Кривые Евклидова пространства

1. Кривые Евклидова пространства

1.1 Касательная прямая и нормальная плоскость кривой. Практическая часть нахождения касательной прямой и нормальной плоскости кривой

1.2 Соприкасающаяся плоскость в произвольной и в выбранной точке. Практическая часть нахождения соприкасающейся плоскости в произвольной и в выбранной точке

1.3 Кривизна и кручение в выбранной и произвольной точке. Практическая часть вычисления кривизны и кручения в произвольной и выбранной точке

1.4 Построение кривой

2. Поверхности Евклидова пространства

2.1 Касательная плоскость и нормаль поверхности. Нахождение касательной плоскости и нормали в произвольной и выбранной точке

2.2 Первая квадратичная форма в выбранной и произвольной точке. Вычисление первой квадратичной формы в произвольной и выбранной точке

2.3 Вторая квадратичная форма в выбранной и произвольной точке. Вычисление второй квадратичной формы поверхности в произвольной и выбранной точке

2.4 Полная и средняя кривизна поверхности. Вычисление полной и средней кривизны поверхности

2.5 Изображение поверхности Список использованной литературы касательная нормаль плоскость кривизна

1. Кривые Евклидова пространства Нам даны параметрические координаты кривой: x=, y=, z=-. Найдем на ее примере касательную прямую, нормальную плоскость, кривизну и кручение в произвольной и выбранной точке. Построим кривую.

1.1 Касательная прямая и нормальная плоскость прямой в произвольной и в выбранной точке. Практическая часть нахождения касательной прямой и нормальной плоскости кривой Вектор () является вектором касательной кривой в точке. Обозначим точку кривой, соответствующую значению параметра, через P, т. е. P=P. Плоскость, проходящая через точку P кривой и перпендикулярная вектору, называется нормальной плоскостью кривой в точке. По вектору = и точке P запишем уравнения касательной прямой и нормальной плоскости кривой

+=0.

Практическая часть нахождения касательной прямой и нормальной плоскости кривой Применим все вышесказанное к нашей кривой: найдем касательную прямую и нормальную плоскость в произвольной и выбранной точке.

В уравнение касательной прямой:

подставим наши координаты: x, y и z вместо, и соответственно, и производные вместо, получим:

Мы получили уравнение касательной прямой в общем виде, теперь найдем уравнение прямой в выбранной точке, приняв :

Нами получено уравнение касательной прямой в выбранной точке. Теперь найдем уравнение нормальной плоскости кривой, по аналогии с нахождением уравнения касательной прямой, подставив в формулу:

+=0

наши координаты:

+=0.

Уравнение нормальной плоскости кривой в произвольной точке найдено. Напишем уравнение в выбранной точке, напомню, что. В итоге получаем:

+=0.

Нами получено уравнение нормальной плоскости кривой в выбранной точке.

1.2 Соприкасающаяся плоскость в произвольной и выбранной точке. Практическая часть нахождения соприкасающейся плоскости в произвольной и в выбранной точке Рассмотрим плоскости, проходящие через касательную кривой (t) в точке Р=Р (t₀) кривой. При изменении параметра t получаем вектор. Для вектора имеет место формула Тейлора:

= + +, 0.

Точка М (t₀+?t) кривой и касательная P, ?(t₀) определяют плоскость

=P, ?(t₀),? (t₀+?t).

Нормальный вектор плоскости есть? (t₀) ?(t₀+?t).

Плоскость P, ?(t₀), ?(t₀) называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке t₀ .

Уравнение соприкасающейся плоскости:

Практическая часть нахождения соприкасающейся плоскости в произвольной и в выбранной точке Найдем формулу соприкасающейся плоскости в произвольной и выбранной точке:

=

=0.

Мы нашли формулу соприкасающейся плоскости в произвольной точке. Теперь найдем в произвольной точке, которую мы ранее приняли равной :

= =0.

Соприкасающаяся плоскость в выбранной точке найдена.

1.3 Кривизна и кручение кривой. Вычислительные формулы для кривизны и кручения. Практическая часть вычисления кривизны и кручения в произвольной и выбранной точке Величина k₁ называется кривизной или первой кривизной кривой r (s) в точке Р; функция k_{1 =} k₁(s) называется функцией кривизны кривой r (s), k₁? 0,

(s) -вектор кривизны кривой (s).

Величина k₂ называется кручением кривой ?(s) или второй кривизной кривой (s) в точке Р. При движении точки Р по кривой (s), т. е. с изменением параметра s, имеем функцию k₂= k₂(s) — функцию кручения. Знак величины k₂ может быть и положительным, и отрицательным

k₁=(1);

k_{2 =} (2).

Практическая часть вычисления кривизны и кручения в произвольной и выбранной точке Вычислим, имея компоненты нашей кривой: кривизну и кручение в произвольной и выбранной точке.

Кривизна кривой () в произвольной точке вычисляется согласно формуле (1).Подставляем наши координаты в эту формулу, получаем:

Мы нашли кривизну кривой в произвольной точке. Найдем кривизну выбранной точке, подставив вместо значение равное 1, которое мы выбрали ранее.

Кривизна кривой в выбранной точке найдена.

Кручение кривой () в произвольной точке вычисляется согласно формуле (2).Подставляем наши координаты в эту формулу, получаем:

Мы нашли кручение кривой в произвольной точке. Найдем кручение выбранной точке, подставив вместо значение равное 1, которое мы выбрали ранее.

Кручение кривой в выбранной точке найдена.

1.4 Построение кривой Изобразим нашу кривую; она будет иметь следующий вид:

2. Поверхности евклидова пространства Нам даны компоненты поверхности: x=, y=, z= Найдем на ее примере уравнение касательной плоскости и нормали, первую и вторую квадратичные формы в произвольной и выбранной точке. Вычислим полную и среднюю кривизны поверхности. Изобразим поверхность.

2.1 Касательная плоскость и нормаль поверхности. Нахождение касательной плоскости и нормали в произвольной и выбранной точке Пусть P — точка регулярной поверхности (u, v). В этой точке имеем неколлинеарные векторы. Для любой линии (t) = (u (t), v (t)) выполняется .

Касательная прямая P, ?(t) всякой кривой (t) = (u (t), v (t)) поверхности (u, v) лежит в плоскости. Касательные всех линий поверхности (u, v), проходящих через точку Р, образуют плоскость.

Пусть Р=(x₀, y₀, z₀) и производные вычислены в точке Р.

Тогда уравнение касательной плоскости таково

.

Прямая называется нормалью поверхности (u, v) в точке Р. Ее уравнение Нахождение касательной плоскости и нормали в произвольной и выбранной точке Вычислим производные по u и v. Получим следующее:

Возьмем точки =, =.

Найдем касательную плоскость в произвольной точке:

Уравнение касательной плоскости в произвольной точке найдено.

Найдем в выбранной точке, подставив значения и расписав

sh и ch:

Мы нашли уравнение касательной плоскости в выбранной точке.

Теперь найдем уравнение нормали в произвольной и выбранной точке, используя теоретическую часть нашего вопроса, получим:

Получено уравнение нормали в произвольной точке. Найдем в выбранной:

Уравнение нормали в выбранной точке найдено.

2.2 Первая основная квадратичная форма поверхности. Вычисление первой квадратичной формы в произвольной и выбранной точке.

В произвольной точке Р поверхности (u, v) зададим направление, выбрав u=u (t), v=v (t). Отношение дифференциалов

определяет направление на поверхности, имеем

.

Производная от (u, v) по направлению du: dv имеет вид:

.

Малое смещение ds по кривой (u (t), v (t)) на поверхности вычисляется на основании равенств

.

Отсюда получаем, вычисляя скалярный квадрат

=,

ds²=.

Введем обозначения

.

Значения этих скалярных произведений зависят от выбора точки Р поверхности. Выражение:

называется первой квадратичной формой поверхности (u, v).

Вычисление первой квадратичной формы в произвольной и выбранной точке.

Вычислим первую квадратичную форму в выбранной точке.

Найдем

Теперь, когда найдены значения E, F и G, напишем формулу первой квадратичной формы в произвольной точке:

Нами получена формула первой квадратичной формы в произвольной точке.

Теперь, подставив наши значения в формулу первой квадратичной формы, найдем ее значение в выбранной точке:

)

Первая квадратичная форма в выбранной точке найдена.

2.3 Вторая квадратичная форма поверхности. Вычисление второй квадратичной формы поверхности в произвольной и выбранной точке На поверхности (u, v) рассмотрим линию u=u (s), v=v (s) в естественной параметризации :

.

Кривизна кривой :

(s) =,

где k₁ кривизна кривой, — единичный вектор главной нормали кривой. Обозначим — единичный вектор нормали поверхности

(u, v), это вектор

.

Умножим скалярно и :

если — угол между и. Величина

Называется нормальной кривизной (s) на поверхности (u, v) или нормальной кривизной поверхности

.

Вычислим k_n в окрестности точки Р=(x₀, y₀, z₀). Находим

здесь и, так как. Обозначим

, .

На основании формул:

и имеем Коэффициенты L, M, N вычислены в точке Р поверхности. Выражение для нормальной кривизны линии на поверхности таково:

.

Отсюда получаем

.

Воспользуемся значением ds² из первой квадратичной формы поверхности

.

Квадратичная форма

Называется второй квадратичной формой поверхности.

Вычисление второй квадратичной формы поверхности в произвольной и выбранной точке.

Найдем вторую квадратичную форму в произвольной точке:

Вычислим, для начала чему равен, подставив ранее полученные значения E, G и F для первой квадратичной формы:

)

Найдем векторное произведение и:

=)

Затем вычислим

и:

Найдем коэффициенты второй квадратичной формы, подставив в формулы наши значения:

L=

M=

N=0

Теперь напишем формулу второй квадратичной формы поверхности в произвольной точке Вторая квадратичная форма в произвольной точке найдена.

Подставив значения в нашу формулу, получим уравнение второй квадратичной формы в выбранной точке:

Уравнение второй квадратичной формы в выбранной точке найдено.

2.4 Полная и средняя кривизны поверхности. Вычисление полной и средней кривизны поверхности Рассмотрим регулярную (u, v) в окрестности точки Р.

.

Отсюда получаем

.

Дифференцируем это неравенство по x и по y

Главные направления в касательной плоскости определяются этой системой уравнений, если она имеет ненулевые решения, т. е. в случае ?=0

Значение определителя

.

Главные кривизны есть корни выписанного уравнения. Воспользуемся теоремой Виета

где Кполная кривизна поверхности (Гауссова кривизна),

Нсредняя кривизна поверхности.

Вычисление полной и средней кривизны поверхности Мы вычислили полную и среднюю кривизну поверхности.

2.5 Изображение поверхности Изобразим нашу поверхность; она будет иметь следующий вид:

1.Долгарев А. И. Элементы дифференциальной галилеевой геометрии и одуль галилеевых преобразований. — Саранск: Средневолжское математическое общество, 2003(препринт 63). — 116 с.

2.Долгарев А. И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств. — Пенза: Инф.-изд. Центр Пенз. гос. ун-та, 2004. — 306 с.

3.Позняк Э. Г. Дифференциальная геометрия. Первое знакомство / Э. Г. Позняк, Е. В. Шикин. — М.: Изд-во МГУ, 1990.-384 с.

4.Долгарев А. И. Одулярное описание афинных преобразований плоскости: Деп. В ВИНИТИ 07.02.97, № 369 — В97. — 59 с.