Современная механика деформируемого твёрдого тела — одна из фундаментальных естественных наук — это совокупность дисциплин (теория упругости, теория пластичности, теория ползучести, теория разрушения, теория сыпучей среды и грунтов, строительная механика и т. д.), рассматривающих различные вопросы поведения твёрдого тела под действием внешней нагрузки или какого-либо иного механического воздействия. Наиболее общим всех этих дисциплин является феноменологический подход, связанный с созданием математической модели, достаточно простой для возможности решения поставленных задач, и как можно более точно описывающей физическую сущность явления [48]. Целью расчёта является определение напряжённо-деформированного состояния твёрдого тела для обеспечения прочности, жёсткости, устойчивости и надёжности сооружения.
Основой механики деформируемого твёрдого тела, её теоретическим фундаментом, является теория упругости, берущая своё начало ещё от работ Галилея (1638). Теория упругости как стройная научная дисциплина зародилась в начале XIX столетия, когда почти одновременно ЛНавье (1821) [144], А. Копш (1822) [130] и СПуассон (1829) [145] вывели общие уравнения равновесия и движения упругих тел и дали правильную постановку соответствующих задач [102]. Характерной чертой данного варианта теории упругости является линейность всех его формул относительно искомых величин (перемещений, деформаций, напряжений и их производных). Линейная теория упругости не утратила своего значения и в настоящее время. Существует обширный класс задач, для которых линейная теория упругости даёт достаточно удовлетворительные результаты. Вместе с тем уравнения линейной теории упругости являются довольно грубым приближением при описании и прогнозировании механического поведения твёрдых тел в реальной постановке. Это находит своё объяснение, прежде всего, в тех допущениях и предпосылках, которые положены в основу линейной теории упругости [109], [29]:
1. Идеальная упругость материала. Это допущение исключает из рассмотрения твёрдые тела, в которых после снятия внешнего воздействия имеются остаточные деформации.
2. Линейная зависимость между напряжениями и деформациями. Это допущение для большинства конструкционных материалов соблюдается лишь при очень небольших внешних воздействиях.
3. Сплошность идеально упругого тела. Данное допущение даёт возможность рассматривать перемещения и деформации как непрерывные функции пространственных координат.
4. Однородность материала упругого тела. Это допущение может быть признано справедливым, если рассматривать достаточно малую область деформируемого твёрдого тела.
5. Изотропность твёрдого тела. Данное допущение исключает из рассмотрения обширный класс анизотропных конструкционных материалов.
6. Малость перемещений тела по сравнению с его линейными размерами. Принятие данного допущения исключает из рассмотрения гибкие тела типа стержней, пластин, оболочек и т. д., а также массивные тела, находящиеся под воздействием значительных внешних воздействий.
7. Допущение о естественном ненапряжённом состоянии твёрдого тела. Данное допущение предполагает, вообще говоря, что все твёрдые тела являются невесомыми, что тоже противоречит реальному положению вещей.
Из всего сказанного следует, что современный курс теории упругости, как на это указывал ещё В. В. Новожилов в своём фундаментальном труде [102], должен базироваться на общей (нелинейной) теории напряжений и деформаций. Общая (нелинейная) теория упругости основывается, вообще говоря, лишь на предположении о сплошности и однородности деформируемого твёрдого тела.
Основы нелинейной теории упругости были заложены ещё в прошлом веке работами Б. де Сен-Венана [126], Г. Кирхгоффа [137], И. Фингера [133] и других учёных-механиков. Лучшие из ранних монографий по теории упругости (например [79, 88, 105, 122, 131]) достаточно подробно для своего времени и предельно строго освещали весь комплекс вопросов, рассматриваемых данной дисциплиной. В дальнейшем, однако, наметился отход от строгого изложения теории упругости в сторону упрощения и почти полного игнорирования нелинейных задач. Этому способствовали, в основном, две взаимосвязанные причины: во-первых, уравнения нелинейной теории получались значительно сложнее их линейных аналогов и практически исключали возможность качественного исследования аналитическими методамиво-вторых, отсутствовали средства, позволявшие проводить численные эксперименты и моделирование сложных математических систем.
В настоящее время появилась возможность решать задачи механики деформируемого твёрдого тела и строительной механики в строгой постановке с максимальным учётом реальной работы конструкции и учётом практически всех механических свойств материала. Этому способствует развитие средств вычислительной техники, в частности широкое внедрение персональных компьютеров, а также значительные достижения в области их программно математического обеспечения. Разработанные в последнее десятилетие программные средства для персональных компьютеров позволяют создавать изящные приложения не только для решения самых разнообразных математических задач, но и для проведения численного моделирования и численного эксперимента в многопараметрической и многофакторной постановке.
Вместе с тем, на повестку дня встаёт и приобретает первоочередное значение вопрос о корректной формулировке в нелинейной постановке задач механики деформируемого твёрдого тела. Дело в том, что в основе построения расчётных уравнений механики деформируемого твёрдого тела лежат три группы уравнений [102]: геометрические уравнения, задающие связь между перемещениями и деформациями и записываемые в системе координат точек тела до деформации, статические (динамические) уравнения, определяющие связь между компонентами тензора напряжений и записываемые в системе координат точек тела после деформации, физические уравнения, устанавливающие связь между компонентами тензоров деформаций и напряжений. Поскольку геометрические и статические уравнения записываются в двух по существу различных системах координат, то для корректной записи физических уравнений статические уравнения приводятся к декартовой системе координат точек тела до деформации. При этом вводятся в рассмотрение так называемые обобщённые напряжения, не являющиеся напряжениями в точном смысле этого слова. Однако, физические уравнения геометрически нелинейной теории упругости устанавливают связь именно между компонентами тензоров деформаций и обобщённых напряжений.
Получив своё логическое завершение в математической постановке, нелинейная теория упругости В. В. Новожилова оставила открытым один вопрос, очень важный для её практической реализации. Существо данного вопроса заключается в следующем. Физические уравнения содержат смешанные инварианты, задание которых в функции от инвариантов деформации полностью характеризует механические свойства изотропного материала. С другой стороны механические свойства данного материала определяют смешанные инварианты, входящие в физические уравнения. В то же время смешанные инварианты являются теми соотношениями, которые замыкают расчётную систему уравнений. Для определения механических свойств материалов, а, следовательно, и смешанных инвариантов, как функций инвариантов деформации, существует лишь один путь — путь эксперимента. Учитывая сложность и громоздкость уравнений нелинейной механики, путь эксперимента для определения смешанных инвариантов является, видимо, неприемлемым.
Вместе с тем, в настоящее время на основе достоверных экспериментов и на базе линейной теории упругости разработано достаточно большое количество математических моделей, описывающих поведение твёрдых тел под нагрузкой [30, 31]. Поскольку линейная теория упругости является частным случаем общей нелинейной теории механики деформируемого твёрдого тела, автором данной работы предложен вариант построения расчётных моделей для геометрически 9 нелинейных моделей сплошных сред [8] основанный на принципах экстраполяции физических моделей линейной теории упругости на случай геометрической нелинейности. В качестве обоснования правомерности использования геометрически нелинейных аналогов линейной теории упругости используется метод численного эксперимента и сравнения результатов решения некоторых задач в геометрически линейной и геометрически нелинейной постановках.
Обзор литературы последнего и предыдущего десятилетий показывает, что интерес исследователей, проектировщиков и инженеров к вопросам расчёта физически нелинейных строительных конструкций с учётом геометрической нелинейности не только не ослабевает, но и, более того, приобретает всё более широкий размах, особенно при расчёте стержневых, плоских и пространственных конструкций [82, 107, 120]. Хотя, вообще говоря, работ, где учитывалась бы и геометрически нелинейная теория деформаций, и соответствующая ей геометрически нелинейная теория напряжений, и соответствующая физическая теория, уравнения которой записываются в терминах обобщённых напряжений, практически нет.
В.В.Новожилов в своих работах [92, 96, 100, 101, 102] систематически, строго, достаточно подробно и доступно изложил основы нелинейной теории упругости. Изложение основ нелинейной теории упругости было столь удачным, что книга «Основы нелинейной теории упругости» сразу была издана на английском (Foundation of the nonlinear theory of elasticity, — Graylock press? New York, 1953) и китайском языках. Из ряда зарубежных на неё рецензий выделяют рецензию К. Трусделла (Book reviews, Bull. Amer. Math. Soc. Vol. 59.1953. P.467−473), где дан подробный анализ и высокая оценка её содержания. «Оригинальность „Основ нелинейной теории упругости“ состояла не столько в новизне результатов, сколько в. стиле изложения. До этой монографии нелинейная теория упругости была элитарной дисциплиной, излагаемой в общей абстрактной форме, без выходов на приложения. В „Основах.“ её изложение было предельно упрощено и все выкладки сопровождались пояснениями физического характера. Именно после книги „Основы нелинейной теории упругости“ вошли в употребление представления о физически и геометрически нелинейных задачах теории упругости» [92]. Теория нелинейных деформаций, напряжённое состояние при учёте геометрической нелинейности, работа нелинейных деформаций и некоторые связанные с нею принципы, теория связи напряжений и деформаций в произвольной нелинейной изотропной среде, а также проблемы прочности, пластичности, разрушения и динамики сплошной среды — все эти вопросы были подробно исследованы в работах В. В. Новожилова.
Изложение основ нелинейной теории упругости было продолжено в работах А. И. Лурье [85, 86, 87], где содержится последовательное изложение принципов и приёмов рассмотрения задач нелинейной теории упругости, А. Н. Гузя [58, 59], где достаточно последовательно рассмотрены основные соотношения нелинейной механики деформируемых тел и выполнена их линеаризацияЛ.А. Толокон-никова [121], где с достаточной общностью представлены теория деформаций одномерных, двухмерных, трёхмерных объектов, разнообразные системы инвариантов, позволяющие обсуждать свойства реальных материалов не только при малых, но и конечных деформациях. Общими вопросами нелинейной механики деформируемого твёрдого тела и строительной механики занимались многие исследователи [53, 57, 68, 74, 81, 113, 117, 132, 135, 136, 139, 143]. Вопросами экспериментального изучения больших деформаций занимался Людвик [140].
Физически и геометрически нелинейная теория упругости в последние годы находит своё практическое применение в основном лишь при расчёте гибких тел (стержни, пластинки, структуры, оболочки и т. п.) [107, 108] и совершенно не применяется для расчёта тел массивных. Это объясняется скорее историческими традициями и устоявшимися воззрениями, чем целесообразностью её применения для расчёта сплошных массивных тел.
Вместе с тем, именно расчёт массивных тел со сложными реологическими свойствами требует щепетильного отношения к используемой теории. Так, например, расчёт грунтовых оснований под здания и сооружения за последние десятилетия претерпел значительные изменения и эволюционировал от расчёта по теории Винклера к рассмотрению грунта как линейно-деформируемой среды упругого полупространства. Однако и гипотеза упругого полупространства не даёт результатов, согласующихся с данными экспериментов. Намечены основные пути совершенствования методов расчёта оснований [55]: это применение теории упругости совместно с теорией пластичности грунтов или теории нелинейных деформаций грунта для модели тяжёлого полупространства.
Общие подходы к решению задач строительной механики с учётом физической и геометрической нелинейности изложены в работах Лукаша П. А. [82, 84, 84] и других авторов [1, 3, 4, 33, 36, 62, 63, 64]. В работе [2] в рамках строительной механики изложены особенности расчёта висячих и комбинированных конструкций как геометрически нелинейных систем. Основные принципы и приёмы построения решения задач механики деформируемого твёрдого тела методом конечного элемента с учётом физической и геометрической нелинейности излагаются во многих работах, в частности, в работах [110, 134, 138, 152]. В работе [56] приводится обширный список трудов по использованию метода продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твёрдого деформируемого тела для дискретных тел.
Учёт геометрической нелинейности, как показано в работе [118], «коренным образом меняет многие представления, утвердившиеся логикой, базирующейся на линейной теории деформации». Так при решении задачи о плоском продольно-поперечном изгибе стержня учёт геометрической нелинейности, связанной с общей деформацией тела, позволил обнаружить новую качественную сторону явления — устойчивость деформирования. Суть его заключается в том, что при некоторых условиях внешняя поперечная нагрузка не вызывает потери устойчивости стержня когда продольная нагрузка равна критической силе. (В случае расчёта без учёта геометрической нелинейности стержень теряет устойчивость при любом как угодно малом значении поперечной нагрузки, если продольная нагрузка равна критической). Далее, например, центрально сжатый стержень с позиций линейной теории испытывает чистое сжатий, а с позиций нелинейной теории — сжатие, сопровождающееся поворотом оси стержня.
Учёт геометрической нелинейности при расчёте сплошных массивов, как показано в ряде работ автора, например [7, 12, 23], также выявляет некоторые особенности процесса деформирования, не имеющие места для геометрически линейных теорий. Так, например, учёт геометрической нелинейности приводит к искажению и смещению поверхностей прочности [12]- затем, геометрическая нелинейность приводит к тому, что на диаграмме сдвиговых деформаций, при упругопластическом деформировании, площадка текучести заменяется либо возрастающей, либо убывающей кривой [7].
Некоторые авторы, в частности Работнов Ю. Н., в своей монографии [111], указывает, что область применения теории конечных деформаций слишком ограничена и имеющиеся решения крайне немногочисленны. Кроме того, доказав для линейного закона упругости теорему единственности, Работнов Ю. Н. указывает, что для геометрически нелинейных систем теорема единственности несправедлива, причём нарушение единственности соответствует потере устойчивости упругого тела.
В данной работе решены некоторые задачи строительной механики массивных тел с учётом геометрической и физической нелинейности. При этом использовалось выдвинутое мною десять лет назад предположение об эквивалентности формы записи замыкающих уравнений [8]. Данная гипотеза позволила не только получить расчётные уравнения для некоторых математических моделей сплошной среды при нелинейно-упругом деформировании, но, кроме того, построить критерии прочности для геометрически нелинейных моделей сплошных сред, разработать геометрически нелинейный вариант деформационной теории пластичности, рассмотреть вопросы распространения геометрически нелинейных волн деформаций, а также численно получить законченное решение некоторых задач механики деформируемого твёрдого тела с учётом геометрической и физической нелинейности.
Ранее уже были предложены некоторые варианты законов состояния нелинейно-упругой сплошной среды. Сетх Б. [149], заменив в законе Гука линейной теории упругости линейный тензор деформации тензором конечной деформации, рассмотрел большое число нелинейных задач с эффектами недоступными линейной теории упругости. Зволинский Н. В. и Риз П. М. [65] описали квадратичный закон состояния идеально-упругого тела, зависящий от пяти постоянных. Синьорини А. [150, 151] предложил закон квадратичной зависимости тензора напряжений Коши от меры деформации Альманзи, зависящий от четырёх постоянных. Мурнаган Ф. [142] предложил, при записи закона состояния, исходить из полиномиального представления удельной потенциальной энергии деформирования.
Все эти варианты математических моделей геометрически и физически нелинейной сплошной среды являются в известной степени приближениями и, вообще говоря, не лишены внутренних противоречий. Для современного этапа развития технических наук характерен переход от расчётных методик к математическому моделированию [118], что позволяет отразить функциональное назначение и условия надёжности конструкций, выбрать оптимальные параметры. Под моделью в широком смысле понимают совокупность представлений, зависимостей, условий, ограничений, описывающих образ какого-либо объекта, процесса, явления. Она может иметь разные формы выражения. Наиболее часто используются математические модели в виде различного рода уравнений, ограничений и т. д. Учёт влияния тех или иных факторов накладывает отпечаток на степень соответствия модели исходному объекту. Вместе с тем, в работе [93]" в части «Математические модели и точность инженерных расчётов» утверждается, что требование внутренней непротиворечивости математической модели должно быть строго обосновано конечной целью расчёта и его реальных возможностях. Обосновывается мнение, что «и логические противоречия в модели могут быть терпимы, если обусловленные ими ошибки в расчётах не выходят за рамки погрешности, следующей из принятых в модели допущений физического характера» .
Конечно, и это особо отмечает Лурье А. И. в работе [87], «применимость модели идеально-упругого тела к реальным телам, как и любой другой реологической модели, должно быть подтверждено экспериментально. Однако осуществима проверка только следствий, получаемых теоретически из исходного закона. Чем больше накоплено таких следствий, тем больше возможностей создаётся для экспериментального исследования. Трудная задача установления закона состояния материала „должна быть передана экспериментаторам как можно позже“ (Синьорини)». С другой стороны, говоря о совпадении предсказаний теории с данными опытов, необходимо отметить, что степень справедливости этого утверждения зависит от допуска, с которым измеряются деформации [90]. Ю. И. Ягн с учениками выполнил поучительную экспериментальную работу [66, 125], состоящую в определении критериев пластичности при различных допусках на предельную деформацию, а именно: кроме традиционного допуска 0,2% были рассмотрены допуски 0,01- 0,001%. Оказалось, что при допуске 0,2% граница пластической деформации соответствовала критерию теории течения Ми-зеса. Но при меньших допусках получались гораздо более сложные критерии, изменявшие в пространстве напряжений с увеличением пластических деформаций не только своё положение, но и форму.
Данная работа состоит из предисловия, введения, семи глав основного текста, выводов и приложения. Кроме того, работа дополнена списком иллюстраций — 67 рисунков, списком таблиц — 23 наименования и списком компьютерных программ, разработанных автором при работе над изучаемой проблемой — 11 единиц.
В первой главе описывается предмет изучения, даётся постановка задачи и формулируются основные цели изучения и проведения исследований по рассматриваемой проблеме.
Во второй главе, на основании работы [102], даются краткие, но самые необходимые сведения об основных понятиях геометрически нелинейной механики. Определяются перемещения и деформации геометрически нелинейной модели сплошной среды, вводится понятие тензора деформаций и его инвариантов, вычисляются главные деформации и, наконец, даётся понятие линеаризованного тензора деформации. Затем рассматривается напряжённое состояние геометрически нелинейной модели сплошной среды. Определяется тензор напряжений, вводится обобщённый тензор напряжения, определенный в декартовой системе координат точек тела до деформации, определяются его инварианты и главные обобщённые напряжения, записываются уравнения равновесия в терминах обобщённых напряжений.
В работе [87] А. И. Лурье подчёркивает, что «необходимость различения в нелинейной теории начального и конечного состояний среды не позволяет довольствоваться рассмотрением одной лишь меры (или тензора) деформации, а в связи с этим и в описание напряжённого состояния оказывается целесообразным ввести отличные друг от друга тензоры»: первыё тензор конечной деформации (Ко-пш-Грина), согласно которому геометрические объекты (длины отрезков, углы между ними, и так далее) в V-объёме (после деформации) определяются по их заданию в v-объёме (до деформации) — второй тензор конечной деформации (Альманзи-Гамеля), согласно которому геометрические объекты в v-объёме (до деформации) определяются по их значению в V-объёме (после деформации). Соответственно напряжённое состояние описывается либо тензором напряжения Коши, определённым в актуальной конфигурации (после деформации), либо тензором напряжения Пиола, определённым в отчётной конфигурации (до деформации) [85].
Далее рассматриваются физические уравнения геометрически нелинейной модели сплошной среды. При записи физических уравнений принималось во внимание замечание В. В. Новожилова, которое он дал в работе [95], обобщив теории связи между напряжениями и деформациями в изотропных телах на случай больших деформаций. При этом выяснилось, что существует определённое соответствие между характеристиками деформации и напряжения, ввиду которого выбор при построении теории тех или иных параметров в качестве характеристик деформации предопределяет, какие параметры должны быть в этой теории приняты в качестве характеристик напряжения. Так, например, если за обобщённые координаты, характеризующие деформацию, принять компоненты тензора деформации, то за характеристики напряжения надо принять соответствующие им компоненты тензора «приведённых» (обобщённых) напряжений. На том же основании «истинным» удлинениям соответствуют «истинные» напряжения, а относительным удлинениям — напряжения, вычисленные по размерам площадок до деформации.
В заключение главы выписываются основные соотношения напряжённо-деформированного состояния физически и геометрически нелинейной модели сплошной среды в ортогональных криволинейных координатах, в частности — в сферических и цилиндрических координатах.
Третья глава посвящена построению и анализу математических моделей геометрически нелинейной модели сплошной среды. Построение математических моделей выполняется на основе предположения об эквивалентности формы записей замыкающих уравнений с учётом и без учёта геометрической нелинейности. Вводятся понятия обобщённого модуля объёмного расширения и обобщённого модуля сдвига. Анализ математических моделей геометрически нелинейной модели сплошной среды выполняется на базе геометрически нелинейных аналогов математических моделей, описываемых а) — уравнениями физически линейной теории упругости [73]- б) — уравнениями теории малых упруго пластических деформаций [69]- в) — уравнениями деформационной теории пластичности сыпучей среды [40]. Достоверность принятых предположений оценивается численно, путем построения и сравнения графиков функций сг =.
Следуя в своих изысканиях, в основном, теории В. В. Новожилова [96], в данной работе, вместе с тем, исключены из рассмотрения твёрдые тела «у которых кривые испытаний на растяжение и сжатие неодинаковы или у которых сопротивление на сдвиг и сопротивление на растяжение находятся в необычном соотношении», поскольку из трёх скалярных функций от инвариантов деформаций, характеризующих свойства произвольной нелинейно-упругой изотропной среды [95] (обобщённый модуль объёмного расширения, обобщённый модуль сдвига, фаза подобия девиаторов напряжений и деформаций), используются только два (фаза подобия девиаторов напряжений и деформаций принимается равной нулю). Эта функция, не имеющая аналога в классической теории упругости, является мерой отклонения от закона подобия девиаторов напряжения и деформаций. Она равна разности угла вида напряжённого состояния и угла вида деформации [117]. Новожилов отмечает, что фаза подобия девиаторов имеет второстепенный характер по сравнению с двумя предыдущими функциями. Вносимые ею в соотношения, связывающие напряжения с деформациями, поправки обычно невелики, и во многих случаях ими можно пренебрегать.
В четвёртой главе формулируются разрешающие дифференциальные уравнения в перемещениях для случаев плоского одномерного, центрально-симметричного, осесимметричного деформирования и плоской деформации сплошной среды. Решаются краевые задачи для сплошных массивных тел. Во-первых, рассматривается полупространство, свободная граница которого получает начальное вертикальное смещение. Во-вторых, рассматривается определение напряжённо-деформированного состояния полупространства вокруг сферической или бесконечной цилиндрической полости, внутренняя граница которой получает начальное радиальное смещение. Затем рассматривается полупространство, находящееся в состоянии плоской деформации, на свободной границе которого заданы начальные вертикальные и горизонтальные смещения произвольной формы. Все задачи решаются как в геометрически линейной, так и в геометрически нелинейной постановке. Результаты решения представлены в виде графиков. Сравнение случаев расчёта в геометрически нелинейной и геометрически линейной постановках представлено в виде таблиц среднеквадратичных отклонений. Решение краевых задач выполнено методом конечных разностей с квадратичной погрешностью во всех узлах расчётной сетки. Для решения систем конечно-разностных уравнений использовался метод итераций (метод Зейделя). На каждой итерации система конечно-разностных уравнений решалась методом прогонки при рассмотрении случаев одномерного плоского, центральносимметричного и осесимметричного деформирования. Приведены доказательства устойчивости метода прогонки. При решении задачи плоского деформирования система конечно-разностных уравнений приводилась к рекуррентным соотношениям.
Выполнено исследование типа разрешающей системы квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающей напряжённо-деформированное состояние плоской деформации геометрически нелинейной модели сплошной среды. Показано, что соответствующее характеристическое уравнение имеет решения, отличные от нуля, а система разрешающих уравнений, следовательно, тип, отличный, вообще говоря, от эллиптического.
Задачи об определении напряжённого и деформированного состояний твёрдого тела в пределах упругости решаются методами теории упругости, которые изложены в монографиях и учебниках Н. И. Безухова, Вана-Цзи-де, Б. Н. Жемочкина, АМКаца, Л. С. Лейбензона, С. Г. Лехницкого, А. Лява, А. И. Лурье, Н. И. Мусхелишвилли, В. В. Новожилова, П. Ф. Папковича, С. П. Тимошенко, М.М. Филоненко-Бородича и других авторов.
В пятой главе рассмотрены вопросы прочности сплошных физически и геометрически нелинейных изотропных сред. Построение критериев прочности выполнено на базе математических моделей, позволяющих непосредственно переходить от зависимостей напряжения-деформации к условию предельного равновесия. Критерии прочности записаны как в терминах обобщённых, так и в терминах истинных напряжений. Проведено их исследование и определены геометрические характеристики предельных поверхностей — являющихся поверхностями второго порядка в общем случае трёхмерного деформирования. Выписаны условия прочности для различных видов напряжённо-деформированного состояния геометрически нелинейных моделей сплошных сред: плоской одномерной деформации, центрально-симметричной деформации, осесимметричной деформаций и плоской деформации. Показано, что геометрическая нелинейность приводит к искажению и смещению поверхностей и кривых прочности по отношению к их положению для случая геометрической линейности.
Рассматриваемые в работе октаэдрические критерии прочности, критерий Ми-зеса [141] и критерий Гениева [41], совпадающий при определённых ограничениях с условием предельного равновесия АИ. Боткина [34], находят практическое приложение при оценке прочностных свойств грунтовых массивов [37, 54, 89, 119]. М. В. Малышев отмечает в работе [89], что «поскольку эксперименты по определению прочностных характеристик грунтов не подтвердили ни теорию прочности Мора, ни теорию прочности Мизеса-Боткина, появилась необходимость в формулировке иных условий» и критериев прочности грунтовых массивов [39, 46, 49, 72, 90, 94, 104, 146, 148]. Поиск новых критериев прочности, в том числе и построенных для геометрически нелинейных моделей сплошных сред, должен объяснить факт закономерного превышения данных теоретических расчётов данными эксперимента при определении несущей способности оснований зданий и сооружений.
В шестой главе описывается деформационная теория пластичности геометрически нелинейной модели сплошной среды. Формулируются исходные положения и физические уравнения для геометрически нелинейных аналогов условий пластичности Мизеса и Мизеса-Боткина. Исследуются замыкающие уравнения деформационной теории пластичности геометрически нелинейных моделей сплошных сред. Для различных случаев напряжённо-деформированного состояния выписываются разрешающие уравнения в перемещениях. Для случая плоской деформации исследуется тип разрешающей системы, являющейся системой квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Показано, что эта система является, вообще говоря, системой смешанного типа [32, 116]. Для частного случая определены направляющие косинусы нормали к характеристической поверхности. Рассмотрен пример решения упру-гопластической задачи.
Современная теория пластичности представляет громоздкое сооружение, состоящее из многочисленных вариантов. Такая её структура объясняется сложностью механизма пластического деформирования. Все описывающие его теоретические построения приближённы и становятся всё более громоздкими по мере повышения требований к общности и точности формул. Введу этого для теории пластичности характерен индуктивный путь развития с постепенным усложнением вариантов и соответствующим расширением их возможности. Отсюда-то и происходит многовариантность [94].
Если целью теории пластичности считать расчёт остаточных деформаций в конструкциях, то уже давно эту цель можно считать достигнутой, так как с точки зрения инженера для этого достаточно точны и простейшие варианты теории течения [98], и простейшие варианты деформационной теории, предназначенной для случая пропорционального нагружения, хотя её используют и для анализа сложных нагружений, например [106], в соответствии с предложениями Г. АГениева [40, 47], С. С. Вялова [37], А. Л. Крыжановского [78] о замене гипотезы о единой кривой, гипотезой о едином семействе кривых.
Основоположником классической деформационной теории пластичности является Г. Генки [51, 52]. Предложенная им теория малых упругопластических деформаций использует конечные зависимости между компонентами напряжений и компонентами деформаций. Обобщения с указанием пределов применимости, путей построения и экспериментального обоснования теорий пластичности при сложном нагружении сделаны А. А. Ильюпшным [71,67, 70].
Наряду с деформационной теорией пластичности, получила распространение теория пластического течения, в которой физические уравнения устанавливают связи между компонентами напряжений и компонентами скоростей пластических деформаций. Основы теории пластического течения изложены в трудах Сен-Венана [114], М. К. Леви [80], Мизеса [141].
Вопросами математической и прикладной теорий пластичности занимались Н. И. Безухов, Г. А. Гениев, Д. Д. Ивлев, М. И. Ерхов, Л. М. Качанов, В. Д. Клюшников,.
Л.С.Лейбензон, Н. Н. Малинин, С. Г. Михлин, А. Надаи, В. В. Новожилов, В. Прагер, А. Р. Ржаницын, Г. А.Смирнов-Аляев, В. В. Соколовский, Р. Хилл, Ф. Ходж и др. В работе [123] даётся достаточно подробный список литературы по проблемам упругости, пластичности и ползучести.
Седьмая глава посвящена вопросам распространения волн деформаций в геометрически нелинейной сплошной среде. Для случаев плоской одномерной деформации, центрально-симметричной деформации, осесимметричной деформации и плоской деформации сплошной среды выписаны формулы, определяющие упругие и упругопластические скорости распространения геометрически нелинейных волн деформаций — нестационарных поверхностей сильных разрывов вторых производных перемещений, являющихся, вообще говоря, поверхностями слабых разрывов деформаций, напряжений и скоростей частиц. Для случая плоской деформации исследованы характеры разрывовопределены условия распространения чисто продольных и поперечных геометрически нелинейных волн деформаций. Построены диаграммы приведённых скоростей распространения двумерных геометрически нелинейных, упругих и упругопластических волн деформаций.
Постановка и решение динамических задач теории упругости и пластичности не является новой, неисследованной областью механики [17, 91]. Основу динамического расчёта реальной механической системы, выполненной из того или иного материала, составляет, довольно часто, расчёт параметров волн деформаций и напряжений, распространяющихся по конструкции. Известно, что учёт пластических свойств материалов имеет весьма существенное значение в этом случае, поскольку пластические деформации поглощают значительную часть энергии сообщаемого сооружению ударного воздействия. Кроме того, при динамических нагрузках большинство материалов ведёт себя иначе, нежели при статическом нагружении. Экспериментальное изучение поведения материалов при динамических воздействиях основывается, в конечном итоге, на знании общих закономерностей и принципов волновой теории.
Вопросами распространения волн деформаций занимались многие исследователи: Ю. Бейда, Н. М. Бородачёв, Г. А. Гениев, С. С. Григорян, Ю. А. Демьянов, В. А. Ильичёв, В. Н. Кукуджанов, Я. Л. Лунц, Г. М. Ляхов, В. К. Новацкий, Н. ИЛолякова, Х. А. Рахматулин, А. Я. Сагомонян, А. М. Скобеев, В. В. Соколовский, Г. С. Шапиро, М. И. Эстрин. Закономерности распространения неодномерных волн деформаций исследовались в работах Гениева Г. А., Лейтеса B.C., Эстрина М. И. [38, 42, 43, 44, 45, 48, 50, 124], Бейда Ю [128, 129], Сауервай-на [147] и других авторов.
Автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность профессорам Г. А. Гениеву, и А. Н. Кошеву за помощь, оказанную при подготовке этой диссертации. Кроме того, автор признателен всем сотрудникам кафедры информационно вычислительных технологий Пензенской Государственной Архитектурно-строительной Академии, а также сотрудникам кафедры механики и прикладной информатики Саратовского Государственного технического Университета за ценные советы и замечания.
Основные выводы и результаты проведённых исследований заключаются в следующем.
1. Разработан способ построения замыкающих уравнений для геометрически и физически нелинейных моделей сплошных сред. Способ основан на экстраполяции определяющих соотношений математических моделей геометрически линейных моделей сплошных сред на случай геометрической нелинейности. Показано, что в терминах истинных напряжений замыкающие уравнения имеют форму перекрестных зависимостей между первыми и вторыми инвариантами тензоров напряжений и деформаций при любой форме зависимостей обобщенных модулей К* и G* от инвариантов е и Гтензора деформаций.
2. Численный анализ физических зависимостей показал, что для малых уровней внешнего воздействия кривые объёмного, а ~ е и сдвигового Т ~ Г деформирования, построенные с учётом и без учёта геометрической нелинейности, практически совпадают, в то время как для уровней внешнего воздействия близких к предельным между ними имеются существенные расхождения. Эти расхождения определяются и видом рассматриваемого напряжённо-деформированного состояния, и видом рассматриваемой математической модели, и значением её механических констант.
3. Построены геометрически нелинейные аналоги математических моделей сплошной среды. В качестве прототипа использовались математические модели, описываемые уравнениями физически линейной теории упругостиуравнениями теории малых упруго пластических деформацийуравнениями деформационной теории пластичности сыпучей среды.
4. Построены разрешающие уравнения в перемещениях для случаев плоского одномерного, центрально-симметричного, осесимметричного деформирования и плоской деформации нелинейно-упругой геометрически нелинейной модели сплошной среды. Исследована система дифференциальных уравнений, описывающая плоскую деформацию. Показано, что её характеристическое уравнение имеет решения, отличные от нуля, а система квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных, следовательно, тип, отличный от эллиптического. Найдены условия, определяющие неэллиптический тип системы двух квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка от двух независимых переменных.
5. Решены краевые задачи для характерных случаев напряжённо-деформированного состояния массивных тел как в геометрически нелинейной, так и в геометрически линейной постановках. Сравнение характеристик напряжённо-деформированного состояния и их инвариантов, полученных с учётом и без учёта геометрической нелинейности, показало, что расхождение между ними существенно лишь в областях близких к предельным и определяется и видом рассматриваемого напряжённо-деформированного состояния, и видом математической модели, и значением её механических констант.
6. На основе математических моделей сплошных сред, позволяющих непосредственно переходить от зависимостей «напряжения-деформации» к условию предельного равновесия, построена геометрически нелинейная теория прочности. Разработаны геометрически нелинейные аналоги критериев прочности Мизеса и Гениева. Отмечено, что положение предельной поверхности в системе координат, определяемой главными истинными напряжениями, зависит как от напряжённого, так и от деформированного состояния. Исследования показали что, форма предельной поверхности в случае геометрической нелинейности определяется напряжённым состоянием, в то время как деформированное состояние определяет смещение и искажение предельной поверхности по отношению к её положению для случая геометрической линейности. Смещение и искажение предельной поверхности зависит как от вида рассматриваемого деформированного состояния и уровня развития деформаций в точках сплошной среды, так и от значения физических констант математической модели.
7. Разработан геометрически нелинейный вариант деформационной теории пластичности. Записаны общие физические уравнения для геометрически нелинейного аналога условия пластичности Мизеса и геометрически нелинейного аналога условия пластичности Мизеса-Боткина В терминах истинных напряжений построены соответствующие замыкающие уравнения. Численные исследования показали, что влияние геометрической нелинейности на характер замыкающих уравнений в области пластических деформаций неоднозначно и существенно зависит и от вида математической модели сплошной среды, и от значения входящих в неё физических констант, и от вида рассматриваемого напряженно-деформированного состояния, и от уровня развития деформаций в сплошной среде, и тем значительнее, чем выше значение предельной интенсивности деформаций сдвига Отмечено, что геометрическая нелинейность приводит к однозначной зависимости между сдвиговыми деформациями и напряжениями для условия пластичности Мизеса, в то время как для геометрически линейной модели зависимость между сдвиговыми деформациями и напряжениями является неоднозначной (на графиках Т ~ г имеется площадка текучести). При этом, при деформациях укорочения интенсивность касательных напряжений уменьшается с увеличением интенсивности деформаций сдвига, а при деформациях удлинения интенсивность касательных напряжений увеличивается с увеличением интенсивности деформаций сдвига.
8. Построены разрешающие уравнения в перемещениях и для условия пластичности Мшеса, и для условия пластичности Мизеса-Боткина. Проведено исследование типа разрешающих уравнений плоской деформации. Для частного случая определены действительные значения направляющих косинусов характеристической поверхности, то есть разрешающая система в этом случае является системой гиперболического типа.
9. В качестве примера решена краевая упругопластическая задача на определение напряжённо-деформированного состояния геометрически нелинейного полупространства, находящегося в состоянии плоской одномерной деформации. Отмечено, что учет геометрической нелинейности явно, значительно и неоднозначно влияет на характеристики напряженно-деформированного состояния. Это влияние существенно зависит и от вида математической модели сплошной среды, и от значения входящих в неё физических констант, причём на разных характеристиках напряжённо-деформированного состояния это влияние сказывается по-разному.
10. Рассмотрены вопросы динамики в плане исследования скоростей распространения неодномерных геометрически нелинейных волн деформаций. Для случая плоского одномерного деформирования построены и исследованы графики зависимостей приведённых скоростей нелинейно-упругопластических волн деформаций растяжения и сжатия от уровня деформаций. Отмечено, что геометрическая нелинейность приводит к занижению скоростей волн деформаций по сравнению со случаем геометрической линейности как при растягивающих, так и при сжимающих деформациях. Это отклонение тем значительнее, чем выше уровень развития геометрической нелинейности в сплошной среде, характеризуемый предельной интенсивностью деформаций сдвига. Выявлено, что при переходе от упругой стадии работы материала к пластической скорость распространения волн деформаций изменяется, вообще говоря, скачкообразно.
11. Проведено исследование характера разрывов при распространении двумерных геометрически нелинейных и нелинейно-упругошастических волн деформаций. Отмечено, что в отличие от геометрически линейной среды, для которой чисто продольные и поперечные волны имеют место только при совпадении нормали к фронту волны с одним из главных направлений, для геометрически нелинейной среды чисто продольные и поперечные волны определяются не только условием совпадения нормали к фронту волны с одним из главных направлений, но также и видом физической модели среды, а также законом и характером распределения напряжений, деформаций и перемещений в массиве. Определены необходимые условия возникновения чисто продольных и поперечных волн. Показано, что скорости распространения геометрически нелинейных волн деформаций определяются в заданном направлении не только видом напряжённо-деформированного состояния и формой физических зависимостей, но также и характером распределения перемещений внутри массива.
12. Исследования закономерностей распространения двумерных волн деформаций для различных видов деформированного состояния показывают, что геометрическая нелинейность существенно изменяет и вид и характер диаграмм мгновенных скоростей волн деформаций по сравнению с диаграммами, построенными для случая геометрически линейной модели сплошной среды. Эти искажения тем значительнее, чем выше уровень деформаций и степень развития геометрической нелинейности в рассматриваемой точке сплошной среды. Особенно сильно эти влияния проявляются для сред, находящихся в состоянии пластического деформирования.
В общем и целом скорости распространения волн деформаций в геометрически нелинейных средах существенно зависят от вида напряжённо-деформированного состояния в рассматриваемой точке сплошной среды, от формы физических зависимостей, от степени развития пластических деформаций, от характера распределения перемещений в среде, от взаимной ориентации нормали к фронту волны и главных осей.
Таким образом, проведённые исследования достаточно убедительно показывают, что расчёт сплошных сред и массивных тел необходимо выполнять используя «точные» уравнения механики деформируемого твёрдого тела, представленные в книгах В. В. Новожилова.
