Принцип Хикса в теории линейных и нелинейных интегральных уравнений и краевых задач

Теория уравнений в пространстве с конусом оказывается уместной практически во всех разделах математической физики, где приходится опираться на те или иные свойства функции влияния или порождаемого ею интегрального оператора. Функция влияния, известная физикам со времен Кулона, оказывается обычно положительной, что предопределяет положительность соответствующего интегрального оператора. Однако в чистую математику операторы, положительные на конусе банахова пространства, вошли совсем с другой стороны. Знаменитая теорема Перрона о ведущем собственном значении положительной матрицы, для математиков достаточно неожиданная, явилась завершением разнообразных попыток экономистов мотивировать хорошо понятное для них свойство существования равновесных цен в замкнутой рыночной модели. Теорема Перрона начала процесс разработки теории положительных интегральных операторов (Енч, Фробениус и пр.), завершившийся созданием теории осцилляционных матриц и ядер (Гантмахер-Крейн), связанный с упругими колебаниями механических систем. В рамках этой теории и ее последующего развития удалость создать развитую систему результатов для общей осцилляционной теории спектральной задачи Штурма-Лиувилля.

Из математической экономики, где царят положительные матрицы, аналогичным образом в абстрактную теорию вошли (Гантмахер, Стеценко и др.) неразложимые операторы, в практической математике порождаемые агрегированием по Леонтьеву межотраслевых моделей баланса. В середине XX века в рамках моделей Леонтьева обнаружилось еще одно любопытное свойство положительных матриц, связываемое с именами Хикса, Саймона и др. западных экономистов. Заключается это свойство в следующем.

Если, А — неразложимая неотрицательная матрица со спектральным радиусом р (А)< 1, то ее резольвентный оператор (I — А)~х есть матрица сильно положительная, и потому для системы вида х = Ах + /, (0.0.1) типичной для моделей Леонтьева, увеличение/(спроса) хотя бы всего лишь по одной компоненте приводит к строгому возрастанию всех компонент решения (требует увеличения плана по всем без исключения параметрам). Оказывается — а в этом и заключается феномен Хикса — это увеличение решенияобозначим его через Ду в соответствии с приращением Д/- имеет экстремальное относительное значение именно по той компоненте, которая определила прирост Д/. Точнее говоря, если А/ имеет все нулевые координаты, кроме одной (ДД), то именно по этой /0 -й координате наиболее велико приращение Дх относительно х = (1-А)~]/, т. е. относительно прежнего решения системы (0.0.1). Совсем точно говоря, зир^Ь^-. (0.0.2) Х1.

Это удивительное (и важное в экономической практике) свойство уже имеет достаточно широкую литературу (см., напр. [46, 48]). В настоящей работе это свойство распространяется на некоторые задачи современной математической физики. Естественно, нам не удается миновать интегральных уравнений, где приходится сталкиваться с достаточно серьезными трудностями. А именно — с локализацией входного возмущения, ибо наиболее содержательное свойство феномена Хикса — тотальная реакция системы на локальное (всего лишь по одной координате) изменение возмущения системы (спроса). В естественных функциональных пространствах подобное возмущение обычно связано с появлением в параметрах сингулярных дельта-образных компонент и переходу к анализу обобщенных решений, что и порождает главные трудности применения стандартной техники. Поэтому мы в начале устанавливаем аналог принципа Хикса для случая, когда в интегральном уравнении — аналоге (0.0.1) — = до (о.о.з) о. р правая часть возмущается непрерывной добавкой А/, которая оказывается положительной не в одной точке.

В конечном счете нам удается изучить ситуацию, когда аналогичное возмущение в модели стилтьесовской струны сосредоточено на ее концесуперсингулярный случай, в том смысле, что соответствующее возмущение не охватывается классической теорией обобщенных функций, где носители oфункций допускаются только внутри области. Тем самым, главной задачей работы является распространение принципа Хикса на важные классы интегральных и интегро-дифференциальных уравнений математической физики. В частности, мы распространяем принцип Хикса на канонизированную М. Г. Крейном задачу о стильтьесовской струне в форме х.

— и'(х) + J’udQ = F (x) + ув{х -?) — F (0), о где Q (x) определяет упругую реакцию внешней среды, F (x) — внешнюю силу, у — интенсивность импульса, локализованного в точке х = Е,.

Целью исследования является осмысление и описание принципа Хикса для новых, более широких классов математических моделей. В особенности физических моделей, описываемых с помощью функциональных пространств типа С[а, Ь], где допускаются импульсные, т. е. предельно локализованные возмущения.

Основным методы, используемые в работе — теория абстрактных полуупорядоченных пространств и методы теории интеграла Римана-Стильтьеса.

Основные результаты — аналоги принципа Хикса для: -общего интегрального уравнения с непрерывным неразложимым ядром;

— общей системы уравнений в R" с вогнутой нелинейностью. Аналогичный, результат для уравнений с оператором Гаммерштейна;

— интегродифференциального уравнения вида.

— u'(x)+ JudQ = F (x) + const о с монотонными Q (x) и F (x).

Кроме того, для случая общей стильтьесовской струны дано корректное описание функции влияния, допускающее анализ экстремальных свойствобщепринятые дефиниции в математической литературе это сделать не позволяют.

А теперь о содержании диссертации подробнее. Работа состоит из трех глав, дополненных списком использованной литературы.

В главе I обсуждается возможность прямого расширения принципа Хикса. После его канонического описания в § 2 изучается возможность его обобщения на случай возмущений с расширенными носителями. Уточнением принципа Хикса оказывается.

Теорема. Пусть матрица, А — неотрицательная и неразложимая, р (А) < 1.

Пусть {xi, x2,., xn} - решение системы x = Ax + f, a {yj, y2,—, yn} - решение системы у = Аулf + Af. Пусть Aft > 0, i=l, 2,., п, причем /цмножество всех таких индексов / для которых Af р> 0, а yi — X/ У]~х] i: —— = max —-h =.

Xi j=, 2,., n Xj.

Тогда пересечение множеств I0 и /- не пустое, т. е. /0 r^/j Ф 0.

Далее принцип Хикса усиливается для случая строго положительных матриц.

Во второй части § 2 принцип Хикса распространяется на интегральные уравнения вида ь x (t) = JK{t, + f{t) а с непрерывным на [a, b] х [а, Ь] неотрицательным ядром K (t, s). Пусть выполнены условия.

1°. Спектральный радиус г (А) интегрального оператора Ax (t): ь.

Ax (t)= ?K (t, s) x (s)ds, а рассматриваемого в пространстве С^ь] непрерывных на [а, Ь] функций, в котором, очевидно, действует оператор А, меньше чем 1: r (A)< 1.

2°. Интегральный оператор, А неразложим в С^ц относительно конуса К неотрицательных функций в С^ц-Положим a) Q={t:tz[aMfx{t)> №}.

-*(Qх,(0-х (0].

I.-— шах-г x{t) x{t) J.

Иными словами, множество сох f (t). '.

Теорема. При выполнении условий 1°, 2° пересечение со^Гсох не пустое.

В заключении § 2 принцип Хикса устанавливается для алгебраических систем с вогнутой нелинейностью п Z я. *")+/-. у=1 и неразложимой матрицей А.

Этот результат затем распространяется на случай интегрального уравнения типа Гаммерштейна = s) F[s, + ДО. п.

В § 3 главы I обсуждается вопрос об оценках спектрального радиуса положительного оператора, ключевой для применения результатов § 2. В § 4 на интегральные уравнения переносится принцип Ле-Шателье-Самуэльсона.

4 Вторая часть диссертации посвящена описанию принципа Хикса для случая положительно-обратимых задач в функциональных пространствах, когда сохранено существо феномена Хикса — тотальная реакция объекта на предельно локализованное возмущение. Если объект описывается уравнением типа Ьи = /, где при непрерывном f решение — непрерывная функция, то появление сингулярного возмущения (типа дельта-функции) справа для непрерывных решений несовместимо с непрерывностью оператора Ь. Таким образом, естественный аналог феномена Хикса имеет смысл рассматривать только для неограниченных операторов, коими в математической физике являются дифференциальные операторы.

Мы рассматриваем задачу для стильтьесовской струны.

1. Александров П. С.

Введение

в общую теорию множеств и функций/ П. С. Александров — М.: Гостехиздат, 1948. — 253 с.

2. Альбеверио С. Решаемые модели в квантовой механике/ С. Альбеверио, Ф. Гестези, Р. Хоэг-Крон, X. Хольде М.: Мир, 1991. — 210 с.

3. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи/ Ф. АткинсонМ.:Мир, 1991.-245 с.

4. Ахиезер Н. И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве/ Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман М.: Наука, 1966. — 544 с.

5. Банах С. Курс функционального анализа/ С. Банах Киев, 1948. — 278 с.

6. Вулих Б. З.

Введение

в теорию полуупорядоченных пространств/ Б.З. ВулихМ.: Наука, 1961.-407 с.

7. Вулих Б. З.

Введение

в функциональный анализ/Б.З. ВулихМ.: Физматгиз, 1967.-415 с.

8. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц./ Ф. Р. Гантмахер М.: Наука, 1966. — 576 с.

9. Гулынина Е. В. О модели, двойственной к обобщенной модели Леонтьева-Форда/ Е. В. Гулынина // Математическое моделирование в научных исследованиях: Материалы всеросс. науч. конф.: Сб. науч. тр. Ставрополь, 2000. 4.1.-С. 73 -77.

10. Гулынина Е. В. О принципе Саймона-Хикса в нестандартных краевых задачах типа Штурма-Лиувилля/ Е. В. Гулынина, М. Б. Зверева, В. Я. Стеценко // Воронежская зимняя матем. школа: Тез. докл. Воронеж, 2004. -С. 15.

11. Гулынина Е. В. Принцип Хикса для обобщенной задачи Штурма-Лиувилля/ Е. В. Гулынина, М. Б. Зверева // Современные проблемы теорий функций и их приложения: 12-я Саратовская зимняя школа: Тез. докл Саратов, 2004. — С. 21.

12. Гулынина Е. В. Принцип Хикса и его развитие на интегральных уравнениях/ Е. В. Гулынина // Современные проблемы технического, естественно-научного и гум. знания: Материалы И науч.-практич. конф. Губкин, 2001. — С. 105 — 110.

13. Данфорд Н. Линейные операторы, общая теория / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. -ИЛМ, 1962. 178 с.

14. Дерр В. Я. К определению решения линейного дифференциального уравнения с обобщенными функциями в коэффициентах/ В. Я. Дерр // Докл. АН СССР -1988. Т.298. С. 269−272.

15. Есаян А. Р. Локализация спектра линейного оператора/ А. Р. Есаян, В. Я. Стеценко // Тезисы кр. науч. сообщений Междунар. конгр. математиков. Секция 5. М., 1966. — С. 45−74.

16. Камке Э. Интеграл Лебега-Стилтьеса/ Э. Камке М.:Физматлит, 1959. 328с.

17. Канторович П. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах/ П. В. Канторович, Г. П. Акилов. М.: Физматгиз — 1959.-684 с.

18. Канторович П. В. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах/ П. В. Канторович, Б. З. Вулих, А. Г. Пинскер. М.: Гостехиздат -1950.-546 с.

19. Канторович П. В. Приближенные методы высшего анализа/ П. В. Канторович, B.Н. Крылов М.-Л.: Физматгиз — 1962. — 708 с.

20. Кац И. С. Дополнение 2 к книге 3./ И. С. Кац, М. Г. Крейн С. 648−733.

21. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А. Н. Колмогоров, C.B. Фомин М.:Наука, 1968. — 496 с.

22. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика/ Л. Коллатц М.: Мир. 1969.-421 с.

23. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А. Н. Колмогоров, C.B. Фомин М.: Наука, 1968. — 544 с.

24. Костенко Т. А. О разрешимости операторных уравнений второго рода с линейными и нелинейными операторами/ Т.А. Костенко// «Университетская наука региону: Материалы XLIII науч.-методич. конф. — Ставрополь, 1998.C. 111−122.

25. Костенко Т. А. Оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора/ Т. А. Костенко // Понтрягинские чтения IX: Тез. докладов. -Воронеж, 1998.-С. 107.

26. Краснов М. Л. Интегральные уравнения/ М. Л. Краснов М.: Наука, 1975 — 288 с.

27. Красносельский М. А. Положительное решение операторных уравнений/ М. А. Красносельский М.: Физматгиз, 1962. — 396 с. 109.

28. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений/ М. А. Красносельский М." .Гостехиздат, 1956. 396 с.

29. Красносельский М. А. Приближенное решение операторных уравнений/ М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко, Я. Б. Рутицкий, В. Я. Стеценко М.: Наука, 1969.-455 с.

30. Позитивные линейные системы/ М. А. Красносельский, Е. А. Лившиц, A.B. Соболев М.: Наука, 1985. — 256 с.

31. Крейн М. Г. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха/ М. Г. Крейн., М. А. Рутман // УМН 1948. — № 3. — Вып. 1. -С. 3−95.

32. Курант Р. Методы математической физики/ Р. Курант, Д. Гильберт' М.: Гостехиздат — Т. 1. — 476 с.

33. Люстерник Л. А. Элементы функционального анализа/ Л. А. Люстерник, В.И. СоболевМ.: Наука- 1965. -520 с.

34. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры/ А. И. Мальцев М.: Гостехиздат, 1956. -356 с.

35. Марку с М. Обзор по теории матриц и матричных неравенств/ М. Маркус, X. Минк Пер. с англ. под ред. В. Б. Лидского. М.: Наука. 1972. — 232 с.

36. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост/ М. Моришима М.: Наука, 1972. — 179 с.

37. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной/ И. П. Натансон М.: Наука, 1974.-480 с.

38. Перов А. И. Признаки эргодичности колмагоровских почти периодических систем/ А. И. Перов // Доклады РАН 2001 — Т. 384, № 4 — с. 455 — 459.

39. Перов А. И. Признаки эргодичности марковских почти периодических систем/ А. И. Перов // Доклады РАН 2002 — Т. 380, № 1 с. 9 — 12.

40. Покорный Ю. В. Интеграл Стилтьеса и производные по мере в обыкновенных дифференциальных уравнениях/ Ю.В. Покорный// ДАН- 1999. Т. 364, № 2- С. 167−169.

41. Покорный Ю. В. О дифференциалах Стилтьеса в обобщенной задаче Штурма-Лиувилля/ Ю.В. Покорный//ДАН-2002; Т.383,№ 5- С. 1−4.

42. Рисс Ф. Лекции по функциональному анализу/ Ф. Рисс, Б. Секефальди-НадьМ.:Мир, 1978. 587 с.

43. Розенфельд A.C. Переходные процессы и обобщенные функции/ A.C. Розенфельд, Б. И. Яхинсон М.: Наука, 1996. — 440 с.

44. Рудин У. Основы математического анализа/ У. Рудин М.:Мир, 1966 — 320 с.

45. Сакс С. Теория интеграла/ С. Сакс М.: ИЛ, 1949. — 494 с.

46. Садовничий В. А. Теория операторов/ В. А. Садовничий М.:Высшая школа, 1999.-368 с.

47. Самарский A.A. Теория разностных схем/ A.A. Самарский М.: Наука, 1977. -534 с.

48. Стеценко В. Я. Исследования по теории положительных операторов в пространствах с конусом: Дисс.. д-ра физ.-мат. наук/ В .Я. СтеценкоВоронеж, 1969.-307 с.

49. Стеценко В. Я. Критерии неразложимости линейных операторов/ В.Я. Стеценко// УМН 1966. -№ 21. Вып. 5 — С. 265−267.

50. Стеценко В .Я. Метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору линейных и нелинейных положительных операторов/ В. Я. Стеценко, В. А. Галкина Ставрополь, 1992. — 26 с. — Деп. в ВИНИТИ, 1069 — В — 93.

51. Стеценко В. Я. Об одном спектральном свойстве неразложимого оператора / В. Я. Стеценко.// УМН 1967. — Т.22. — С. 242 — 244.

52. Урысон П. С. Труды по топологии и др. областям математики/ П.С. УрысонМ.-Л.: ГИТТЛ, 1951. Т. 1. — 320 с.

53. Фаддеев Д. К. Вычислительные методы линейной алгебры/ Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева М — Л.: Физматгиз, 1963. — 612 с.

54. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью/ А. Ф. Филиппов М.: Наука, 1985. — 224 с.

55. Функциональный анализ. Под ред. С. Г. Крейна М.: Наука. 1972. — 544 с.

56. Шварц Л. Математические методы для физических наук/ Л. Шварц М.: Мир, 1965., 217 с.

57. Шилов Г. Е.

Введение

в теорию линейных пространств/ Г. Е. Шилов М.: Гостехиздат, 1952. — 227 с.

58. Feller W. J Math. 1. 1954. № 4 — P. 459−504.

59. Karlin S. Positive operators/ S. Karlin// J. Math. Mech- 1955. № 8. S. 907−938.

60. Karlin S. Total Positivity / S. Karlin Stanford, Calif. Univ. press, 1968 — V. 1 — S 41−57.

61. Kurzweil J. Generalized ordinary differential equations/ J. Kurzweil // Czech. Math. J.- 1958.-V.8- P.360−388.76.0strowski A. On positive Matrics/ A. Ostrowski // Math. Ann. 1963. — V. 150 -P. 276 — 284.

62. Pandit S.G. Differential systems involving impulses/ S.G. Pandit, S.G. Deo'// Lect. Notes Math.- 1982. V. 954.-S. 117−124.

63. Perron O. Zur Theorie der Matrices/ O. Perron // Math. Ann. 1907. — V. 150 — S. 248−263.

64. Thomson A. On certain centraction mappings in a partitally ordered vector space./ A. Thomson // Proc. Amer. Math.Sos. 14. 1963. — № 3. — S.438 — 443.112.