Построение кривых и поверхностей

Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (30), то оси Ох, Оу и Оz. называются его главными осями.

Рисунок 11 — Эллипсоид

4.3 Гиперболоид Из четырех коэффициентов a11, а22, a33, а44 два одного знака, а два других—противоположного. В этом случае поверхность S называется однополостным гиперболоидом.

Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 > 0, а22 > 0, a33 < 0, а44 < 0. Тогда числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а2, b2, с2. После несложных преобразований уравнение (30) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

(34)

Уравнение (34) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (34), то оси Ох, Оу и Oz называются его главными осями.

Рисунок 12 — Однополостной гиперболоид Знак одного из первых трех коэффициентов a11, а22, a33, а44 противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.

Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 < 0, а22 < 0, a33 > 0, а44 < 0. Тогда :

Обозначим эти числа соответственно через a2, b2, с2. После несложных преобразований уравнение (30) двуполостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

(35)

Рисунок 13 — Двуполостной гиперболоид Уравнение (35) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида

4.4 Параболоид Параболоид ― тип поверхности второго порядка. Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (т.е. не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.

Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:

z = ax2 + by2 (36)

если a и b одного знака, то параболоид называется эллиптическим.

если a и b разного знака, то параболоид называется гиперболическим.

если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром.

Эллиптический параболоид — поверхность, описываемая функцией вида

(36)

где a и b одного знака. Поверхность описывается семейством параллельных парабол с ветвями, направленными вверх, вершины которых описывают параболу, с ветвями, также направленными вверх.

Если a = b то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину данной параболы.

Рисунок 14 — Эллиптический параболоид Гиперболический параболоид (называемый в строительстве «гипар») — седлообразная поверхность, описываемая в прямоугольной системе координат уравнением вида

(37).

Из второго представления видно, что гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью.

Рисунок 15 — Гиперболический параболоид Поверхность может быть образована движением параболы, ветви которой направлены вниз, по параболе, ветви которой направлены вверх, при условии, что первая парабола соприкасается со второй своей вершиной.

4.5 Коническая поверхность Коническая поверхность образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и проходящей во всех своих положениях через неподвижную точку (рис. 16).

Рисунок 16 — Коническая поверхность Неподвижная кривая m (m1,m2), по которой скользит образующая l (l1,l2), называется направляющей. Если направляющая линия является кривой второго порядка, то и коническая поверхность будет второго порядка. Неподвижная точка S (S1,S2), делящая поверхность на две бесконечные полы, называется вершиной. Множество прямолинейных образующих представляет собой непрерывный каркас конической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая (исключением является только вершина S, которая называется «особой точкой поверхности». Геометрическая часть определителя конической поверхности состоит из направляющей кривой m и вершины S.

Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, проходящая через вершину S и пересекающая кривую m. Часть замкнутой конической поверхности, ограниченная вершиной и какой-либо плоскостью, пересекающей все ее образующие, называется конусом. Фигура сечения конической поверхности этой плоскостью называется основанием конуса. Сечение конической поверхности плоскостью, перпендикулярной ее оси, называется нормальным. Осью конической поверхности называется линия пересечения ее плоскостей симметрии. Следовательно, не все конические поверхности имеют ось, а только те, которые имеют не меньше двух плоскостей симметрии.

Конические поверхности, не имеющие оси (а следовательно, и нормального сечения), называются коническими поверхностями общего вида.

Конические поверхности, имеющие ось, в зависимости от вида нормального сечения бывают:

1) круговые — нормальное сечение круг;

2) эллиптические — нормальное сечение эллипс и другие.

Если за основание конуса принимается фигура его нормального сечения, конус называют прямым, если иное сечение — наклонным. Основанием такого конуса может быть только эллипс, ось его не проходит через центр основания.

Эллиптический конус (так же как и эллиптический цилиндр) имеет две системы круговых сечений. Если принять одно из них за основание конуса, получим наклонный эллиптический конус с круговым основанием. Ось наклонного конуса не проходит через центр основания. Заметим, что у всех развертывающихся линейчатых поверхностей две смежные образующие либо пересекаются (торс, коническая поверхность), либо параллельны (цилиндрическая поверхность).

4.6 Цилиндрическая поверхность Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и остающейся параллельной своему исходному положению (рис. 16). Множество прямолинейных образующих представляет собой непрерывный каркас цилиндрической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая.

Рисунок 16 — Цилиндрическая поверхность Неподвижная кривая m (m1 m2), по которой скользит образующая l (l1l2), называется направляющей. Если направляющая линия является кривой второго порядка, то и цилиндрическая поверхность будет второго порядка. Геометрическая часть определителя цилиндрической поверхности состоит из направляющей линии m и исходного положения образующей l.

Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, пересекающая кривую m и параллельная прямой l. Цилиндрическая поверхность является бесконечной в направлении своих образуюших. Часть замкнутой цилиндрической поверхности, заключенная между двумя плоскими параллельными сечениями, называется цилиндром, а фигуры сечения — его основаниями. Сечение цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной ее образующим, называется нормальным. В зависимости от формы нормального сечения цилиндры бывают:

1) круговые — нормальное сечение круг;

2) эллиптические — нормальное сечение эллипс;

3) параболические — нормальное сечение парабола;

4) гиперболические — нормальное сечение гипербола;

5) общего вида — нормальное сечение кривая случайного вида. Если за основание цилиндра принимается его нормальное сечение, цилиндр называют прямым.

Если за основание цилиндра принимается одно из косых сечений, цилиндр называют наклонным. Наклонные сечения прямого кругового цилиндра являются эллипсами. Наклонные сечения прямого эллиптического цилиндра в общем случае — эллипсы. Однако его всегда можно пересечь плоскостью, наклонной к его образующим, таким образом, что в сечении получится круг. Эллиптический цилиндр имеет две системы круговых сечений.

Список литературы

Васильев Н. Б., Гутенмахер В. Л. Прямые и кривые. — 3-е изд. — М.: МЦНМО, 2000.

В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.

Курс лекций по начертательной геометрии Губанов А. Н. под руководством Чемпинского Л.А.