Задача Коши и граничные задачи для некоторых сингулярных параболических систем

Диссертационная работа посвящена некоторым вопросам теории линейных параболических систем с коэффициентами, имеющими особенности. В ней: I) построена фундаментальная матрица решений задачи Коши для произвольных параболических в смысле И. Г. Петровского систем в случаях, когда коэффициенты имеют степенные особенности на прямых Х = Х0 и гиперплоскости «t ="t0 (глава 1) и систем с оператором Бесселя по lt-ой пространственной координате (глава П)-2)построена матрица Грина и изучены ее свойства для параболической краевой задачи в нецилиндрической области со степенными особенностями в коэффициентах системы (глава Ш).

Для уравнений с частными производными с помощью классических методов решены многие важные задачи. Исследованию задачи Коши и граничных задач для линейных параболических систем посвящены работы И. Г. Петровского [66], С. Д. Эйдельмана [80], В. П. Михайлова [бI], Т. Я. Загорского [19], О. А. Ладыженской, В.А.Солонни-кова, Н. Н. Уральце вой [47], Е. М. Ландиса [481, А. Фридмана [78], М. И. Матийчука [bl, С. Д. Ивасишина [21−24″ ! и других авторов.

Важные результаты для вырождающихся уравнений с частными производными и оператором Весселя получены Я. И. Нитомирским [18], И. А. Куприяновым [ЗЗ-Зб], В. И. Кононенко [30−32], М. И. Ключанцевым [37], В. В. Катраховым [2 $,[28], Л. И. Камыниным [26], М. И. Матийчуком [54−60], М. М. Смирновым [?3, [72], А. В. Ивановым [20].

В работах В. В. Крехивского, М. И. Матийчука [41], [42] изучаются фундаментальное решение и задача Коши для линейных параболических систем с оператором Весселя, рассматриваются краевая и смешанная задачи для данных систем. О. Н. Козлова [38−39] изучила свойства положительных решений параболических уравнений с оператором Бесселя.

В настоящее время исследуются такие задачи для важных, с теоретической и прикладной точек зрения, классов уравнений с особенностями в коэффициентах. В работах Л. Г. Михайлова [62], [63] изучается обобщенная система Коши-Римана, коэффициенты которой имеют особенности. Л. С. Парасюк [77″ ] исследовала свойства обобщенного фундаментального решения эллиптической системы с разрывными коэффициентами. Задачу Коши и основные задачи математической физики для параболических систем с разрывными коэффициентами рассмотрел М. И. Матийчук [53], а в работах [54 — 58] им же строится и изучается фундаментальное решение названных систем и исследуются краевые задачи параболического типа с разрывными коэффициентами на гиперплоскости. Принцип максимума для параболических уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами получен И. Д. Пукальским, М. И. Матийчуком [67].

Краевые задачи для некоторых сингулярных дифференциальных операторов изучались В. В. Катраховым [27],[28], а фундаментальное решение дифференциального оператора с особенностью рассмотрели В. С. Серов [70], Л. С. Парасюк [65]. В работе С. Д. Эйдельмана, С.Д.Ива-сишена [81] исследована матрица Грина однородной параболической граничной задачи для систем с разрывными коэффициентами.

В работе изучаются граничные задачи для линейных параболических дифференциальных операторов в весовых пространствах Соболева. Коэффициенты оператора имеют особенности в нижней части цилиндра.

Общие эллиптические задачи с сильным вырождением изучались Я. А. Ройтбергом и З. Т. Шефтелем [68].

Как свидетельствует проведенный анализ, получены глубокие результаты по исследованию фундаментального решения и классической разрешимости граничных задач, изучена классическая задача Коши для параболических систем. Изучены многие вопросы разрешимости граничных задач для эллиптических и параболических вырождающихся уравнений и систем, имеющих особенности в коэффициентах.

До настоящего времени не были изучены задача Коши для общих параболических по И. Г. Петровекому систем со степенными особенностями в коэффициентах, параболических систем с оператором Бесселя и степенными особенностями в коэффициентах.

В данной диссертационной работе изучаются свойства решений параболических систем первого и высших порядков по t со степенными особенностями в коэффициентах при младших производных, вырождающиеся уравнения с такими же особенностями в коэффициентах.

Здесь построены фундаментальные решения для а) систем высшего порядка по «t с особенностями в коэффициентахб) параболической системы с оператором Бесселя (В-параболиче-ской) с особенностями в коэффициентахв) В-параболической системы с диссипациейг) однородной краевой задачи для параболической системы со степенными особенностями в коэффициентах системы в нецилиндрической области.

Полученные результаты применены к решению задачи Коши для соответствующих систем. Кроме этого доказаны теоремы Лиувилля и внутренние оценки решений Впараболических систем.

При исследовании поставленных задач используется методика, разработанная вышеупомянутыми авторами в работах, описывающих свойства решений эллиптических, гиперболических, параболических уравнений с гладкими и вырождающимися коэффициентами.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы.

1. Аббасов А. Т. О поведении на границе решений вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка в разрывными коэффициентами. — Дифференц. уравнения, 1970, т. б, № б, с.1073−1085.

2. Агмон С., Дуглис Н., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.: Мир, 1962. 205 с.

3. Бадерко Е. А. 0 потенциалах для 2рпараболических уравнений. -Дифференц.уравнения, 1983, т.19, № I, с.9−18.

4. Введенская Н. Д. 0 зависимости гладкости решения вырождающегося параболического уравнения от параметров области. Журн. вычислит, математики и мат. физики, 1971, т.11, № б, с.1453−1461.

5. Веренич I.I., 1васишен С. Д. Матриця Грша загальних однор1дних парабол 1чних крайових задач у нещшндричних областях. Допо-В1Д1 АН УРСР. Cepifl А, 1970, № 12, с.1063−1066.

6. Веренич И. И., Матийчук М. И. 0 свойствах решений параболических систем с оператором Бесселя. Математический сборник. К.: Нау-кова думка, 1976, с.151−154.

7. Веренич И. И. Внутренние оценки решений параболических уравнений с оператором Бесселя. Доклады АН УССР. Серия А, физико-матем.и технич. науки, 1977, № II, с.969−974.

8. Веренич И. И. Фундаментальные решения параболических систем высшего порядка по t с особенностями в коэффициентах и их применение к решению задачи Коши. Черно виц.гос.ун-т, Черно вцы, 1981, 30 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ, 20 июля 1981 г.,№ 3606−81 Деп.

9. Веренич И. И. 0 фундаментальных решениях параболических систем высшего порядка по t с особенностями в коэффициентах. -Доклады АН УССР. Серия А, физико-матем. и техн. науки, 1982,№ 2, с.5−8.

10. Веренич И. И. Задача Коши для Впараболических систем с особенностями в коэффициентах. Мат.физика. Вып.33, 1983, с.61−65.

11. Веренич И. И. О матрице Грина параболической краевой задачи в нецилиндрической области с особенностью в коэффициентах системы. Черновиц.гос.ун-т, Черновцы, 1983, 25 с. Рукопись деп. в Укр. НИИНТИ 4 июля 1983?.,№ 670 Ук-Д83.

12. Веренич И. И. О матрице Грина параболической краевой задачи в нецилиндрической области с особенностью в коэффициентах системы и ее применение. Республ. конференция по нелинейным задачам математической физики. Тезисы докладов, Донецк, 1983, с. 23.

13. Веренич И. И. 0 решении задачи Коши для квазилинейных параболических систем с особенностью в коэффициентах. В кн.: Общая теория граничных задач. Сб.науч. тр. Киев: Наукова думка, 1983, с.255−256.

14. Глаголева Р. Я. Априорная оценка нормы Гельдера и неравенство Харнака для решения нелинейного параболического уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами. Матем.сборник. Т.76. Вып.2, 1968, с.167−185.

15. Глаголева Р. Я. Лиувиллевы теоремы для решения линейного параболического уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами. Матем.заметки. Т.5. Вып.5, 1969, с.599−606.

16. Гусаров Л. А. Оценки решений первой краевой задачи для параболических уравнений высших порядков. Доклады АН СССР. Т.166, № 4, 1966, с.767−770.

17. Гусаров Л. А. Лиувиллевы теоремы для эллиптических уравнений в цилиндре. Успехи мат.наук. Т.34. Вып.2, 1979, с.195−196.

18. Житомирский Я. И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальным оператором типа Бесселя. Матем.сборник. Т.36(78), № 2, 1955, с.299−310.

19. Загорский Г. Я. Смешанные задачи для систем дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа. -Львов. Изд-во Львовского ун-та, 1961. 115 с.

20. Иванов А. В. Квазилинейные вырождающиеся и неравномерно эллиптические и параболические уравнения второго порядка. Труды мат. ин-та им. Стеклова. Т. '160. 1982, с.249−285.

21. Ивасишен С. Д. Внутренние оценки^{-параболических} систем. -Доклады АН УССР. 1962, № 8, с. ЮП-1016.22. 1васишен С.Д. AnpiopHi оцшки розв" язк1 В задач! Komi для Я&-парабол1чних систем. Допов1Д1 АН УРСР. 1965, № 9, с.1121−1125.

22. Ивасишен С. Д. Матрица Грина граничных задач для параболических по И. Г. Петровскому систем общего вида I, П. Математический сборник. 1981, 114(156), № I, с.110−166- 114(156), }о 4, с.523−565.

23. Ивасишен С. Д. 0 корректной разрешимости параболических граничных задач в пространствах растущих функций. Укр.матем. журн., 1982, т.34,!,' I, с.25−30.

24. Камынин Л. И., Масленникова В. Н. Граничные оценки шаудеров-ского типа решения задачи с косой производной для параболического уравнения в нецилиндрической области. Сиб.матем. журн. 1966, 7, № I, с.83−128.

25. Камынин Л. И., Химченко В. Н. Об априорных оценках решения параболического уравнения 2-го порядка вблизи нижней крышки параболической границы. Сиб.матем.журн. 1981, 22, Г° 4, с.94−113.

26. Катрахов В. В. К теории уравнений с частными производными ссингулярными коэффициентами. Докл. АН СССР, 1974,218,}f° I, с.17−20.

27. Катрахов В. В. О краевых задачах для некоторых сингулярных дифференциальных операторов. Труды НИИ. Вып.13. 1974, г"г-. яС, 00−4i .

28. Киприянов И. А. О краевых задачах для уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя. Докл. АН СССР. 1964, 158,)? 2, с.275−278.

29. Киприянов И. А., Кононенко В. И. 0 фундаментальных решениях уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя. Докл. АН СССР, 1966, 170, $ 2, с.261−264.

30. Киприянов Й. А., Кононенко В.й. фундаментальные решения Вэллиптических уравнений. Дифференц.уравнения. 1967, 3,№ 1, с.114−129.

31. Киприянов И. А., Кононенко В. И. 0 фундаментальных решениях В-эллиптических уравнений. В сб.: Материалы У1 межвузовской физ.-мат.научн.конференции Дальн.-Вост., 1967, т. З, с.100−105.

32. Киприянов И. А. Об одном операторе, порожденном преобразованием Фурье-Бесселя. Сиб.матем.журн., 1967, 8, f 3, с.601−620.

33. Киприянов И. В. Оценки в решений краевых задач для уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя. Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1967, 91, с.27−46.

34. Киприянов И. А., Ключанцев М. И. Оценки поверхностного потенциала, порожденного оператором обобщенного сдвига. Докл. АН СССР. 1969, 188, № 5, с.997−1000.

35. Киприянов И. А. Об одном классе сингулярных эллиптических операторов. 1. Дифференц.уравн. 1971, 7, № II, с.2066;2077.

36. Ключанцев М. И. Оценки решений краевых задач с оператором Бесселя. Докл. АН СССР. 1969, 188, Г 6, с.1227−1230.

37. Козлова О. Н. О положительных решениях параболического дифференциального уравнения с оператором Бесселя. Латв.мат. енегодник. 1976, 19, с.145−149.

38. Козлова О. Н. О суммировании классических положительных решений параболических систем с оператором Бесселя. Латв.мат. ежегодник. 1979, 23, с.73−81.

39. Кружков С. Н., Кастро A., Jlonec М. Оценки шаудеровского типа и теоремы существования решений основных задач для линейных и нелинейных параболических уравнений. Доклады АН СССР. 1975, 220, № 2, с.277−280.

40. Крехивский В. В., Матийчук М. И. фундаментальные решения и задача Коши для линейных параболических систем с оператором Бесселя. Докл. АН СССР. 1968, 181, f 6, с.1320−1323.

41. Крех1вський B.B.j Мат1йчук МЛ. Про зв" язок м1ж фундаменталь-ними матрицями розв" язк1 В параболхчних i елштичних системз оператором Беселя. Допов1Д1 АН УРСР. Сер1я А, ф1з.техн. та матем.науки. 1970, № 3, с.210−214.

42. Крехивский В. В., Матийчук М. И. О краевых задачах для параболических систем с оператором Бесселя. Докл. АН СССР. 1971, 199, № 4, с.773−775.

43. Крехивский В. В. Смешанная задача для параболических уравнений с оператором Бесселя. В кн.: Краевые задачи математической физики. К. 1978, с.45−50.

44. Кудинцева И. Г. Теорема типа Лиувилля для решений систем дифференциальных уравнений в частных производных. Изв.вузов. Матем., 1979, Р 9, с.81−84.

45. Кузьменко Ю. Т. О теореме Лиувилля для вырождающихся эллиптических и параболических уравнений. Мат.заметки. Т.29.Вып.3. 1981, с.367−408.

46. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейныеи квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. — 736 с.

47. Ландис Е. М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Наука, 1971. 289 с.

48. Левитан М. Б. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье. Успехи мат.наук. 1951, т.6, вып.2(42), с.102−143.

49. Малицкая А. П. Построение фундаментального решения для одного класса вырождающихся параболических уравнений высокого порядка. Укр.мат.журн., 1950, т.32,№ 6, с.754−762.

50. Матийчук М. И., Зйдельман С. Д. 0 фундаментальных решениях и задаче Коши для параболических систем, коэффициенты которых удовлетворяют условию Дини. Тр. семинара по функц.анализу. Вып.9. Воронеж, 1967, с.54−83.

51. Матийчук М. И., Зйдельман С. Д. Задача Коши для параболических систем, коэффициенты которых имеют малую гладкость. Укр. мат. журн., 1970, 22, Jf I, с. 22−36.

52. Матийчук М. И. Задача Коши и основные задачи математической физики для параболических систем с разрывными коэффициентами. Докл. АН УССР. 1973, }? 5, с.409−412.

53. Матийчук М. И. Задача Дирихле и Неймана для параболических уравнений с оператором Бесселя в пространствах Дини. В рес-публ.межведомственном сб." Математическая физика", К.: Науко-ва думка, 1973, в.1, с.113−118.

54. Матийчук М. И. фундаментальные решения параболических систем с разрывными коэффициентами и их применение к краевым задачам. I. Дифференц. уравнения, 1974, т.10, № 8, с.1463−1477.

55. Матийчук М. И. фундаментальные решения параболических систем с разрывными коэффициентами и их применение к краевым задачам. П. Дифференц. уравнения, 1975, II, № 7, с.1293−1303.

56. Матийчук М. И. фундаментальные решения параболических систем с разрывными коэффициентами и их применение к краевым задачам. Ш. Дифференц. уравнения, 1978, 14, № 2, с.291−303.

57. Матийчук М. И. Применение фундаментальных решений к исследованию граничной сингулярной задачи параболического типа. -Тр.Всес.конф.по уравн. с частн.произв., посвящ. 75-летию со дня рождения акад. И. Г. Петровского. М.: 1978, с.379−380.

58. Матийчук М. И., Пукальский И. Д. Задача с косой производной для вырождающегося параболического уравнения. Мат. заметки, 1980, 28, № 4, с.633−644.

59. Матийчук М. И. 0 функции Грина общей линейной вырождающейся граничной задачи. Сборник научных трудов АН УССР. Институт прикладной математики и механики. К.: Наукова думка, 1981, с.77−78.

60. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. — 391 с.

61. Михайлов Л. Г. Исследование обобщенной системы Коши-Риммана, когда коэффициенты имеют особенности первого порядка. -Докл.АН СССР. 1959, 129, № 3, с.507−510.

62. Михайлов Л. Г. Первая краевая задача для эллиптического уравнения с сингулярными коэффициентами. Докл. АН Тадж.ССР. 1980, 3, № 5, с.3−8.

63. Олейник О. А. 0 сходимости решений эллиптических и параболических уравнений при слабой сходимости коэффициентов. Успехи мат.наук. Т.30. Вып.4. 1975, с.257−258.

64. Парасюк Л. С. Обобщенное фундаментальное решение эллиптических систем дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами. Укр.матем.журн., 1966, 18, № 4, с.124−126.

65. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961. — 400 с.

66. Пукальский И. Д., Матийчук М. И. Принцип максимума для параболических уравнений второго порядка • с разрывными коэффициентами. Редколлегия ж. Изв.высш.учебн.заведений. Математика. Казань, 1976. Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 1079−76 Деп.

67. Ройтберг Я. А., Шефтель З. Г. Об общих эллиптических задачах с сильными вырождениями. Докл. АН СССР, 1980, ?54, № 6, с.1336−1342.

68. Сандаков Е. Б. 0 стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения высокого порядка. Дифференц. уравнения, 1977, 13, }> 12, с.2256−2264.

69. Серов B.C. Фундаментальное решение дифференциального оператора с особенностью. Дифференц. уравнения, 1980, 16, № 3, с.522−531.

70. Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Вышэйшая школа, 1977. 160 с.

71. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 106 с.

72. Солонников В. А. Об оценках фундаментальных матриц для общих параболических систем с постоянными коэффициентами. Докл. АН СССР, 1964, 158, № 3, с.532−535.

73. Солонников В. А. Априорные оценки для уравнений второго порядка параболического типа. Тр. матем. ин-та АН СССР. 1964, 70, r" S О О о.

74. Солонников В. А. 0 краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида. Тр. матем. ин-та им. Стеклова, 1965, 83, № 3, с.3−163.

75. Тавхелидзе М. Н. Теоремы Лиувилля для эллиптических и параболических уравнений второго порядка. Вестн.Моск.ун-та. Cep.i. Математика, механика, 1976, № 4, с.28−35.

76. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. — 724 с.

77. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. — 427 с.

78. Шифрин М. А. Теоремы лиувиллевского типа для уравнений высокого порядка. Труды Моск.матем.о-ва. Т.33. 1976, с.263−278.

79. Зйдельман С. Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964. -443 с.

80. Зйдельман С. Д., Ивасишен С. Д. Матрица Грина однородной параболической граничной задачи для систем с разрывными коэффициентами. Докл. АН СССР. 1968, 1983, 183, № 4, с.797−800.

81. Зйдельман С. Д., Ивасишен С. Д. Исследование матрицы Грина однородной параболической граничной задачи. Труды Московского матем. о-ва. 1970, 23, с.179−234.

82. Зйдельман С. Д., Порпер Ф. О. Об асимптотическом поведении решений параболических систем с диссипацией. Докл. АН СССР. .971, 197, А- 2, с.299−302.

83. Зйдельман С. Д., Порпер Ф. О. 0 поведении решений параболических уравнений второго порядка с диссипацией. Дифференц. уравнения. 1971, 7, ?,* 9, с. 1684−1695.

84. Зйдельман С. Д., Малицкая А. П. 0 фундаментальных решениях и стабилизации решения задачи Коши для одного класса вырождающихся параболических уравнений. Дифференц.уравнения. 1975, 11, № 7, с.1316−1330.

85. Зйдельман С. Д., Малицкая А. П. Теоремы Лиувилля для одного класса вырождающихся уравнений. Мат.сборник. К.: Науковадумка, 1976, с.250−253.