Численные методы решения прямых и обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени
Диссертация
Процессы вида (0.1) обнаружены, в частности, в электроактивных материалах, лабораторной плазме, турбулентных жидкостях выше некоторого порогового значения числа Рейнольдса, замагпиченных вихревых потоках (см. и указанные там ссылки), в средах с временной дисперсией, таких как биологические ткани и материалы, имеющие самоподобную «архитектуру». Известны многочисленные примеры физических структур… Читать ещё >
Список литературы
- Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, 1973.
- Бондаренко А. Н., Иващепко Д. С. Задачи неразрушающего контроля фрактальной среды // Тез. докл. региональной науч. конф. «Наука, Техника, Инновации» — Новосибирск, 2001, 4.1, С. 107—108.
- Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Волновые процессы в средах с временной дисперсией // Тез. докл. региональной науч. конф. «Наука, Техника, Инновации» Новосибирск, 2002, 4.1, С. 200−202.
- Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Численное решение обратных задач аномальной диффузии // Тез. докл. всероссийской науч. конф. «Наука, Технологии, Инновации» — Новосибирск, 2003, 4.1, С. 223— 224.
- Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Численные алгоритмы в обратных задачах восстановления параметров среды на мезоуровне // Тез. докл. всероссийской науч. конф. «Наука, Технологии, Инновации» — Новосибирск, 2004, 4.1, С. 213−214.
- Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Метод Монте-Карло в прямых задачах теории аномальной диффузии для неоднородных сред // Тез. докл. всероссийской науч. конф. «Наука, Технологии, Инновации» — Новосибирск, 2005, 4.1, С. 277−278.
- Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Численные методы решения обратных задач для уравнения дробной диффузии с гладким коэффициентом // Тез. докл. всероссийской науч. конф. «Наука, Технологии, Инновации» Новосибирск, 2006 4.1, С. 182−183.
- Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Численные алгоритмы решения обратных задач аномальной диффузии // Сб. науч. тр. НГТУ. — 2003. № 4(34), С. 59−64.
- Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Восстановление параметров слоистой среды методом минимизации функционала невязки // Сб. науч. тр. НГТУ. 2004. — № 3(37), С. 21−26.
- Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Исследование функционала невязки в задачах мониторинга слоистых сред // Сб. науч. тр. НГТУ. — 2004. № 4(38), С. 9−14.
- Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Оптимизация вычислений в рамках пакета программ «Численное решение обратных задач аномальной диффузии» // Сб. науч. тр. НГТУ. 2004. — № 3(37), С. 27−32.
- Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С., Селезнев В. А. Диффузионные волны в средах с остаточной памятью// Науч. вестник НГТУ. — Новосибирск: НГТУ, 2002. № 1(12). — С 45−55.
- Бугров Я. С. Дробные разностные операторы и классы функций // Труды Мат. ин-та АН СССР, 1985, Т. 172, С. 60−70.
- Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1980.
- Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1988.
- Глушак А. В. О периодических решениях абстрактных дифференциальных уравнений с дробной производной // Вестник ВГУ, Серия физика, математика, 2003, N2 1, С. 96—98.
- Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной минимизации и решения систем нелинейных уравнений. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
- Желудев В. А. Производные дробного порядка и численное решение одного класса уравнений в свертках // Диф. уравнения, 1982, Т. 18,11, С. 1950−1960.
- Зеленый JI. М., Милованов А. В. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики // Успехи физических наук, 2004, Т. 174, № 8, С. 809—852.
- Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. — М.: Изд. ин. лит, 1950.
- Зосимов В. В., Лямшев Л. М. Фракталы в волновых процессах // Успехи физических наук, 1995, Т. 165, № 4, С. 361−402.
- Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд., 1988.
- Кабанихин С. И., Искаков К. Т. Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач. — Новосибирск, 2001.
- Калиткии H.H. Численные методы. — М.: Наука, 1978.
- Карманов В.Г. Математическое программирование. — М.: Наука, 1975.
- Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Дифференциальные уравнения, 1989, Т. 25, № 8, С. 1359— 1368.
- Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // Дифференциальные уравнения, 1990, Т. 26, № 4, С. 660−670.
- Ермаков С.М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. — М.: Наука, 1982.
- Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации. — М.: Наука, 1978.
- Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. — М.: Физмат-лит, 2003.
- Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. — М.: Горячая линия — Телеком, 2007.
- Полак Э. Численные методы оптимизации. — М.: Мир, 1974.
- Рабинович М. И. Введение в теорию колебаний и волн. — М.: Наука, 1984.
- Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. — М.: Наука, 1984.
- Романов В. Г., Кабанихин С. И. Обратные задачи геоэлектрики. — М.: Наука, 1991.
- Саичев А. И., Уткин С. Г. Модели дробной диффузии / В сб.: Актуальные проблемы статистической радиофизики. — Нижний Новгород, 2002, Т.1, № 1, С. 5−43.
- Саичев А. И., Уткин С. Г. Асимптотические законы супердиффузии // Журнал технической физики, 2003, Т.73, № 7, С. 1—6.
- Самарский А. А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1977.
- Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. — М.: Наука, 1973.
- Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987.
- Стренг Г. Линейная алгебра и ее приложения. — М.: Мир, 1980.
- Тихонов А. Н., Арсении В. Я. Методы решения некорректных задач.1. М.: Наука, 1979.
- Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1977.
- Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. — М.: Мир, 1984.
- Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970.
- Учайкин В. В. К теории аномальной диффузии частиц с конечной скоростью свободного движения // Теор. и Мат. Физ., 1998, Т. 115, № 1, С. 154—161.
- Учайкин В. В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // Успехи физических наук, 2003, Т. 173, № 8, С. 847—876.
- Чукбар К. В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ, 1995, Т. 108, Вып. 5(11), С. 1875−1884.
- Arridge S. R., Schweiger М. A General Framework for Iterative Reconstrution Algorithms in Optical Tomography, Using a Finite Element Method // Pre-Print, 1999.
- Berger J M and Mandelbrot В В 1963 IBM Journal of Research and Development 7 224
- Bisquert J. Fractional diffusion in the multiple-trapping regime and revision of the equivalence with the continuous-time random walk // Phys. Rev. Lett., 2003, Vol. 91, № 1.
- Carpinteri A and Mainardi F (eds) Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics. — Wien and New York, Springer Verlag, 1997.
- Giona M., Roman E. Fractional diffusion equation on fractals: one-dimensional case and asymptotic behavior // J. Phys. A: Math. Gen., 1992, Vol. 25, P. 2093−2105.
- Gorenflo R., Mainardi F., Moretti D., Pagnini G., Paradisi P. Discrete random walk models for space-time fractional diffusion // Chemical Physics, 2002, Vol. 284, P. 521−544.
- Gorenflo R., Mainardi F., Moretti D., Paradisi P. Time fractional diffusion: a discrete random walk approach // Nonlinear Dynamics, 2002, Vol. 29, P. 129−143.
- Gorenflo R., Vivoli A., Mainardi F. Discrete and continuous random walk models for space-time fractional diffusion // Nonlinear Dynamics, 2004, Vol 38, P. 101−116.
- Gorenflo R., Mainardi F. Simply and multiply scaled diffusion limits for continuous time random walks // Journal of Physics: Conference series, 2005, Vol. 7, P. 1−16.
- Hilfer R. Applications of Fractional Calculus in Physics. — Singapore, World Scientific, 2000.
- Hilfer R., Anton L. // Phys. Rev. E, 1995, Vol.51, P. R848.
- Hughes В. H. Random Walks and Random Invironments. — Oxford, Clareton Press, 1995.
- Ismail A. Lecture 18: Non-Markovian Diffusion Equations / In: M.Z. Bazant 18.366 Random Walks and Diffusion. Lecture Notes for Spring 2003. — http://www-math.mit.edu/18.366/
- Klafter J., Blumen A., Shlesinger М. F. // Phys. Rev. A, 1987, Vol. 35, P. 3081.
- V. Kolokoltsov, V. Korolev and V. Uchaikin, Fractional stable distributions. J. Math. Sci. 105 (2001), 2569−2576.
- Le Mchaute A. Fractal Geometries: Theory and Applications. — Boca Raton: CRC Press, 1991.
- Levenberg K. A method for solution of certain problems in least squares // Quart. Appl. Math., 1944, Vol. 2, P. 164−168.
- Liu F., Shen S., Anh V., Turner I. Analysis of a discrete non-Markovian random walk approximation for the time fractional diffusion equation // ANZIAM J., 2005, Vol. 46(E), P. C488-C504.
- Liu F., Zhuang P., Anh V., Turner I. A fractional-order implicit difference approximation for the space-time fractional diffusion equation // ANZIAM J., 2006, Vol. 47(EMAC2005), P. C48-C68.
- Mainardi F. On the initial-value problem for the fractional diffusion-wave equation // Waves and Stability in Continuous Media, World Scientific, Singapore, 1994, P. 246−251.
- Mainardi F. Fractional diffusive waves in viscoelastic solids // Nonlinear Waves in Solids, 1995, P. 93−97, ASME/AMR.
- Mainardi F. The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation // Appl. Math. Lett., 1996, Vol. 9, No. 6, P. 23−28.
- Marquardt D. An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters // SIAM J. Appl. Math., 1963, Vol. 11, P. 431−441.
- Metzler R., Klafter J. The random walk’s guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Phys. Rep., 2000, Vol. 339, P. 1—77.
- Metzler R., Klafter J. The restaurant at the end of the random walk: recent developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics// J. Phys. A: Math. Gen., 2004, Vol. 37, P. R161— R208.
- Metzler R., Klafter J., Sokolov I. Anomalous transport in external fields: Continuous time random walks and fractional diffusion equations extended // Phys. Rev. E, 1998, Vol. 58. P. 1621−1633.
- Miller K. S., Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. — John Wiley & Sons. Inc., New York, 1993.
- Montroll E. W., Weiss G. H. // J. Math. Phys., 1965, Vol. 6, P. 167.
- Montroll E. W., Weiss G. H. // J. Math. Phys., 1969, Vol. 10, P. 753.
- Montroll E. W., Scher H. // J. Stat. Phys., 1973, Vol. 9, P. 101.
- Montroll E. W., Scher H. // J. Stat. Phys., 1973, Vol. 34, P. 129.
- More J. J. The Levenberg—Marquardt algorithm: implementation and theory — Numerical Analysis, Lecture Notes in Math., Springer—Verlag, Berlin, 1977, Vol. 60, P. 105−116.
- Nigmatullin R. R. // Phys. Stat. Sol. (b), 1986, Vol. 133, № 1, P. 425 430.
- Nigmatullin R. R. On the theory of relaxation for systems with Remnant memory // Phys. Stat. Sol. (b), 1984, Vol. 124, P. 389−393.
- Nigmatullin R. R. The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry // Phys. Stat. Sol. (b), 1984, Vol. 123, P. 534−540.
- Nigmatullin R. R. To the theoretical explanation of the ¦ Universal Response // Phys. Stat. Sol. (b), 1984, Vol. 123, P. 739−745.
- Nigmatullin R. R., Le Mehaute A. To the nature of irreversibility in linear systems // Magnetic Resonance in Solids, 2004, Vol. 6, No. 1, P. 165—179.
- Oldham K., Spanier J. Fractional Calculus. — London, New York: Academic Press, 1973.
- Oldham K., Spanier J. Fractional Calculus and its applications // Bui. Inst. Politehn. I asi. Sec. 1., 1978. Vol. 24, No. 3−4, P. 29−34.
- Olemskoi A. I. Fractional-differential equations of motion // Pre-Print, 1999.
- Podlubny I. Fractional Differential Equations. — CA: Academic, San Diego, 1999.
- Podlubny I. The Laplace Transform method for Linear Differential Equations of the Fractional Order // Pre-Print, 1994.
- Rangarajan G., Ding M. Anomalous diffusion and the first passage time problem // Phys. Rev. E, 2000, Vol. 62.
- Scher H, Shlesinger M. F., Bcndlcr J. T. // Phys. Today, 1991, Vol. 44, P. 26.
- Schneider W. R., Wyss W. Fractional diffusion and wave equations // J.Math.Phys., 1989, Vol. 30, P. 134−144.
- Shlesinger M. F. // Annual Reviews of Physical Chemistry, 1988, Vol. 39, P. 269.
- Sokolov I. M., Klafter J., Blumen A. // Phys. Today, 2002, Vol. 55, P. 48.
- Stanislavsky A. A. Fractional dynamics from the ordinary Langevin equation // Phys. Rev. E, 2003, Vol. 30, P. 87−102.
- Wegner F., Grossman S. // Zeitschr. Phys. B, 1985, Vol. 59, № 2, P. 197−206.
- Weiss G. H. Aspects and Applications of the Random Walk. — North-Holland, Amsterdam, 1994.
- Wyss W. Fractional diffusion equation //J. Math. Phys., 1986, Vol. 27, P. 2782−2785.
- Wyss M. M., Wyss W. Evolution, its fractional extension and generalization // Pre-Print, 1999.
- Yuste S, B., Acedo L. An explicit finite difference method and a new von Neumann-type stability analysis for fractional diffusion equations // SIAM J. Numer. Anal., 2005, Vol. 42, P. 1862−1874.
- Yuste S. B. Weighted average finite difference methods for fractional diffusion equations //J. Comp. Phys., 2006, Vol. 216, P. 264−274.
- Zaslavsky G. M. Chaos, fractional kinetics, and anomalous transport // Physics Reports, 2002, Vol. 371, P. 461−580.
- Zauderer E. Partial Differential Equations of Applied Mathematics. — Wiley, New York, 1989.