Задача усиления и ремонта пластины с вырезом посредством накладки

Многие тонкостенные конструкции, в том числе и тонкие упругие пластины, содержат дефекты в виде отверстий и трещин, которые появляются в конструкции как в процессе изготовления, так и в процессе эксплуатации, например, в результате приложения интенсивных нагрузок или действия коррозии. Наличие отверстий в пластине вызывает концентрацию напряжений на границах отверстий и ведет, в конечном счете, к преждевременному выходу детали из строя. На практике для подкрепления границ отверстий часто применяются так называемые ремонтные заплаты (двумерные накладки), соединенные с основной пластиной ' вдоль узких полос при помощи склеивания, сварки, часто расположенных заклепок и шурупов и т. д. В расчетах на прочность эти полосы в определенных рамках можно заменить линиями. В свою очередь, ремонтные заплаты, вводимые для предотвращения разрушения, сами являются концентраторами напряжений, поэтому представляется актуальным исследование напряженного состояния пластин с отверстиями, подкрепленных двумерными накладками, и получение аналитических решений соответствующих задач теории упругости. Именно эту цель и преследует данная диссертационная работа.

Исследованию напряженного состояния пластин с дефектами в виде отверстий и трещин посвящено множество работ. В монографии Н. И. Мусхелишвили [30] рассмотрены первая и вторая основные задачи теории упругости для бесконечной пластины с круговым или эллиптическим отверстием, а также для областей, конформно отображаемых на круг. Полностью посвящена решению задач для пластин и оболочек с отверстиями монография Г. Н. Савина [44]. Рассматриваются задачи об одном или нескольких отверстиях в бесконечной плоскости или полуплоскости в случаях растяжения, сжатия, чистого сдвига, чистого изгиба. Для решения задач применяются методы плоской теории упругости, основанные на формулах Колосова — Мусхелишвили. Метод сингулярных интегральных уравнений используется при решении плоских задач теории упругости для многосвязных областей с отверстиями и трещинами в монографии М. П. Саврука [46]. В монографии Э. И. Григолюка, JI.A. Филыптинского [16] рассматриваются задачи для пластин и оболочек, ослабленных двоякопериодической системой одинаковых круглых отверстий. Различные задачи для пластин, ослабленных вырезами, рассматриваются также в книгах [8, 21, 24] и работах многих других авторов. Еще большее число работ посвящено изучению пластин и оболочек с трещинами. Упомянем только монографии Н. И. Мусхелишвили [30], В. В. Панасюка, М. П. Саврука, А. П. Дацышина [33], М. П. Саврука [46], J1.T. Бережницкого, М. В. Делявского, В. В. Панасюка [7], Г. П. Черепанова [80].

Остановимся на некоторых вопросах ремонта и усиления конструкций с дефектами в виде отверстий и трещин. Для этих целей довольно часто используются одномерные или двумерные накладки, присоединяемые к пластине дискретно (в отдельных точках) или непрерывно вдоль узких полос или двумерных областей.

Подкрепление тонкостенных конструкций при помощи одномерных накладок (стрингеров) особенно часто используется в авиастроении, когда нужно совместить максимальную прочность конструкции с ее минимальным весом. Исследованию напряженного состояния полуплоскости, плоскости и упругого клина с прикрепленными стрингерами посвящены работы [1, 2, 4−6, 10, 15, 20, 21, 29, 43, 81, 82, 86−88,. 99, .101]. Подкрепление пластин с трещинами при помощи стрингеров рассматривается в работах [21, 50, 51, 93, 95, 103, 104, 107, 111]. В случае пластины с трещиной к положительным результатам может привести также высверливание дополнительных разгружающих отверстий в вершинах трещины [34].

В монографии А. И. Каландия [21] рассматривается задача о бесконечной пластине с круговым отверстием, усиленной прямолинейным стрингером, непрерывно прикрепленным к ней в радиальном направлении и выходящим одним, концом на обвод отверстия. Задача сводится к сингулярному интегральному уравнению, которое решается численно методом механических квадратур.

В работе И. Г. Арамановича [3] рассматривается распределение напряжений в изотропной полуплоскости, ослабленной круговым отверстием, в которое впаяно упругое круговое кольцо из инородного материала. Задача сводится к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Полученная система квазирегулярна при как угодно сближенных границах области.

В работе В. И. Тульчия [73] рассматривается задача об изгибе изотропной плоскости с двумя подкрепленными круговыми отверстиями при однородной нагрузке на бесконечности. Подкрепляющие кольца рассматриваются как стержни с равными жесткостями на изгиб и кручение.

В монографии В. М. Александрова, С. М. Мхитаряна [1] рассматриваются задачи о бесконечной пластине с круговым отверстием, усиленным по обводу одной или двумя одинаковыми симметричными упругими кольцеобразными накладками, жестко сцепленными с пластиной. Задача о бесконечной пластинке с эллиптическим отверстием, подкрепленным ребром жесткости, изучается в монографии Г. Н. Савина, Н. П. Флейшмана [45].

В статье Wang Gul-Fang [117] решается задача о плоском напряженном состоянии пластины с круговым отверстием, подкрепленным упругим кольцом, под действием нормальных и касательных усилий. Решение задачи строится с использованием рядов Фурье и функций комплексного переменного. В замкнутой форме приводятся выражения для смещений и напряжений. Дается распределение напряжений вдоль контура отверстия.

В работе М. З. Вулицкого и И. Д. Суздальского [11] рассматривается пластина, содержащая периодическую систему круговых отверстий и периодическую систему стрингеров. К пластине приложены растягивающие усилия, направление которых совпадает с направлением стрингеров. Оценивается взаимное влияние стрингеров и отверстий. Задача приводится к сингулярному интегро-дифференциальному уравнению. Результаты вычислений представлены для коэффициента концентрации напряжений на контуре отверстия в виде таблицы и для коэффициента интенсивности напряжений на конце стрингера в виде графика.

Наряду со стрингерами применяются двумерные накладки, приваренные, приклеенные или приклепанные к конструкции. Во многих случаях они, помимо подкрепления отверстий и трещин, могут обеспечивать также герметичность, местную прочность конструкции, защиту от коррозии и т. п., т. е. выполнять сразу несколько полезных функций.

Подкрепляющие свойства двумерных накладок достаточно полно исследованы в случае пластин с трещинами. Усиление пластин с трещинами при помощи дискретно присоединенных двумерных накладок рассмотрено в работах [85, 89, 94, 100].

В статье М. М. Ратвани [39] рассматривается задача усиления пластины с прямолинейной трещиной при помощи сплошной пластины, приклеенной к пластине с трещиной вдоль своей поверхности, с учетом имеющейся вокруг трещины отслойки эллиптической формы. Склеивающий слой моделируется как упругая пружина, работающая на сдвиг. Задача сводится к системе двух уравнений Фредгольма. Проводится сравнение с численным решением, полученным методом конечных элементов.

В статье С.Н. Wang, L.R.F. Rose [116] рассматривается бесконечная пластина с прямолинейной трещиной, усиленная приклеенной вдоль всей своей поверхности другой бесконечной пластиной. Полученная двухслойная пластина с трещиной в одном из слоев нагружена на бесконечности нормальными и касательными напряжениями, поверхность трещины свободна от напряжений. Задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма на конечном отрезке в случае, когда пластина с трещиной и подкрепляющая пластина изотропны и имеют одинаковый коэффициент Пуассона. Проводится параметрическое исследование полученного уравнения. В замкнутой форме получено асимптотическое значение коэффициента интенсивности напряжений для длинных трещин.

В работе G.J. Tsamasphyros и др. [114] рассматривается бесконечная пластина с центральной прямолинейной трещиной, подкрепленная эллиптической накладкой, приклеенной к пластине вдоль всей своей поверхности. Аналитическое решение задачи основано на математической модели L.R.F. Rose. Проводится сравнение с численным решением, полученным при помощи метода трехмерных конечных элементов.

В статье C.N. Duong, J. Yu [95] решается задача об усилении металлического листа с трещиной при помощи стрингеров и композитной накладки, приклеенной вдоль своей поверхности. Накладка может быть либо бесконечным ортотропным листом, либо бесконечной ортотропной полосой, расположенной перпендикулярно направлению трещины. Вокруг трещины предполагается существование области отслойки эллиптической формы. Задача решается при помощи метода совместности смещений с использованием методов теории функций комплексного переменного и метода интегрального преобразования Фурье. Показано, что влияние стрингеров на коэффициенты интенсивности напряжений несущественно для трещины полностью покрытой накладкой.

В работе В. И. Гришина, Т. К. Бегеева [17] рассматривается пластина с центральной прямолинейной трещиной, усиленная прямоугольной накладкой. Методом конечных элементов вычисляются коэффициенты интенсивности напряжений для различных способов соединения пластины и накладки: клеевого, заклепочного и клеезаклепочного. Установлено, что применение заклепочного соединения менее эффективно по сравнению с клеевым соединением, а при наличии клея заклепки практически не снижают коэффициенты интенсивности напряжений.

Некоторые другие способы ремонта пластин с трещинами при помощи накладок, приклеенных к пластине вдоль своих поверхностей, рассматриваются в работах [28, 89, 92, 97, 98,102, 108, 109,113, 118].

В работе М. П. Саврука, B.C. Кравца [49] предложен общий подход к решению задачи о подкреплении ограниченной пластины с трещинами двумерными накладками, упруго соединенными с основной пластиной вдоль своих контуров. При решении задачи используется метод сингулярных интегральных уравнений, развитый в двумерных краевых задачах математической теории трещин [33, 46]. Задача сводится к системе интегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных скачков напряжений или производных от смещений на контурах трещин и границах накладок. Случай жесткого соединения по контуру подкрепляющей • двумерной накладки и бесконечной пластины с трещиной рассматривается в.

48].

В работе Y.H. Chen, H.G. Hanh [91] • решается задача об усилении квадратной анизотропной пластины с центральной прямолинейной трещиной при помощи круглой накладки, присоединенной к пластине вдоль своей границы. При помощи методов теории функций комплексного переменного приближенное решение задачи находится из решения конечных систем линейных алгебраических уравнений. Показано, что в подкрепленной пластине существенно уменьшаются коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах трещины. Близкая по постановке задача рассматривается также в [84].

В отличие от пластин с трещинами, подкреплению вырезов в пластинах I при помощи двумерных накладок посвящено значительно меньшее количество работ.

В работе Н. Engels, D. Zakharov, W. Becker [96] рассматривается усиление круглого отверстия в бесконечной анизотропной пластине с помощью двусторонних эллиптических кольцеобразных накладок произвольного размера, приклеенных к пластине вдоль своих поверхностей. Задача решается в замкнутой форме при помощи представления комплексных потенциалов в виде специальных рядов внутри и вне усиливаемой области. Проводится сравнение с решением, полученным численно методом конечных элементов.

В работе Р.С. Tse, K.J. Lau, W.H. Wong [115] исследуется усиление композитной панели с центральным круглым отверстием при помощи квадратной композитной накладки. Накладка имеет центральное круглое отверстие, совпадающее с отверстием в основной пластине, и приклеивается к пластине вдоль всей своей поверхности. Задача решается методом трехмерных конечных элементов.

В работе Р. Митчела, Р. Вули, Д. Чвирута [28] рассматриваются задачи об усилении пластины с круговым вырезом или с круговым вырезом и двумя симметричными трещинами, отходящими от краев отверстия в радиальном направлении, при помощи прямоугольной накладки, приклеенной к пластине вдоль своей поверхности. Для решения задач применяется метод конечных элементов.

Задачи теории упругости для многолистных пластинчатых конструкций, к которым могут быть отнесены и некоторые задачи, рассматриваемые в этой диссертационной работе, исследовались в работах [32, 41−43, 56, 57, 62, 66−71, 76−78,81].

В работах В. В. Сильвестрова и Г. Е. Чекмарева [56, 57, 66, 76−78] изучаются пакеты тонких бесконечных упругих пластин, соединенных между собой вдоль коллинеарных отрезков или вдоль дуг одной окружности. При заданных, вообще говоря, разных нагрузках на бесконечности каждой из пластин, исследуется напряженное состояние, мало отличающееся в каждой пластине от обобщенного плоского, находятся коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) вблизи концов отрезков и дуг соединения. Исследования основаны на использовании комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили и матричной краевой задачи Римана.

В работах В. В. Сильвестрова и А. В. Шумилова [67−71, 83] исследуются пакеты пластин, соединенных друг с другом вдоль одной окружности, концентрических окружностей, вдоль одной окружности и в отдельной точке, а также вдоль конечного числа разомкнутых кривых Ляпунова. В зависимости от вида кривой, вдоль которой пластины соединены между собой в пакет, используются методы матричной краевой задачи Римана, степенных рядов и интегральных уравнений. В результате, в замкнутой форме решена задача соединения тонких упругих пластин в пакет вдоль одной окружности и вдоль конечного числа концентрических окружностей. Исследовано напряженное состояние пластин и характер распределения напряжений на линиях соединения пластин. Решена явно задача соединения пластин в пакет вдоль окружности и в отдельной точке. Изучено' влияние точки соединения на распределение напряжений на линии соединения и обратно. Разработан метод решения задачи соединения пластин в пакет вдоль разомкнутых кривых. Доказана ее эквивалентность конечному числу задач теории упругости для отдельных, не связанных между собой, пластин с жесткими включениями вдоль линий соединения. Установлена связь между напряжениями и КИН в пластинах, находящихся в составе пакета, и соответствующими напряжениями и КИН в отдельных пластинах с жесткими включениями.

В работах В. В. Сильвестрова и И. А. Иванова [19, 63−65] рассматриваются периодические задачи теории упругости для пакетов, пластин, соединенных вдоль коллинеарных отрезков, вдоль коллинеарных отрезков и в отдельных точках и вдоль разомкнутых кривых Ляпунова.

Указанными авторами метод краевой задачи Римана в сочетании с другими методами используется также для исследования напряженного состояния и решения соответствующих задач теории упругости для других типов многолистных пластинчатых конструкций (поверхностей): многолистной римановой поверхности с разрезами, соединяющими ее точки ветвления, берега которой принадлежат крайним листам [52−55, 58]- конструкции со сквозными разрезами вдоль коллинеарных отрезков, образованной из нескольких пластин с одинаковыми разрезами путем наложения их друг на друга и соединения между собой отдельно верхних берегов соответствующих разрезов всех пластин и отдельно нижних берегов [59, 79] конструкции, образованной из нескольких пластин с одинаковыми коллинеарными разрезами, которые наложены друг на друга и соединены между собой только вдоль верхних берегов соответствующих разрезов (при этом нижние берега разрезов всех пластин никаким образом не контактируют между собой) [61, 75, 79]- слабоизогнутой винтовой поверхности [61].

В работе В. В. Сильвестрова [110] изучается многолистная пластинчатая конструкция со сквозным криволинейным разрезом, образованная путем наложения друг на друга нескольких одинаковых тонких однородных пластин с разрезами, одноименные берега которых соединены между собой. На берегах разреза задаются внешние усилия, а на бесконечности каждой пластины — напряжения, вращение и сосредоточенная сила, которые действуют в плоскостях пластин так, что все листы конструкции находятся в напряженном состоянии, мало отличающемся от обобщенного плоского. Методом интегральных уравнений устанавливается асимптотика напряжений вблизи концов разреза и находятся инвариантные Г-интегралы Черепанова. В отличие от одной отдельной пластины с разрезом, вблизи вершины которого интенсивность напряжений, имеющих степенную особенность порядка '/2, зависит от двух действительных КИН, на рассматриваемой конструкции вблизи вершины разреза напряжения, хотя и имеют степенную особенность порядка /4, но их интенсивность зависит от четырех КИН. В работе [60] указанным методом устанавливается порядок особенности напряжений вблизи вершины криволинейной щели в конструкции, образованной из двух бесконечных пластин, одна из которых разрезана вдоль заданной кривой, затем наложена и присоединена вдоль одного из берегов разреза к другой сплошной пластине.

Задачи, рассматриваемые в главе 4 данной диссертационной работы, можно также отнести к задачам о частично отсоединившемся круглом упругом включении в бесконечной пластине.

В работах P.B.N. Prasad, K.R.Y. Simha [105, 106] рассматриваются задачи об одной или двух трещинах между круглым упругим включением в бесконечной упругой пластине и самой пластиной. В определенных точках пластины действуют сосредоточенные силы, а на бесконечности — заданные напряжения. При помощи комплексных потенциалов Мусхелишвили задача сводится к краевой задаче Римана. Находятся коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах трещин при различных напряжениях на бесконечности и различных размерах трещины.

В работе E.N. Theotokoglou, Е.Е. Theotokoglou [112] рассматривается задача взаимодействия частично отсоединившегося круглого упругого включения и прямолинейной, трещины в бесконечной пластине, подверженной действию заданных напряжений на бесконечности. Методом комплексных потенциалов Мусхелишвили задача сводится к одному сингулярному интегральному уравнению только по границе трещины. Интегральное уравнение решается методом механических квадратур. Находятся коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах прямолинейной и межфазной трещин.

Технологические проблемы, связанные с проектированием различных тонкостенных пластинчатых конструкций, и проблемы их прочности изучаются в книгах [27, 74]. .

Для исследования и решения задач теории упругости, рассматриваемых в данной диссертационной работе, используются методы степенных рядов, конформных отображений, матричной краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений. Суть этих методов применительно к классическим задачам теории упругости изложена в монографиях Н. И. Мусхелишвили [30], М. П. Саврука [46], А. И. Каландия [21], А. С. Космодамианского [24], Г. Я. Попова [37], В. З. Партона и П. И. Перлина [35, 36], В. В. Панасюка,.

М.П. Саврука, А. П. Дацышина [33], JI.A. Толоконникова и В. Б. Пенькова [72] и других.

В данной диссертационной работе рассматривается задача усиления и ремонта бесконечной пластины с вырезом при помощи двумерной накладки, присоединенной к пластине жестко вдоль одной или нескольких кривых. В качестве кривых могут выступать границы накладки и выреза или другие линии. При решении задачи делаются следующие основные предположения:

— пластина и накладка (или составляющие их листы в случае главы 4) являются тонкими, упругими, однородными и изотропными;

— все приложенные к пластине или накладке усилия расположены в срединной плоскости пластины и накладки и даны в расчете на единицу толщины пластины или накладки;

— пластина и накладка между собой не касаются или касаются без трения и взаимодействуют только через линию (линии) соединения;

— соединение пластины и накладки предполагается жестким, т. е. на линии (линиях) соединения выполняются условия непрерывности смещений с разных сторон линии и условия равновесия точек линии;

— пространственный эффект концентрации напряжений на линии (линиях) соединения пластины и накладки и вблизи нее пренебрежимо малэффекты продольного изгиба пластины также пренебрежимо малы;

— система «пластина — накладка» находится в обобщенном плоском напряженном состоянии.

При указанных условиях напряжения и смещения в каждой из областей, на которые пластина и ¦ накладка разбиваются линиями соединения, выражаются по формулам Колосова — Мусхелишвили [30] через две аналитические в соответствующих областях функции, которые и требуется найти.

В первой главе рассматриваются различные варианты ремонта пластины с круговым вырезом при помощи круглой накладки, как в случае совпадающих центров выреза и накладки (концентрический случай), так и в случае, когда центры выреза и накладки находятся в разных точках (эксцентрический случай).

В § 1 дается постановка задачи об усилении пластины с круговым вырезом при помощи концентрической круглой накладки большего радиуса, присоединенной к пластине вдоль всей своей границы. На бесконечности пластины и на границе выреза действуют заданные напряжения. При помощи формул Колосова — Мусхелишвили в полярных координатах данная задача сводится к нахождению шести функции (комплексных потенциалов). Путем представления комплексных потенциалов в виде степенных рядов, в § 2 получены конечные системы линейных алгебраических уравнений для коэффициентов этих рядов, решения которых найдены в явной форме. Исследование напряженного состояния в пластине и накладке проводится в § 3. Приводятся явные выражения для напряжений и смещений в пластине и накладке при отсутствии напряжений на границе выреза, находятся полярные углы, при которых напряжения в пластине и накладке достигают своих экстремальных значений. Рассматриваются примеры, приводятся графики зависимости напряжений от упругих и геометрических параметров задачи.

В §§ 4−6 решается задача о концентрической круглой накладке на круглом вырезе в случае соединения пластины и накладки вдоль. некоторой концентрической с границами накладки и выреза окружности, вообще говоря, не совпадающей с ними. В §§ 7−9 приводится решение задачи в случае соединения концентрической накладки с пластиной вдоль границы выреза и границы накладки одновременно. Обе задачи сводятся к решению конечных систем линейных уравнений,-исследуется напряженное состояние в пластине и накладке, приводятся числовые примеры.

В § 10 исследуется задача об эксцентрической круглой накладке на круговом вырезе в бесконечной пластине, присоединенной к пластине вдоль всей своей границы. Для решения задачи используется конформное отображение концентрического кругового кольца в плоскости вспомогательной переменной на эксцентрическое круговое кольцо, образованное границами выреза и накладки. Данное отображение осуществляется дробно-линейной функцией [25] и его конкретный вид приведен в § 11. При помощй представления комплексных потенциалов в виде степенных рядов по введенной вспомогательной переменной задача сводится к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов рядов. Доказывается квазирегулярность полученной системы, приводится достаточное условие существования ее единственного ограниченного решения, обеспечивающего законность всех операций со степенными рядами, проведенных при решении задачи. В § 12 проводится сравнение с частным случаем концентрической накладки, рассмотренным ранее в §§ 1 — 3. Приводятся числовые расчетыдля приближенного решения бесконечной системы линейных алгебраических уравнений применяется метод редукции.

В § 13 рассматривается задача о соединении эксцентрической круглой накладки с пластиной с круглым вырезом вдоль границы выреза и границы накладки одновременно. В § 14 методом степенных рядов, используя конформное отображение, введенное в § 11, задача сводится к квазирегулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Дается сравнение со случаем концентрического выреза (§§ 7 — 9), приводятся числовые расчеты (§ 15).

Вторая глава посвящена изучению напряженного состояния, возникающего в бесконечной пластине с эллиптическим вырезом, усиленным конфокально расположенной эллиптической накладкой, под действием заданных нагрузок, приложенных на бесконечности пластины и на границе выреза, если она не является линией соединения. В § 1 рассматривается соединение пластины с накладкой вдоль границы накладки. При помощи конформного отображения, осуществляемого функцией Жуковского [25, 30], и метода степенных рядов задача сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Проводится исследование полученной системы, доказывается ее квазирегулярность. На численных примерах рассматривается распределение напряжений в пластине и накладке в случае эллиптического выреза (§ 3) и предельном случае, когда эллиптический вырез вырождается в прямолинейную трещину (§ 4). Для последнего случая строятся графики коэффициентов интенсивности напряжений, исследуется их зависимость от напряжений, приложенных к бесконечности пластины, размера накладки, отношения модулей сдвига пластины и накладки. В § 5 формулируется задача о конфокальной эллиптической накладке, присоединенной к пластине вдоль границы выреза и границы накладки одновременно. Задача сводится к квазирегулярной бесконечной системе (§ 6), приводятся числовые расчеты (§ 7).

В третьей главе рассматривается усиление бесконечной пластины с вырезом произвольной формы при помощи накладки, также имеющей произвольную форму и присоединенной к пластине жестко вдоль всей своей границы. Кривые, являющиеся границами выреза и накладки, предполагаются замкнутыми контурами Ляпунова, не имеющими между собой общих точек. Механическая постановка задачи дается в § 1. На границе выреза и на бесконечности пластины действуют заданные напряжения, расположенные в плоскости пластины. В § 2 по методике М. П. Саврука [46] выводятся интегральные представления комплексных потенциалов через скачки напряжений и производных от смещений на границе выреза и границе накладки. При помощи формул Колосова — Мусхелишвили задача сводится к системе трех сингулярных интегральных уравнений. Проводится исследование полученной системы на разрешимость. Доказывается теорема единственности решения рассматриваемой задачи. При помощи этой теоремы посредством сведения системы сингулярных интегральных уравнений к равносильной ей системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода доказывается ее однозначная разрешимость. В § 3 рассматриваются численные примеры. Для приближенного решения системы сингулярных интегральных уравнений применяется метод механических квадратур [46]. Рассматривается ряд примеров для различных форм границ выреза и накладки.

В четвертой главе решается задача о ремонте кругового выреза в пластине при помощи многолистной круглой вставки, имеющей тот же размер, что и вырез. Многолистная вставка состоит из набора круглых пластин одинакового размера, имеющих, вообще говоря, разную толщину и разные упругие постоянные, и наложенных друг на друга таким образом, что их границы совпадают. Решение задачи проводится для более общего случая, когда пластина также является многолистной, т. е. состоит из бесконечных пластин с одинаковым круговым вырезом, наложенных друг на друга так, что границы вырезов во всех пластинах совпадают. На бесконечности каждого из листов, составляющих пластину, действуют заданные напряжения и вращения. В § 1 рассматривается соединение пластины с вставкой вдоль всей общей граничной окружности. Решение задачи строится методом степенных рядов, в явном виде выписываются выражения для комплексных потенциалов, приводятся выражения для напряжений в каждом из листов пластины и накладки, а также для смещений на линии соединениярассматриваются примеры. В § 2 дается постановка задачи в случае соединения многолистной пластины с многолистной накладкой только вдоль отдельных дуг общей граничной окружности. На свободных от соединения частях границ задаются значения внешних напряжений. При помощи формул КолосоваМусхелишвили задача приводится к матричной краевой задаче Римана, которая затем в § 3 сводится к самостоятельным краевым задачам Римана, строится решение этих задач. В § 4 даны выражения для коэффициентов интенсивности напряжений на концах дуг соединения. Оказывается, что напряжения на концах дуг помимо традиционной степенной особенности порядка Уг имеют еще и осциллирующую особенность порядка //?, где /? -некоторое действительное числопричем, в отличие от классического случая межфазной трещины, напряжения вблизи конца дуги соединения зависят от.

2(m + n -1) коэффициентов интенсивности напряжений, где т — число листов во вставке, а п — в пластине. В § 5 дается сравнение частного случая задачи, когда пластина и вставка соединены вдоль всей граничной окружности, с результатами § 1. Рассматриваются примеры в случае соединения пластины и вставки, состоящей из двух листов, вдоль одной дуги или вдоль двух симметрических дуг. Приводятся графики напряжений и коэффициентов интенсивности напряжений.

Для некоторых случаев проведено сравнение полученных в диссертационной работе результатов с результатами других авторов или с результатами, полученными автором иными методами. Решение задачи § 1 главы 4 в случае т = п и одинаковых толщин и упругих постоянных hj = hj+m,.

Vj = vJ+m, fUj = juj+m составляющих пластину и накладку листов совпадает с решением, полученным В. В. Сильвестровым, А. В. Шумиловым [67] для пакета бесконечных пластин, соединенных вдоль окружности. Результаты, полученные в § 3 той же главы для частного случая т = 2, п = 0 сопоставлены с результатами В. В. Сильвестрова, О. А. Андреевой [62]. В ряде частных случаев, результаты данной работы сравниваются между собой. Проведено сопоставление результатов, полученных в случае эксцентрической накладки при z0=0 с соответствующими результатами в случае концентрической накладки. Напряжения, вычисленные в главе 3 при помощи численного решения системы сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур в случаях круглой накладки на круглом вырезе и конфокальной эллиптической накладки на эллиптическом вырезе совпадают с соответствующими результатами глав 1 и 2 с точностью порядка Ю-10 — Ю-15.

Отдельные результаты и работа в целом докладывались на Всероссийской научной конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2001, 2002) — на Втором международном конгрессе студентов, молодых ученых и специалистов «Молодежь и наука — третье тысячелетие» (Москва, 2002) — на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященной 80-летию со дня рождения профессора JI.A. Толоконникова (Тула, 2003) — на II — V Всероссийских конференциях-фестивалях творчества студентов «Юность Большой Волги» (Чебоксары, 2000 — 2003) — на XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004) — на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела при Тульском государственном университете (Тула, 2005, руководитель — профессор Маркин А.А.) — на семинарах кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета (Чебоксары, 2001;2005, руководительпрофессор Сильвестров В.В.).

Основные результаты. диссертационной работы отражены в 20 публикациях [119−138].

Все приведенные в работе исследования проводились в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 98−01−308, 0101−720, 04−01−160).

Автор выражает большую благодарность научному руководителю профессору В. В. Сильвестрову за постоянное внимание к работе и ценные советы.

Основные результаты, полученные .в данной диссертационной работе и выносимые на защиту:

1. Аналитическое решение задачи об усилении и ремонте пластины с. круговым вырезом при помощи концентрической круглой накладки, полностью покрывающей вырез и присоединенной к пластине одним из. следующих трех способов: либо только вдоль границы накладки, либо вдоль некоторой концентрической с границами накладки и выреза окружности, либо вдоль границы накладки и границы выреза одновременно.

2. Аналитическое решение задачи о подкреплении. пластины с круговым вырезом эксцентрической круглой накладкой, присоединенной к пластине либо только вдоль границы накладки, либо вдоль границы накладки и границы выреза одновременно.

3. Аналитическое решение задачи о пластине с эллиптическим вырезом (в том числе, и с прямолинейной трещиной), подкрепленной конфокальной эллиптической накладкой, присоединенной к пластине либо только вдоль границы накладки, либо вдоль границы накладки и границы выреза одновременно.

4. Построение и исследование системы сингулярных интегральных уравнений задачи усиления пластины с вырезом при помощи накладки, покрывающей вырез и присоединенной к пластине вдоль своей границы. Вырез и накладка имеют произвольную форму, ограничивающие их кривые не пересекаются и являются кривыми Ляпунова. 5. Решение в замкнутой форме задачи о ремонте кругового выреза в бесконечной пластине с помощью многолистной круглой вставки, присоединенной к пластине вдоль всей граничной окружности или только вдоль отдельных ее дуг. Многолистная вставка имеет ту же форму, что и. вырез.

Для всех упомянутых выше задач исследовано напряженное состояние в пластине и накладке, получены аналитические формулы для параметров разрушения, рассмотрены конкретные числовые примеры.

Заключение

.