Теоретико-модельные и смежные вопросы колец, ассоциированных с кольцом нильтреугольных матриц

В диссертации взаимосвязано исследуются элементарная эквивалентность, автоморфизмы и изоморфизмы нильпотентных матричных колец и групп.

Зависимость элементарной эквивалентности и других модельных свойств линейных групп от свойств полей или колец коэффициентов, по-видимому, впервые стал изучать А. И. Мальцев. Соответствие между элементарными свойствами унитреугольной группы UT (3, К) степени 3 с выделенными параметрами и кольца коэффициентов К с единицей (не обязательно ассоциативного) установлено в статье [1]. Согласно [2], элементарная эквивалентность групп Gn, G = GL, PGL, SL или PSL, степеней п > 3 над полями нулевой характеристики переносится на поля коэффициентов.

Аналог теоремы А. И. Мальцева из [2] для случая первичных ассоциативных колец коэффициентов с ½ устанавливали К. И. Бейдар, А. В. Михалев [3], а для групп Шевалле и их унипотентных подгрупп над полями характеристики ф 2,3 — К. Видэла [5], А. В. Михалев, Е. И. Бунина и др., см. обзор [4]. Методы А. И. Мальцева развивали Ю. Л. Ершов, Б. Роуз, О. В. Белеградек и др., [б] - [10]. Исследования теоретико-модельных свойств линейных групп и колец развивались с 70-х годов в тесной связи с теорией изоморфизмов.

Пусть К и S — произвольные ассоциативные кольца с единицей. Унитреугольная группа UT (n, К) представляется присоединенной группой кольца NT (n, К) (нижних) нильтреугольных пхп матриц над К] изоморфизм дает отображение, а —> е + а с единичной матрицей е. Зависимость элементарной эквивалентности колец нильтреугольных матриц NT (n, К) = NT (m, S) и унитреугольных групп от элементарных свойств колец коэффициентов вызывала интерес с 70-х годов. Группу автоморфизмов Aut R кольца R = NT (n, К) описал В. М. Левчук в 1975 году. Пользуясь этим описанием и мальцевским соответствием, К. Видэла интерпретировал в кольце R кольцо коэффициентов К и перенес элементарную эквивалентность: NT (n: К) = NT (m, S) (п > 3) 4Фп = то, К = S, [11]. (Частный случай полей коэффициентов исследовали Роуз [7] и Велер [12].).

Аналогичные вопросы естественно возникают для ассоциированных кольца Ли A® и Иордана J®. Свойство группы или кольца иметь ступень нильпотентности п сохраняется при элементарной эквивалентности. В диссертации исследуются следующие вопросы:

A) Описать зависимость элементарной эквивалентности UT (n, K) = UT (n, S) от элементарных свойств колец коэффициентов;

Б) Описать связь элементарной эквивалентности колец Ли A (NT (n, К)) — A (NT (n, S)) и элементарных свойств колец коэффициентов;

B) Найти изоморфизмы йордановых колец и условия их элементарной эквивалентности J (NT (n, К)) = J (NT (n, S)).

О.В. Белеградек [13] решил вопрос (А), когда одно из колец коэффициентов коммутативно или без делителей нуля. Изоморфизмы колец NT (n, K), ассоциированных колец Ли и унитреугольных групп исследованы (с некоторыми ограничениями на К для п = 3,4) в работах [14] - [16]. Иордановы изоморфизмы мало изучены.

В диссертации ставится целью исследование вопросов (А) — (В). Основные результаты решают вопросы (А) и (Б) полностью для случая п > 4, см. §§ 2.2 и 2.3. Вопрос (В) разрабатывается в § 3.2.

Диссертация состоит из 3-х глав. Параграф 1.1 первой главы посвящен постановке задач. В параграфах 1.2 и 1.3 единообразно усиливаются теорема об изоморфизмах финитарных колец нильтре-угольных матриц из [16] и теорема Видэла [11] об элементарной эквивалентности NT (n, K) = NT (m, S) (теоремы 1.2.1 и 1.3.1, опубликованные автором в [35]) — в обеих известных теоремах опускается условие ассоциативности одного из колец коэффициентов. Так,.

Теорема 1.3.1. Пусть К, S — кольца с единицами, кольцо К ассоциативное и п > 2. Тогда:

NT (m, S) 5= NT (n, К) & п = m, S = К.

Доказательство теоремы 1.3.1, как и в статье Видэла [11], основано на применении насыщенных алгебраических систем. Второе её доказательство, приведенное в § 2.1 главы 2, использует аппарат ультрапроизведений.

В главе 2 дано решение вопроса (Б) об условиях элементарной эквивалентности колец Ли, ассоциированных с кольцами NT (n, К) и NT (n, S) (п > 3) в случаях, когда кольца коэффициентов коммутативны или п > 4. При тех же ограничениях, в развитие теоремы О. В. Белеградека, решение получает также вопрос (А).

Центральными в главе 2 и диссертации являются теоремы.

Теорема 2.2.1. Пусть К, S — ассоциативные кольца, с единицами и п > 4. Тогда каждая из элементарных эквивалентностей.

A{NT (n, К)) = A (NT (n, S)), UT (n: К) = UT (n, S) равносильна существованию центральных идемпотентов f в К и g в S таких, что fK = gS, (1 — f) K = [(1 — g) Sr.

Теорема 2.3.1. Пусть К, S — ассоциативно-коммутативные кольца с единицами и п > 2. Тогда.

A (NT (m, S)) ее a (NT{n, К)) & п = т, S = К.

Теоремы опубликованы в [36] (соавтор В.М. Левчук) и, соответственно, [34]. Их доказательство проводится методом ультрапроизведений, обоснование которого приведено в § 2.1.

В статьях Роуза. [7] и Видэла. [11] при построении мальцевского соответствия предварительно доказывалась определимость в кольце R матричных единиц егь ез2, — -, еП)&bdquo-1. Это позволило интерпретировать кольцо коэффициентов К в кольцо R = NT (n, К) без параметров, а затем исследовать вопросы конечной аксиоматизируемости и разрешимости теории этого кольца. В главе 3 строится интерпретация с параметрами или мальцевское соответствие кольца коэффициентов в ассоциированные кольца Ли A® и Йордана J® порядков п > 3. Основной в § 3.1 является.

Теорема 3.1.1. Ассоциативное кольцо с единицей К интерпретируется в кольца A® и J® с параметрами.

Как следствия теоремы 3.1.1, выявляются точная связь наследственной неразрешимости теорий колец A®, J® и колец коэффициентов (следствие 3.1.5), а также достаточные условия рекурсивной изоморфности этих теорий (следствия 3.1.6 и 3.1.7).

Для колец A® и J®, как и для унитреугольных групп, существенно различаются случаи коммутативных и некоммутативных (ассоциативных) колец коэффициентов: интерпретация с определимыми параметрами в них для подходящего некоммутативного кольца коэффициентов не существует, но аналогии с примером О.В. Бе-леградека [13], см. § 2.1.

Для решения вопроса (В) требуется изучить условия изоморфности йордановых колец нильтреугольных матриц. Сложность в известных описаниях изоморфизмов ассоциированных колец Ли и, аналогично, присоединенных групп заключалась прежде всего в существовании нестандартных автоморфизмов. Основная в § 3.2 теорема 3.2.1 (совместная с В.М. Левчуком) дает описание автоморфизмов кольца Йордана J®. Частные случаи этой теоремы доказываются в [17], [18] и др.

Теоремы 3.1.1 и 3.2.1 опубликованы в [36].

Результаты диссертации были представлены на V Всесибирском конгрессе женщин-математиков (г. Красноярск, 2008), на международных алгебраических конференциях в Красноярске (2007) и Москве (2008), Мальцевких чтениях (г. Новосибирск, 2007), на международном Российско-Китайском семинаре (г.Иркутск, 2007) и на 7-й международной школе-конференции по теории групп (г. Челябинск, 2008), на семинарах НГУ — ИМ «Алгебра и логика» и «Теория вычислимости» (г. Новосибирск, 2008) и на алгебраическом семинаре Сибирского федерального университета (г. Красноярск).

Основные результаты диссертации опубликованы в [34] - [43].

Автор благодарна своему научному руководителю В. М. Левчуку за помощь при постановке задач и в подготовке работ. Признательна сотрудникам кафедры алгебры и математической логики и института математики Сибирского федерального университета за хорошие условия для работы над диссертацией.

Работа над диссертацией была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, код гранта 06−01−824а.

1. Мальцев, А. И. Об одном соответствии между кольцами и группами / А. И. Мальцев // Матем. сборник. — 1960. — Т. 50. — С. 257−266.

2. Мальцев, А. И. Элементарные свойства линейных групп /А.И. Мальцев //В кн.: Некоторые проблемы в Математике и механике. Новосибирск, Изд-во АН СССР. 1961. — С. 110−132.

3. Beidar, C.I. Оп Malcev’s theorem on elementary equivalence of linear groups / C.I. Beidar, A.V. Michalev // Contemporary math. 1992. — Vol. 131. — P. 29−35.

4. Бунина, Е. И. Элементарная эквивалентность линейных и алгебраических групп / Е. И. Бунина, А. В. Михалев j j Фунд. и прикл. матем. 2000. — Т. 6, № 3. — С. 707−722.

5. Videla, С.К. On the Mal’cev correspondence / С.К. Videla // PAMS. 1990. — Vol. 109 — P. 493−502.

6. Ершов, Ю. Л. Элементарные теории групп / Ю. Л. Ершов j j ДАН СССР. 1972. — Т. 203. — С. 1240−1243.

7. Rose, B.I. The categoricity of Strictly Upper Triangular Matrix Rings over Algebraically Closed Fields / B.I. Rose // J. Symbolic Logic. 1978. — Vol. 43, № 2. — P. 250−259.

8. Belegradek, O.V. Elementary properties of algebraically closed groups / O.V. Belegradek // Fundam. Math. 1978. — Vol. 98, № 2. P. 83−101.

9. Ремесленников, В. H. Теоретико-модельные и алгоритмические вопросы теории групп / В. Н. Ремесленников, В. А. Романьков // Итоги науки и техники. Серия: Алгебра, топология, геометрия.- 1983. Т. 21. — С. 3−79.

10. Випгпа, E.I. Elementary properties of linear groups and related questions / E.I. Bunina, A.V. Mikhalev // Math. Sciences. 2004. Vol. 123, № 2. P. 3921−3985.

11. Videla, C.R. On the Model Theory of the Ring NT (n, R) / C.R. Videla 11 Pure and Appl. Algebra. 1988. — Vol. 55. — P. 289−302.

12. Wheeler, W.H. Model Theory of strictly upper triangular matrix ring / W.H. Wheeler // J. Symbolic Logic. 1980. — Vol. 45. — P. 455−463.

13. Belegradek, О. V. Model Theory of Unitriangular Groups / O.V. Belegradek // Amer. Math. Soc. Transl. 1999. — Vol. 195, № 2.

14. Левчук, B.M. Автоморфизмы некоторых нильпотентных матричных групп и колец / В. М. Левчук // Доклады АН СССР. -1975. Т. 222, № 6. — С. 1279−1282.

15. Левчук, В. М. Связи унитреуголыюй группы с некоторыми кольцами. Ч. II. Группы автоморфизмов / В. М. Левчук // Си-6МЖ. 1983. — Т. 24, № 4. — С. 543−557.

16. Kuzucuoglu, F. Isomorphisms of Certain Locally Nilpotent Finitary Groups and Associated Rings / F. Kuzucuoglu, V.M. Levchuk // Acta Appl. Math. 2004. — Vol. 82, № 2. — P. 169−181.

17. Wang, X.T. Decomposition of Jordan automorphisms of strictly triangular matrix algebra over local rings / X.T. Wang, H. You // Linear Algebra Appl. 2004. — Vol. 392. — P. 183−193.

18. Wang, X. T. Decomposition of Jordan automorphisms of strictly triangular matrix algebra over commutative rings / X.T. Wang // Commun. Algebra, 2007. — Vol. 35. — P. 1133−1140.

19. Кейслер, Г. Теория моделей / Г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн. М: Мир, 1977. — 615 с.

20. Hodges, W. Model Theory / W. Hodges. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993. — 772 p.

21. Мальцев, А. И. Алгебраические системы / А. И. Мальцев. -Москва: Наука, 1970. 119 с.

22. Горчаков, Ю. М. Группы с конечными классами сопряженных элементов / Ю. М. Горчаков. Москва: Наука, 1978. — 392 с.

23. Левчук, В. М. Некоторые локально нильпотентные матричные кольца / В. М. Левчук // Мат. заметки. 1987. — Т. 42, № 5. — С. 631−641.

24. Куратовский, К. Теория множеств / К. Куратовский, А. Мо-стовский. М.: Мир, 1970. — 416 с.

25. Сакс, Дж.Е. Теория насыщенных моделей / Дж.Е. Сакс. М.: Мир, 1976. — 192 с.

26. Levchuk, V.M. Sylow subgroups of the Chevalley groups and associated (weakly) finitary groups and rings / V.M. Levchuk // Acta Appl. Math. 2005. — Vol. 85. — P. 225−232.

27. Ершов, Ю. Л. Неразрешимость некоторых полей / Ю. Л. Ершов // ДАН СССР. 1965. — Т. 161. — С. 27−29.

28. Джекобсон, Н. Строение колец / Н. Джекобсон. М.: Иностранная литература, 1961. — 392 с.

29. Бунина, Е. И. Элементарная эквивалентность групп Шевалле над полями /Е.И. Бунина // Фунд. и прикл. математика. 2006. — Т. 12, № 8. — С. 29−77.

30. Випгпа, E.I. Combinatorial and Logical Aspects of Linear Groups and Chevalley Groups / E.I. Bunina, A.V. Mikhalev // Acta Appl. Math. 2005. — V. 85, №№ 1−3. — P. 57−74.

31. Levchuk, V.M. Jordan and Lie niltriangular matrix rings: isomorphisms, elementary equivalence and related questions / V.M. Levchuk, G.S. Suleymanova / Int. conf: MGU. 2008. — P. 154−155.

32. Kuzucuoglu, F. Isomorphisms of the unitriangular groups and associated Lie rings for the exceptional dimensions / F. Kuzucuoglu // Acta Appl. Math. 2005. — V. 85. — P. 209−213.

33. Kuzucuoglu, F. The Automorphism Group of Certain Radical Matrix Rings / F. Kuzucuoglu, V. M. Levchuk // J. Algebra. -2001. V. 243. — P. 473−485.

34. Минакова, E.B. Элементарно эквивалентные кольца Ли ниль-треугольных матриц над коммутативными кольцами коэффициентов / Е. В. Минакова // Вестник НГУ. 2008. — Т. 8, вып. 3. — С. 100−104.

35. Минакова, Е.В. К теории моделей колец нильтреугольпых матриц / Е. В. Минакова // Журнал Сибирского федерального университета. Математика&физика. 2008. — № 2. — С. 221−227.

36. Левчук, В. М. Вопросы об автоморфизмах и теории моделей колец Ли и Йордана нильтреугольных матриц и смежные вопросы / В. М. Левчук, Е. В. Минакова // Препринт № 2. Красноярск: ИВМ СО РАН. — 2008. — 19 с.

37. Минакова, Е.В. О теории модели присоединённой группы кольца NTn (K) и ассоциированного с ним кольца Ли /Е.В. Минакова // Материалы XLIV Межд. коифер. «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск: НГУ. 2006. — С. 36.

38. Minakova, Е. V. The isomorphisms of the niltriangular matrix rings and related questions / E.V. Minakova // Algebra &- logics: Intern. Russian-Chinese Sem., Irkutsk: IGPU. 2007. — P. 127−129.

39. Минакова, E.B. Изоморфизмы колец нильтреугольных матриц и смежные вопросы / Е. В. Минакова // Конф. «Алгебра и её приложения», Красноярск: ИВМ СО РАН. 2007. — С. 94−95.

40. Минакова, Е. В. Кольцо нильтреугольных матриц и ассоциированные с ним кольца: автоморфизмы и изоморфизмы / Е. В. Минакова // Межд. конф. «Мальцевские чтения 2007», Новосибирск: ИМ СО РАН. — 2007. — С. 75.

41. Минакова, Е. В. Кольцо нильтреугольных матриц и ассоциированные с ним кольца: автоморфизмы и изоморфизмы / Е. В. Минакова // Материалы V Всесибир. конгресса женщин-математиков, Красноярск: СФУ. 2008. — С. 303−305.

42. Минакова, Е.В. К теории моделей колец нильтреугольных матриц / Е. В. Минакова j j Межд. алгебраическая конф., Москва: МГУ. 2008. — С. 75−76.

43. Минакова, Е. В. Некоторые числовые и теоретико-модельные характеристики классических линейных групп и ассоциированных колец / Е. В. Минакова, О. В. Радченко // Материалы VIIшколы-конф. по теории групп, Челябинск: ЮУрГУ. 2008. — С. 86−87.