Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения Задание 1. Найти решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

.

Решение:

Произведём разделение переменных:

(3y2 + 1) dy = 2xdx

Проинтегрируем левую и правую часть.

3 + = 2.

3 + y + C = 2 ,

y3 + y + C = x2, или x = .

3yy' = x.

Запишем уравнение в виде:

3y = x и произведём замену переменных:

3ydy = xdx, тогда 3 =

3 = + C/2 или 3y2 = x2 + C, тогда

y = .

Задание 2. Найти решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка

(2x — y) dx + (2y — x) dy = 0.

Разрешим уравнение относительно dy/dx:

y' = = - ,

поделив числитель и знаменатель правой части на х, получим:

y' = - ,

т. е. у' есть функция отношения у/х. Это означает, что данное уравнение однородное.

Для решения этого уравнения введём новую функцию u = y/x. Тогда у = ux, y' = xdu/dx + u. Исходное уравнение запишется в виде уравнения с разделяющимися переменными:

x + u = ;

x = - u = = ,

= - du = -. Проинтегрируем это уравнение:

ln = 2 — + lnC.

ln = 2(u — ln (u + 1)) — ln (u + 1) = 2u — l-2ln (u + 1) — ln (u + 1) = 2u — 3 ln (u + 1),

ln + ln (u + 1)3 = 2u,

ln (u + 1)3 = 2u,

(u + 1)3 = e2u, и окончательно получаем решение:

(+ 1)3 = exp (.

xdy — ydx = ydy.

(x — y) dy = ydx y = .

Для решения этого уравнения введём новую функцию u = y/x. Тогда у = ux, y' = xdu/dx + u. Исходное уравнение запишется в виде уравнения с разделяющимися переменными:

x + u = ;

x = - u = = ,

= - du = -. Проинтегрируем это уравнение:

ln = - + lnC.

ln = ln (2u — 1) — u — ln (2u — 1) = - u, окончательно получаем:

x = Ce-u = Ce-y/x.

Задание 3. Найти решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

y — y ctg x = 2x sin x.

Положим y = uv, тогда y' = u’v + uv' и данное уравнение принимает вид:

u’v + uv' - uv ctg x = 2x sin x,

u’v + u (v' - v ctg x) = 2x sin x.

Решая уравнение v' - v ctg x = 0, получим его простейшее частное решение:

= v ctg x; = ctg x dx; ln = ln; откуда v = sin x.

Подставляя v в исходное уравнение получаем уравнение:

u sin x = 2x sin x, из которого находим u

u' = 2x, следовательно du = 2xdx u = x2 +C.

Итак, искомое решение y = (x2 + C) sin x.

y' + 3y tg 3x = sin 6x, y (0) = 1/3.

Положим y = uv, тогда y' = u’v + uv' и данное уравнение принимает вид:

u’v + uv' + 3uv tg 3x = sin 6x,

u’v + u (v' + 3v tg 3x) = sin 6x.

Решая уравнение v' + 3v tg 3x = 0, получим его простейшее частное решение:

= 3v tg x; = 3tg 3x dx; ln = - ln; откуда v = 1/cos 3x.

Подставляя v в исходное уравнение получаем уравнение:

u/cos 3x = sin 6x, из которого находим u

= ,

u = - - + C, и окончательно получим решение

y = uv = - (+ C).

Найдём постоянную С, согласно заданным начальным условиям у (0) = 1/3:

1/3 = - (+ C) = - 4/18 — C, C = - 1/3 — 4/18 = - 10/18 = - 5/9.

Получаем решение:

у = - (- 5/9) = - () =

= - .

Задание 4. Найти решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка

y''' = cos x, y (0) = 1, y'(0) = 0, y''(0) = 1.

Проводим последовательное интегрирование:

y'' = = sin x + C1,

Из начального условия y (0) = 1 найдём постоянную С1:

1 + 0 = C1, C1 = 1, следовательно y'' = = sin x + 1,

y' = = - cos x + x + C2,

Из начального условия y (0) = 0 найдём постоянную С2:

0 = - 1 + 0 + C2, C2 = 1,

В итоге получаем y' = - cos x + x + 1.

y = dx = - sin x + x2/2 + x + C3.

Из начального условия y (0) = 1 найдём постоянную С3:

1 = - 0 + 0 + 0 + C3, C3 = 1,

В итоге получаем y = - sin x + x2/2 + x + 1.

Задание 5. Проинтегрировать следующие линейные неоднородные уравнения

y'' + y' - 6y = 0

Запишем характеристическое уравнение. Для этого заменим функцию у и её производные соответствующими степенями л:

л2 + л — 6 = 0

откуда л1 = - 3 и л2 = 2. Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

у = С1е-3х + С2е2х.

у'' - у' = 12х.

Составим характеристическое уравнение: л2 — л = 0, откуда л1 = 0; л2 = 1, поэтому л1 = 0 есть простой корень (r = 1) этого уравнения. В правой части многочлен первой степени (m = 1), поэтому частное решение неоднородного дифференциального уравнения следует искать в виде:

?(x) = x (B0x + B1).

Подставляя ?(х) в уравнение и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, найдём, что

?'(x) = (B0x + B1) + хВ0 = 2В0х + В1.

?''(x) = 2B0.

2B0 — 2В0х — В1 = 12х

— 2В0 = 12 и 2В0 — В1 = 0

В0 = - 6 и В1 = -12,

в итоге получаем ?(x) = x (- 6x — 12) = - 12х — 6×2.

у'' + 2у' + 5y = - 2sin 2x.

Найдём общее решение уравнения? соответствующего однородного уравнения:

у'' + 2у' + 5y = 0.

Решая отвечающее ему характеристическое уравнение

л2 + 2л + 5 = 0,

получаем комплексные корни л1 = - 1 — 2i; л2 = - 1 + 2i, следовательно,

? = e-x (C1 cos x + C2 sin 2x).

Будем теперь искать у*. Здесь правая часть f (x) имеет вид:

f (x) = a cos лx + b sin лx, т. е. а = 0, b = - 2, л = 2i.

Числа 2i не являются корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение у* следует искать в форме у* = А cos 2x + B sin 2x,

где, А и В — неопределенные коэффициенты.

Найдём производные у*' и у*'':

у*' = - 2А sin 2x + 2B cos 2x;

у*'' = -4A cos 2x — 4B sin 2x.

подставляя теперь выражения для у*, у*', у*'' в данное уравнение и группируя члены при cos 4x и sin 4x, в результате получим

(-4A cos 2x — 4B sin 2x) + 2(- 2А sin 2x + 2B cos 2x) + 5(А cos 2x + B sin 2x)= -2sin 2x дифференциальный уравнение линейный интегрирование

Cos 2x (- 4A + 4B + 5A) + sin 2x (-4B — 4A + 5B) = -2sin 2x.

Составим систему:

В = - 2 + 4А, А + 4(-2 + 4А) = А — 8 + 16А = 0.

А = 8/17 и В = - 2/17.

Таким образом,

у* = 8/17 cos 2x — 2/17 sin x.

Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:

у =? + у* = e-x (C1 cos2x + C2sin2x) + 8/17 cos 2x — 2/17sin 2x.