выборки из 280 автомобилей были отобраны 60. Полученные данные о пробеге автомобилей с момента покупки до первого гарантийного ремонта представлены в таблице Пробег, тыс. км Менее 1 1−2 2−3 3−4 4−5 5−6 Более 6 Итого Число автомобилей 3 5 9 16 13 8 6 60 Найти:

а) вероятность того, что средний пробег всех автомобилей отличается от среднего пробега автомобилей в выборке не более чем на 400 км (по абсолютной величине);

б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля автомобилей, пробег которых составляет менее 3 тыс. км;

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли (см. п. б), можно гарантировать с вероятностью 0,9876.

Решение:

а) Найдем средний пробег по формуле средней взвешенной:

Пробег, тыс. км 0−1 1−2 2−3 3−4 4−5 5−6 6−7 Итого Середина интервала 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 Число автомобилей 3 5 9 16 13 8 6 60 тыс. км.

Среднеквадратическое отклонение пробега:

Ошибка выборки:

Вероятность того, что средний пробег всех автомобилей отличается от среднего пробега автомобилей в выборке не более чем на 400 км:

.

б) Границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля автомобилей, пробег которых составляет менее 3 тыс. км найдем по формуле:

.

Для вероятности 0,95 .

Доля автомобилей, величина пробега которых не превышает 3 тыс. руб. в выборке составляет (3+5+9)/60= 0,28(3).

Средняя квадратическая ошибка для доли:

.

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего объема выполненных работ (см. п. а) можно гарантировать с вероятностью 0,9876:

.

Для вероятности 0,9876. Тогда

.

Список использованной литературы Вентцель Е. С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб. пособие для студ. втузов / Е. С. Вентцель, Л. А.

Овчаров. — 5-е изд., испр. — М.: Издательский центр «Академия», 2003.

— 448 с.

Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — М., Высш.

шк., 2004. 404 с.

Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика — М., Высш.

шк., 2003. 479 с.

Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. — 573 с.