Задача Дирихле для эллиптической системы четного числа уравнений с частными производными второго порядка

Важным разделом теории уравнений с частными производными является теория краевых задач для эллиптических уравнений и систем уравнений. Одной из основных граничных задач является задача Дирихле, к которой приводится задача о поле зарядов, распределенных на некоторой поверхности [1].

В области И п— мерного евклидова пространства рассмотрим дифференциальное уравнение.

-¿-Ь.+£ +с (х>=9{х)•.

1 у — (у 1 С/ «АУ у J~ V/ X ^ где ау (Х) — непрерывные, а Ъ^Х), с (Х) и д (.Х) — ограниченные функции в замкнутой области И, X =., хп). Уравнение (0.1) называется эллиптическим в области I), если в этой области собственные значения матрицы \а^\ либо все положительны, либо все отрицательны [2].

Задача Дирихле ставится следующим образом: найти регулярную в области I) (имеющую непрерывные производные до второго порядка в .О и удовлетворяющую уравнению (0.1) во всех точках /}), непрерывную в замкнутой области 1>иГ функцию и, принимающую заданное непрерывное значение на границе Г: иг = f (X). Для уравнения с достаточно гладкими коэффициентами в области Б с достаточно гладкой границей Г эта задача всегда фредгольмова, то есть [2] а) однородная задача Дирихле (/(X) = 0) имеет не более чем конечное число линейно независимых решенийб) если однородная задача не имеет нетривиального решения, то соответствующая неоднородная задача Дирихле всегда имеет, и притом единственное, решение;

V о о в) если число линеино независимых решении однородной задачи равно к, то для разрешимости соответствующей неоднородной задачи Дирихле необходимо и достаточно, чтобы функция /(X) из краевого условия удовлетворяла к условиям ортогональности.

И задача называется нетеровой, если однородная задача имеет конечное число к линейно независимых решений, а для разрешимости неоднородной задачи Дирихле необходимо и достаточно выполнения конечного числа I ф к условий ортогональности. Фредгольмова задача является нетеровой. При с (Х) < 0 задача Дирихле для уравнения (0.1) имеет единственное решение [3]. Для систем уравнений второго порядка ситуация гораздо сложнее.

И.Г. Петровский [4] выделил широкий класс систем уравнений в частных производных, которые теперь называются эллиптическими по Петровскому.

Определение Система уравнений в частных производных называется эллиптической по Петровскому, если определитель ее характеристической формы является положительно либо отрицательно определенной формой.

Многие свойства эллиптических уравнений обобщаются на эллиптические системы уравнений в частных производных [3] - [5]. Однако г характер разрешимости граничных задач для эллиптических по Петровскому систем может существенно отличаться от случая одного уравнения.

Как известно, задача Дирихле является простейшей краевой задачей, корректной для вещественных скалярных уравнений в частных производных эллиптического типа, причем эта задача для линейных уравнений в общем случае фредгольмова. Но, с другой стороны, известно также, что задача Дирихле корректна не для всякой системы уравнений эллиптического типа: существуют эллиптические системы второго порядка, для которых в некоторой области задача Дирихле не является даже нетеро-вой.

В 1948 году A.B. Бицадзе построил пример эллиптической по Петровскому системы двух уравнений второго порядка $ $.

— А и + 2—(их + vy) = 0, -Av + 2—(их + vy) = 0, (0.2) для которой нарушается фредгольмовость задачи Дирихле [6]. Из примера A.B. Бицадзе следует, что задача Дирихле не для всякой эллиптической по Петровскому системы уравнений второго порядка фредгольмова, поэтому класс таких систем, для которых классические граничные задачи корректны, должен характеризоваться некоторыми дополнительными ограничениями. Такие дополнительные ограничения ввел М.И. Ви-шик [7]. Он ввел понятие сильной эллиптичности, усилив условие эллиптичности по Петровскому требованием положительной либо отрицательной определенности симметричной составляющей характеристической матрицы системы. Для подмножества эллиптических систем, являющихся сильно эллиптическими, задача Дирихле, как известно, является все же корректной, т. е. в смысле разрешимости классических граничных задач сильно эллиптические системы ведут себя так же, как одно эллиптическое уравнение. В работе [5] подчеркнута важность исследования не сильно эллиптических систем и поставлена задача гомотопической классификации эллиптических по Петровскому систем. В настоящее время достаточно полно исследованы сильно эллиптические системы и эллиптические по Петровскому системы с двумя независимыми переменными [3], [8], [9]. Для систем с двумя независимыми переменными также решена задача гомотопической классификации [10].

Система А. В. Бицадзе была построена при помощи системы Коши-Римана и в комплексной записи имеет вид д2ги ю = о, (0.3) где т = и + гг>, г = х + 1у. Многомерные обобщения этой системы строились также при помощи многомерных аналогов системы Коши-Римана [8] - [12]. В многомерном случае краевая задача сводится к системе псевдодифференциальных или многомерных сингулярных уравнений. Я.Б. Ло-патинский предложил общий метод сведения краевых задач к регулярным интегральным уравнениям и условия согласования коэффициентов системы уравнений с коэффициентами граничных операторов, при которых это сведение возможно [13] - [15]. Ранее подобный метод применяла З. Я. Шапиро для систем с постоянными коэффициентами в трехмерной области. Это условие названо условием Шапиро-Лопатинского. Как советскими, так и зарубежными учеными было установлено, что для того, чтобы граничная задача для эллиптической системы уравнений была не-теровой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Шапиро-Лопатинского [13].

Эллиптические по Петровскому системы уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами с двумя независимыми переменными А. В. Бицадзе разделил на два класса: сильно связанные и слабо связанные системы. Для слабо связанных систем задача Дирихле всегда нетерова, а для сильно связанных систем нетеровость задачи Дирихле и других классических граничных задач нарушается. Определение сильно связанной эллиптической системы уравнений с двумя независимыми переменными и с постоянными коэффициентами дается через структуру общего решения системы, причем оно не выражается явно через коэффициенты системы [9]. Это затрудняет обобщение понятия сильной связанности на многомерные системы. Поскольку для сильно связанных систем с двумя независимыми переменными всегда наблюдается нарушение нетеровости задачи Дирихле [16], то это свойство положено в основу обобщения понятия сильной связанности на многомерный случай.

Эллиптическую по Петровскому систему уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами будем называть сильно связанной, если существует полупространство, в котором задача Дирихле для этой системы не является нетеровой [17]. Нарушение нетеровости задачи Дирихле для данной системы заключается в том, что однородная задача имеет бесконечное множество линейно независимых решений, а для разрешимости неоднородной задачи необходимо наложить на данные задачи бесконечное множество условий типа условий ортогональности.

В настоящее время достаточно полно в пространстве любой размерности исследована система [12], [18].

Эта система при Л < 1 сильно эллиптична, при Л > 1 эллиптична по Петровскому, а при Л = 2 и п = 2 приводится к системе А. В. Бицадзе. Ее считатают многомерным аналогом системы Бицадзе A.B. [19]. Установлено, что при Л ф 2 задача Дирихле для системы (0.4) в любом полупространстве и в любой области с гладкой границей разрешима для любых непрерывно дифференцируемых граничных данных, и ее решение всегда единственно. Если Л = 2, то решение однородной задачи Дирихле в полупространстве имеет бесконечное множество линейно независимых решений [20]. Таким образом, система (0.4) при Л = 2 сильно связана, а при Л ф 2 не является таковой. Систему (0.1) можно считать модельной, так как для нее существуют результаты, сопоставимые с результатами дальнейших исследований эллиптических систем. Для сильно связанных систем встречаются различные новые явления в характере разрешимости первой краевой задачи, не имеющие аналогов в случае одного уравнения второго порядка, например, эффект потери гладкости и усиление влияния младших членов на разрешимость граничных задач. В [21], например, исследован характер изменения сильно связанной системы в трехмерном пространстве при изменении параметров, задача Дирихле сведена к системе псевдодифференциальных уравнений на границе полупространства.

В теории многомерных эллиптических систем с постоянными коэффициентами имеется еще много неясных вопросов. Одним из них является вопрос о том, как влияет структура системы на корректность задачи Дирихле и как зависит разрешимость этой задачи от области, в которой рассматривается система. Так в работе [22] доказано, что для любой выпуклой области Б с гладкой границей Г задача Дирихле.

1 г = /-№> Л-еС1,? = 1,., п для системы.

5 Г «дщ «ЗиЛ) при, А ф 2 фредгольмова. Решение найдено в классе непрерывных в замкнутой области функций, задача приведена к интегральным уравнениям Фредгольма.

Эллиптические системы уравнений с постоянными коэффициентами можно разбить на классы, относя к одному классу такие системы, которые можно продеформировать друг в друга, непрерывно изменяя коэффициенты как параметры, причем в процессе деформации система сохраняет эллиптичность. Системы, попадающие в один и тот же класс, гомотопны, поэтому такое разбиение принято называть гомотопической классификацией [23]. Если система с переменными коэффициентами эллиптична в некоторой области, то очевидно, что все системы с постоянными коэффициентами, которые получаются из данной системы фиксированием значений коэффициентов в некоторой точке, гомотопны друг другу.

Поэтому становится особенно важным изучение граничных задач для эллиптических систем, во время которого должны возникнуть различные интересные эффекты разрешимости этих задач. Поэтому появляется необходимость такие системы изучать более полно и еще более тонко их классифицировать. В работах А. И. Янушаускаса и его учеников уже рассмотрен ряд эллиптических по Петровскому систем, не удовлетворяющих условию сильной эллиптичности, строится классификация таких систем.

Вопрос гомотопической классификации эллиптических по Петровскому систем с многими независимыми переменными сложнее, чем в случае двух независимых переменных. Количество гомотопических классов растет с ростом числа независимых переменных. Важно исследовать структуру и свойства систем, для которых нарушается корректность задач Дирихле и роль этих систем в гомотопической классификации.

В работе А. И. Янушаускаса [24] множество эллиптических по Петровскому систем разбито на два класса — класс Р и класс и введена характеристика эллиптичности симметрично эллиптических систем. Симметрично эллиптическими системами называются системы, в которых характеристическую матрицу можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной матрицы. Так как элементы симметричной матрицы являются квадратичными формами, то существует симметричная система уравнений в частных производных второго порядка, для которой симметричная матрица является характеристической. Если эта система эллиптична по Петровскому вместе с исходной, то эти системы названы симметрично эллиптическими и названы системами класса Р. В класс Р входят все сильно эллиптические и симметрично эллиптические по Петровскому системы. Классу Р принадлежит и система (0.4) при всех, А ф 1. Всякую эллиптическую по Петровскому систему уравнений в частных производных, которую можно непрерывно продеформировать в сильно эллиптическую, называют системой сильно эллиптического класса. Также в [24] введена характеристика эллиптичности симметрично эллиптических систем.

— т0, где квадратная скобка обозначает целую часть числа у, а т — размерность пространства. С учетом кратности у симметричной матрицы собственных чисел т штук, среди них могут быть т отрицательных и т2 положительных, т0 = т1п (ш1,т2), очевидно, что т0 < у и ?1 может принимать значения от 0 до [у]. Если все собственные числа матрицы имеют одинаковые знаки, то эта матрица положительно либо отрицательно определена, что соответствует сильно эллиптическим системам [7]. Следовательно, для сильно эллиптических систем число р равно [| и является максимально возможным. При п = 2 число р может принимать только два значения 1 и 0. Значение р = 1 соответствует сильно эллиптическим системам. Представителем класса систем, для которых р = 0, является система А. В. Бицадзе (0.2). В п— мерном пространстве класс эллиптических систем п уравнений с п искомыми фунукциями с характеристикой эллиптичности р = 0 назван классом Бицадзе.

Собственные числа характеристической матрицы системы (0.4) имеют вид и = (А-1)(й+ Й +. + Й), 02 =. = А<�п = -(? + ?+. + ?)> то есть при Л > 1 характеристика эллиптичности ситемы (0.4) р = | — 1. Класс эллиптических систем п уравнений в частных производных второго порядка с п искомыми фунукциями с такой характеристикой эллиптичности назван классом Коссера.

В [25] доказана фредгольмовость задачи Дирихле в ограниченной области с ляпуновской границей для многомерной эллиптической системы при Л ф 1, ф1.

2 = 1,., п, где =? Е агк (Х) д Л дщ г=1 для которой нарушается условие сильной эллиптичности.

В работе [26] исследована задача Дирихле в ограниченной области П с гладкой границей Г при помощи интегро-дифференциальных операторов [12] для эллиптической системы.

Доказана фредгольмовость задачи Дирихле при, А ф 1,2 в любой выпуклой области.

В [27] показана редукция задачи Дирихле для общей эллиптической системы двух уравнений высшего порядка к системе сингулярных интегральных уравнений по области.

В [28] рассмотрена задача Дирихле для системы трех уравнений второго порядка и доказано, что введение кососимметричной составляющей в эллиптическую систему не влияет на результат разрешимости задачи.

Интересные результаты получены также в работах [29] - [36].

Настоящая работа является продолжением исследований по теории разрешимости граничных задач для многомерных эллиптических систем.

Диссертационная работа состоит из введения и трех глав. В первой главе, состоящей из трех параграфов, изучен вопрос о корректности задачи Дирихле для системы четырех уравнений второго порядка.

1. Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1965. 830с.

2. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. -204 с.

3. Miranda С. Partial Differential Equations of Elliptic Type. BerlinHeidelberg-N.Y.: Springer, 1970. 370p.

4. Петровский И. Г. О некоторых проблемах теории уравнений с частными производными // Усп. матем. наук, 1946, т.1, вып. 3−4 (13−14), с.44−70.

5. Гельфанд И. М., Петровский И, Г., Шилов Г. Е. Теория систем дифференциальных уравнений с частными производными // Труды третьего Всесоюзного математического Съезда. М.: изд. АН СССР. 1958. — Т. 3. — С. 65 — 72.

6. Бицадзе A.B. Об единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными // Усп. матем. наук, 1948, т. З, N6, с.211−212.

7. Вишик М. И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений // Матем. сборн., 1951, т.29, N3. с.615−676.

8. Черномаз В. Н. Пример эллиптической системы семи уравнений второго порядка, для которой задача Дирихле не нетерова //В кн.: Математическая физика.- Киев: Наукова думка, 1975, вып.17, с.183−184.

9. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных.- М.:Наука, 1981.448с.

10. Фролов П. С. О компонентах связности вещественных эллиптических систем на плоскости // Докл. АН СССР, 1968, т.181, N6, с.1350−1353.

11. Антохин Ю. Т. О некоторых некорректных задачах теории потенциала // Дифф. уравн., 1966, т.2, N4, с.525−532.его применения. М.: Наука, 1978, с.595−600.

12. Янушаускас А. И. Методы потенциала в теории эллиптических уравнений. Вильнюс: Мокслас, 1990.264с.

13. Лопатинский Я. Б. Теория общих граничных задач. Избранные труды. Киев: Наукова думка, 1984. 316с.

14. Лопатинский Я. Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к системе регулярных интегральных уравнений // Докл. АН УССР, 5, — с. 381 388.

15. Лопатинский Я. Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям // Укр. Мат. журн., N 5, с. 123 151.

16. Товмасян Н. Е. Общая краевая задача для эллиптических систем второго порядка с постоянными коэффициэнтами // Дифференц уравнения. 1966. — Т. 2, N 1. — С. 163−171.

17. Тренева Т. В. Многомерный аналог системы А. В. Бицадзе // Аналитические методы в теории элиптических уравннений. Новосибирск: Наука СО, 1982, — С. 56−58.

18. Cosserat Е. et F. Sur les equations de la theorie de l’elasticite. Comptes Rendus des seances de l’Acad.d.Sciences Francaise (Paris), 126, 10 891 091, 1898.

19. Янушаускас A.И. К теории многомерных эллиптических систем // Сиб. матем. ж. 1980. Т. 21, N 2. — С. 224 — 231.

20. Янушаускас А. И. О многомерном аналоге системы А. В. Бицадзе // Докл. АН СССР. -1978. Т. 238, N 4. — С. 816 -819.

21. Янушаускас А. И. О несильно эллиптических системах уравнений с частными производными второго порядка // Дифферец. уравнения. 1986. Т. 22, N И. — С. 1984 -1990.

22. Янушаускас А. И. О фредголъмовости задачи Дирихле для эллиптической по Петровскому системы уравнений в частных производных второго порядка // Доклады академии наук, 1996, том 346, N2, с. 165−167.

23. Янушаускас А. И. Многомерные эллиптические системы с переменными коэффициентами. Вильнюс: Мокслас, 1990. 178с.

24. Янушаускас А. И. Граничные задачи для эллиптических уравнений в частных производных и интегро дифференциальные уравнения. -Иркутск: изд. Иркутского ун-та, 1997. 168с.

25. Халилов Ш. Б. О разрешимости задачи Дирихле для многомерных эллиптических систем // Дифферец. уравнения. 1990. Т. 26, N 9. С. 1621 -1626.

26. Васильева Г. В. Задача Дирихле для эллиптической по Петровскому системы уравнений второго порядка // Сб. науч. тр.- Иркутск: Иркут. ун-т, 1997. 44−52с.

27. Джураев А. Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. М: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.- 1987. 416с.

28. СыреннаяТ.Н. Задача Дирихле для не симметричной эллиптической по Петровскому системы в полупространстве // Сб. науч. тр.- Иркутск: Иркут. ун-т, 1997. С. 59−64.

29. Головко Е. А. Многомерные эллиптические системы с младшими членами // Сб. науч. тр.- Иркут. ун-т, 1990. С. 6−12.

30. Головко Е. А. Задача Дирихле для не сильно эллиптической системы уравнений второго порядка // Дифференц. уравн. и их применения.- Вильнюс, 1987 вып. 40. С. 9 — 15.

31. Янушаускас А. И. Сведение задачи Дирихле для эллиптической системы к интегральным уравнениям Фредголъма // Краевые задачи: Сб. науч. тр. Иркутск: Иркут. ун-т, 1997. — С. 84−91.

32. Исаева Г. А. Видоизмененная задача Дирихле для систем вырождающихся внутри области эллиптичности // Тр. XI международной Байкальской школы семинара методы оптимизации и их приложения. — ИСЭ СО РАН. — 1998, — с. 102 — 106.

33. Абдрахманов A.M. Задача Дирихле для многомерной эллиптической системы с переменными коэффициентами // Дифферец. уравнения. 1989. Т. 25, N 3. — С. 517 -520.

34. Rutkauskas S. On the first boundary value problem for a system of elliptic equations with nonegative characteristic form // Lithuania, Vilnius: Institute of mathematics and informatics. -1994.-Preprint N 17. 19 P.

35. Сыреная Т. Н. Задача Дирихле в шаре для не сильно эллиптической системы // Докл. РАН. 1997. — Т.354. — N 3.

36. Тупякова В. П. Об одной граничной задаче для эллиптической системы уравнений второго порядка //В кн.: Аналитические и конструктивные методы исследования дифференциальных уравнений. Иркутск: изд. Иркутского ун-та, 1993, с.68−72.

37. Митин С. П., Солдатов А. П. О разрешимости смешанно контактных задач плоской теории упругости // Дифферец. уравнения. -1993. Т. 29, N 5. — С. 885 — 889.

38. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных // М.: Высшая школа, 1977, 431с.

39. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения // М.:Физматгиз. 1962.

40. Васильева Г. В. К задаче Дирихле для одной многомерной эллиптической системы // Дифферец. уравнения. 1979. Т. 15, N 2. — С. 345 — 347.

41. Джураев А. Д. К теории систем сингулярных интегральных уравнений по ограниченной области // ДАН СССР. 1979. — Т. 249, N 1. -С. 22 — 25.

42. Tricomi F.G. Differential equations. New York: Blackie, 1961. — 350 p.

43. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. M.: Наука, 1976. — 528 с.

44. Тихонов А. Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. — 724 с.

45. Снеддон И. Преобразования Фурье М.: ИЛ, 1955. — 667 с.

46. Джураев А. О. О постановке пространственных эллиптических краевых задач для систем // Доклады АН. 1991. — Т. 319, N 1, С. 33.

47. Крылов Н. В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гельдера. Пер. с англ. — Новосибирск: Научная книга, 1998. — 178 + xviii с. — (Университетская серия. Т. 2).

48. Артемьева C.B. Задача Дирихле для эллиптической системы четырех уравнений второго порядка // Понтрягинские чтения IX. Тезисы докладов. — Воронеж, ВГУ, 1998, — с. 11.

49. Артемьева C.B. Задача Дирихле для эллиптической системы четырех уравнений второго порядка в полупространстве // Тр. XI международной Байкальской школы семинара методы оптимизации и их приложения. — ИСЭ СО РАН. — 1998, — с. 40 — 43.

50. Артемьева C.B. Задача Дирихле для одной эллиптической системы в шаре // Международная конференция «Обратные задачи математической физики». Тезисы докладов. Новосибирск: Изд-во Института математики, 1998, — с. 12 — 13.

51. Артемьева C.B. Задача Дирихле для одной эллиптической системы в полупространстве // Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения». Тезисы докладов. — Душанбе: Таджикский ун-т. — 1998. — С. 8.

52. Артемьева C.B. Задача Дирихле для одной эллиптической системы в полупространстве // Молодые ученые к 80-летию ИГУ: тез. докл. студ. и асп. Иркутск: Иркут. ун-т, — 1998 г. — С. 33.