Дифференциальная геометрия

Курсовая работа

«Дифференциальная геометрия»

Теоретическая часть. Вариант задания: № 7

Понятие поверхности Элементарная поверхность. Простая поверхность. Общая поверхность.

Область на плоскости называется элементарной областью, если она является образом открытого круга при топологическом отображении. Таким образом — это область гомеоморфная кругу.

Множество Ф точек пространства называется элементарной поверхностью, если оно является образом элементарной области на плоскости при топологическом отображении ее в пространство.

Пусть Ф — элементарная поверхность и G — элементарная область в плоскости, образом которой при топологическом отображении f является поверхность Ф. Пусть u и v — декартовы координаты произвольной точки, принадлежащей области, x, y, z — координаты соответствующей точки поверхности. Координаты x, y, z точки поверхности являются функциями координат точки области G:

Эту систему равенств, задающую отображение f области G в пространство, называют уравнениями поверхности в параметрической форме; u и v называют криволинейными координатами на поверхности.

Уравнения (*) при фиксированном u или v задают кривую, лежащую на поверхности. Эти кривые называются координатными линиями.

Множество Ф точек пространства называется простой поверхностью, если это множество связано и каждая точка X этого множества имеет окрестность G такую, что часть Ф, расположенная в G, является элементарной поверхностью.

Если из произвольной простой поверхности удалить любое замкнутое множество точек, но так, чтобы не нарушить связности оставшейся части, то эта оставшаяся часть будет также простой поверхностью.

Окрестностью точки X на простой поверхности Ф называется общая часть поверхности Ф и некоторой пространственной окрестности точки X.

Если простая поверхность является конечной, то она называется замкнутой.

Регулярная поверхность. Аналитическое задание поверхности Поверхность Ф называется регулярной (k раз дифференцируемой), если у каждой точки этой поверхности есть окрестность, допускающая регулярную параметризацию, т. е. задание уравнениями в параметрической форме Где — регулярные (k раз непрерывно дифференцируемые) функции, заданные в элементарной области G плоскости uv. При k = 1 поверхность называется гладкой.

Поверхность называется аналитической, если она в достаточно малой окрестности каждой своей точки допускает аналитическую параметризацию (функции — аналитические).

Далее рассматриваются только регулярные поверхности.

Теорема. Если x (u, v), у (u, v), z (u, v) — регулярные функции в области G плоскости

uv, удовлетворяющие условию, что ранг матрицы всюду в G равен двум, то система равенств Задает некоторую поверхность Ф. Эта поверхность есть образ простой поверхности G при локально топологическом отображении, которое точке (и, v) области G сопоставляет точку пространства с координатами х (и, v), у (и, v), z (u, v).

Поверхность Ф неявно задана уравнением ц (х, у, z)=0,

если координаты точек поверхности удовлетворяют данному уравнению.

Теорема. Пусть ц (ху, z) — регулярная функция переменных х, у, z. Пусть М — множество точек пространства, удовлетворяющих уравнению ц (х, у, z)=0, () — точка этого множества, в которой 0. Тогда у точки () есть окрестность такая, что все точки множества М, принадлежащие этой окрестности, образуют регулярную элементарную поверхность.

Специальные параметризации поверхности Регулярная поверхность в окрестности каждой своей точки допускает бесчисленное множество параметризаций.

Особые точки регулярной поверхности/

Точка P регулярной поверхности называется обыкновенной точкой по отношению к данной степени регулярности k, если поверхность допускает k раз дифференцируемую параметризацию в окрестности этой точки, удовлетворяющую условию: ранг матрицы в точке Р равен двум. В противном случае точка Р называется особой. Линия на поверхности, все точки которой являются особыми точками, называется особой линией.

Пусть регулярная параметризация поверхности в окрестности точки Q. Пусть ранг матрицы всюду в окрестности Q равен двум, кроме самой точки Q, в которой он меньше двух.

Будем пользоваться векторной записью уравнения поверхности, где r (u, v)=x (u, v) (- единичные векторы, направленные по осям x, y, z). Тогда условие того, что ранг матрицы равен двум или меньше двух, сводится к тому, что или соответсвенно.

Введем рассмотрение вектор-функцию Проверяется, что она инвариантна относительно преобразования координат с якобианом большим нуля. Если же якобиан меньше нуля, то эта функция меняет только знак.

Точка Q поверхности будет заведомо особой, если не стремится к определенному пределу при PQ. В самом деле, если Q обыкновенная точка, то в ее окрестности может быть введена регулярная параметризация (б, в) такая, что в точке Q и, следовательно, при PQ

стремится к определенному пределу.

Основные понятия для поверхностей, связанные с понятием соприкосновения Касательная плоскость поверхности.

Пусть Ф — поверхность, Р — точка на ней и б — плоскость, проходящая через точку Р. Возьмем на поверхности точку Q и обозначим ее расстояния от точки Р и плоскости б через d и h соответственно.

Плоскость б называется касательной плоскостью поверхности в точке Р, если отношение, когда Q.

Теорема. Гладкая поверхность Ф имеет в каждой точке касательную плоскость и притом единственную.

Если какая-нибудь гладкая параметризация поверхности, то касательная плоскость в точке паралельна векторам и .

Нормалью поверхности в точке Р называется прямая, проходящая через точку Р перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.

Лемма о расстоянии точки от поверхности. Соприкосновение кривой и поверхности.

Пусть Ф — поверхность и Q — произвольная точка пространства. Расстоянием точки Q от поверхности Ф называется точная нижняя грань расстояний точек поверхности от точки Q.

Лемма. Пусть Ф — гладкая поверхность, заданная уравнением ц (х, у, z)=0. Пусть в точке O () поверхности 0.

Если Q (x, у, z) — точка пространства, близкая к точке О, но не принадлежащая поверхности, то при подстановке координат точки Q в уравнение поверхности Ф, получается величина л, имеющая порядок величины h — расстояния точки Q от поверхности в том смысле, что отношение стремится к определенному пределу, отличному от нуля, когда точка Q неограниченно приближается к О, оставаясь вне поверхности.

Пусть Ф — элементарная поверхность и г — элементарная кривая, имеющие общую точку О. Пусть h — расстояние произвольной точки Q кривой от поверхности. Мы будем говорить, что кривая г с поверхностью Ф имеет соприкосновение порядка n, если, когда QP.

Теорема. Пусть Ф — элементарная регулярная поверхность и г — регулярная кривая, имеющие общую точку О. Пусть ц (х, у, z)=0 — уравнение поверхности в окрестности точки О, причем 0 в точке O; - регулярная параметризация кривой г в окрестности точки O, причем в точке O.

Тогда для того, чтобы кривая г имела с поверхностью Ф в точке О соприкосновение порядка п, необходимо и достаточно, чтобы при t, соответствующем точке О, выполнялись условия Соприкасающийся параболоид. Классификация точек поверхности Пусть Ф — регулярная (дважды непрерывно дифференцируемая) поверхность и Р — точка на ней. Пусть U — параболоид с вершиной Р, касающийся поверхности в этой точке. Обозначим h и d расстояния произвольной точки Q поверхности от параболоида и точки Р соответственно.

Параболоид U называется соприкасающимся параболоидом поверхности в точке Р, если отношение, когда

Теорема. В каждой точке Р регулярной (дважды непрерывно дифференцируемой) поверхности Ф существует и притом единственный соприкасающийся параболоид U, в частности, вырождающийся в параболический цилиндр или плоскость.

Классификация точек поверхности (из существования и единственности соприкасающегося параболоида):

Точка поверхности называется эллиптической, если соприкасающийся параболоид в этой точке является эллиптическим параболоидом.

Точка поверхности называется гиперболической, если соприкасающийся параболоид в этой точке является гиперболическим параболоидом.

Точка поверхности называется параболической, если соприкасающийся параболоид в этой точке вырождается в параболический цилиндр.

Точка поверхности называется точкой уплощения, если соприкасающийся параболоид в этой точке вырождается в плоскость (касательную плоскость поверхности).

Подобно тому как касательная плоскость поверхности воспроизводит форму поверхности в окрестности точки касания в первом приближении, соприкасающийся параболоид воспроизводит ее во втором приближении.

Первая квадратичная форма поверхности Пусть Ф — регулярная поверхность, r = r (u, v) — какая-нибудь ее регулярная параметризация и n — единичный вектор нормали к поверхности в точке (u, v).

С поверхностью связаны три формы:

.

Первая квадратичная форма I=d является положительно определенной, так как она принимает только неотрицательные значения и обращается в нуль только при du = dv = 0.

Для коэффициентов первой квадратичной формы поверхности мы будем употреблять обозначения: Таким образом, Длина кривой на поверхности.

Кривую на поверхности всегда можно задать в окрестности каждой точки равенствами u = u (t), v = v (t), причем, если поверхность и кривая регулярны, то u (t) и v (t) — регулярные функции.

Рассмотрим длину кривой на поверхности. Пусть Ф — регулярная поверхность и r=r (u, v) — ее регулярная параметризация. Пусть г — регулярная кривая на поверхности, заданная уравнениями u=u (t), v = v (t). Найдем выражение длины дуги отрезка кривой с концами в точках и P (t).

Имеем

где I — первая квадратичная форма поверхности.

Видно, что для измерения длин кривых па поверхности достаточно знать первую квадратичную форму поверхности. В связи с этим говорят, что первая квадратичная форма задает метрику поверхности, и называют ее линейным элементом поверхности.

Угол между кривыми на поверхности.

Направлением (du:dv) на поверхности Ф, заданной уравнением, называется направление вектора. Также обозначается как (d).

Углом между направлениями (du:dv) и (дu:дv) называется угол между векторами

и .

Найдем направление для угла между направлениями (d) и (:

.

Откуда для получаем выражение:

.

Говорят, что кривая г на поверхности, заданной уравнением, в точке (u, v) имеет направление (du:dv), если вектор является касательным вектором кривой в этой точке.

Кривая на поверхности, заданная уравнениями u = u (t), v = v (t), в точке (u (t), v (t)) имеет направление (u' (t):v'(t)).

Если две кривые г и на поверхности Ф имеют общую точку (u, v), то углом между ними в точке (u, v) будем называть угол между их направлениями в этой точке.

Координатная сеть на поверхности ортогональна (координатные линии пересекаются под прямым углом) тогда и только тогда, когда F = 0.

Теорема. В окрестности каждой точки поверхности можно ввести регулярную ортогональную параметризацию, причем одно семейство координатных линий может быть взято произвольно.

Площадь поверхности Пусть F — гладкая поверхность, G — область на ней, ограниченная конечным числом кусочно-гладких кривых. Разобьем область G на малые области кусочно-гладкими кривыми. Пусть g — одна из таких областей. Возьмем в области g произвольную точку Р и спроектируем эту область на касательную плоскость в точке Р. Если область g достаточно мала, то это проектирование одно-однозначное, и в касательной плоскости получится область ограниченная также кусочно-гладкими кривыми. Обозначим у () площадь области .

Под площадью G поверхности F понимают

где суммирование распространяется на все области g разбиения G, а предельный переход осуществляется при условии, что области g разбиения G неограниченно убывают по своим размерам.

Пусть на поверхности введена единая гладкая параметризация

.

Тогда выражение для площади области G имеет вид

.

Площадь поверхности аддитивна, что следует из свойств интеграла.

Площадь поверхности определяется только ее первой квадратичной формой. Действительно,

.

Отсюда

.

Конформное отображение.

Пусть и — регулярные поверхности. Топологическое отображение поверхности на поверхность называется конформным, если оно сохраняет углы между кривыми в том смысле, что соответствующие кривые на этих поверхностях пересекаются под одинаковыми углами.

Теорема. Если регулярные поверхности и параметризованы так, что коэффициенты их первых квадратичных форм пропорциональны, то отображение одной поверхности на другую, при котором сопоставляются точки с одинаковыми координатами, конформно.

Обратно, если поверхности и параметризовать так, что соответствие точек с одинаковыми координатами конформно, то первые квадратичные формы поверхностей пропорциональны.

Достаточно малые соответствующие фигуры на поверхностях при конформном отображении в первом приближении подобны.

Теорема. Пусть и — регулярные поверхности и , — произвольные точки на этих поверхностях.

Тогда, существует конформное отображение некоторой окрестности точки поверхности на некоторую окрестность точки поверхности .

Изометричные поверхности. Изгибание поверхностей.

Поверхности и называются изометричными, если существует одно-однозначное отображение поверхности па поверхность при котором соответствующие кривые на этих поверхностях имеют одинаковые длины. поверхность параметризация квадратичный Теорема. Если регулярные поверхности и можно параметризовать так, что их первые квадратичные формы будут одинаковы, то поверхности изометричны. Изометрическое отображение заключается в сопоставлении точек с одинаковыми координатами.

Обратно, если поверхности и изометричны, то они могут быть параметризованы так, что их первые квадратичные формы будут одинаковы.

При изометрическом отображении сохраняются углы между кривыми и площади.

Теорема. Для каждой достаточно малой окрестности щ точки Р аналитической поверхности существуют поверхности, изометричные щ и не равные ей.

Любая регулярная замкнутая выпуклая поверхность Ф первой квадратичной формой определяется однозначно.

Изгибанием поверхности называется такая непрерывная ее деформация, при которой длины кривых на поверхности не изменяются.

При соответствующей параметризации первая квадратичная форма при изгибании поверхности не изменяется.

Теорема. У каждой точки аналитической поверхности, не являющейся точкой уплощения, существует окрестность, допускающая непрерывные изгибания.

Вторая квадратичная форма поверхности.

Пусть Ф — регулярная поверхность, r = r (u, v) — какая-нибудь ее регулярная параметризация, n (u, v) — единичный вектор нормали поверхности в точке Р (u, v). Второй квадратичной формой поверхности называется квадратичная форма

.

Для коэффициентов этой формы употребляют следующие обозначения:

.

.

Также из и следует, что

.

Кривизна кривой, лежащей на поверхности.

Пусть Ф — регулярная поверхность, — какая-нибудь ее регулярная параметризация, г — регулярная кривая на поверхности, проходящая через точку Р (u, v) и имеющая в этой точке направление (du:dv). Пусть — естественная параметризация кривой г.

Рассмотрим скалярное произведение. Вектор направлен по главной нормали кривой, а по величине равен кривизне кривой. Отсюда

где k — кривизна кривой, а? — угол, образуемый главной нормалью кривой и нормалью к поверхности. Но

Поэтому

.

Отношение зависит только от направления кривой в точке P (u, v). Таким образом

]

в точке P (u, v) для всех кривых г, проходящих через эту точку и имеющих в ней одно и то же направление (касательную).

Равенство.

составляет содержание теоремы Менье.

Величина называется нормальной кривизной поверхности в данном направлении (du:dv). С точностью до знака она равна кривизне кривой, которая получается в сечении поверхности с плоскостью, перпендикулярной касательной плоскости и содержащей направление (du:dv).

Нормальная кривизна поверхности в данном направлении совпадает с нормальной кривизной соприкасающегося параболоида в том же направлении.

Отложим из произвольной точки Р (u, v) поверхности в каждом направлении (du:dv) отрезок, равный, где k — нормальная кривизна поверхности в этом направлении. Геометрическое место концов этих отрезков называется индикатрисой кривизны (индикатрисой Дюпена) поверхности в точке P.

Индикатриса кривизны представляет собой эллипс — в эллиптической точке поверхности (LN — >0), пару сопряженных гипербол — в гиперболической точке (LN—<0), пару параллельных прямых — в параболической точке (LN— = 0).

Поверхность и ее соприкасающийся параболоид имеют одну и ту же индикатрису кривизны.

Асимптотические направления. Асимптотические линии. Сопряженные направления.

Направление (du: dv) на регулярной поверхности Ф в точке Р (u, v) называется асимптотическим, если нормальная кривизна поверхности в этом направлении равна нулю. Таким образом, направление (du: dv) будет асимптотическим тогда и только тогда, когда выполняется условие

.

В эллиптической точке поверхности не существует асимптотических направлений, в гиперболической точке существует два асимптотических направления, в параболической точке — одно асимптотическое направление, наконец, в точке уплощения любое направление является асимптотическим.

Кривая на поверхности называется асимптотической линией, если ее направление в каждой точке является асимптотическим.

Т.е.

— дифференциальное уравнение асимптотических линий.

Если на поверхности расположена прямая, то она, очевидно, будет асимптотической линией.

Касательная плоскость поверхности в каждой точке асимптотической линии является соприкасающейся плоскостью.

Координатная сеть будет асимптотической тогда и только тогда, когда коэффициенты L и N второй квадратичной формы равны нулю.

Теорема. В окрестности гиперболической точки поверхности всегда может быть введена параметризация, при которой координатными линиями будут асимптотические.

Пусть Р — произвольная точка поверхности Ф, (du: dv), (дu:дv) — два направления в точке Р на поверхности. Направления (d) и (д) называются сопряженными, если содержащие их прямые и являются сопряженными диаметрами индикатрисы Дюпена в точке Р.

Таким образом, для того чтобы направления (d) и (д) были сопряженными, необходимо и достаточно выполнения условия

.

Условие сопряженности направлений d и д допускает запись

.

Асимптотические направления являются самосопряженными.

Главные направления на поверхности. Линии кривизны.

Направление (du:dv) на поверхности называется главным направлением, если нормальная кривизна поверхности в этом направлении достигает экстремального значения. Т. е. это направления, совпадающие с направлениями осей индикатрисы кривизны.

Отсюда следует, что в каждой точке поверхности в общем случае имеется два главных направления. Совпадая с направлениями осей индикатрисы кривизны, главные направления ортогональны и сопряжены, а следовательно, удовлетворяют условиям

(ортогональность),

(сопряженность).

Исключая и, получим:

Главные направления не определены в двух случаях: в случае точки уплощения, так как в ней любое направление является главным (нормальная кривизна в любом направлении равна нулю), и в специальном случае эллиптической точки, когда индикатриса кривизны — круг: такая точка называется шаровой. В шаровой точке, так же как и в точке уплощения, любое направление является главным.

Нормальные кривизны поверхности, соответствующие главным направлениям, называются главными кривизнами.

Теорема Родрига. Если направление (d) является главным направлением, то

где k — нормальная кривизна поверхности в этом направлении. Обратно, если в направлении (d)

то (d) является главным направлением.

Доказательство. Пусть (д) — другое главное направление, перпендикулярное первому. Вектор dn, будучи перпендикулярен n, допускает представление

.

Умножая это равенство на дr и замечая, что в силу сопряженности направлений (d) и (д) и в силу ортогональности этих направлений, получим:

.

Отсюда µ=0. И. Умножая равенство на dr, получим:

.

Откуда следует, что. Прямое утверждение доказано.

Докажем обратное. Пусть направление (d) таково, что

.

Покажем, что оно является главным. Пусть (д) — направление, перпендикулярное (d). Тогда, умножая равенство на дr, получим. Что означает, что направления (d) и (д) сопряженные. Так как они, кроме того, ортогональны, то они главные.

Линия на поверхности называется линией кривизны, если ее направление в каждой точке является главным направлением.

Практическая часть Условие:

Доказать, что для того чтобы линия г на поверхности была линией кривизны, необходимо и достаточно, чтобы вдоль кривой выполнялось равенство, где m — единичный вектор нормали к поверхности, а k — нормальная кривизна поверхности вдоль кривой г.

Доказательство:

Необходимость: По определению, т.к. г является линией кривизны, то ее направление (d) в каждой точке является главным. Пусть (д) — другое главное направление поверхности, ортогональное первому.

Вектор dm перпендикулярен m, а потому допускает разложение

.

Умножим равенство на дr и, учитывая, что в силу сопряженности направлений и в силу ортогональности направлений, получим что Откуда µ=0. И, следовательно. Теперь умножим равенство на, получим где () — вторая квадратичная форма, и — первая, тогда или, где k — нормальная кривизна поверхности вдоль кривой.

Итак, — необходимость доказана.

Достаточность: Рассмотрим на поверхности линию г, для направления (d) которой верно равенство:

и покажем, что оно является главным. Пусть (д) — направление, перпендикулярное (d). Тогда, умножая данное равенство на дr, имеем, что т.к. в силу ортогональности. Равенство означает, что направления (d) и (д) сопряженные, и т.к. они, кроме того, ортогональны, то они главные.

Т.к. направление линии г является главным направлением, то по определению она является линией кривизны.

Что и требовалось доказать.

Примеры:

Любые линии на плоскости и сфере являются линиями кривизны, т.к. в каждой точке плоскости и сферы — все направления главные.

Используемая литература

1. А. В. Погорелов «Дифференциальная геометрия», издательство «Наука», Москва 1974;

2. П. К. Рашевский «Курс дифференциальной геометрии», Москва 1950;

3. В. Бляшке «Элементарная дифференциальная геометрия», Москва 1935;

4. Н. В. Ефимов «Высшая геометрия», издательство «Наука», Москва 1971.