Теория Литлвуда-Пэли: некоторые новые результаты

Теория Литлвуда-Пэли" — несколько размытый термин. Под ним обычно понимают многочисленные и, на первый взгляд, разнородные неравенства в анализе Фурье, выражающие принадлежность функции лебеговым классам LP или классам Харди Нр в терминах оценок на //'-нормы различных «квадратичных» выражений. Не претендуя на то, чтобы дать исчерпывающий список, приведем несколько таких неравенств.

Пусть / е //(М), 1 < р < оо. Определим квадратичное выражение L (f) по формуле де£> где Т> — двоичное разложение прямой, то есть набор всех отрезков вида [2к)2кп] и [—2fc+1, —2fc], к е Z, а Мд/ = (ТхаУ — соответствующие мультипликаторы Фурье. Необходимо заметить, что здесь и далее мы пользуемся следующим определением преобразования Фурье: m = f f e.

Здесь «S (M») — класс Шварца, и наше определение распространяется на пространство медленно растущих распределений < р < оо) известным способом (см., например, [21, § 1.3]). Классическая теорема Литлвуда-Пэли утверждает (см. [4, § IV.5]), что верна следующая двусторонняя оценка: l|b (/)|UP (E) х ||/||LP®. (i).

Далее, пусть / G L^M"), 1 < р < оо. Рассмотрим квадратичную^{-функцию} Литлвуда-Пэли, которая определяется выражением где: / — продолжение Пуассона функции /, а градиент берется по всем переменным, в том числе и по у. Известно (см. [4, § IV.l]), что.

Если дифференцировать только по х или только по у, получим квадратичные функции.

0у (/)(*) = (I itt^y) ydy 2.

½ и.

Для них также выполняются двусторонние оценки.

9у (1)\ьр{Ш") ~ ||/||lp (R") и \gx (f)\lp (Rn) ~ \I\lp (R") — (2).

Следующей квадратичной функцией, которую мы рассмотрим, будет интеграл площадей Лузина A (f), который определяется по формуле.

Л (1)(х) =(ff IV/(i, y)|V" n^dy) где Г (.т) = {(t, у) Е | |t — < у} — конус с вершиной в точке х. Заметим, что в случае^{-функций} мы брали интеграл по перпендикулярному лучу, выходящему из точки х, здесь же мы интегрируем по конусу Г (х) — и, таким образом, возникает аналогия с соответствующими способами приближения к граничной точке: с приближением вдоль луча в первом случае и некасательным приближением внутри конуса во втором. Снова верна (см. [4, § VII.3.3]) двусторонняя оценка: ih (/)||lp (r") ^ ||/||lp (R"), 1 < р < оо. (3).

Интеграл площадей Лузина довольно эффективно использовался при изучении классов Харди Нр (Шп). В [10, стр. 161−167] доказано, что.

IH (/)||LP (R") ~ ||/||яр (К"), 0 < р < 1. (4).

Теперь заметим, что V/(i, y) = (f*VPy)(t), где Py (t) = Cy/{t2 + у — ядро Пуассона. Иногда вместо VPy используют иные свертыватели. Например, мы можем рассмотреть квадратичную функцию где ipy (t) = у~пчр (1/у), а функция '0, в свою очередь, принадлежит классу Шварца .

II^C/OIUpcr") — ||/||lp (r"), i < р < оо..

Если же дополнительно потребовать, чтобы нескольких первых моментов функции ф равнялись нулю (чем меньше показатель р, тем большее число моментов должно обнуляться), то будет также верна оценка.

Up (Mn) ж И/Ндрскп), О < р < 1. (5).

Если^{-функция} «соответствовала» приближению точки (t, y) к границе вдоль луча, а оператор, А — некасательному приближению внутри конуса, то произвольному приближению точки (t, у) к точке (ж, 0) «соответствует» квадратичная функция Сд, определяемая по формуле: вШх) = (Г L Ш" 1 v/<* - 8)1 «2 ¦.

Основная оценка для этого оператора выглядит следующим образом:.

1|Сл (/)11р < Ср, л \f\p, а > 1 и Р > шах (1, 2/А), (6) см. [4, § IV.2] и [9]). Дополнительно заметим, что три оператора из перечисленных удовлетворяют следующему поточечному соотношению: g (f)(x).

Помимо формального общего признака — присутствия всюду тех или иных квадратичных выражений — все перечисленные оценки роднит и общность (хотя и не полное тождество) методов их получения. Очень часто для доказательства привлекается теория сингулярных интегральных операторов в разных вариантах (так, кстати, будет и в этой диссертации). Из многочисленных приложений указанных неравенств мы упомянем лишь, что теорема Литлвуда-Пэли, то есть оценка (1), представляет собой основной ингредиент в доказательстве классической теоремы Мар-цинкевича о мультипликаторах (см., например, [4, § IV.6]). Последний из примеров — функция G — тоже достаточно эффективно использовался для оценок мультипликаторов Фурье (см. [4, § IV.3]). Диссертация посвящена новым результатам в теории именно этих двух инструментов — неравенства Литлвуда-Пэли и оператора G" x. Обсудим их более подробно..

Что касается соотношения (1), то его доказательство сводится к проверке^{-ограниченности} довольно простого сверточного сингулярного интегрального оператора. В действительности в неравенстве (1) вовсе не обязательно, чтобы разбиение Т> имело указанный вид — вместо точек 2к гам может выступать любая последовательность, растущая как геометрическая прогрессия. Довольно легко, однако, понять, что, вообще говоря, без дополнительных предположений о структуре разбиения это неравенство нарушается. Тем не менее, в 1983 году Рубио де Франсиа в работе [17] доказал, что ситуация кардинально меняется, если двустороннюю оценку заменить односторонней. А именно, он установил, что если 2 < р < оо, то выполняется оценка где Ат — произвольные попарно непересекающиеся интервалы на прямой R, а константа Ср не зависит ни от функции /, ни от интервалов Дш. Из соображений двойственности вытекает, что при 1 < р < 2 будет выполнено неравенство в обратную сторону, то есть для набора функций {/т}, таких, что supp fm С Am, верна оценка.

В доказательстве Рубио де Франсиа фигурировал уже более сложный несверточный сингулярный интегральный оператор типа Кальдерона-Зигмунда и проверялось, что этот оператор действует ограниченно из L°° в В МО (после чего применялись интериоляционные соображения)..

Вскоре после того, как Рубио де Франсиа получил упомянутый результат, Журне опубликовал работу [14], посвященную многонарамет-рическим операторам КальдеронаЗигмунда па прямых произведениях евклидовых пространств. Простейшим примером такого оператора являeiMAm/r)½||.

7) m.

1 < р < 2..

8) ется двойное преобразование Гильберта:.

Я (/)(Х1,®2) = lim [[ —-Му2.

2-*U |Ж2-У2|>?2.

Ограниченность оператора Н на пространствах i/'(R2). 1 < р < оо, сразу вытекает из^{-ограниченности} преобразования Гильберта по одной переменной и из теоремы Фубини. Если же у оператора, заданного на функциях от нескольких переменных, ядро не является произведением однонараметрических ядер типа КальдеронаЗигмунда, то для его изучения требуется специальная теория, являющаяся обобщением од-попараметрической теории сингулярных интегральных операторов. До того как Журне опубликовал свою работу [14], такая теория была известна только для сверточных операторов. Методы Журне позволили, во-первых, рассматривать более общие несверточные операторы, а во-вторых, проверять, что такие операторы действуют ограниченно из пространства L°°(M.dl+'" +dn) в специальное мпогопараметрическое пространство ВМОп (Rfil х ¦ • - xR. dn). //-ограниченность получалась из интерполяционных соображений. В конце своей работы Журне, используя методы построенной им теории, доказал, что результат Рубио де Франсиа можно распространить на пространство Мп, то есть, что аналог неравенства (7) выполняется в случае, когда Ат С R" — попарно непересекающиеся параллелепипеды со сторонами, параллельными осям координат. Стоит отметить, что оператор, к ограниченности которого сводится вопрос, не вполне укладывается в теорию Журне, и ему пришлось обходить эту трудность, используя структурные особенности этого оператора..

С другой стороны, в 2005 году Кисляков и Парилов в работе |3] доказали, что оценка (8) верна для всех 0 < р < 2 (что, конечно, уже нельзя получить, просто применив к оценке (7) соображения двойственности). Основой доказательства послужило то, что фигурирующий у Рубио де Франсиа оператор обладает дополнительными свойствами, а именно, оператор, сопряженный к нему, действует ограниченно на классах Харди НР (Ш), 0 < р < 2. Возникает естественный вопрос: нельзя ли распространить результат Кислякова и Парилова на пространство R™, то есть доказать аналог неравенства (8) для 0 < р < 2 в случае, когда Дт С Мп — попарно непересекающиеся параллелепипеды со сторонами, параллельными осям координат? Для этого нужны методы, двойственные" упомянутой теории Журне, такие, которые бы позволяли проверять ограниченность операторов на многопараметрических классах Харди H^(M.dl х ¦ • • х Mdn) (определение таких пространств будет дано в § 1.2). Подходящая теория, посвященная операторам Кальдерона-Зигмунда на двухпараметрических классах Харди х Ш1'2), была изложена Р. Фефферманом в работе [11] 1986 года. Используя эту теорию, автору удалось доказать (см. [23]), что аналог результата Кислякова и Парилова выполняется в случае, когда Дт — произвольные попарно непересекающиеся прямоугольники на плоскости М2 со сторонами, параллельными осям координат..

Теперь заметим, что Р. Фефферман рассматривал лишь двухпарамет-рическую ситуацию. При этом он использовал геометрическую лемму о покрытиях, полученную Журне в [14], и атомное разложение в двухпараметрических классах Харди, которое Чанг и Р. Фефферман получили в работе [8]. Поскольку эти инструменты легко обобщались на случай произвольного числа параметров, видимо некоторое время считалось, что теорию Р. Феффермана об операторах Кальдерона-Зигмунда на двухпараметрических классах Харди также легко можно распространить на ситуацию произвольного п. Однако в 1988 году была опубликована работа Журне [15], в которой, помимо прочего, был построен контрпример, показывающий, что прямое обобщение результатов Р. Феффермана на ситуацию, когда число евклидовых сомножителей больше двух, неверно (рассматривался некоторый оператор, действующий на пространстве Яз (Кх R х М)). Однако позже появились теории, более тонкие и громоздкие, чем теория Р. Феффермана, но основанные на сходных идеях, позволяющие все же проверять ограниченность некоторых сингулярных интегральных операторов на многопараметрических классах Харди 77?(Krfl х • • • xRd"). Наиболее общий метод работы с такими операторами, в основе которого лежали идеи Журне, был описан Кэрбэри и Сигером в 1990 году (см. [7]). Как оказалось, применить теорию Кэрбэри-Сигера к вопросу о неравенстве Литлвуда-Пэли в пространстве М&tradeне сильно сложнее, чем применить теорию Р. Феффермана в случае плоскости R2. В статье [24] автору удалось показать, используя методы Кэрбэри и Си-гера, что аналог оценки (8) выполняется в ситуации, когда 0 < р < 2 и Ат — произвольные попарно непересекающиеся параллелепипеды в К" со сторонами, параллельными осям координат..

Итак, первое, что будет обсуждаться в этой работе, это применение теорий Р. Феффермана и Кэрбэри-Сигера к вопросам об одностороннем неравенстве Литлвуда-Пэли на плоскости К2 и в пространстве произвольной размерности Rn..

Теперь обсудим функцию G. В [4, § IV.3] оценка (6) используется для доказательства теоремы Михлина-Хёрмандсра о мультипликаторах. Дело в том, что если функция v удовлетворяет условиям той теоремы (то есть v достаточно гладкая и ее производные определенным образом ограничены), то оказывается верной поточечная оценка.

9y (Mvf)(x) < CAGJ (/)(z), (9) где Mvf = (/ ¦ v) v — мультипликаторный оператор, соответствующий функции v. Из соотношений (2), (6) и (9) вытекает //-ограниченность мультипликатора Mv..

Отметим, что оператор G стоит несколько особняком в ряду квадратичных операторов, перечисленных в начале введения, //-ограниченность других квадратичных функций, таких как д-функции Литлвуда-Пэли или интеграл площадей Лузина, может быть проверена с помощью теории операторов Кальдерона-Зигмунда для функций со значениями в гильбертовом пространстве. Однако для доказательства оценки (6) использовался иной подход (см, например, [4, § IV.2] или [9]) и считалось, что теория сингулярных интегральных операторов в этом контексте неприменима. Тем не менее, в 2004 году Анисимов и Кисляков заметили (см. [1]), что в квадратичной функции G — аналоге функции G?2 на окружности, все же спрятан некоторый сингулярный интегральный оператор Т. Он действовал в пространство функций со значениями во вспомогательном гильбертовом пространстве, а функция G выражалась через норму в этом пространстве. Строго говоря, рассматривался не сам оператор Т, а оператор Т*, сопряженный к нему. Было проверено, что Т* — оператор Кальдерона-Зигмунда, то есть, что его ядро удовлетворяет определенному условию гладкости. Из этого сразу следовало, что квадратичная функция G //-ограничена при 2 < р < оо. Также были сформулированы некоторые следствия, имеющие отношение к теории интерполяции. А именно, рассмотрим функцию / € //(Т), 2 < р < оо. Грубым разрезанием функции |/| по уровню, а > 0 получим функцию д Е L°°(T), такую что \д\оо < Cot и \f — gW^ < Ca2~p\f\^. Тот факт, что оператор G выражается через оператор Кальдерона-Зигмупда, позволяет, применив общие соображения, впервые описанные Бургейном в [6], изменить функцию д так, чтобы в дополнение к этим оценкам (в них изменятся лишь оценочные постоянные) выполнялось неравенство |[С?(д)||оо < Са. Заметим, что такое утверждение о «разрезании» функции было доказано еще раньше Джонсом и Мюллером с помощью броуновского движения (см. [13]), а результат Кислякова и Анисимова заключался в том, что этот факт может быть проверен иначе, если воспользоваться представлением функции G в виде нормы от значений оператора Кальдерона-Зигмупда. Автор в работе [25] показал, что аналогичные методы применимы не только для круга, но и для пространства М" и что параметр Л = 2 не исключение. Таким образом, функция G*x, как и функция G, выражается через норму от значений некоторого оператора Т, сопряженный к которому оказывается оператором Кальдерона-Зигмупда. Дополнительно было доказано, что при некотором ограничении на показатель Л прямой оператор Т также является сингулярным интегральным оператором, что позволило формулировать следствия (аналогичные тем, которые были получены для функции G) сразу для всех 1 < р < ос..

Итак, is последней главе мы рассмотрим квадратичную функцию G с точки зрения теории сингулярных интегральных операторов типа Каль-дерона-Зигмунда на векторнозначных функциях..

Объект исследования и научные положения, выносимые на защиту. Исследуются два объекта из области гармонического анализа: неравенство Литлвуда—Пэли и квадратичная функция G*x. Что касается неравенства Литлвуда-Пэли, то удалось доказать его односторонний вариант для параллелепипедов в К&tradeв //-метрике при 0 < р < 2. Это является первым результатом, который выносится на защиту. Вторым результатом является тот факт, что квадратичную функцию G можно трактовать как норму в гильбертовом пространстве от значений некоторого оператора Кальдерона—Зигмунда (также на защиту выносятся следствия из этого факта)..

Цели и задачи диссертации. В этой работе автор ставит перед собой цель продемонстрировать и математически строго доказать новые закономерности, позволяющие лучше понять внутреннюю структуру таких важных инструментов гармонического анализа, как неравенство Литлвуда-Пэли и квадратичная функция Gд, а также связанных с ними понятий..

Методы исследования. Результаты, касающиеся неравенства Литлвуда-Пэли, получены методами теории сингулярных интегральных операторов типа Кальдерона—Зигмунда на многопараметрических классах Харди. Квадратичная функция исследовалась методами теории операторов Кальдерона-Зигмунда на функциях со значениями в банаховых пространствах. Также во многих местах использовалась теория интерполяции..

Достоверность научных положений. Все результаты, выносимые на защиту, являются математически достоверными фактами. Они были опубликованы в рецензируемых журналах, а их доказательства неоднократно проверялись специалистами в той области, к которой эти результаты относятся (имеется в виду гармонический анализ и теория Литлвуда-Пэли)..

Научная новизна. Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми..

Актуальность, практическая ценность и область применения результатов. Гармонический анализ является важной и активно развивающейся областью математики, позволяющей отвечать на фундаментальные вопросы о связях между функцией и ее спектром (преобразованием Фурье). Новые сведения и закономерности, описанные в этой диссертации, могут быть использованы для получения новых результатов в этой области или в близких к ней, таких как теория сингулярных интегральных операторов, вопросы интерполяции и т. д..

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на общегородском семинаре по линейному и комплексному анализу в Санкт-Петербурге..

Публикации. Результаты, выносимые на защиту, опубликованы в работах [23, 24, 25]. Все три статьи напечатаны в журналах из списка ВАК..

Содержание работы. В первой главе будут описаны общие понятия и методы, использующиеся в работе: сингулярные интегральные операторы типа Кальдерона-Зигмунда, классы Харди, в том числе многопараметрические, и некоторые факты из теории интерполяции..

В § 1.1 мы обсудим сингулярные интегральные операторы типа Кальдерона-Зигмунда и дадим общее определение таких операторов, действующих на функциях со значениями в банаховых пространствах. Мы заметим, что такие операторы действуют ограниченно в //'-пространствах при 1 < р < 2 (а сопряженные к ним — при 2 < р < оо). Затем мы через некасательную максимальную функцию дадим определение «действительных» классов Харди Нр (Шп), 0 < р < оо. При 1 < р < оо классы Нр и пространства // в некотором смысле совпадают, а при 0 < р < 1 для функций из класса Нр существует атомное разложение. Это означает, что если / е Нр, 0 < р < 1, то существует разложение f = Y1 ^к^-к, где числа Xk такие, что (^ |А&|р)1/, р х ||/||яр> а У функций aназываемых атомами, выполняются некоторые ограничения на «размер» и несколько первых моментов равны нулю. Как известно, с помощью атомного разложения можно доказать, что операторы Кальдерона-Зигмунда действуют ограниченно из Нр в LF при 0 < р < 1..

В § 1.2 мы обсудим многопараметрические классы Харди, на которых ограниченно действуют многопараметрические операторы Кальдерона-Зигмунда (например, уже упоминавшееся двойное преобразование Гильберта). Вначале будет дано определение многопараметрических аналитических классов Харди х • • • х R) = Tip (M.n) (здесь нижний индекс п обозначает число параметров). Ввиду важности данного понятия продублируем здесь его определение: функция и, заданная на прямом произведении п верхних комплексных полуплоскостей и аналитическая по всем переменным, принадлежит классу если.

В этом определении функция и может быть как скалярпо-значной, так и /2-значной (то есть под пространством мы часто будем понима ть пространство ?^(Rn,/2), не оговаривая этого явно). Затем мы сформулируем лемму, которую мы будем использовать во второй главе, чтобы заменять в оценках //-нормы^{-нормами.} По сути эта лемма утвержа-ет, что если у функции д G Z/(Rn) П L1(Rn), 0 < р < 2, носитель преобразования Фурье лежит в параллелепипеде с положительными координатами, то эта функция принадлежит многопараметрическому классу Харди 7i^(Rn), причем ее 7-££-норма оценивается //-нормой. Эта лемма элементарна, но в литературе, по видимому, отсутствует, поэтому мы там же приведем набросок ее доказательства. Также мы опишем более общие «действительные» классы Харди ff?(Rx ¦ ¦ • xR) = /7?(Rn), которые определяются через многопараметрическую некасательную максимальную функцию. Известно, что С причем нормы этих пространств эквивалентны на Н? (см. [12]). Мы заметим, что для многопараметрических классов Харди Rn) существует аналог атомного разложения (см. [8] или [11]) и что ключевым фактом, позволяющим получить такое разложение, является ограниченность на классах Н^(Ш.п) п-1гараметрической квадратичной функции S^ (ее однопараметрический вариант Ь’ф мы уже обсуждали в самом начале). То, что оператор действует ограниченно из IIЦ в //, считается хорошо известным, но похоже-, что нигде в литературе это в явном виде не проверяется, поэтому там же для полноты будет приведен набросок доказательства этого факта..

В § 1.3 мы обсудим уже упоминавшиеся теории Р. Феффермана (см. [11]) и Кэрбэри-Сигера (см. [7]), позволяющие проверять ограниченность некоторых операторов на многоиараметрических классах Харди О < р < 1. Эти теории будут применяться во второй главе для изучения операторов, к ограниченности которых сводится вопрос о неравенстве Литлвуда-Пэли. В начале параграфа мы, предварительно выписав определения атома и предатома, сформулируем теорему об атомном разложении для многопараметрических классов Харди (см. [8] или [11]), которая утверждает примерно следующее: если / G Rn), то / = гДе числа Afc такие, что У] |AJP < С||/||7', а каждая из функций а/г сосредоп п точена на открытом множестве конечной меры. Функции называются атомами и каждая из них, в свою очередь, представима в виде линейной комбинации (возможно, бесконечной) предатомов — сосредоточенных на диадических параллелепипедах функций, у которых равно нулю определенное число моментов по каждой переменной. Затем мы сформулируем теорему Р. Феффермана, позволяющую доказывать ограниченность некоторых операторов на двухпараметрических классах Харди //f (М2). Очень приблизительно идею этой теоремы можно описать следующим образом: несмотря на то, что функция из двухпараметрическо-го класса Харди прямо не представляется в виде линейной комбинации предатомов (функций с носителями в прямоугольниках и нулевыми моментами по каждой переменной) с коэффициентами, контролируемыми ее Я^-нормой, для доказательства ограниченности некоторого оператора Т достаточно проверить, что он в некотором смысле «хорошо ведет» себя на предатомах. Мы заметим, что двухпараметрические операторы Кальдерона-Зигмунда удовлетворяют условиям теоремы Р. Феффермана. Затем будет описан более общий подход Кэрбэри и Сигера, позволяющий проверять ограниченность операторов с ядром на классах Я?(КП), п > 2. Их метод заключается приблизительно в следующем: умножением на функции, являющиеся разбиением единицы, «разрезается» ядро рассматриваемого оператора, а затем изучается поведение операторов с полученными таким «разрезанием» ядрами на «частичных» предатомах — функциях, у которых свойства предатомов выполняются лишь по части переменных..

В § 1.4 мы сформулируем в терминах /^-замкнутости (предварительно определив это понятие) довольно давно известную (см., например, обзор [16]) интерполяционную 1 теорему, из которой будет следовать, что если Т иТ* — операторы Кальдерона-Зигмунда (где Т* — оператор, сопряженный к Т), то любую функцию / G U 1 <р < оо, можно разбить на сумму двух функций g 6 L°° и Ь G L1 так, что не только ||#||оо < Со. и ||b||i < Cal-p\f\p, но и ЦТ^Цоо < Са для любого уровня, а > 0..

В § 1.5 мы для полноты приводим подробное доказательство двух элементарных утверждений о многопараметрических классах Харди из § 1.2. Первое утверждение о том, что функция, преобразование Фурье которой сосредоточено в параллелепипеде с положительными координатами, принадлежит аналитическому многопараметрическому классу Харди с удобной оценкой нормы, и второе о том, что многопараметрическая квадратичная функция Бф действует ограниченно из Мп) в ЬР (ШП)..

Вторая глава будет посвящена обобщению одностороннего неравен.

1Имеется в виду вещественная интериоляция, которая при широком взгляде на вещи и есть наука о разрезании функции на две части с предписанными оценками. ства Литлвуда-Пэли при 0 < р < 2 на пространстве) М". А именно, мы докажем, что при 0 < р < 2 выполняется оценка где Дт — непересекающиеся параллелепипеды в Ж&tradeсо сторонами, параллельными осям координат, а функции /т Е L1 (Rn) такие, что supp/m С Дто. Константа СР) П не зависит ни от функций, ни от параллелепипедов..

В § 2.1 мы еще раз вкратце повторим историю вопроса и дадим точную формулировку теоремы, которую мы собираемся доказывать..

Принципиальный момент в доказательстве этой теоремы состоит в том, что по сути мы имеем дело с оценкой в классах Харди, а не в лебеговых пространствах. В § 2.2 мы покажем, как именно теорема сводится к вопросу об ограниченности двух вспомогательных операторов на многопараметрических классах Харди. Чтобы избежать громоздких выкладок, мы будем рассматривать ситуацию п = 2 (ввиду того, что мы будем пользоваться общей теорией Кэрбэри-Сигера, которая, в отличие от теории Р. Феффермана, применима к ситуации п > 2, рассуждения легко распространяются на случай произвольного п, см. § 2.5). Для начала мы рассмотрим частный случай, когда все прямоугольники Дш — «почти» диадические (а именно, получены из диадических увеличением длин сторон в 8 раз с сохранением координат левой нижней вершинытребование о том, чтобы они попарно не пересекались, при этом сохраняется). Теорема в этом частном случае будет сводиться к ограниченности некоторого оператора S на пространствах (К2, /2) — 0 < р < 2 (в этом месте используется лемма из § 1.2 о том, что функция, преобразование Фурье которой сосредоточено в прямоугольнике с положительными координатами, принадлежит классу Харди). Оператор S не сверточный и, что еще важнее, действие этого оператора не выражается через последовательное применение его одномерных аналогов отдельно по каждой переменной. Далее, отложив доказательство ограниченности оператора S до следующего параграфа, мы обсудим, как свести нашу теорему к рассмотренному частному случаю с помощью другого вспомогательного оператора R. Действие этого оператора заключается в том, что он некоторым образом «разрезает на части» носитель преобразования Фурье функции, к которой он применяется. В отличие от оператора S, оператор.

R сверточный и легко выражается через свои одномерные аналоги. Нам потребуется его ограниченность на классах Н^Ш2,1'2), проверка которой будет также отложена до следующего параграфа. Из этих утверждений с отложенными доказательствами основной результат главы получается мгновенно..

В § 2.3 мы докажем ограниченность операторов S и R. Их^{-ограниченность} будет сразу следовать из теоремы Планшереля, и если доказать, что эти операторы ограничены на классах Щ (Ш2) при 0 < р < 1, то для остальных р это последует из интерполяционных соображений. Вначале будем рассматривать оператор S. Он не является в точном смысле многопараметрическим оператором Кальдеропа-Зигмунда (например, он не укладывается в определения из статей [11, 14]), однако мы сформулируем лемму, которая в некотором смысле послужит заменой условию гладкости для его ядра. Затем кратко опишем как, используя эту лемму, проверять для оператора S условие теоремы Р. Феффермана об ограниченности операторов на двухпараметрических классах Харди. После чего, уже со всеми подробностями, проведем доказательство ограниченности оператора S методами теории Кэрбэри-Сигера. Нам останется разобраться с оператором R. Мы предварительно сформулируем оценку, которая является условием гладкости для ядра одномерного аналога оператора R. Затем, используя эту оценку, методами теории Кэрбэри-Сигера проверим ограниченность оператора R на многопараметрических классах Харди, иричем выкладки окажутся значительно проще, чем для оператора S (ввиду того, что оператор R более стандартен и действие этого оператора на функцию выражается через последовательное применение его одномерных аналогов отдельно по каждой переменной)..

В § 2.4 мы проверим условия гладкости для ядер операторов S и R. Подобные условия проверялись и раньше во многих работах, но ввиду некоторых технических отличий мы не сможем сослаться пи на одну из этих работ..

В § 2.5 мы рассмотрим ситуацию произвольного п (напомним, что до этого момента мы рассматривали случай п = 2). Мы покажем, что все наши рассуждения легко переносятся на случай п > 2..

В третьей главе пойдет речь о квадратичной функции С. Мы покажем, что функция G*x выражается через норму от значений оператора Кальдерона-Зигмунда, действующего в пространство векторнозначных функций, и сформулируем следствия из этого факта..

В § 3.1 мы напомним определение оператора G*x, после чего заметим, что для него выполняется представление G*x (f)(x) = \T (f)(x)\j?>, где Ж — вспомогательное гильбертово пространство функций, действующих из верхнего полупространства R" +1 в пространство С" +1, таких, что = Г I (тТ^)ХПНШ2у1-пМАу<<�Х>,.

J о Jtmn \с + У/ а оператор Т действует в пространство^{-значных} функций и определяется формулой.

T (f)(x)(t, y) = [ VPy (x — I — v) f (v)dv..

Здесь Ру — ядро Пуассона, а градиент берется по всем переменным, в том числе и по у. Затем мы выпишем ядро сопряженного оператора Т* и сформулируем основную теорему, которая, во-первых, утверждает, что Т* — оператор Кальдерона-Зигмунда при всех Л > 1, а во-вторых, в дополнение к этому, что прямой оператор Т также является оператором Кальдерона-Зигмунда при Л > 2 + 2/п (то есть ядра операторов Т и Т* удовлетворяют определенным условиям гладкости)..

В § 3.2 мы обсудим следствия из основной теоремы. В начале параграфа мы приведем определение квадратичной функции G — аналога опре-атора G*2 в единичном круге. Затем будет сформулирована интерполяционная лемма, впервые доказанная Джонсом и Мюллером (см. [13]) с помощью броуновского движения, которая утверждает, что при 2 < р < оо функцию / € ЛР (Т) (здесь 7YP (T) — аналитические классы Харди на окружности) можно разбить на сумму двух функций д G 7i°°(T) и Ъ е Н2{Т) так, что не только ЦдЦ^ < С и \ЬЦ < СА2-р||/||?, но и ИОДИоо < для любого уровня, А > 0. Однако Анисимов и Кисля-ков в работе [1] показали, что функцию G можно трактовать как норму от значений сингулярного интегрального оператора, что позволяет доказать это утверждение о «разрезании» функции общими методами, которые используют теорему о /f-замкнутости (см. § 1.4) и не апеллируют к броуновскому движению. Но мы уже знаем, что функция G’x также выражается через оператор Кальдерона-Зигмунда. Используя этот факт (если говорить точно, то мы воспользуемся тем, что Т* — оператор Кальдерона-Зигмунда), мы с помощью теоремы о /^-замкнутости получим аналог утверждения Джонса и Мюллера для оператора С'*х. Теперь заметим, что наша основная теорема дополнительно утверждает, что при Л > 2 + 2/п прямой оператор Т также является оператором типа Кальдерона-Зигмунда. Это, во первых, позволит нам сформулировать аналог утверждения о разбиении функции сразу для всех 1 < р < оо, а во вторых отсюда будет следовать, что G’x — оператор слабого типа (1,1) (причем эта оценка окажется точной: мы покажем, что оператор G*x не действует из L1 в L1)..

В § 3.3 мы проверим условие гладкости для ядра оператора Т* и тем самым докажем первую часть основной теоремы..

В § 3.4 мы докажем вторую часть теоремы, проверив другой вариант условия гладкости для ядра прямого оператора Т..

1. Анисимов Д. С., Кисляков С. В., Двойные сингулярные интегралы: интерполяция и исправление, Алгебра и анализ, Том 16, № 5 (2004), 1−33.

2. Кисляков С. В., Теорема Литлвуда-Пэли для произвольных интервалов: весовые оценки, Записки научных семинаров ПОМИ им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Том 355 (2008), 180−198.

3. Кисляков С. В., Парилов Д. В., О теореме Литлвуда-Пэли для произвольных интервалов, Зап. научн. сем. ПОМИ, Том 327 (2005), 98 114.

4. Стейн И., Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, Издательство «Мир» Москва, 1973.

5. Bourgain J., On square junctions on the trigonometric system, Bull. Soc. Math. Belg., Vol. 37, No. 1 (1985), 20−26.

6. Bourgain J., Some consequences of Pisier’s approach to interpolation, Isr. J. Math., Vol. 77 (1992), 165−185.

7. Carbery Anthony and Sceger Andreas, Hpand LP-variants of multiparameter Calderon-Zygmund theory, Trans. Amer. Math. Soc., Vol. 334, No. 2 (1992), 719−747.

8. Chang Sun-Yung A. and Fefferman Robert, A continuous version of duality of H1 with BMO on the bidisc, Ann. of Math., Vol. 112, No. 1 (1980), 179−201.

9. Fefferman C., Inequalities for strongly singular convolution operators, Acta Math., Vol. 124 (1970), 9−36.

10. Fefferman С. and Stein E. M., Hp spaces of several variables, Acta Math., Vol. 129 (1972), 137−193.

11. Fefferman Robert, Calderon-Zygmund theory for product domains: Hp spaces, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, Vol. 83 (1986), 840−843.

12. Gundy R. F. and Stein E. M., Hp theory for the poly-disc, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, Vol. 76 (1979), 1026−1029.

13. Jones P. W. and Muller P. F. X., Conditioned Brownian motion and multipliers into SL°°, Geom. Funct. Anal., Vol. 14 (2004), 319−379.

14. Journe Jean-Lin, Calderon-Zygmund operators on product spaces, Rev. Mat. Iberoamer., Vol. 1, No. 3 (1985), 55−91.

15. Journe Jean-Lin, Two problems of Calderon-Zygmund theory on product-spaces, Ann. Inst. Fourier., Vol. 38, No. 1 (1988), 111−132.

16. Kislyakov S. V., Interpolation of Hp-spaces: some recent developments, Israel Math. Conf. Proc., Vol. 13 (1999), 102−140.

17. Rubio de Francia J. L., A Littlewood-Paley inequality for arbitrary intervals, Rev. Mat. Iberoamer., Vol. 1, No. 2 (1985), 1−14.

18. Sato Shuichi, Lusin functions and nontangential maximal functions in the Hp theory on the product of upper half-spaces, Tohoku Math. Journ., Vol. 37 (1985), 1−13.

19. Soria Fernando, A note on a Littlewood-Paley inequality for arbitrary intervals in M2, J. of London Math. Soc. (2), Vol. 36, Pt. 1 (1987), 137 142.

20. Stein Elias M., Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton, New Jersey (1993).

21. Stein Elias M. and Weiss Guido, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton, New Jersey (1971).

22. Xu Quanhua, Some properties of the quotient space (L1(Td)/H1(Dd)), Illinois J. of Math., Vol. 37, No. 3 (1993), 437−454.

23. Осипов Н. Н., Неравенство Литлвуда Пэли для произвольных прямоугольников в К2 при 0 < р < 2, Алгебра и анализ, Том 22, № 2 (2010), 164−184.

24. Осипов Н. Н., Одностороннее неравенство Литлвуда-Пэли в для 0 < р < 2, Записки научных семинаров ПОМИ им. В. А. Стек-лова Российской академии наук, Том 376 (2010), 88−115.

25. Осипов Н. Н., Функция G*x как норма оператора Кальдерона-Зигмупда, Математические заметки, Том 86, № 3 (2009), 421−428.