Нелинейные уравнения

" Нелинейные уравнения"

вычислительный программа нелинейный алгебраический

Цель работы Приобретение навыков решения нелинейных уравнений, используя итерационные методы (метод половинного деления, метод простых итераций, метод Ньютона). Задание. Для алгебраического уравнения :

— выбрать отрезок, на котором имеется хотя бы один корень;

— проверить условия применимости для каждого метода;

— разработать вычислительную программу, реализующую каждый метод решения;

— вычислить корень уравнения с погрешностью не более 10^-6.

Краткие теоретические сведения Пусть известна некоторая нелинейная зависимость вида y=f (x). Требуется определить все те значения аргумента, k=1,2,…, которые обращают функцию в нуль, то есть Для поиска корней нелинейных уравнений, как правило, используются итерационные методы.

Метод половинного деления Метод половинного деления основан на теореме Коши: функция, непрерывная в замкнутом интервале и принимающая на концах этого интервала значения разных знаков, хотя бы один раз обращается в нуль внутри интервала. Процедура метода заключается в последовательном сокращении длины отрезка для локализации корня уравнения.

Метод простых итераций Для решения нелинейного алгебраического уравнения f (x)=0 метод простых итераций исходное уравнение заменяется эквивалентным ему выражением вида x=ц (x). На основе этого соотношения строится итерационный процесс метода простых итераций, при некотором заданном начальном значении x⁽⁰⁾.

Метод Ньютона Для поиска корня уравнения f (x)=0 в окрестности решения выбирается точка x, возле которой функция f (x) раскладывается в ряд Тейлора:

Отсюда следует приближенное равенство, которое с учетом позволяет получить выражение, приводящее к итерационной формуле метода Ньютона:

1. Выбор отрезка

Представим уравнение в виде функции, т. е. f (x)=. Построим график этой функции (Рисунок 1).

Рисунок 1 — График функции. f (x)=

На основании графика, выбираем отрезок X Є [-1; 0] на котором имеется корень уравнения, т. е. значение функции обращается в нуль.

2. Выполнение расчетов

2.1 Метод половинного деления

Значения функции на концах отрезка составляют Т.к. функция непрерывна на участке [-1; 0] и на концах имеет разные знаки, то можно применить метод половинного деления.

Таблица 1 — Решение уравнения методом половинного деления

После двадцати итераций получен отрезок [-0,387 285 233; -0,387 286 186] длина которого 9,53?10⁷, что значительно меньше заданной погрешности д_x=10^-6. В качестве искомого результата выбирается среднее значение полученного отрезка -0,387 286 663. Подстановка в уравнение позволяет выполнить проверку второго критерия окончания итерационной процедуры: f ()=1,2 872*10^-6, что также меньше заданной погрешности д_y=10^-6.

Рисунок 2 — Погрешность решения алгебраического уравнения методом половинного деления в зависимости от номера итерации k

2.2 Метод простых итераций

Уравнение преобразуется к требуемому виду:, т. е.. Для проверки условий сходимости последовательности получаемых решений необходимо определить производную этой функции:. В этой функции применив отрезок [2,5, 3,5], можно определить константу Липшица в виде. В данном случае функция на отрезке [2,5, 3,5] (Рисунок 3) принимает максимальное значение при x=2,5, соответственно. Очевидно, что С<1. Кроме того, откуда следует, что. Таким образом, условия теоремы выполнены, то есть последовательность x^(k) метода простых итераций должна сходиться к точному решению уравнения.

Рисунок 3 — Функция на отрезке [2,5, 3,5]

Таблица 2 -Решение уравнения методом простых итераций

С помощью вычислительной программы, при начальном приближении x⁽⁰⁾=2,5 получено решение заданного уравнения с погрешностью значительно меньше заданной д_x=10^-6. Подстановка этой величины в уравнение дает значение модуля функции, не превышающее заданную погрешность д_y=10^-6.

Рисунок 4 — Погрешность решения алгебраического уравнения методом простых итераций в зависимости от номера итерации k

2.3 Метод ньютона

Для проверки условий сходимости последовательности решений, получаемых методом Ньютона, определяются первая и вторая производные функции f (x):

.

Основываясь на графиках функций и (Рисунок 5) видно, что они непрерывны и на отрезке. Тогда и. Поскольку разность при и, то, т. е.. Таким образом, условия теоремы выполнены и последовательность x^(k) метода Ньютона должна сходиться к точному решению заданного уравнения.

Решение уравнения с помощью программы, при начальном приближении дает результат уже на 3-ей и последующих итерациях, соответственно не превышает заданной погрешности д_x=10^-6. Подстановка этой величины в исходное уравнение дает значение модуля функции, т. е. не превышает заданное значение погрешности д_y=10^-6.

Рисунок 5 — Вид функций f'(x), f''(x)

Рисунок 6 — Погрешность решения алгебраического уравнения методом Ньютона в зависимости от номера итерации k

Вывод

Для каждого итерационного метода на выбранном отрезке проверены условия применимости. Разработана программа, реализующая каждый метод решения. Найден корень уравнения с погрешностью не превышающей 10^-6:

— методом половинного деления: ;

— методом простых итераций: ;

— методом Ньютона: .

Уменьшение погрешности с ростом числа итераций свидетельствует о сходимости решений заданного нелинейного уравнения, получаемых каждым рассмотренным методом.