Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Приближенное решение сингулярно возмущенных краевых задач нестационарной теплопроводности

Диссертация: Приближенное решение сингулярно возмущенных краевых задач нестационарной теплопроводности
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Приближенное решение модельных сингулярно возмущенных краевых задач нестационарной теплопроводности второго рода с нелинейными граничными условиями типа Стефана-Больцмана и экспоненциального типа на подвижных достаточно гладких криволинейных границах (в виде асимптотических разложений в смысле Пуанкаре в «пограничной» и «промежуточной» зонах). (Теоремы 2.2.1, 2.3.2 с доказательствами); Найденные… Читать ещё >

Приближенное решение сингулярно возмущенных краевых задач нестационарной теплопроводности (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. Асимптотическое разложение функции Грина сингулярно возмущенной краевой задачи уравнения теплопроводности с подвижными достаточно гладкими криволинейными границами
    • 1. 1. Постановка задачи
    • 1. 2. Интегральное представление решения краевой задачи
    • 1. 3. Решение системы интегральных уравнений плотностей тепловых потенциалов
    • 1. 4. Асимптотическое разложение функции Грина второй краевой задачи
      • 1. 4. 1. Асимптотическое разложение функции Грина в области Лудаленных" от границ точек
      • 1. 4. 2. Асимптотическое разложение функции Грина в ' ' пограничном" слое
      • 1. 4. 3. Асимптотическое разложение функции Грина в «промежуточном» слое
      • 1. 4. 4. Проверка выполнимости граничных условий и согласованности асимптотических разложений
    • 1. 5. Асимптотическое разложение функций Грина некоторых краевых задач
      • 1. 5. 1. Функция Грина первой краевой задачи для области с подвижными линейными границами
      • 1. 5. 2. Функция Грина второй краевой задачи для области с подвижными линейными границами
      • 1. 5. 3. Функция Грина третьей краевой задачи для области с подвижными линейными границами
      • 1. 5. 4. Асимптотика функции Грина второй краевой задачи для полуограниченной области с криволинейной подвижной границей
      • 1. 5. 5. Асимптотика функции Грина второй краевой задачи для области с криволинейной подвижной и постоянной границами
      • 1. 5. 6. Численный расчет распределения функции Грина ~
  • 2. Асимптотика решения сингулярно возмущенной второй краевой задачи уравнения теплопроводности с нелинейными граничными условиями
    • 2. 1. Граничные условия типа Стефана-Больцмана на подвижной криволинейной границе
      • 2. 1. 1. Определение тепловых потенциалов
      • 2. 1. 2. Асимптотика решения краевой задачи в «пограничном» слое
      • 2. 1. 3. Асимптотика решения краевой задачи в «промежуточном» слое
    • 2. 2. Граничные условия экспоненциального типа на подвижных криволинейных границах.'
  • 3. Приближенное решение сингулярно возмущенных краевых задач тепло и-массопереноса
    • 3. 1. Приближенное решение линейной сингулярно возмущенной краевой задачи с линейными граничными условиями на постоянной границе и различными внутренними тепловыми источниками
    • 3. 2. Приближенное решение сингулярно возмущенной краевой задачи с нелинейным граничным условием в полуограниченной области
      • 3. 2. 1. Распределение температуры в полу ограниченном теле, излучающем тепло по закону Стефана — Больц-мана
      • 3. 2. 2. Приближенное решение сингулярно возмущенной краевой задачи с нелинейным граничным условием экспоненциального типа для полуограниченного тела
      • 3. 2. 3. Численный расчет распределения температуры в полуограниченном теле с нелинейным граничным условием
    • 3. 3. Приближенный расчет распределения температурного поля активного элемента твердотельного лазера
      • 3. 3. 1. Температурное поле активного элемента лазера при интенсивном охлаждении
      • 3. 3. 2. Температурное поле активного элемента лазера, при охранном нагреве
      • 3. 3. 3. Температурное поле активного элемента лазера при конвективном теплообмене
    • 3. 4. Приближенное решение нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи тепловой защиты пористым охлаждением
    • 3. 5. Моделирование процесса испарения термически тонкой пластины
    • 3. 6. Асимптотика решения нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи тепломассообмена

Актуальность проблемы. Различные задачи техники, прикладной математики и теоретической физики приводят к необходимости нахождения решений краевых задач сингулярно возмущенных уравнений параболического типа в областях со сложной геометрией.

К сингулярно возмущенным уравнениям параболического типа сводятся многочисленные задачи нестационарного тепломассопереноса, например, такие как: тепловой удар, начальные стадии прогрева, пусковые и аварийные режимы [2,3,4,7,20,21], лазерная обработка материалов [50,55], оптимизация нагрева массивных телтепловые процессы в активных элементах твердотельных оптических квантовых генераторов [36]. К появлению малых параметров в краевых задачах уравнений параболического типа приводят так же задачи химической физики,.математической теории горения и взрыва [14], лазерной термохимии [25], сорбции, тепловой защиты [49], обратные задачи теплопроводности.

Несмотря на значительное число публикаций по сингулярно возмущенным задачам, которые достаточно полно приведены в библиографических справочниках [46,47], проблема решения таких типов задач остается актуальной.

Это прежде всего связано с отсутствием единой методики решения, пригодной как к линейным, так и нелинейным краевым задачам. Многие процессы нерегулярного тепло-и массопереноса описываются математическими моделями, включающими области с подвижными границами. Поэтому учет влияния подвижных границ на приближенное решение таких задач становится необходимым.

Кроме того, эти краевые задачи характеризуются различногорода нелинейностями. Причем, нелинейности могут быть как в дифференциальном уравнении (нелинейности теплофизических коэффициентов, нелинейности внутреннего теплового источника), так и в краевых условиях. Для большинства таких задач проблема нахождения точного аналитического решения сильно затруднена, а то и вовсе невозможна, поэтому приближенное решение таких сингулярно возмущенных краевых задач является важной и актуальной.

Целью диссертационной работы является приближенное аналитическое решение модельных сингулярно возмущенных краевых задач параболического типа с нелинейными граничными условиями на подвижных во времени границахразработка алгоритма и написание программ численного расчета температурных полей соответствующих краевых задач и проведение численного эксперимента.

Метод исследования. Для приближенного решения рассматриваемых краевых задач используется «лучевой» асимптотический метод (частный случай метода перевала), разработанный и обоснованный Г. А. Несененко [41,63].

Научная новизна. Автором получены впервые и выносятся на защиту:

— приближенное решение модельных сингулярно возмущенных краевых задач нестационарной теплопроводности второго рода с нелинейными граничными условиями типа Стефана-Больцмана и экспоненциального типа на подвижных достаточно гладких криволинейных границах (в виде асимптотических разложений в смысле Пуанкаре в «пограничной» и «промежуточной» зонах). (Теоремы 2.2.1, 2.3.2 с доказательствами) ;

— асимптотическое разложение в смысле Пуанкаре функции Грина второй краевой задачи для области с подвижными достаточно гладкими криволинейными границами (Теоремы 1.2.2, 1.3.3 с доказательствами);

— обобщения аналитических выражений функций Грина краевых задач различного рода для областей с линейными подвижными границами в виде, пригодных для численного расчета при малых временахчисленные расчеты распределений функций Грина для этих областей (параграф 1.5);

— приближенные решения модельных сингулярно возмущенных краевых задач с нелинейными граничными условиями на постоянных и подвижных границах, с различными внутренними тепловыми источниками (параграф 3.1);

— найденные приближенные решения ряда теплофизических задач с нелинейными граничными условиями на линейных подвижных границах, с внутренними тепловыми источниками: распределение температурного поля активного элемента твердотельного лазера при различных режимах охлаждения, задача тепловой защиты пористым охлаждением, испарение термически тонкой пластины (параграфы 3.3, 3.4, 3.5, 3.6).

Практическая значимость. Полученное асимптотическое разложение функции Грина второй краевой задачи для области с подвижными криволинейными границами используется для приближенного решения соответствующих сингулярно возмущенных краевых задач с нелинейными граничными условиями.

Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных краевых задач с нелинейными граничными условиями на подвижных границах позволяют:

— выявить вклады начального и граничных условий, подвижной границы, тепловых источников в распределение температурного поля в рассматриваемой области;

— провести численный расчет и параметрический анализ решения краевой задачи в широком диапазоне изменения физических параметров;

— моделировать реальные физические процессы и получить распределение искомой величины.

Приведенные в работе приближенные решения краевых задач, моделирующих тепловые процессы в активном элементе твердотельного лазера, пористом защитном материале, термически тонкой пластине, позволяют исследовать проблему как на качественном, так и количественном уровне.

Разработанные алгоритмы и программы для ПЭВМ позволяют получить численный расчет приближенных решений краевых задач в исследуемых областях для различных значений теплофизических параметров. Результаты численного эксперимента могут быть представлены в виде таблиц и графиков.

Апробация работы. Результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на:

1 / конференциях по дифференциальным уравнениям с частными производными (С.-Петербург, 1991,1992);

2/ конференции по методам малого параметра (Одесса: ОГУ, 1991) — 3/ конференции по теплофизическим проблемам (Тамбов: ТПУ, 1992) — 4/ семинарах по методам и алгоритмам параметрического анализа (М.: МГЗПИ, МГОПИ, 1990, 1991, 1992);

5/ международной научной конференции «ТеплообменММФ-96», III Минский Международный Форум (Минск, 1996);

6/ конференциях по нелинейным краевым задачам математической физики (Киев: Ин-т матем. АН Украины, 1993, 1996) — 7/ международном семинаре «Нелинейное моделирование и управление», РАЕН (Самара: СГУ, 1997);

8/ международной конференции по моделированию и устойчивости систем (Киев: КУ, 1997) — «' 9/ семинаре по математическому моделированию (Бирск: БГПИ, 1997, 1998, 1999).

Публикации. Основной материал диссертации опубликован в 12 статьях и 4 тезисах.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы. Материал изложен на 178 страницах машинописного текста, включая 41 рисунок и библиографию из 82 наименований.

Основные положения сформулированы в виде теорем с доказательствами, уточнения и пояснения даны в виде замечаний. Нумерация теорем и замечаний сделана по главам и параграфам, например, Теорема 2.1.3. — относится к 1-му параграфу 2-ой главы, 3 теорема в этой главе.

Основные результаты и выводы.

1. Получено асимптотическое разложение в смысле Пуанкаре функции Грина второй краевой задачи уравнения теплопроводности для области с подвижными достаточно гладкими криволинейными границами (коэффициенты разложения выписаны в явном виде). Установлено, что вид асимптотики функции Грина зависит от «близости» рассматриваемой точки к границам области и носит локальный характер.

2. Найдены приближенные решения (в виде асимптотических разложений решения в смысле Пуанкаре) сингулярно возмущенных краевых задач с нелинейными граничными условиями типа Стефана-Больцмана и экспоненциального типа на подвижных достаточно гладких криволинейных границах. Изучена зависимость асимптотики решения от «близости» рассматриваемой точки к границам области, получены условия возникновения «внутреннего пограничного слоя» .

3. Получены аналитические выражения функции Грина краевых задач уравнения теплопроводности первого, второго родов и асимптотическое разложение решения краевой задачи третьего рода для областей с линейными подвижными границами. Проведено сравнение полученных функций Грина с результатами Э.М. Карта-шова. Функции Грина получены в виде пригодном для численного расчета при малых временах. Приведены распределения функций Грина в этих областях в зависимости от «близости» рассматриваемой точки к границам и величины малого параметра.

4. Полученные аналитические выражения функций Грина (в явном виде и в виде асимптотических разложений) позволяют получить приближенные решения достаточно широкого круга краевых задач.

5. Получены приближенные решения модельных сингулярно возмущенных краевых задач с нелинейными граничными условиями на постоянных и подвижных границах, с различными внутренними тепловыми источниками. Разработаны алгоритмы и составлены программы для ПЭВМ численного расчета приближенных решений рассмотренных задач. ;

6. Найдены приближенные решения следующих тепло физических задач с нелинейными граничными условиями на подвижных границах, различными внутренними тепловыми источниками:

— распределение температурного поля активного элемента твердотельного лазера при различных режимах охлаждения;

— задача тепловой защиты пористым охлаждением;

— испарение термически тонкой пластины.

Решения получены в виде удобном для численного моделирования рассматриваемых процессов. Исследовано распределение температуры в термически тонкой пластине и проведен численный эксперимент.

Показать весь текст

Список литературы

  1. М., Стиган И. Справочник по специальным функциям -М. :Наука, 1979.
  2. Т.А., Березовский A.A., Довбня В. Д. Импульсный разогрев пластины переменной толщины // Математические вопросы механики сплошных сред и теплофизики Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1982 -С.119−124. -
  3. В.В., Карташов Э. М., Шмаков В. А. Динамические эффекты в твердых телах при взаимодействии с интенсивными тепловыми потоками // ИОФАН СССР / Препринты N110,111-М., 1990 65 е., 64 с.
  4. Н., Карасима К. Нестационарный прогрев аблирующих тел // Ракетная техника и космонавтика 1979 -Т. 12, N 2 -С.81−86.
  5. В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах диффракции коротких волн М.: Наука, 1972 — 456 с.
  6. Р.Г., Энгельгард В. Н. Асимптотические методы в механике жидкости и газа Д.: Изд-во ЛГУ, 1987 — 88 с. ««
  7. Н.И., Бажанов B.JI. и др. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур М.: Машиностроение, 1965 — 576 с.
  8. Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены М.: Наука, 1966 — 295 с.
  9. .Р., Рубанов A.C. Тепловой режим твердотельных оптических квантовых генераторов М.: Энергия, 1973 — 168 с.
  10. Н.М., Рядно A.A. Методы нестационарной теплопроводности М.: Высшая школа, 1978 — 328 с. ' '
  11. Н.М., Рядно A.A. Методы теории теплопроводности М.: Высшая школа, 1982, 4.2 — 304 с.
  12. Г. А. Уравнения математической физики М.: Наука, 1982 — 336 с.
  13. В.Н., Повзнер А. Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений -М.: Наука, 1987 255 с.
  14. P.C., Вилюнов В. Н. Асимптотика задач теории горения -Томск: Изд-во ТГУ, 1982 99 с.
  15. B.C. Вариационное исчисление Д.: Изд-во ЛГУ, 1980 -287 с.
  16. В.Ф. Сингулярные возмущения М.: Знание, 1988 — 48 с.
  17. А.Б., Бутузов В. Ф. Погранслойные методы в сингулярно возмущенных задачах с частными производными // Современные проблемы прикладной матем. и матем. физики М.: Наука, 1988 -С.128−142. -
  18. Г. Н. Теория бесселевых функций.Ч. 1-М. :ИЛ, 1949 798 с.
  19. И.С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений М.: ГИФМЛ, 1963 — 1100 с.
  20. Г. А. Импульсный нагрев излучениями. 4.2 М.: Наука, 1974 -728 с.
  21. С.П., Брюховский O.A. Начальный период прогревания массивного тела в печи с высокой температурой // Инж.-физ. журн. 1983 -Т.45, N 2 — С.292−296.
  22. A.M. Пограничный слой //Итоги науки и техники. Современные проблемы матем. Т. 34 М.: ВИНИТИ, 1988 — С. 175−213.
  23. A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач М.: Наука, 1989 — 334 с.
  24. В.И., Несененко Г. А. Об асимптотике решения первой краевой задачи уравнения теплопроводности в случае подвижной границы //Украинский матем. журн. 1975 -Т.27, Вып.1 — С.89−94.
  25. Н.В., Кириченко H.A., Лукьянчук Б. С. Лазерная термохимия М.: Наука, 1992 — 296 с. 26 27 [282 930 31 323 637 38
  26. Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел М.: Наука, 1964 — 487 с.
  27. Э.М. Аналитические методы в теплопроводности твердых тел М.: Высшая школа, 1985 — 480 с.
  28. Э.М., Бартенев Г. М., Любов Б. Я. Метод решения обобщенных краевых задач уравнения теплопроводности в области с границей, движущейся по произвольному закону // Сб. Тепло-массоперенос. Минск, 1972, Т.8. — С.274−284.
  29. A.A. Методы решения нелинейных задач теплопроводности М.: Наука, 1975 — 237 с.
  30. Э. Асимптотические разложения М.: Мир, 1966 — 274 с.
  31. С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений -М.: Наука, 1981 398 с.
  32. A.B. Теория теплопроводности М.: Высшая школа, 1967 -600 с.
  33. .Я., Соболь Э. Н. Нестационарное испарение полуограниченного тела под действием мощного потока энергии.//Физика и химия. Обработка материалов -1975- N5 С.3−8.
  34. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации М.: Мир, 1980 — 607 с.
  35. В.П., Данилов В. Г., Волосов К. А. Математическое моделирование процессов тепло-массопереноса М.: Наука, 1987 — 352
  36. A.B., Соме Л. Н., Степанов А. И. Термооптика твердотельных лазеров Л.: Машиностроение, 1986 -198 с.
  37. А. Методы возмущений М.: Мир, 1976 — 445 с. -
  38. Г. А. Об асимптотике функции Грина уравнения теплопроводности с малым параметром //Матем. сборник 1972 -Т. 87, N 2 — С.204−215.
  39. Г. А. О методе Лапласа для континуальных интегралов по винеровской мере в областях с границей Дисс. на соиск.. к.ф. -м.н. — М.: Ин-т Хим.Физ. АН СССР, 1974 — 157 с. С
  40. Г. А., Кравченко В. Ф. Применение метода граничных интегральных уравнений для определения погранслойной асимптотики решения одной нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи теплопроводности //Дифф. уравнения 1997 — Т.33, N 9 -С.1174−1180.
  41. Г. А., Кравченко В. Ф. Асимптотическое решение нестационарной задачи теплопроводности с нелинейным условием экспоненциального типа на подвижной границе //Докл. РАН 1998 -Т.358, N 3 -С.315−318.
  42. Г. А. Пограничный слой в нестационарных температурных полях твердых тел М.: МОПИ, МГЗПИ, 1991 — 104 с.
  43. Г. А. Применение асимптотических методов в математическом анализе. Ч. П. Асимптотические разложения интегралов, описывающих решения уравнений параболического типа М.: Альфа, 1993 — 85 с.
  44. Г. А. Библиографический справочник по теме: Геометро-оптический асимптотический метод решения нелинейных сингулярно возмущенных задач тепло и массопереноса в многослойных средах с дефектом типа трещин М.: МГОПИ, 1994 — 86 с.
  45. Г. А. Основы теории тепловой дифракции в областях с подвижными границами. М.: МГОПУ, 1995 — 102 с.
  46. Ю.В., Юревич Ф. Б. Тепловая защита М.: Энергия, 1976- 392 с.
  47. A.M., Конов В. П., Урсу И., Михэилеску И. Н. Взаимодействие лазерного излучения с металлами М.:Наука, 1988 — 537 с.
  48. В.И. Курс высшей математики. Т.4 М.: Физматгиз, 1953 -1981 — 548 с.
  49. А.Н. Об остывании тел при лучеиспускании, следующем закону Стефана-Больцмана //Изв. АН СССР 1937 — N 3 — С.461−479.
  50. А.Н. О функциональных уравнениях Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики //Бюлл. МГУ Сер. А 1938, Т.1, N 8 — С.1−25.
  51. А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики— М.: Наука, 1966 724 с.
  52. A.A., Смуров И. Ю., и др. Моделирование теплофизических процессов импульсного лазерного воздействия на металлы М.: Наука, 1991 — 278 с.
  53. Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа М.: Наука, Т. 2, 1963,
  54. М.В. Метод перевала М.: Наука, 1977 — 368 с.
  55. М.В. Асимптотика: интегралы и ряды М.: Наука, 1987- 544 с.
  56. Handelsman R.A., Olmstead W.E. Asymptotic solition to a class of nonlinear Valterra integral equation //SIAM.J.Appl.Matli. 1972 -V.22, N3 — P.373−384.
  57. Hawlitschek K. Green funktion fur Warmeleiter mit beweglichen randern //ZAMP -1978 V.29, N 5 — P.815−821.
  58. Hawlitschek К. Approximation Greenscher funktion bei parabilischen differential gleichungen //ZAMP 1989 — V.40, N 6 — P.912−918.
  59. Keller J.В., Olmstead W.E. Temperature of a nonlineary radiating semi-infinite solid //Quart.Appl.Math. -1971-V.29, N 1 P.559−566.
  60. Nesenenko G.A. The «ray» boundary layer asymptotics of the solution heat equation in several variables with small parameter //7th Czechoslovak Conference on differential equations and their applications. Abstracts. 11 Praha, 1989 — P.5.
  61. Nesenenko G.A. Boundary layer of the heat equation in several variables with nonlinear boundary conditions as power-type functions //ZAMM 1989 — Bd.69, N 1 — P.51−52.
  62. Tao L.N. Heat conduction with nonlinear boundary conditions //ZAMP 1981 — V.32, N 2 — P.144−155.
  63. Tao L.N. A method for solving moving boundary problems //SIAM J. Appl. Math. 1986 — V.46, N 2 — P.254−264.
  64. С.П., Несененко Г. А., Латыпов И. И. Приближенный расчет температурного поля активного элемента лазера при охранном нагреве //Нелинейные краевые задачи матем. физики и их приложения Киев: Ин-т матем. АН Украины, 1993 — С.94−95.
  65. С.П., Латыпов И. И. Температурное поле активного элемента лазера//Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса М.: МГЗПИ, 1993 -С.152−170.
  66. И.И. Об одной задаче тепловой защиты пористым охлаждением //Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса М.: МГОПИ, 1995 — С.40−52.
  67. Г. А., Латыпов И. И. Асимптотика решения нелинейной сингулярно возмущенной задачи тепловой защиты пористым охлаждением //Тепломассообмен ММФ — 96. Heat/MassTransfer — MIF
  68. III Минский Международный Форум (20−24 мая 1996 г.). Т.2. Радиационный и комбинированный теплообмен. АН Беларуси АНК ИТМ им. A.B. Лыкова Минск, 1996. — С.167−171.
  69. И.И., Несененко Г. А. Исследование нестационарного температурного поля пористого материала //Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сб. научных трудов Киев: Ин-т математики HAH Украины, 1996 — С.166−168.
  70. И.И. Приближенное решение задачи нестационарного испарения термически тонкой пластины//Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сб. научных трудов Киев: Ин-т математики HAH Украины, 1996 — С.164−166.
  71. И.И. Асимптотические методы при приближенном решении сингулярно возмущенных задач //Вопросы математического моделирования и механики сплошных сред. Сборник научных трудов. Выпуск 1. Бирск: Изд. Бирского ГПИ, 1996. — С.72−77.
  72. И.И. Моделирование процесса испарения термически тонкой пластины // ЭВТ в обучении и моделировании /Материалы первой межвузовской научно-теоретической конференции. -Бирск: Изд. Бирского ГПИ, 1996. С.38−41. -
  73. И.И. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи тепло-массообмена //Международный семинар. Нелинейное моделирование и управление. Тезисы докладов. Российская Академия естественных наук. Самара, 24−27 июня 1997 г. Самара, 1997 -С.93−94.
  74. И.И. Математическое моделирование тепловых процессов в пористых материалах// Modelling and Investigation of system stability. International Conference. Thesis of conference reports, May 19 23.- Kiev, 1997. — 68 P.
  75. И.И. Функции Грина краевых задач параболического типа //Вопросы математического моделирования и механики сплошных сред. Сборник научных трудов. Выпуск 2. Бирск: Изд. Бирского ГПИ, 1997. — С.107−114.
  76. И.И. Асимптотика решения нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи тепломассообмена //Математические методы исследования сложных систем, процессов и структур. -М.: МГОПУ, 1998. -С.10−20.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!